2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)

2019年南通市中考数学试题、答案（解析版）(满分：150分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.比2-℃低的温度是( )A .3-℃B .1-℃C .0℃D .1℃ 2.化简12的结果是( )A .43B .23C .32D .26 3.下列计算,正确的是( )A .236a a a =B .22a a a -=C .623a a a ÷=D .()326a a =4.如图是一个几何体的三视图,该几何体是( )A .球B .圆锥C .圆柱D .棱柱 5.已知a 、b 满足方程组324236a b a b +=⎧⎨+=⎩，，则a b +的值为( )A .2B .4C .2-D .4- 6.用配方法解方程2890x x ++=,变形后的结果正确的是( )A .2(4)9x +=-B .2(4)7x +=-C .2(4)25x +=D .2(4)7x +=7.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习：首先画数轴,原点为O ,在数轴上找到表示数2的点A ,然后过点A 作AB OA ⊥,使3AB =(如图).以O 为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴正半轴于点P ,则点P 所表示的数介于 ( )A .1和2之间B .2和3之间C .3和4之间D .4和5之间(第7题)(第8题)8.如图,AB CD ∥,AE 平分CAB ∠交CD 于点E ,若70C ∠=︒,则AED ∠度数为 ( ) A .110︒B .125︒C .135︒D .140︒ 9.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s (单位：m )与时间t (单位：min )的函数图像,其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确．．．的是( )A .25min ～50min ,王阿姨步行的路程为800 mB .线段CD 的函数解析式为：32400(2550)s t t =+≤≤C .5min ～20min ,王阿姨步行速度由慢到快D .曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤ 10.如图,ABC △中,2AB AC ==,30B ∠=︒,ABC △绕点A 逆时针于点旋转()0120αα︒︒＜＜得到AB C ''△,B C ''与BC 、AC 分别交像大D 、E .设+=CD DE x ,AEC '△的面积为y ,则y 与x 的函数图致为( )ABCD二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.)11.计算202(31)--= .12.5G 信号的传播速度为300 000 000m/s ,将300 000 000用科学记数法表示为 . 13.分解因式：3x x -= .14.如图,ABC △中,AB BC =,90ABC ∠=︒,F 为AB 延长线上一点,点E在BC 上,且AE CF =,若25BAE ∠=︒,则ACF ∠= 度.15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有人共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱；如果每人出六钱,那么少了十六钱.问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡,根据题意,可列一元一次方程为 .16.已知圆锥的底面半径为2cm ,侧面积为210π cm ,则该圆锥的母线长为 cm . 17.如图,过点(3,4)C 的直线2y x b =+交x 轴于点A ,90ABC ∠=︒,AB CB =,曲线(0)ky x x =＞过点B ,将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上,则a 的值为 .(第17题)(第18题)18.如图,□ABCD 中,60DAB ∠=︒,6AB =,2BC =,P 为边CD 上的一动点,则2PB PD +的最小值等于 .三、解答题(本大题共10小题,共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)解不等式4113x x --＞,并在数轴上表示数集.20.(本小题满分8分)先化简,再求值：2442m m m m m ++⎛⎫+÷⎪⎝⎭,其中2m =.21.(本小题满分8分)如图,有一池塘,要测池塘两端A 、B 的距离,可先在平地上取一个点C ,从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B .连接AC 并延长到点D ,使CD CA =.连接BC 并延长到点E ,使CE CB =.连接DE ,那么量出DE 的长就是A 、B 的距离.为什么？22.(本小题满分9分)第一盒中有2个白球、1个黄球,第二盒中有1个白球、1个黄球,这些球除颜色外无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球,求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率.23.(本小题满分8分)列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化,某校购进《西游记》和《三国演义》若干套,其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元,用3 200元购买《三国演义》的套数是用2 400元购买《西游记》套数的2倍,求每套《三国演义》的价格.24.