第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
第七章多目标函数的优化设计
第七章多目标函数的优化设计在实际问题的解决过程中，往往会面临多个目标的优化设计。
传统的优化方法常常只关注单一目标的优化，无法同时兼顾多个目标的需求。
因此，多目标函数的优化设计成为了一个重要的研究领域。
多目标函数的优化设计涉及到多个目标函数的最优化问题，称为多目标优化问题。
多目标优化问题的解决方法有两类：一类是将多目标优化问题转化为单目标优化问题，另一类是直接解决多目标优化问题。
第一种方法是将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
这种方法通常会使用一些合成目标函数或加权目标函数的方式来将多个目标函数合并为一个单目标函数。
常用的方法有加权和法、Tchebycheff法、罚函数法等。
但是这种方法不仅涉及到目标函数之间的比重问题，而且通常只能得到近似解，并不能完全解决多目标优化问题。
第二种方法是直接解决多目标优化问题。
这种方法通常会利用一些优化算法来求解多目标优化问题，如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
这些算法通常是基于群体智能的思想，通过不断的迭代来寻找最优解的近似解。
这些算法通常会生成一组近似最优解，即所谓的帕累托解集。
帕累托解集是多目标优化问题的解集，其中的解称为帕累托解。
帕累托解的定义是指在解集中没有其他解能够改进一个解的一些目标函数值而不损害其他目标函数值的解。
帕累托解集的大小和分布会影响多目标优化问题的解决质量。
因此，如何有效地生成帕累托解集成为了多目标优化问题研究的一个重要方向。
除了解决多目标优化问题的方法外，还需要考虑如何对多目标优化问题的解进行评价。
常用的评价指标有全局评价指标和局部评价指标。
全局评价指标能够反映整个帕累托解集的性能，常用的指标有最小距离、全局适应度值、发散度等。
局部评价指标用于评价帕累托解集中的个体解的性能，常用的指标有支配关系、可行性等。
总结起来，多目标函数的优化设计是一个重要的研究领域，涉及到多个目标函数的最优化问题。
解决多目标函数的优化设计可以采用将多目标优化问题转化为单目标优化问题的方法或者直接解决多目标优化问题的方法。
7多目标优化方法
7多目标优化方法多目标优化是指同时优化多个目标函数的问题，它在很多实际问题中具有重要的应用价值。
以下是七种常见的多目标优化方法：1.加权方法：加权方法是最简单的多目标优化方法之一、它将多个目标函数线性组合成一个单独的目标函数，并通过加权系数来控制各个目标函数的重要程度。
这种方法的优点是简单易实现，但需要根据问题的具体情况确定权重。
2.建模和求解方法：建模和求解方法将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过建立适当的模型和求解算法来解决。
其中一个常见的方法是基于遗传算法的多目标优化方法，通过遗传算法的进化过程来目标函数的近似最优解。
3. Pareto优化方法：Pareto优化方法是一种非支配排序方法，通过对解集进行排序和筛选，找到Pareto最优解集合。
Pareto最优解是指在没有劣化其他目标函数的情况下，无法通过优化任何一个目标函数而使得其他目标函数有所改善的解。
这种方法能够找到问题的一些最优解，但可能无法找到所有的最优解。
4.基于指标的方法：基于指标的方法通过定义一些评价指标来度量解的质量，并根据这些指标来选择最优解。
常用的指标包括距离指标、占优比例指标等。
这种方法能够在有限的时间内找到一些较优的解，但在有些情况下可能会丢失一些最优解。
5.多目标粒子群优化方法：多目标粒子群优化方法是一种基于粒子群算法的多目标优化方法。
它通过多种策略来维护多个最优解，并通过粒子调整和更新来逐步逼近Pareto最优解。
这种方法具有较好的全局能力和收敛性能。
6.模糊多目标优化方法：模糊多目标优化方法将隶属度函数引入多目标优化问题中，通过模糊规则和模糊推理来处理多目标优化问题。
它能够处理含有不精确信息或不确定参数的多目标优化问题。
7.多目标进化算法：多目标进化算法是一类通过模拟生物进化过程来解决多目标优化问题的方法，其中包括多目标遗传算法、多目标蚁群算法、多目标粒子群优化等。
这些方法通过维护一个种群来Pareto最优解，通过进化操作（如交叉、变异等）来逐步优化解的质量。
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s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
多目标优化数学模型
多目标优化数学模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，通过数学建模来求解最优解。
多目标优化问题可以形式化为如下形式：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad f_1(x) \\
\text{subject to} \quad f_2(x) \leq 0 \\
\quad f_3(x) \leq 0 \\
\quad \vdots \\
\quad f_m(x) \leq 0 \\
\end{align*}
$$
其中，$x$是决策变量，$f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)$是目标函数，$m$是目标函数的个数。
在多目标优化中，通常存在多个不同的最优解，这些最优解构成了一个被称为Pareto前沿（Pareto front）的集合。
Pareto前沿是指在所有满足约束条件的解中，无法通过改变一个目标函数的值而使其他目标函数的值变得更好的解。
求解多目标优化问题的常用方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退
火算法等。
这些算法通过在解空间中搜索，逐步逼近Pareto前沿，从而得到一组近似最优解。
多目标优化数学模型的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以通过多目标优化来平衡不同的设计目标，如成本、性能、可靠性等；在金融投资中，可以通过多目标优化来平衡风险和收益等。
第七章多目标函数的优化设计
s.t.
