高中全程复习方略配套选修柯西不等式(人教A·数学理)浙江专用
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第三节 柯西不等式
三年1考 高考指数:★ 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义 并会证明.
(1)柯西不等式的向量形式：|||||| (2)(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2
(3) （ x 1 x 2 ） 2 （ y 1 y 2 ） 2 （ x 2 x 3 ） 2 （ y 2 y 3 ） 2 (x1x3)2(y1y3)2(通常称为平面三角不等式)
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
【解题指南】(1)根据题目条件，可构造两组数据 ab, bc, ca; 1 , 然1后,利1 用柯,西不等式解决.
ab bc ca
(2)因为a+b+c+d＝1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)＝5，
故可构造数组，利用柯西不等式证明.
【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数 ab, b和c, ca 1 , 1 不,但1需要,较高的观察能力，而且应从所给
【即时应用】
(1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成 a c 吗？
bd
提示：不可以.当b=d＝0时，柯西不等式成立，但a 不c 成立.
bd
(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)≥（ac+bd)2是柯西不等式吗？ 提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应 的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配， 因此要仔细体会，加强记忆.
2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
n
n
n
ai2 bi2( aibi)2
i1
i1
i1
3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一
些特定函数的极值.
1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解 决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点. 2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本 节的难点、重点. 3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.
∴ 222 9 .
ab bc ca abc
由柯西不等式知，①中等号成立
ab 1
bc 1
ca 1
ab bc ca
a b b c c a a b c .
而题设中a,b,c不全相等，故①中等号不能成立, ∴ 222 9 .
ab bc ca abc
(2)∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(a2 b2 c2)d2
③三角形式
设x1,y1,x2,y2∈R,那么 x12y12x22y22_（ _x _1_ _x __2） _2_ （ __y_1__y_2） _2_. (2)三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 ) _(a_1_b1__ _a_2_b2___a_3b_3_)_2.当且仅当_b_1_=_b_2=_b_3_=_0_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_1_=_k_b_1,__ a_2_=_k_b_2_,_a_3=_k_b_3__时,等号成立.
【规范解答】构造两组数 a b , b c ,c a ; 1, 1, 1,
a bb c c a
由柯西不等式得：
（ a b b c c a （ )1 1 1 ） （ ①1 1 1 ） 2
a bb cc a
即 2 a b c （ 111） 9 ，
a bb cc a
（2）使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它 的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致 形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩 小.
Fra Baidu bibliotek 【例1】(1)设a,b,c为正数，且不全相等，求证： 2 2 2
ab bc ca 9. abc
(2)已知a,b,c,d均为正实数，且a+b+c+d=1，求证：
(3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为______. 【解析】（4x2+9y2）·（12+12）≥（2x+3y）2=1
∴ 4x2 9y2 1.
2
答案：1
2
利用柯西不等式证明不等式 【方法点睛】
利用柯西不等式的解题方法 (1)柯西不等式的一般结构为 ( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b n 2 ) (a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n )2 ,在利用柯西不等式证明不等式（或比较大 小）时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件 正确解题.
柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 ①代数形式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(_a_c_+_b_d_)_2_,当且仅当 _a_d_=_b_c_时,等号成立. ②向量形式 设 , 是两个向量,则｜ ｜≤_｜ ___｜ __｜ ___｜ __,当且仅当 _ _是__零__向__量___，或__存__在__实__数__k_,_使_____k___时,等号成立.
1a 1b 1c 1d
≥ (1 aa 1 bb 1 cc 1 dd ) 2
1 a
1 b 1 c
1 d
=(a+b+c+d)2=1,
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)
＝4+(a+b+c+d)=5,
5( a2 b2 c2 d2 ) 1. 1a 1b 1c 1d
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
（3）一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数, 则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 b n 2 ) _(a _1 _b 1 _ __a_2 b _2 _ _a _3 _b _3 _ _ ____a_nb_n_)_2 ,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_ k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_时,等号成立.