(本小题满分10分)8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试,并将成绩进行了统计,绘制了如下图表(得分为整数,满分为10分,成绩大于或等于6分为合格,成绩大于或等于9分为优秀).根据图表信息,回答问题：(1)用方差推断, 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断, 班的阅读水平更好些；(2)甲同学用平均分推断,一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断,二班阅读水平更好些.你认为谁的推断比较科学合理,更客观些.为什么？25.(本小题满分9分)如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,1BC =,以边AC 上一点O 为圆心,OA 为半径的O ⊙经过点B . (1)求O ⊙的半径；(2)点P 为AB 中点,作PQ AC ⊥,垂足为Q ,求OQ 的长； (3)在(2)的条件下,连接PC ,求tan PCA ∠的值.26.(本小题满分10分)已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数).(1)请写出该二次函数的三条性质；________________ _____________(2)在同一直角坐标系中,若该二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图像有两个交点,求a 的取值范围.27.(本小题满分13分)如图,矩形ABCD 中,2AB =,4AD =.E 、F 分别在AD 、BC 上,点A 与点C 关于EF 所在的直线对称,P 是边DC 上的一动点. (1)连接AF 、CE ,求证：四边形AFCE 是菱形； (2)当PEF △的周长最小时,求DPCP的值； (3)连接BP 交EF 于点M ,当45EMP ∠=︒时,求CP 的长.28.(本小题满分13分)定义：点(, )M x y ,若x 、y 满足222,2x y t y x t =+=+,且x y ≠,t 为常数,则称点M 为“线点”.例如,点(0,2)-和(2,0)-是“线点”. 已知：在直角坐标系xOy 中,点(,)P m n .(1)1(3,1)P 和2(3,1)P-两点中,点 是“线点”； (2)若点P 是“线点”,用含t 的代数式表示mn ,并求t 的取值范围；(3)若点Q (n ,m )是“线点”,直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,当||30POQ AOB ∠-∠=︒时,直接写出t 的值.2019年南通市中考数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】两个负数，绝对值大的反而小，因此3-比2-小，故选A . 【考点】有理数的大小比较 2.【答案】B==B . 【考点】二次根式的化简 3.【答案】D【解析】A 项正确结果应该是5a ； B 项不是同类项，不能合并；C 项同底数幂除法，底数不变，指数相减，正确答案应该是4a ；D 项正确运用了幂的乘方公式，正确. 故选D .【考点】幂的运算法则 4.【答案】C【解析】球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两个是三角形，一个是圆，不符合；棱柱的三视图中没有圆，也不正确，故选C . 【考点】几何体的三视图 5.【答案】A【解析】直接将两个方程相加，可得5510a b +=，化简得65a +=，故选A . 【考点】二元一次方程组 6.【答案】D【解析】首先要移项，得289x x +=-，然后两边同时加上一次项系数一半的平方16，得28167x x ++=，然后将左边化为平方的形式，故选D .【考点】配方法解一元二次方程 7.【答案】C【解析】由作法过程可知，2,3OA AB ==，利用勾股定理可得OB =，则P 点所表示的数C . 【考点】勾股定理和无理数的估值 8.【答案】B【解析】由AB CD ∥，可知180BAC C ∠+∠=︒，所以110BAC ∠=︒，又由于AE 平分BAC ∠，所以55CAE ∠=︒，所以125AED C CAE ∠=∠+∠=︒. 【考点】平行线的性质和角平分线的性质 9.【答案】C【解析】C 项的图像由陡变平，说明速度是由快变慢的，故选C . 【考点】函数图像的应用问题 10.【答案】B【解析】从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形，CD B D '=，因此B E x '=，又由已知条件可求得B C ''=，所以C E x '=，对于AC E '△来说，底为CE ，高是AH ，可利用30︒所对直角边等于斜边一半求得等于1，所以12y x =，故选B . 【考点】几何综合题，全等和函数的知识，轴对称的知识 二.填空题 11.【答案】3【解析】2021)413-=-=. 故答案为：3. 【考点】实数的计算 12.【答案】8310⨯【解析】8300 000 0003100000000310=⨯=⨯， 故答案为：8310⨯. 【考点】科学记数法 13.【答案】(1)(1)x x x +-【解析】先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，()32(1)(11)x x x x x x x -==--+. 故答案为：(1)(1)x x x +-. 【考点】因式分解 14.【答案】70【解析】先利用HL 证明ABE CBF △≌△，可证25BCF BAE ∠=∠=︒，再由AB BC =，90ABC ∠=︒，得出45BCA ∠=︒，即可求出704525BCA +∠︒==︒︒.故答案为：70. 【考点】全等的判定 15.