第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
第七章多目标函数的优化设计
第七章多目标函数的优化设计在实际问题的解决过程中，往往会面临多个目标的优化设计。
传统的优化方法常常只关注单一目标的优化，无法同时兼顾多个目标的需求。
因此，多目标函数的优化设计成为了一个重要的研究领域。
多目标函数的优化设计涉及到多个目标函数的最优化问题，称为多目标优化问题。
多目标优化问题的解决方法有两类：一类是将多目标优化问题转化为单目标优化问题，另一类是直接解决多目标优化问题。
第一种方法是将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
这种方法通常会使用一些合成目标函数或加权目标函数的方式来将多个目标函数合并为一个单目标函数。
常用的方法有加权和法、Tchebycheff法、罚函数法等。
但是这种方法不仅涉及到目标函数之间的比重问题，而且通常只能得到近似解，并不能完全解决多目标优化问题。
第二种方法是直接解决多目标优化问题。
这种方法通常会利用一些优化算法来求解多目标优化问题，如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
这些算法通常是基于群体智能的思想，通过不断的迭代来寻找最优解的近似解。
这些算法通常会生成一组近似最优解，即所谓的帕累托解集。
帕累托解集是多目标优化问题的解集，其中的解称为帕累托解。
帕累托解的定义是指在解集中没有其他解能够改进一个解的一些目标函数值而不损害其他目标函数值的解。
帕累托解集的大小和分布会影响多目标优化问题的解决质量。
因此，如何有效地生成帕累托解集成为了多目标优化问题研究的一个重要方向。
除了解决多目标优化问题的方法外，还需要考虑如何对多目标优化问题的解进行评价。
常用的评价指标有全局评价指标和局部评价指标。
全局评价指标能够反映整个帕累托解集的性能，常用的指标有最小距离、全局适应度值、发散度等。
局部评价指标用于评价帕累托解集中的个体解的性能，常用的指标有支配关系、可行性等。
总结起来，多目标函数的优化设计是一个重要的研究领域，涉及到多个目标函数的最优化问题。
解决多目标函数的优化设计可以采用将多目标优化问题转化为单目标优化问题的方法或者直接解决多目标优化问题的方法。
7多目标优化方法
7多目标优化方法多目标优化是指同时优化多个目标函数的问题，它在很多实际问题中具有重要的应用价值。
以下是七种常见的多目标优化方法：1.加权方法：加权方法是最简单的多目标优化方法之一、它将多个目标函数线性组合成一个单独的目标函数，并通过加权系数来控制各个目标函数的重要程度。
这种方法的优点是简单易实现，但需要根据问题的具体情况确定权重。
2.建模和求解方法：建模和求解方法将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过建立适当的模型和求解算法来解决。
其中一个常见的方法是基于遗传算法的多目标优化方法，通过遗传算法的进化过程来目标函数的近似最优解。
3. Pareto优化方法：Pareto优化方法是一种非支配排序方法，通过对解集进行排序和筛选，找到Pareto最优解集合。
Pareto最优解是指在没有劣化其他目标函数的情况下，无法通过优化任何一个目标函数而使得其他目标函数有所改善的解。
这种方法能够找到问题的一些最优解，但可能无法找到所有的最优解。
4.基于指标的方法：基于指标的方法通过定义一些评价指标来度量解的质量，并根据这些指标来选择最优解。
常用的指标包括距离指标、占优比例指标等。
这种方法能够在有限的时间内找到一些较优的解，但在有些情况下可能会丢失一些最优解。
5.多目标粒子群优化方法：多目标粒子群优化方法是一种基于粒子群算法的多目标优化方法。
它通过多种策略来维护多个最优解，并通过粒子调整和更新来逐步逼近Pareto最优解。
这种方法具有较好的全局能力和收敛性能。
6.模糊多目标优化方法：模糊多目标优化方法将隶属度函数引入多目标优化问题中，通过模糊规则和模糊推理来处理多目标优化问题。
它能够处理含有不精确信息或不确定参数的多目标优化问题。
7.多目标进化算法：多目标进化算法是一类通过模拟生物进化过程来解决多目标优化问题的方法，其中包括多目标遗传算法、多目标蚁群算法、多目标粒子群优化等。
这些方法通过维护一个种群来Pareto最优解，通过进化操作（如交叉、变异等）来逐步优化解的质量。
第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
多目标优化数学模型
多目标优化数学模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，通过数学建模来求解最优解。
多目标优化问题可以形式化为如下形式：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad f_1(x) \\
