高中全程复习方略配套选修柯西不等式(人教A·数学理)浙江专用
高考数学理一轮复习 选考3-2 柯西不等式精品课件 新人教A版
可能性．
[例 4]
1 (2010· 全国Ⅰ)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－a .
n
5 1 (1)设 c＝2，bn＝ ，求数列{bn}的通项公式； an－2 (2)求使不等式 an<an＋1<3 成立的 c 的取值范围．
an－2 5 1 1 2an 4 [解] (1)an＋1－2＝2－a －2＝ 2a ， ＝ ＝ ＋2， an＋1－2 an－2 an－2 n n 即 bn＋1＝4bn＋2. 2 2 bn＋1＋3＝4(bn＋3)，又 a1＝1，
1 ． x ， y∈R ， 且 x2 ＋ y2 ＝ 10 ， 则 2x － y 的 取 值 范 围 为
________．
解析：(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－y)2， ∴－5 2≤2x－y≤5 2.
答案：[－5 2，5 2]
2．若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2
满足 b1<b2<…<bn，因为 b1，b2，…，bn 是互不相同的正整数，故 b1≥1， b2≥2，…，bn≥n. 1 1 1 又因为 1> 2> 2>…> 2， 2 3 n a2 a3 an b2 b3 bn 故由排序不等式，得 a1 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 ≥b1 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ≥1×1＋2×22＋3×32＋…＋n×n2＝1＋2＋3＋…＋n. [思维拓展] 应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序
数组，通常可以从函数单调性去寻找．
bc ca ab 即时训练 设 a、b、c 都是正数，求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c
证明：不妨设 a≥b≥c>0， 1 1 1 ∴ab≥ac≥bc，c≥b≥a. 1 1 1 1 1 1 由排序原理，知 ab×c ＋ac×b＋bc×a≥ab×b＋ac×a＋bc×c ， ab ac bc 即 c ＋ b ＋ a ≥a＋b＋c.
2018_2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式复习课件新人教A版选修4_
难点突破
【规范解答】 因为 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，令 m＝( 13a＋1， 13b＋1， 13c＋1)， n＝(1,1,1)， 则|m·n|2＝( 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2， |m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. ∵|m·n|2≤|m|2·|n|2， ∴( 13a＋1)＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2≤48， ∴ 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
【规范解答】 由于 a，b，c 为正实数，根据柯西不等式，知
(a＋2b＋3c)3＋1＋13＝[( a)2＋( 2b)2＋( 3c)2]
3 2＋12＋ 132
≥
3·
a＋1·
2b＋
1 3·
3c2＝(
3a＋
2b＋
c)2，
∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤1332，
难点突破
即
3a＋
2b＋
13 c≤ 3
3，当且仅当
随堂检测
(2)由(1)知 a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得 41a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2×2＋b3×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，即41a2＋19b2＋c2≥87.
11 当且仅当22a＝33b＝1c，即 a＝87，b＝178，c＝27时等号成立，故14a2＋91b2＋c2 的最小值是87.
难点突破
【规范解答】 由于不等式关于 a，b，c 对称，可设 a≥b≥c>0.于是 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 由排序不等式，得反序和≤乱序和，即 a2·1a＋b2·1b＋c2·1c≤a2·1b＋b2·1c＋c2·a1， 及 a2·1a＋b2·1b＋c2·1c≤a2·1c＋b2·1a＋c2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原不等式．
版高中全程复习方略配套课件选修4 51不等式和绝对值不等式人教A版·数学理浙江专用
【即时应用】 （1）思考：|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|、|a|+|b|之间 有什么关系？ 提示：|a+b|≥|a|-|b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
（2）已知|a|≠|b|, m a b ,n a b , 则m,n之间的关系
ab
ab
a<0
|x|<a
{x|-a＜x＜a}
Ø
Ø
|x|>a
{x|x＞a或x＜-a} {x∈R|x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用 基本不等式求一些特定函数的最（极）值.