【答案】911616x x -=+【解析】总钱数=9⨯人数-11；总钱数=6⨯人数+16. 故答案为：9 11 6 16x x -=+. 【考点】一元一次方程的应用16.【答案】5【解析】根据πS Rr =侧，可知10ππ2R =⨯⨯，可求得5R =. 故答案为：5.【考点】圆锥侧面积公式 17.【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N .将(3,4)C 代入2y x b =+，可得2b =-，然后求得A 点坐标为(1,0)，利用全等的判定可证明ABN BCM △≌△，可得3AN BM ==，1CM BN ==，可求出B(4,1)，即可求出4k =，A 点向上平移4个单位后得到的点(1,4)在4y x=，即4a =. 故答案为：4.（第17题）【考点】反比例函数与几何图形的综合18.【答案】【解析】过点P 作PQ AD ⊥于Q ，由于60PDQ ∠=︒，因此PQ =，当B 、P 、Q 三点共线时，即点B 到AD 的垂线段长即为PB +的最小值，PB +的最小值为sin60AB ⨯︒=，故答案为：（第18题）【考点】平行四边形的性质和线段之和最短 三、解答题19.【答案】解：两边同乘以3，得4133x x --＞. 移项，得4331x x -+＞.合并同类项，得4x ＞. 把解集在数轴上表示为：【解析】先将分子、分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值. 【考点】一元一次不等式的解法 20.【答案】2-【解析】原式22442m m m m m ++=+22(2)2m m m m +=+ 22mm =+，把2m =代入上式， 原式22m m =+(2)m m =+=2=-故答案为：2-. 【考点】分式的化简求值21.【答案】证明：在ABC △和DEC △中，CA CDACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC DEC ∴△≌△， AB DE =∴.【解析】证明ABC △与DEC △全等，即可通过全等三角形对边相等完成证明. 【考点】全等的应用 22.【答案】31(11)62P ==白黄 【解析】解：根据题意画出树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等.其中1白1黄的有3种.所以31(11)62P ==白黄. 【考点】概率的求法23.【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为(40)x +元. 由题意，得32002400240x x =+. 方程两边乘(40)x x +，得3200(40)4800 x x +=.解得：80x =.经检验，80x =是原方程的解，且符合题意. 所以，原分式方程的解为80x =. 答：每套《三国演义》的价格为80元.【解析】题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价=《三国演义》单价+40元”，“3 200元购买《三国演义》的套数=用2 400元购买《西游记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程. 【考点】分式方程的应用 24.【答案】(1)二 一 (2)乙同学的推断比较科学合理.理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些.(答案不唯一，理由只要有理有据即可) 【解析】(1)方差越小，成绩越稳定；(2)由于二班的成绩中出现了3个1分，这属于极端分数，影响了二班的平均分，因此本题利用平均分来比较两班成绩是不合适的. 【考点】数据的收集，整理与描述25.【答案】解：(1)连接OB ，OA OB =∵，30ABO A ∠=∠=︒∴.90ACB ∠=︒∵，30A ∠=︒，60ABC ∠=︒∴.30OBC ∠=︒∴.在Rt OBC △中，cos BC OBC OB ∠=，即1cos30OB︒=. 解得OB =，即O ⊙的半径为OB =.(2)连接OP .∵点P 为劣弧AB 的中点，∴OP AB ⊥.30QPO A ∠=∠=︒∴.在Rt OQP △中，cos PQ QPO OP ∠=，sin OQ QPO OP ∠=，即cos30︒=sin30︒=. 312PQ =∴，1323OQ =.(3)在Rt OBC △中，OC =CQ =∴tan 2PQ PCA CQ ∠==∴. 【解析】(1)若连接OB .则BCO △是一个含30︒角的直角三角形，AOB △是底角为30︒的等腰三角形，可分别在这两个三角形中求出OC 和OA ；(2)可先求出30OPQ ∠=︒，所以OPQ △是一个含30︒角的直角三角形，且斜边长为半径长；(3)可在Rt PCQ △中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan PCA ∠的值.【考点】圆，特殊三角函数值解直角三角形，垂径定理26.【答案】(1)①图像开口向上；②图像的对称轴为直线2x =；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；⑤当x =2时，函数有最小值.(2)∵二次函数的图像与一次函数21y x =-的图像有两个交点，243221x x a x -++=-∴，即26330x x a -++=.364(33)12240a a ∆=-+=-+＞，解得2a ＜.∵二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图像与x 轴4x ≤的部分有两个交点.结合图像，可知4x =时，26330x x a -++≥.∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥.∴当二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点时，a 的取值范围为523a ≤＜.