x 1 0
0 x 0
用误差容限法求：w j
Q x = 0时， f1 (0) = 1, f 2 (0) = 3
x = 1时， f1 (1) = 2 , f 2 (1) = 1 根据 j f j (x ) j 1 = 1, 1 = 2； 2 = 1， 2 = 3
f1 = 1
1 = 1；
分目标函数：f1 (x) = x 2 + 1 min .
f 2 (x ) = 2 x + 3 min .
约束区域： D = {x 0 x 1}
( ) 解： min . F (x ) = w1 f1 (x ) + w2 f 2 (x ) = w1 x 2 + 1 + w2 ( 2 Xx + 3R)1
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
第七章多目标函数的优化设计
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V min F ( x) = [ f1 ( x) f 2 ( x)]T f1 ( x) = x 2 2 x f 2 ( x) = x
第七章多目标函数的优化设计
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定出 一个合理的各分目标函数值构成理想解
F 0 = [ f10 f 20 L f m0 ]T
*
0
解之间的离差函数 f ( x) 函数可取以下形式
相对离差
m f j ( x) f j 2
f ( x) = [
]
j =1
fj
加权相对离差
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
机械优化设计方法第七章 多目标函数的优化设计方法
函数值在量级上较大的差别，可以先将各分目标
函数fj(X)转换为无量纲且等量级的目标函数 f j X (j=1,2,…, t)，然后用转换后的分目标函数 f j X来
组成一个统一目标函数
t
f X wj f j X
(7-3)
j 1
加权因子wj(j=1,2,…, t)是根据各项分目标在最优
化设计中所占的重要程度来确定。当各项分目标
t
f X wj f j X j 1
以f(X)作为单目标优化问题求解。
（7-2）
加权因子wj是一组大于零的数，其值决定于各项目标的 数量级及其重要程度。选择加权因子对计算结果的正确
性响较大。确定加权因子wj的方法是多种多样的，主 要有下列几种处理方法。
(一)将各分目标转化后加权
在采用线性加权组合法时，为了消除各个分目标
有相同的重要性时，取wj=1(j=1,2,…, t)，并称为 均匀计权；否则各项分目标的加权因子不等，可
取
t
wj
1或其他值。
j 1
分目标函数fj(X)可选择合适的函数 使其转换为无量纲等量级目标函数。
如，若能预计各分目标函数值的变动
范围为
αj≤fj(X)≤βj (j=1,2,…, t) 则可用如图所示的正弦函数
min
X D Rn
D : gu X 0
f1X
(u 1,2,, m)
gu1 X
f
0 2
f2X 0
用图表明其几何意义D为gu(X)≥0(u=1,2,3,4)构成的多目标优化问
题的可行域。X*(1)、X*(2)分别为
、 的最优点。现 min
X D R n
f1
X
min
多目标优化设计方法
多目标优化设计方法多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）是指在考虑多个冲突目标的情况下，通过寻求一组最优解，并找到它们之间的权衡点来解决问题。
多目标优化设计方法是指为了解决多目标优化问题而采取的具体方法和策略。
本文将介绍几种常见的多目标优化设计方法。
1.加权和方法加权和方法是最简单直观的多目标优化设计方法之一、其基本思想是将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
具体来说，给定目标函数集合f(x)={f1(x),f2(x),...,fn(x)}和权重向量w={w1,w2,...,wn}，多目标优化问题可以表示为：minimize Σ(wi * fi(x))其中，wi表示各个目标函数的权重，fi(x)表示第i个目标函数的值。
通过调整权重向量w的取值可以改变优化问题的偏好方向，从而得到不同的最优解。
2. Pareto最优解法Pareto最优解法是一种基于Pareto最优原理的多目标优化设计方法。
Pareto最优解指的是在多个目标函数下，不存在一种改进解使得所有目标函数都得到改进。
换句话说，一个解x是Pareto最优解，当且仅当它不被其他解严格支配。
基于Pareto最优原理，可以通过比较各个解之间的支配关系，找到Pareto最优解集合。
3.遗传算法遗传算法是一种模仿自然界中遗传机制的优化算法。
在多目标优化问题中，遗传算法能够通过遗传操作（如选择、交叉和变异）进行，寻找较优的解集合。
遗传算法的基本流程包括：初始化种群、评估种群、选择操作、交叉操作、变异操作和更新种群。
通过不断迭代，遗传算法可以逐渐收敛到Pareto最优解。
4.支持向量机支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习方法。
在多目标优化问题中，SVM可以通过构建一个多目标分类模型，将多个目标函数转化为二进制分类问题。
具体来说，可以将目标函数的取值分为正例和负例，然后使用SVM算法进行分类训练，得到一个最优的分类器。
多目标优化方法及实例解析ppt课件
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法在实际问题中，往往存在多个相互关联的优化目标，这就引出了多目标优化问题。
与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂，需要综合考虑多个目标之间的平衡和权衡。