\text{subject to} \quad f_2(x) \leq 0 \\
\quad f_3(x) \leq 0 \\
\quad \vdots \\
\quad f_m(x) \leq 0 \\
\end{align*}
$$
其中，$x$是决策变量，$f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)$是目标函数，$m$是目标函数的个数。
在多目标优化中，通常存在多个不同的最优解，这些最优解构成了一个被称为Pareto前沿（Pareto front）的集合。
Pareto前沿是指在所有满足约束条件的解中，无法通过改变一个目标函数的值而使其他目标函数的值变得更好的解。
求解多目标优化问题的常用方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退
火算法等。
这些算法通过在解空间中搜索，逐步逼近Pareto前沿，从而得到一组近似最优解。
多目标优化数学模型的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以通过多目标优化来平衡不同的设计目标，如成本、性能、可靠性等；在金融投资中，可以通过多目标优化来平衡风险和收益等。
第七章多目标函数的优化设计
s.t.
x 1 0
0 x 0
用误差容限法求：w j
Q x = 0时， f1 (0) = 1, f 2 (0) = 3
x = 1时， f1 (1) = 2 , f 2 (1) = 1 根据 j f j (x ) j 1 = 1, 1 = 2； 2 = 1， 2 = 3
f1 = 1
1 = 1；
分目标函数：f1 (x) = x 2 + 1 min .
f 2 (x ) = 2 x + 3 min .
约束区域： D = {x 0 x 1}
( ) 解： min . F (x ) = w1 f1 (x ) + w2 f 2 (x ) = w1 x 2 + 1 + w2 ( 2 Xx + 3R)1
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
第七章多目标函数的优化设计
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V min F ( x) = [ f1 ( x) f 2 ( x)]T f1 ( x) = x 2 2 x f 2 ( x) = x
第七章多目标函数的优化设计
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定出 一个合理的各分目标函数值构成理想解
F 0 = [ f10 f 20 L f m0 ]T
*
0
解之间的离差函数 f ( x) 函数可取以下形式
相对离差
m f j ( x) f j 2
f ( x) = [
]
j =1
fj
加权相对离差
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
机械优化设计方法第七章 多目标函数的优化设计方法
函数值在量级上较大的差别，可以先将各分目标
函数fj(X)转换为无量纲且等量级的目标函数 f j X (j=1,2,…, t)，然后用转换后的分目标函数 f j X来
组成一个统一目标函数
t
f X wj f j X
(7-3)
j 1
加权因子wj(j=1,2,…, t)是根据各项分目标在最优
化设计中所占的重要程度来确定。当各项分目标
t
f X wj f j X j 1
以f(X)作为单目标优化问题求解。
（7-2）
加权因子wj是一组大于零的数，其值决定于各项目标的 数量级及其重要程度。选择加权因子对计算结果的正确
性响较大。确定加权因子wj的方法是多种多样的，主 要有下列几种处理方法。
(一)将各分目标转化后加权
在采用线性加权组合法时，为了消除各个分目标
有相同的重要性时，取wj=1(j=1,2,…, t)，并称为 均匀计权；否则各项分目标的加权因子不等，可
取
t
wj
1或其他值。
j 1
分目标函数fj(X)可选择合适的函数 使其转换为无量纲等量级目标函数。
如，若能预计各分目标函数值的变动
范围为
αj≤fj(X)≤βj (j=1,2,…, t) 则可用如图所示的正弦函数
min
X D Rn
D : gu X 0
f1X
(u 1,2,, m)
gu1 X
f
0 2
f2X 0
用图表明其几何意义D为gu(X)≥0(u=1,2,3,4)构成的多目标优化问
题的可行域。X*(1)、X*(2)分别为
、 的最优点。现 min
X D R n
f1
X
min
多目标优化设计方法
多目标优化设计方法多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）是指在考虑多个冲突目标的情况下，通过寻求一组最优解，并找到它们之间的权衡点来解决问题。