【解析】(1)可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研究；(2)逐将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4的点，二是抛物线与直线有一个交点.【考点】二次函数的性质27.【答案】解：(1)连接AC ，交EF 于点O .由对称可知：OA OC =，AC EF ⊥.∴AE CE =，AF CF =.∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥.∴OAE OCF ∠=∠，OEA OFC ∠=∠.OAE OCF ∴△≌△.∴AE CF =.AE CE CF AF ===∴.∴四边形AFCE 是菱形.(2)∵PEF △的周长PE PF EF =++，又∵EF 长为定值，∴PEF △的周长最小时，即PE PF +最小.作E 关于直线CD 的对称点E '，连接FE '交DC 于点P '，则PE PF PE PF E F ''+=+≥，因此，当点P 与点P '重合时，PEF △的周长最小.2,4,AB AD AC OC ====∵∴∴由COF CBA △∽△，得52OC CF CF BC CA ==.∴. 由画图可知：32DE DE '==. 由DE P CFP '△∽△，得332552DP DE CP CF '===. (3)设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .45EMP ∠=︒∵，OM OQ =∴，NQ BN =.由AB BC AC BN =，得24BN ⨯=.BN NQ ==∴. 在Rt ABN △中，AN =AQ AN NQ CQ AC AQ '∴=+==-由 AB CP ∥，得ABQ CPQ △∽△，得AB AQ CP CQ=.即254PC =.解得43PC =. 【解析】(1)利用垂直乎分线的性质证明AE CE =，AF CF =，然后再利用对称的性质和平行的性质，证得AE CF =，即可证得四条边都相等；(2)PEF △中，EF 长是定值，因此本题考查的实际上是PE PF +的最小值，我们作E 关于CD的对称点E '，连接E F '，此时E F '最小；(3)利用45︒构造等腰直角三角形，设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .这时BQN △为等腰直角三角形，ABN △与ABC △相似，先在Rt ABN △中求出BN 和AN 的长，然后求出AQ ，CQ 的长，再根据BAQ △与PCQ △相似，求出PC 的长.【考点】几何综合题28.【答案】解：(1)由线点定义：222,2x y t y x t =+=+，消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=，由于x y ≠，可得20x y ++=，将1P 、2P 坐标代入表达式，易知2P 为线点.(2)(,)P m n ∵是“线点”，22m n t =+∴，22n m t =+.222()m n n m -=-∴，222()2m n n m t =+++.m n ≠∵，2m n +=-∴.2()22()2m n mn n m t +-=++∴.4242mn t -=-+∴.4mn t =-+∴.m n ≠∵，2()0m n -∴＞，即2()40m n mn +-＞.30t -∴＞.解得3t ＞.∴t 的取值范围为3t ＞.(3)103t =或6.理由如下： (,)Q m n ∵为“线点”20n m ++=∴，∴Q 是直线2y x =--上一点又∵P 为(,)m n ，即P 也满足2y x =--∴PQ 所在直线方程为2y x =--(2,0)A -∴，(0,2)B -，90AOB ∠=︒又||30POQ AOB ∠-∠=︒∵120POQ ∠=︒∴或60POQ ∠=︒当120POQ ∠=︒，即点P 、Q 分别在二、四象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图1，2OA =∵，2OB =，OC =∴又120POQ ∠=︒∵，OP OQ =OP =∴即228m n +=由(2)可知：222()2m n m n t +=++且2m n +=-82(2)2t =⨯-+∴，解得：6t =.当60POQ ∠=︒，即点P 、Q 都在第三象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图2.2OA =∵，2OB =，OC =∴又∵60POQ ∠=︒，OP OQ =OP =∴2283m n += 由(2)可知：222()2m n m n t +=++，且2m n +=-82(2)23t =⨯-+∴，解得：103t =. 综上可得：t 的值为6或103. 【解析】(1)由“222,2x y t y x t =+=+”消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=，由于x y ≠，可得20x y ++=，即当一个点的横纵坐标之和为2-的时候，这个点就是线点.利用这一结论很容易判断2P 是线点；(2)利用完全平方公式的变形，可用含t 的代数式表示mn ，然后再利用完全平方公式的非负性求出t 的取值范围；(3)如果(,)Q n m 是“线点”，那么2m n +=-，即Q 是直线2y x =--上一点，又由于(,)P m h ，所以P 也满足2y x =--，所以直线PQ 的解析式为2y x =--.又由于||30POQ AOB ∠-∠=︒，且90AOB ∠=︒，所以120POQ ∠=︒或60POQ ∠=︒.当120POQ ∠=︒，可求得228m n +=；当60POQ ∠=︒时可求得2283m n +=号，代入之前的定义即可求出t 的值.【考点】利用完全平方公式进行的新定义，等腰三角形性质，勾股定理。