1.利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函 数的最值是考查的重点. 2.利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式 或证明不等式是考查的重点，也是难点. 3.常以填空题或解答题的形式出现，属低、中档题.
1.不等式的基本性质
对称性
a>b ⇔b<a
传递性
a>b,b>c ⇒ a>c
可加性 可乘性 可乘方性 可开方性
a>b ⇔ a+c>b+c ① a>b,c>0 ⇒ ac>bc ② a>b,c<0 ⇒ ac<bc a>b>0 ⇒ an>bn(n∈N,n≥2)
a>b>0 ⇒ n a n b (n∈N,n≥2)
(浙江专用)版高考数学 5.3柯西不等式课时体能训练 理 新人教A版选修4
- 1 - 【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 5.3柯西不等式课时体能训练 理 新人教A 版选修4 1.(2012·南京模拟)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值. 2.已知x ，y ，z 为正实数，且1x ＋1y ＋1z＝1，求x ＋4y ＋9z 的最小值及取得最小值时x ，y ，z 的值. 3.若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝6，求2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值.4.设P 是三角形ABC 内的一点，x ，y ，z 是P 到三边a ，b ，c 的距离，R 是△ABC 外接圆的半径，证明x ＋y ＋z ≤12R a 2＋b 2＋c 2. 5.已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ≤|x－2|＋|x －m|对任意的x∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.6.(易错题)已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋3z ＝7，(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)设|2t －1|＝x 2＋y 2＋z 2，求实数t 的取值范围.7.已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0. (1)求证：a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c)214； (2)求实数m 的取值范围.8.设a ，b ，c ，d 是4个不全为零的实数，求证：ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d 2≤2＋12. 9.已知函数f(x)＝x ＋1x －1，x>1，且不等式f(x)≥a 2＋b 2＋c 2对任意x>1恒成立. (1)试求函数f(x)的最小值；(2)试求a ＋2b ＋2c 的最大值.10.(2012·南安模拟)将12 cm 长的细铁线截成三条长度分别为a 、b 、c 的线段，(1)求以a 、b 、c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值；(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.答案解析1.【解析】因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，。
浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式
课题： 第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i n i i n i i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
高中数学人教A版选修课件：3.2 一般形式的柯西不等式
21
1 +2
22
2-1
+
+⋯+
2 +3
-1 +
2
+
+1
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]·
2
2 +3
2
+
3
3 +4
2
+…+
-1
-1 +
2
2
1
1 +2
+1
+
=
2
+
1
2
· =
们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应
用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等
式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.
2.正确利用“1”
剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应
该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代
1 +2
1 +2
.
4
=
1
a≥2 − , 当且仅当a=1
1
2
· 1
2 1 +2
≥
1
2
2-
1 +2
21
时,
= 1 −
22
+
同理,有 + ≥a2 − 2 4 3 ,
2
3
……
2
-1
-1 +
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当 ＝ ＝ ，即 1 2 1 5 5 x＝ ，y＝ 时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝ ，y＝ . 2 6
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
高考数学(人教新课标理科)总复习配套课件选修4-5-2_不等式的证明与柯西不等式
第2课时2013•考纲下载I|1・了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放III缩法、数学归纳法.II| 2•了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式.III 3•能利用均值不等式求一些特定函数的极值.II请注意!［不等式的证明是中学数学的难点.III用.II柯西不等式只要求会简单应»»课前自助餐««KEQIAN ZIZHUCAN课本导读KEBEN DAODU 新课标版|f1.证明不等式的方法⑴比较法；(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法.2.几个常见不等式(1)平均值不等式(2)贝努利不等式若xWR，且x>— 1,兀工0，n>\, 则(1 +x),7>l -\~nx.(3)柯西不等式①设％"2,…，%, »如・・・,乞是实数,则&+空+・・・n+册员+员+・・・+肋上竺当且仅当岗=0(=1,2,・・・, ")或存在一个数匕使得di=kbi(i=\,2,…，砒时,等号成立.②柯西不等式的向量形式：设P是两个向量，贝I」kz/lW 岡皿.当且仅当〃是零向量，或存在实数匕使a = kp时，等号成立.教材回归 JIAOCAI HUIGUI -r- 1 1-r 1 . 