多目标优化方法可以分为基于加权法的方法和基于多目标遗传算法的方法。
其中，基于加权法的方法将多个目标函数转化为单一的综合目标函数，通过对综合目标函数的优化来求解多目标优化问题。
而基于多目标遗传算法的方法则直接将多目标函数进行优化，通过一系列的遗传算子（如选择、交叉和变异）来逐步逼近多目标的最优解。
在多目标优化问题中，离散变量的存在进一步增加了问题的复杂性。
离散变量是指变量的取值只能是有限个数中的一个，与连续变量不同。
针对离散变量的多目标优化问题，可以采用遗传算法、粒子群算法等进化计算方法进行求解。
这些算法通常会使用染色体编码来表示离散变量，采用相应的遗传算子对染色体进行进化操作。
在实际应用中，多目标及离散变量优化方法可以应用于多个领域。
举个例子，对于资源分配问题，可以将资源的分配方案和目标函数（如成本、效益、风险等）作为多个目标进行优化，得到最优的资源分配方案。
又比如，在工程设计中，可以将设计方案的多个目标（如性能、重量、成本等）作为优化目标，找到最优的设计方案。
总之，多目标及离散变量优化方法是解决实际问题中复杂优化问题的有效手段。
通过综合考虑多个目标和处理离散变量，可以得到更加全面和合理的最优解，提高问题的解决效果。
在实际应用中，需要选择合适的优化方法和算法，并针对具体问题进行适当的调整和改进，以获得更好的优化结果。
第7章 多目标优化和离散变量优化概述
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
第七章 多目标及离散变量优化方法简介
再用fi(X)与Wj(j=1,2,…,t)的线性组合构成一个新的评价函数 F(X)= Wifi(X)
如若将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数 的最优解X* ，则可写为 F(X)= ｛ Wifi(X)｝
这样，就使原来的多目标优化问题合理地转化为单目标优 化问题，而且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问题比 较好的非劣解。 对于加权因子Wi的选取，要求比较准确地反映各个分目标 对整个多目标问题的重要程度和对各自不同的估价和折衷。下 面介绍一种确定加权因子的方法。这种方法是将各单目标最优 化值的倒数取作加权因子。 即 Wi=1/ （i=1，2，……t） （i=1，2，……t）
多目标优化设计问题原则要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，事 实上解决多目标优化设计问题是一个比较复杂的问题，尤 其是在各个分目标的优化相互矛盾，甚至相互对立时更是 如此。
譬如，在使精度和强度尽可能提高的同时，均会使 总成本增加。在这里，各分目标函数的优化已明显发生 了相互的矛盾和对立。要解决这个问题，就要对各个分 目标进行协调，使其互相做出些“让步”，以得到对各 自分目标要求都比较接近的、比较好的最优方案。 近年来国内、外学者虽然对多目标优化问题作了许 多研究，提出了不少解决的方法，但比起单目标优化设 计问题，在理论上和计算方法上还很不完善，也不够系 统。 本章将在前述各章单目标优化方法的基础上，扼要 介绍多目标优化设计方法的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
7-1-多目标最优化
1
2
【例1】某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。 已知制造甲产品需要A型配件5个，B型配件3个； 制 造乙产品需要A型配件2个，B型配件4个。 而在计划 期内该工厂只能提供A型配件180个，B型配件135个。 又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙 产品可获利润 15元。问在计划期内甲、乙产品应该各安 排生产多少件，才能使总利润最大 ? 将该例所述情况列成表格 : A B 利润（元） 甲 5 3 20 乙 2 4 15 现有配件 180 135
最低收获量约束
⎧11 000x11 + 9 500x12 + 9 000x13 ≥ 190 000 ⎪ ⎨8 000x21 + 6 800x22 + 6 000 x23 ≥ 130 000 ⎪14 000x + 12 000x + 10 000x ≥ 350 000 31 32 33 ⎩
17
18
d+ : 决策值超过目标值的部分 d- ：决策值未达到目标值的部分 4 .目标规划的目标函数 min z = g ( d＋, d－ ) 三种基本形式： 三种基本形式： 目标类型 需要极小化 的偏差变量 fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi d＋ 目标规划格式
例2 引例的目标规划模型： 引例的目标规划模型： 例2
16
硬约束 2 . 绝对约束、目标约束 绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束 绝对约束 目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作 目标约束 要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负 的偏差 软约束 例如，原材料的价格不断上涨，增加供应会使成 本提高。故不考虑再购买原材料 从而 2 x1 + x2 ≤11 是硬约束
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多目标优化设计方法PPT39页
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
第七章多目标函数的优化设计方法