多目标优化设计方法是指为了解决多目标优化问题而采取的具体方法和策略。
本文将介绍几种常见的多目标优化设计方法。
1.加权和方法加权和方法是最简单直观的多目标优化设计方法之一、其基本思想是将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
具体来说，给定目标函数集合f(x)={f1(x),f2(x),...,fn(x)}和权重向量w={w1,w2,...,wn}，多目标优化问题可以表示为：minimize Σ(wi * fi(x))其中，wi表示各个目标函数的权重，fi(x)表示第i个目标函数的值。
通过调整权重向量w的取值可以改变优化问题的偏好方向，从而得到不同的最优解。
2. Pareto最优解法Pareto最优解法是一种基于Pareto最优原理的多目标优化设计方法。
Pareto最优解指的是在多个目标函数下，不存在一种改进解使得所有目标函数都得到改进。
换句话说，一个解x是Pareto最优解，当且仅当它不被其他解严格支配。
基于Pareto最优原理，可以通过比较各个解之间的支配关系，找到Pareto最优解集合。
3.遗传算法遗传算法是一种模仿自然界中遗传机制的优化算法。
在多目标优化问题中，遗传算法能够通过遗传操作（如选择、交叉和变异）进行，寻找较优的解集合。
遗传算法的基本流程包括：初始化种群、评估种群、选择操作、交叉操作、变异操作和更新种群。
通过不断迭代，遗传算法可以逐渐收敛到Pareto最优解。
4.支持向量机支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习方法。
在多目标优化问题中，SVM可以通过构建一个多目标分类模型，将多个目标函数转化为二进制分类问题。
具体来说，可以将目标函数的取值分为正例和负例，然后使用SVM算法进行分类训练，得到一个最优的分类器。
多目标优化方法及实例解析ppt课件
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1* , F2* , Ft* ，然后确定表示各目 标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化 min 成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 X x1 , x 2 , x t , 即为原问题的最优解
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
2
约束条件 2 [ ]
2d 65 d D 88
4C 8
(C D / d )
强度约束 筒体内径约束 旋绕比约束 变形约束
约束条件
r 2 [( 1 ) 2 (
x 2 x2 2 ) ] min 2 x1 H 0
2 1
0 --弹簧材料的脉动疲劳极限 ； 1 2 --最大、最小交变载荷F1,F2产生的切应力 W ( / 4)d 2 (D)ng 1.925105 x12 x2 x3 重量最轻
例7-1 生产计划问题 某工厂生产 n种产品：1号品、2号品、...、 n号品。 已知： 该厂生产i(i=1，2，….n)号品的生产能力是 ai吨/小时； 生产一吨 i(i=1，2，….n)号品可获利润 ci元； 根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi (i=1，2，….n)小时。 根据所给的已知条件，可以把问题中希望追求的三个目标用数量关系描述如下： (1)加班时间 (2)总利润
i 1, 2, , t ，或难以估计目标函数
的上下限时，也可以取下限值为零，上限值为 i Fi ( X 0 )，则称 Fi ( i i ) / 2 i 1, 2, , t 为各目标的容限，各权系数为Wi 1 i 1, 2, , t 。 2
(Fi )
这种取法的原理是，当某个目标函数值变化愈大时，其相应的容限就愈大，权系数就愈小。 这样选取权系数将起到平衡各目标函数量级的作用。
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
T
T=208小时
T
解：根据所给数据，该优化问题的数学模型为
V minF1 , F2 , F3 x1 x2 x3 208 , 15x1 14x2 12x3 , 3x1
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0
T 其中 F ( X ) F1 ( X ), F （ , , Ft ( X ) 2 X）
F 0 F10 , F20 , , Ft 0
T
符号v--appr表示逼近
7.2 多目标优化数学模型的解