1 a , b n r 1-已知且币+帀'芹+卫'则 () B. M>N D ・不确定M 、N 的大小关系是 A. M<N C. M=N 答案 B解析由已知得0<ab< 1, ,z 1.1 a 故必_并=芹+帀-芹- 1—a 1—b 2(1—ab)1+Q +1+Z?(1 + Q )( 1 + b)>°・b 1+b故M>N・2.若兀，yWR且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是() A・3苛 B. 1+2边C. 6D. 7答案D3.已知a, b, c 是正实数，且iz + Z?+c=l,贝lj~+|+-的 a b c最小值为 （）A ・3B ・6C ・9D ・12答案c解析 1,1,1 o + b + c , o + b + c , o + b + c, b , a + z + =+ Z + =3 + ( + Ja b c ab c'a b、c 、a 、 c 、b 、 , , ,+（尹7）+（尹7&3+2+2+2F.4-已知儿丁均为正数,大值是A. 8C. 10答案C且无+y=2,贝b+4屈+令的最() B. 9D・11解析x+4寸6 + 4y = (\fx+2\[y)2 <(12 + 22)[(A/X)2 + (^/y)2] = 5(x+y) = 5X2= 10..••x+4#云+4y W10.当且仅当IX心=2&.即y=4x(x>0)时等号成立.y=4x, 2解|丄 c 得符合[x+y=2,、•••x+4寸云+4y的最大值为10,故应选C.5.函数y=3、Jx 1+4寸5 x的取大值为（）A・10 B. 15C. 18D. 20答案A解析根据柯西不等式，得/ = （3^1 + 4 书二^）2 W （32 + 4?）[（尸T ）2 +（7^7）2]= 25X4.•••応10, •••选 A.题型一放缩法证明不等式例1 设£=寸门门+佰^+书齐——寸啥+1)，求证:|H(/I +1 )<5<|w(n+2).• (z +*¥乂 i +SM Q・•••(z +金丄(I+&+:±+5+E TZ +: •+ Z + Z + Z v s (I +S +K寸十 EE+zZ+I探究1放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在.（1）放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分; 每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和.（2）放缩法的注意事项：①舍去或加上一些项，如（a-②将分子或分母放大（缩小）,2 丄2yJJc+'k一 ]' 寸k+ ]"+ 丄 ] 1 ] 1 如氏伙—1)，产＞伙+1)‘乐EN\ £>1）等・③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略・一1——写+导+~+長(_4一+亘)_q —卫(_q _+_b _)_q —Q_||%+ I A I+B+T A —一q+D__q —B一 ——zq+m+J +W ——-%1%-|%+1「I飞+1「_H _ (qv-■题型二三个正数的算术——几何平均不等式问题■例2已知x^R+,求函数y=x(l—x2)的最大值.H h —「【思路】禾U用平均值不等式abcW(—)3(«>0, b>0, c>0）求解.【解析】Vy=x(l—%2),.•.y2=x2(l-?)2 = 2x2(l -X2)(1-X2)-|.T 2x2+(1 —%2) + (1 —x2) — 2、丿27 -当且仅当2#= 1—X2=l—X2,即X = ¥时，取"=”，• .ymax【证明】因为Q, 4 C 为正实数,1 1 1 3/ill由平均不等式可得/+戸+己鼻3〈/产•戸 1113 1 1 1 3即 r+乔+r 鼻一p •所 以 r +abc 三一p+abc. a b c abc a b cabc"思考题2设b,为正实数，求证：£+*+£+题型三柯西不等式的应用例3 (1)设a, b, c为正数且各不相等，求证：2 2 2 9o+b Z?+C C+Q>Q+/?+C・【思路】因为b、C均为正数，所以要结论正确只需证明2(a + b+c)()>9.a +b b~\~c C+QX q +W AX3+b3+qq+b)(u +q +b )云+s +(3+q )+(q +s =(3+q +b )z ・・・d A D +u ,0A 3+q,02+b -:当且仅当a + b = b + c=c+a, 即a=b —c 时，等号成立. 又仏C 各不相等，等号不成立,叩 2 229a~\~b Z?+c C +Q >Q + Z?+C ・•： 2(o + b+c)( 丄+丄+丄 a~\~bZ?+c C +Q )三9・ •： 2(Q + Z?+C )(a+b b+c c+o)>9,(2)已知实数a9 by c满足a+2b+c=l，tz2+/?2 + c2 = 1, 求c 的范围.【解析】方法一由a+2b=l—c, cr + b~=\~c1, 又由柯西不等式(/+/)( 12+2?)$(口+2仍2.即(1-C2)X5^(1-C)2.22•••所求的c的范围为[—吕1].整理得3C2-C-2<0,解得一方法二由Q=1—(2b+c)代入«2+Z?2+c2=l 中, 整理得5Z?2—4(1 —c)-Z?+2c2—2c=0.由于存在实数b使方程成立.•°・/ = 16(1 _c)2_40(c2_c)20,整理得3c2—c—2^0,解得一1.•••所求的c的范围为1]・探究2 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题.(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.息思考题3 设y三0, z三0,b、c、d、I、m、nI m n是给定的正数，并且ax+by^cz=3为常数，求血=；+£+?的最小值.【解析】由柯西不等式，得O + Vf F +（^1 尸］•［（価）2 + （换）2 +（辰）2］利用柯西不等式成立的条件，得兀=0^, z=其中’2问+盒+何它们使得ax+by+cz=^ 且血=(问+哼+佰)彳,所以血的最小值为(y]Hi+\l~bin+\[cn)23 ■墜［朮谯总结］对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.课时作业（九十四）。
高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修1