第9章 多目标函数的优化设计方法Chapter 9 Multi-object Optimal Design在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。
与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。
因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。
9.1 多目标最优化模型9.1.1 问题举例例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。
已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元；根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。
问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；工厂获得最大利润；满足市场对1号品尽可能多地要求。
为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。
9.1.2 基本概念如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若)(min{)(*x f x f j j ≤S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m成立，则称*x 为非劣解。
若不存在一个方向，同时满足：0)(*≤*∇s x f (目标函数值下降0)(*≤*∇s x g (不破坏约束)图9.1则称*x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。
这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。
多目标优化的数学模型：T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(min 21=--S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m0)(=x h v v=1,2,……….p式中：)(X F 是向量目标函数。
多目标优化
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
m F ( x ) f 1 i ( x ) n f 2 ( x ) f m ( x ) T
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变
量，；l2是又l1与l2a的0函2l1 数c，o 故0ls 2也
为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
x l1 0 T x 1x 2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j*优目m x标Di函fnj(数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
最优化-第7章-多目标及离散变量优化方法PPT课件
0.7 满
意 区
0.3 间
较 满 意 区
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
多目标最优化模型
第六章最优化数学模型§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念1. 2最优化问题分类1. 3最优化问题数学模型§ 2经典最优化方法2. 1无约束条件极值2. 2等式约束条件极值2. 3不等式约束条件极值§ 3线性规划3. 1线性规划3. 2整数规划§ 4最优化问题数值算法4. 1直接搜索法4. 2梯度法4. 3罚函数法§ 5多目标优化问题5. 1多目标优化问题5. 2单目标化解法5. 3多重优化解法5. 4目标关联函数解法5. 5投资收益风险问题第八早最优化冋题数学模§ 1最优化问题1. 1最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为X1,X2, ,X n ；我们常常也用X =（X1,X2，…，X n）表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时, 这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 g j (X)=o, i =1,2- ,m 不等式约束条件hj(X) _o,i =12…,r 或 h j (X)乞 0,i =1,2,…,r注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不 等式约束条件h(X) 0或h(X)：：：0。
多目标优化
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§5.2 协调函数法
② 多目标函 1,2,, q
s.t. gu x 0 u 1,2,, m
hv x
fv x
f0 v
0
v 1,2,, q 1
v j
其中
f0 v
fv x * f j
为理想的合理值，是 fv x *的让步。
f1 x max y h min y y h
0.1m
y
min
0.3m 0.5m
0.5m
d1 1 d1 0.7 d1 0.3 d1 0
2. E点水平分速度的变化率越小越好
f2
x
max
vx
min
3. 货物对支点A所引起的倾覆力矩差越小越好
f3x max M min
这三个要求都属于第二类功效函数。
标函数表达式如下：
min .