三年1考 高考指数:★ 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义 并会证明.
(1)柯西不等式的向量形式：|||||| (2)(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2
(3) （ x 1 x 2 ） 2 （ y 1 y 2 ） 2 （ x 2 x 3 ） 2 （ y 2 y 3 ） 2 (x1x3)2(y1y3)2(通常称为平面三角不等式)
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
【解题指南】(1)根据题目条件，可构造两组数据 ab, bc, ca; 1 , 然1后,利1 用柯,西不等式解决.
ab bc ca
(2)因为a+b+c+d＝1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)＝5，
故可构造数组，利用柯西不等式证明.
【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数 ab, b和c, ca 1 , 1 不,但1需要,较高的观察能力，而且应从所给
【即时应用】
(1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成 a c 吗？
bd
提示：不可以.当b=d＝0时，柯西不等式成立，但a 不c 成立.
bd
(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)≥（ac+bd)2是柯西不等式吗？ 提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应 的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配， 因此要仔细体会，加强记忆.
2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
n
n
n
ai2 bi2( aibi)2
i1
i1
i1
3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一
些特定函数的极值.
1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解 决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点. 2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本 节的难点、重点. 3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.
∴ 222 9 .
ab bc ca abc
由柯西不等式知，①中等号成立
ab 1
bc 1
ca 1
ab bc ca
a b b c c a a b c .
而题设中a,b,c不全相等，故①中等号不能成立, ∴ 222 9 .
ab bc ca abc
(2)∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(a2 b2 c2)d2
③三角形式
设x1,y1,x2,y2∈R,那么 x12y12x22y22_（ _x _1_ _x __2） _2_ （ __y_1__y_2） _2_. (2)三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 ) _(a_1_b1__ _a_2_b2___a_3b_3_)_2.当且仅当_b_1_=_b_2=_b_3_=_0_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_1_=_k_b_1,__ a_2_=_k_b_2_,_a_3=_k_b_3__时,等号成立.
【规范解答】构造两组数 a b , b c ,c a ; 1, 1, 1,
a bb c c a
由柯西不等式得：
（ a b b c c a （ )1 1 1 ） （ ①1 1 1 ） 2
a bb cc a
即 2 a b c （ 111） 9 ，
a bb cc a
（2）使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它 的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致 形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩 小.
Fra Baidu bibliotek 【例1】(1)设a,b,c为正数，且不全相等，求证： 2 2 2
ab bc ca 9. abc
(2)已知a,b,c,d均为正实数，且a+b+c+d=1，求证：
(3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为______. 【解析】（4x2+9y2）·（12+12）≥（2x+3y）2=1
∴ 4x2 9y2 1.
2
答案：1
2
利用柯西不等式证明不等式 【方法点睛】
利用柯西不等式的解题方法 (1)柯西不等式的一般结构为 ( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b n 2 ) (a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n )2 ,在利用柯西不等式证明不等式（或比较大 小）时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件 正确解题.
柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 ①代数形式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(_a_c_+_b_d_)_2_,当且仅当 _a_d_=_b_c_时,等号成立. ②向量形式 设 , 是两个向量,则｜ ｜≤_｜ ___｜ __｜ ___｜ __,当且仅当 _ _是__零__向__量___，或__存__在__实__数__k_,_使_____k___时,等号成立.
1a 1b 1c 1d
≥ (1 aa 1 bb 1 cc 1 dd ) 2
1 a
1 b 1 c
1 d
=(a+b+c+d)2=1,
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)
＝4+(a+b+c+d)=5,
5( a2 b2 c2 d2 ) 1. 1a 1b 1c 1d
a2 b2 c2 d2 1. 1a 1b 1c 1d 5
（3）一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数, 则 ( a 1 2 a 2 2 a 3 2 a n 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 b n 2 ) _(a _1 _b 1 _ __a_2 b _2 _ _a _3 _b _3 _ _ ____a_nb_n_)_2 ,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_ k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_时,等号成立.