学 习 资 料 专 题二 一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2,3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝·⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )．在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2. 证明：根据柯西不等式，有 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.2．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝92.求证：1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.证明：法一：由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·9＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋a 12·≥⎝⎛1a 1＋a 2·a 1＋a 2＋1a 2＋a 3·a 2＋a 3＋⎭⎪⎫1a 3＋a 1·a 3＋a 12＝9，当且仅当(a 1＋a 2)2＝(a 2＋a 3)2＝(a 3＋a 1)2， 即a 1＝a 2＝a 3＝32时，等号成立，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. 法二：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1·33a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋a 1＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时，等号成立，又a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2×92≥9，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.(1)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求 x ＋ y ＋ z的最小值．(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． (1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值． (2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值． (1)∵x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时，等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27B ．2 3C ．4D ．5解析：选C ∵(x ＋2y ＋3z )2＝(1×x ＋2y ＋3·z )2≤(12＋22＋(3)2)＝8(x ＋y ＋z )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝14y ＝13z ＝14时，等号成立.∴x ＋2y ＋3z ≤4.4．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截才能使围成的三个正方形面积之和S 最小？请求出最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4，均为正数，三个正方形面积之和S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时，等号成立．又x ＋y ＋z ＝12，∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，最小值为3 m 2.课时跟踪检测(十)1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为( ) A ．18 B ．6 C ．－18D ．12解析：选C |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a ，b 最小，最小值－18.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋da )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立，∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5. 4．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为( ) A.87 B.78 C.47D.74解析：选A 由柯西不等式，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)， 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)，所以x 2＋y 2＋z 2≥87.当且仅当x ＝y －2＝z －3＝27时，等号成立，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时，等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1， 即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时，等号成立，故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.答案：137．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________．解析：由柯西不等式，得(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3， 即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时，等号成立． 又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3. 答案：4 38．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥36R 2. 证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)× ≥2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16.当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，等号成立，此时有最小值16.10．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．解：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z )2.又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z 13，即x ＝611，y ＝311，z ＝211时取等号，则|a －2|≤611，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.。
高中数学复习课件-5.4一般形式的柯西不等式-课件(人教A版选修4-5)
1 n (a1 a2
an )2 ≤ a12 a22
an2
例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证：
1 n (a1 a2
an )2 ≤ a12 a22
an2
证明：
(12 12 12 )(a12 a22 an2 )
≥ (1 a1 1 a2 1 an )2
2. 设 x, y R ,求证:
x2 y2 yx
x2
y2 yx
≥1
3.已知
x
2y
1 ,求
x2
y2
1
的最小值.