s
wj
f
j
x
F
x
j 1 q
wj f jx
j s 1
o wj 1
四. 线性加权组合法：
min.
F
x
S
wj
j 1
f j (x)
q j s 1
wj f j (x)
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§5.3 统一目标函数法
五. 目标函数的规格化：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。 以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数 值规范在 [0,1] 之间。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。
多目标优化设计方法(ppt 40页)
di
(
fi
(X))
f (2) i
fi (X)
f (2) i
f (1) i
fi
(X)
f (1) i
f (2) i
f (1) i
(i 1,2,...,S) (i S1,...,L)
则可得功效函数为
X(x1,x2,...xn)T
max f (X)L d1(f1(X))d2(f2(X))...dL(fL(X))
h j ( X ) 0 ( j 1, 2, ..., k )
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有L个子目标函数中选出一个设
计者认为最重要的作为主要目标函数，而将其余L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
将多目标优化问题转 化为一系列单目标优 化问题的求解方法：
分层序列法 宽容分层序列法
7.5 分层序列法及宽容分层序列法（续）
一、分层序列法
1、基本思想
将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次，按 照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求 最优解，只是后一目标应在前一目标最优解的集合域 内寻优。
7.4 功效系数法
一、功效系数 极小值
多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值 一个合适的数值
每个子目标都用一个功效函数di表示 f(X )Ld 1 d 2 d L ——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
构造评价函数。
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7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1* , F2* , Ft* ，然后确定表示各目 标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化 min 成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 X x1 , x 2 , x t , 即为原问题的最优解
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
2
约束条件 2 [ ]
2d 65 d D 88
4C 8
(C D / d )
强度约束 筒体内径约束 旋绕比约束 变形约束
约束条件
r 2 [( 1 ) 2 (
x 2 x2 2 ) ] min 2 x1 H 0
2 1
0 --弹簧材料的脉动疲劳极限 ； 1 2 --最大、最小交变载荷F1,F2产生的切应力 W ( / 4)d 2 (D)ng 1.925105 x12 x2 x3 重量最轻
例7-1 生产计划问题 某工厂生产 n种产品：1号品、2号品、...、 n号品。 已知： 该厂生产i(i=1，2，….n)号品的生产能力是 ai吨/小时； 生产一吨 i(i=1，2，….n)号品可获利润 ci元； 根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi (i=1，2，….n)小时。 根据所给的已知条件，可以把问题中希望追求的三个目标用数量关系描述如下： (1)加班时间 (2)总利润
i 1, 2, , t ，或难以估计目标函数
的上下限时，也可以取下限值为零，上限值为 i Fi ( X 0 )，则称 Fi ( i i ) / 2 i 1, 2, , t 为各目标的容限，各权系数为Wi 1 i 1, 2, , t 。 2
(Fi )
这种取法的原理是，当某个目标函数值变化愈大时，其相应的容限就愈大，权系数就愈小。 这样选取权系数将起到平衡各目标函数量级的作用。
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
T
T=208小时
T
解：根据所给数据，该优化问题的数学模型为
V minF1 , F2 , F3 x1 x2 x3 208 , 15x1 14x2 12x3 , 3x1