多目标问题的解与单目标问题的解有根本不同的概念。 如图7.1所示的五个解1，2，3，4，5 1---绝对最优解； 2、3---非劣解； 4、5---劣解。 因为能得到象1点这样理想解的情况极少，非劣解就成为有效解了。然而，非劣解往往不 止一个，多目标最优化的解一般需从满足条件的多个非劣解中产生。
l F11 ( X ), , Fl11 ( X ); F12 ( X ),, Fl22 ( X );, F1l ( X ), , FlL (X )
i 1
一号品产量
a1 x1 Y
l1 l 2 l L t
目标规划模型为
V apprF( X ) F 0
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0 u 1, 2, , m v 1, 2, , p n
这是另一类多目标最优化模型。与前面二种 模型不同的是，这类模型并不是考虑对各个 hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n 目标进行极小化或极大化，而是希望在约束 2.分层多目标最优化模型 条件的限制下，每一个目标都尽可能地接近 特点是按不同的优先级分层次进行最优化。 于事先给定的各自对应的目标值。 例如上节例1中 例如在上节的例1中 n 第一优先层次——工厂获得最大利润； ( xi T ) T 生产总工时 第二优先层次——工人加班时间尽量地少； i 1 n 第三优先层次——满足市场对一号品的需求。 总利润 ci a i xi Q 一般对于t>1个目标函数
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
2 V min ( x1 x2 , x12 x2 )
评价函数为
W F
i 1 i
i
min
设决策者认为成本目标比重量目标重要。因此，给相应的权系数为W1 =0.3 ,W2=0.7, 评价函数为
W F 0.3x x
i 1 i i
2
1 2
2 0.7( x12 x2 )
, 0.7547 )T 用单目标优化算法可以求得最优解为 X ( x1 , x2 )T (1.1511
i 1, 2, , t 2)分别对各分目标函数求最小化得F(X*) ,取各权系数为 Wi 1 F ( X * ) 3) 先把加权因子Wi分成二部分，即 Wi=W1i*W2i，第一项W1i用来反映各项设计指标的重要
程度，可以用方法(1)或(2)来确定；第二项W2i用来调整各分目标，即函数在量级差别上的 影响，并在迭代过程中逐步加以校正，可取
x
i 1 n
n
i
T min
i i
x ---生产总工时
i 1 i
n
a c x
i 1 i
max
(3)
a1 x1 max
约束条件
ai xi bi i 2, ..., n
xi 0
i 1, 2, ..., n
最大销售量限制
Байду номын сангаас
x
i 1
n
i
T
避免工厂开工不足
生产时间非负 例7-2 钢梁的设计问题 把一根圆钢加 例7-3 圆柱螺旋弹簧的优化设计 设计这种弹簧 工成矩型截面的梁。为了使钢梁满足 时除选择材料及规定热处理要求外，主要根据最 一定的规格、应力及强度条件，要求 大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹 其高度不超过H，截面惯性矩不小于W， 簧的钢丝直径d, 弹簧中径D以及工作圈数n。 T T 横截面的高度介于其宽度及4倍宽度的 X d D n x1 x2 x3 解 设计变量 之间。问如何确定钢梁的尺寸，可使 0.75 1 疲劳安全系数 它 的 重 量 最 轻 ， 并 且 成 本 最 低 。 目标函数 S 0 设 所设计的梁横截面的高为x1,宽为x2 目标为 (1) 重量最轻 x1 x2 min (2)圆钢截面最小(成本最低)
T
s.t.
g u ( X ) 0 u 1, 2, , m hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n i 1, 2, , t Wi ( Fi Fi * ) ,
0
例7-5 用极大模理想点法求解例7-1的生产计划问题。设该厂共生产3种产品，各项数据为 a1=3吨/小时, a2=2吨/小时, a3=4吨/小时; c1=5万元, c2=7万元, c3=3万元; b1=240吨 , b2=250吨, b3=420吨;
0.8( 15x1 14x 2 12x3 4210 ) 0.1 3x1 240
0
求解这个单目标的线性规划问题，得
x , x , x ,
1 2 3
T
80, 125, 105, 10.2
T
3. 权系数的确定 权系数的选择至关重要 1)如果已知各目标函数值的变化范围为 i Fi ( X ) i
将原多目标问题转换成单目标问题处理 V min
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0