5
(当
x
1, 5
y
2 5
)
4.设
x,
y
R
,且
x+2y=36,求
1 x
2 y
的最小值．14 (x
12,
y
12)
5.求函数 y 2 1 x 2x 1 的最大值. 3 ( x 0)
49
6 32
证法二: 代入法
1 4 9 1 (x y z) 4 (x y z) 9(x y z)
xyz x
y
z
14 ( y 4x) ( z 9x ) (4z 9y) xy xz y z
14 4 6 12 36
当且仅当y 2x, z 3x,即x 1 , y 1 , z 1 时,等号成立. 6 32
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
课堂练习: P41 6. 设 x1, x2 ,
xn R , 且x1 x2
求证: x12 x22 xn2 ≥ 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
xn 1,
【全程复习方略】(浙江专用)高考数学 5.2证明不等式的基本方法配套课件 文 新人教A版选修4
三年3考
高考指数:★★
了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证
法、放缩法等.
利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、 三角、基本不等式联系在一起综合考查.
1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比 较法两种. a-b>0 a-b<0 ； (1)作差比较法的理论依据是a>b⇔______;a<b ⇔______ a-b=0 a=b⇔______. a>b (2)作商比较法的理论依据是b>0, a 1 ⇒____; a<b b<0, a 1⇒____.
2 4 1 c c 2 1 (1 c)c ( ) . 2 4 2 4
≨(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ 1 ,与假设矛盾. 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 1 .
4 64
(2)否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ______________. 【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、 二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含 “二奇一偶”的情况，故反设为a,b,c中至少有两个偶数或都
a 1 b 1 1 1 答案： a 1 b 1
2.综合法与分析法 (1)综合法 定理 、性质 已知条件 出发，利用_____ 定义 、公理、_____ 一般地，从_________
推理 、_____ 论证 而得出命题成立，这种证明方 等，经过一系列的_____
顺推证法 或由因导果法. 法叫做综合法.综合法又叫_________
(2)分析法 要证的结论 出发，逐步寻求使它成立_____ 充分 证明命题时，从___________ 已知条件 或___________________ 一个明显成立的事实 （定 条件 直至所需条件为_________ _____ 义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成 执果索因 的思考和 立，这种证明方法叫做分析法，这是一种_________ 证明方法.
最新-2021学年高中数学人教A版选修45课件：第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末复习 精品
例 4 已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝xyz，且不等式x＋1 y＋y＋1 z
＋z＋1 x≤λ 恒成立，求 λ 的取值范围.
解
x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤2
1＋ xy 2
1＋ yz 2
1 zx
＝121×
x＋zy＋z＋1×
x＋xy＋z＋1×
y x＋y＋z
1
≤12（12＋12＋12）x＋zy＋z＋x＋xy＋z＋x＋yy＋z2
x y＋z＋y z＋x＋z x＋y≤13(x＋y＋z)( y＋z＋ z＋x＋ x＋y)
≤13(x＋y＋z)· 3[（y＋z）＋（z＋x）＋（x＋y）]
＝ 36(x＋y＋z)32.而(x y＋z＋y z＋x＋z x＋y)·
yx＋z＋
zy＋x＋
xz＋y≥(x＋y＋z)2，
于是
yx＋z＋
zy＋x＋
xz＋y≥
2.三维形式的柯西不等式：(a21＋a22＋a23)(b21＋b22
＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.
3.柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，
b1，b2，b3，…，bn 为实数，则(a21＋a22＋…＋
1
1
a2n)2(b21＋b22＋…＋b2n)2≥|a1b1＋a2b2＋…＋
又由 0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b， 有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC). 得aAa＋＋bbB＋＋ccC＜π2.② 由①、②得原不等式成立.