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0
T 其中 F ( X ) F1 ( X ), F （ , , Ft ( X ) 2 X）
F 0 F10 , F20 , , Ft 0
T
符号v--appr表示逼近
7.2 多目标优化数学模型的解
多目标问题的解与单目标问题的解有根本不同的概念。 如图7.1所示的五个解1，2，3，4，5 1---绝对最优解； 2、3---非劣解； 4、5---劣解。 因为能得到象1点这样理想解的情况极少，非劣解就成为有效解了。然而，非劣解往往不 止一个，多目标最优化的解一般需从满足条件的多个非劣解中产生。
l F11 ( X ), , Fl11 ( X ); F12 ( X ),, Fl22 ( X );, F1l ( X ), , FlL (X )
i 1
一号品产量
a1 x1 Y
l1 l 2 l L t
目标规划模型为
V apprF( X ) F 0
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0 u 1, 2, , m v 1, 2, , p n
这是另一类多目标最优化模型。与前面二种 模型不同的是，这类模型并不是考虑对各个 hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n 目标进行极小化或极大化，而是希望在约束 2.分层多目标最优化模型 条件的限制下，每一个目标都尽可能地接近 特点是按不同的优先级分层次进行最优化。 于事先给定的各自对应的目标值。 例如上节例1中 例如在上节的例1中 n 第一优先层次——工厂获得最大利润； ( xi T ) T 生产总工时 第二优先层次——工人加班时间尽量地少； i 1 n 第三优先层次——满足市场对一号品的需求。 总利润 ci a i xi Q 一般对于t>1个目标函数
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
2 V min ( x1 x2 , x12 x2 )
评价函数为
W F
i 1 i
i
min
设决策者认为成本目标比重量目标重要。因此，给相应的权系数为W1 =0.3 ,W2=0.7, 评价函数为
W F 0.3x x
i 1 i i
2
1 2
2 0.7( x12 x2 )
, 0.7547 )T 用单目标优化算法可以求得最优解为 X ( x1 , x2 )T (1.1511
i 1, 2, , t 2)分别对各分目标函数求最小化得F(X*) ,取各权系数为 Wi 1 F ( X * ) 3) 先把加权因子Wi分成二部分，即 Wi=W1i*W2i，第一项W1i用来反映各项设计指标的重要
程度，可以用方法(1)或(2)来确定；第二项W2i用来调整各分目标，即函数在量级差别上的 影响，并在迭代过程中逐步加以校正，可取
x
i 1 n
n
i
T min
i i
x ---生产总工时
i 1 i
n
a c x
i 1 i
max
(3)
a1 x1 max
约束条件
ai xi bi i 2, ..., n
xi 0
i 1, 2, ..., n
最大销售量限制
Байду номын сангаас
x
i 1
n
i
T
避免工厂开工不足
生产时间非负 例7-2 钢梁的设计问题 把一根圆钢加 例7-3 圆柱螺旋弹簧的优化设计 设计这种弹簧 工成矩型截面的梁。为了使钢梁满足 时除选择材料及规定热处理要求外，主要根据最 一定的规格、应力及强度条件，要求 大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹 其高度不超过H，截面惯性矩不小于W， 簧的钢丝直径d, 弹簧中径D以及工作圈数n。 T T 横截面的高度介于其宽度及4倍宽度的 X d D n x1 x2 x3 解 设计变量 之间。问如何确定钢梁的尺寸，可使 0.75 1 疲劳安全系数 它 的 重 量 最 轻 ， 并 且 成 本 最 低 。 目标函数 S 0 设 所设计的梁横截面的高为x1,宽为x2 目标为 (1) 重量最轻 x1 x2 min (2)圆钢截面最小(成本最低)
T
s.t.
g u ( X ) 0 u 1, 2, , m hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n i 1, 2, , t Wi ( Fi Fi * ) ,
0
例7-5 用极大模理想点法求解例7-1的生产计划问题。设该厂共生产3种产品，各项数据为 a1=3吨/小时, a2=2吨/小时, a3=4吨/小时; c1=5万元, c2=7万元, c3=3万元; b1=240吨 , b2=250吨, b3=420吨;
0.8( 15x1 14x 2 12x3 4210 ) 0.1 3x1 240
0
求解这个单目标的线性规划问题，得
x , x , x ,
1 2 3
T
80, 125, 105, 10.2
T
3. 权系数的确定 权系数的选择至关重要 1)如果已知各目标函数值的变化范围为 i Fi ( X ) i
将原多目标问题转换成单目标问题处理 V min
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0