题型三 排序不等式的应用 1.用排序不等式证明不等式的关键是根据问
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三年1考 高考指数:★ 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义 并会证明.
(1)柯西不等式的向量形式：|||||| (2)(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2
(3) （ x 1 x 2 ） 2 （ y 1 y 2 ） 2 （ x 2 x 3 ） 2 （ y 2 y 3 ） 2 (x1x3)2(y1y3)2(通常称为平面三角不等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
∴ 222 9 .
ab bc ca abc
由柯西不等式知，①中等号成立
ab 1
bc 1
ca 1
ab bc ca
a b b c c a a b c .
而题设中a,b,c不全相等，故①中等号不能成立, ∴ 222 9 .
ab bc ca abc
(2)∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(a2 b2 c2)d2
③三角形式
设x1,y1,x2,y2∈R,那么 x12y12x22y22_（ _x _1_ _x __2） _2_ （ __y_1__y_2） _2_. (2)三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 ) _(a_1_b1__ _a_2_b2___a_3b_3_)_2.当且仅当_b_1_=_b_2=_b_3_=_0_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_1_=_k_b_1,__ a_2_=_k_b_2_,_a_3=_k_b_3__时,等号成立.
【即时应用】
(1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成 a c 吗？
bd
提示：不可以.当b=d＝0时，柯西不等式成立，但a 不c 成立.
bd
(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)≥（ac+bd)2是柯西不等式吗？ 提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应 的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配， 因此要仔细体会，加强记忆.
柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 ①代数形式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(_a_c_+_b_d_)_2_,当且仅当 _a_d_=_b_c_时,等号成立. ②向量形式 设 , 是两个向量,则｜ ｜≤_｜ ___｜ __｜ ___｜ __,当且仅当 _ _是__零__向__量___，或__存__在__实__数__k_,_使_____k___时,等号成立.
1a 1b 1c 1d
≥ (1 aa 1 bb 1 cc 1 dd ) 2
1 a
1 b 1 c
1 d
=(a+b+c+d)2=1,
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)
＝4+(a+b+c+d)=5,
5( a2 b2 c2 d2 ) 1. 1a 1b 1c 1d
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
（3）一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数, 则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 b n 2 ) _(a _1 _b 1 _ __a_2 b _2 _ _a _3 _b _3 _ _ ____a_nb_n_)_2 ,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_ k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_时,等号成立.
(3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为______. 【解析】（4x2+9y2）·（12+12）≥（2x+3y）2=1
∴ 4x2 9y2 1.
2
答案：1
2
利用柯西不等式证明不等式 【方法点睛】
利用柯西不等式的解题方法 (1)柯西不等式的一般结构为 ( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b n 2 ) (a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n )2 ,在利用柯西不等式证明不等式（或比较大 小）时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件 正确解题.
2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
n
n
n
ai2 bi2( aibi)2
i1
i1
i1
3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一
些特定函数的极值.
1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解 决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点. 2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本 节的难点、重点. 3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.
【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数 ab, b和c, ca 1 , 1 不,但1需要,较高的观察能力，而且应从所给
【规范解答】构造两组数 a b , b c ,c a ; 1, 1, 1,
a bb c c a
由柯西不等式得：
（ a b b c c a （ )1 1 1 ） （ ①1 1 1 ） 2
a bb cc a
即 2 a b c （ 111） 9 ，
a bb cc a
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
【解题指南】(1)根据题目条件，可构造两组数据 ab, bc, ca; 1 , 然1后,利1 用柯,西不等式解决.
ab bc ca
(2)因为a+b+c+d＝1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)＝5，
故可构造数组，利用柯西不等式证明.
（2）使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它 的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致 形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩 小.
【例1】(1)设a,b,c为正数，且不全相等，求证： 2 2 2
ab bc ca 9. abc
(2)已知a,b,c,d均为正实数，且a+b+c+d=1，求证：