极限计算方法及例题
求极限地方法及例题总结材料
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 )12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x例7 nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高数极限的运算法则例题
极限的运算法则极限是一种概念，它表示在某一点附近，函数的值不断逼近某一特定值，但无论多少次迭代，都不会达到这个特定值。
极限的运算法则是指求解极限的一系列规则和公式，它们可以帮助我们更好地理解极限的概念，以及如何计算极限的值。
一、极限的定义极限的定义是：当x趋近于某个特定值p时，函数f(x)的值不断逼近某个特定值L，而无论x多次迭代，都不会达到L，那么L就是函数f(x)的极限，记为lim f(x)=L。
二、极限的运算法则（1）极限的运算法则一：加法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，那么两者的和的极限就是L+M。
例：计算lim (2x+3)/(x-1)解：lim (2x+3)/(x-1)=lim 2x/x-lim 3/x=2-3/x=2-0=2（2）极限的运算法则二：乘法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，那么两者的乘积的极限就是L*M。
例：计算lim (2x+3)*(x-1)解：lim (2x+3)*(x-1)=lim 2x*x-lim 3*x=2x2-3x=2x2-0=2x2（3）极限的运算法则三：除法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，且M不等于0，那么两者的商的极限就是L/M。
例：计算lim (2x+3)/(x2+2x+1)解：lim (2x+3)/(x2+2x+1)=lim 2x/x2+lim 3/x2=2/x+3/x2=2/x+0=2/x（4）极限的运算法则四：指数函数法则若函数f(x)的极限是L，那么函数f(x)的指数函数的极限就是L的指数函数。
例：计算lim (2x+3)^2解：lim (2x+3)^2=(lim 2x+3)^2=(2+0)^2=4（5）极限的运算法则五：幂函数法则若函数f(x)的极限是L，那么函数f(x)的幂函数的极限就是L的幂函数。
例：计算lim (2x+3)^(1/2)解：lim (2x+3)^(1/2)=(lim 2x+3)^(1/2)=(2+0)^(1/2)=2^(1/2)=√2三、极限的运算法则的应用极限的运算法则主要用于计算函数的极限，例如可以用它们计算函数的无穷大极限、无穷小极限等。
求左右极限的方法及例题
求左右极限的方法及例题
求左右极限的方法主要有以下几种：
1.连续点求左右极限：如果函数在某一点处连续，那么该点的左极限等于
右极限，也等于函数值。
2.间断点求左右极限：如果函数在某一点处不连续，那么该点的左极限和
右极限可能相等，也可能不相等。
此时，该点的函数值通常是不存在
的。
3.洛必达法则求左右极限：当所求极限的分子分母都可以导的时候，考虑
利用洛必达法则求极限比较方便。
4.利用泰勒公式求左右极限：等价无穷小就是泰勒方式的缩减版，删去了
高次项就得到了等价无穷小。
利用泰勒公式求高阶极限时，需要将函数展开成泰勒级数。
下面以两个例子来说明：
例1：求 f(x) = x-2，x<0 f(x) = x，x≥0 在 x = 0 处的左极限、右极限。
左极限：lim(x→0-) f(x) = -2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 0
例2：求 f(x) = 1/x 在 x = 0 处的左极限、右极限。
左极限：lim(x→0-) f(x) = -∞
右极限：lim(x→0+) f(x) = +∞。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
谈极限运算的几种主要方法及例题分析
谈极限运算的几种主要方法及例题分析极限是数学中一个非常重要的概念，广义上的极限是指无限接近而永远无法到达，数学中的极限是指某一个变量在变化的过程中，逐渐逼近某一个确定的数值，但是永远不能等于这个数值。
数学中的极限一般分为数列极限和函数极限，本文主要介绍函数极限及其求法。
1 函数极限的定义设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：f（x）-A|<ε。
那么常数A就叫作函数f（x）当x→x0时的极限，记作lim f（x）=A。
2 求函數极限的方法2.1利用连续性求极限设函数f（x）在某u（x0）内有定义，如果lim f（x）=f（x0）.则称f（x）在x0连续。
反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0处的函数值就可以。
例1求lim（3x2-x+ 7）.解：由初等函数的连续性，将1直接代人函数中有意义，所以：原式=3x1 2-1+7 =9.2.2消公因子法求极限有些具有分数结构的函数用上面的代入法可能会出现分子或分母为零的情况，使得原函数没有意义，所以无法直接代入求极限。
2.3利用无穷大无穷小的关系求极限无穷大量和无穷小量的定义：如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷小量;如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时对应的f（x）无限增大，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷大量。
这里是利用无穷大量无穷小量的倒数关系求极限。
2.4分子分母降幂法求极限在某些函数极限求解过程中，可以通过分子分母同时除以最高次幂来求极限。
该题目中分子分母的最高次幂是x3，同时除以x3然后求极限可知分子分母的后两项极限为零，由此我们得到其极限值。
当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有2.5利用两个重要极限求极限首先介绍一下两个重要极限，我们通过几个例题来看一下如何利用重要极限求解极限。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 解：原式= 。 注：本题也可以用洛比达法则。
16直接使用求导数的定义来求极限 ， （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，
别注意）
看见了有特
十、利用级数收敛的必要条件求极限 级数收敛的必要条件是：若级数
收敛，则 ，故对某些极限 ，可将函数 作为级数 的一般项，只须证明此技术收敛，便有
。 例
十一、利用幂级数的和函数求极限 当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了 求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂 级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的 和函数在某点的值。 例求
（2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）； 则极限也一定存在，且等于，即= 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满 足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件 （1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都 满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达 法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即 有： ～～～～～～ 。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价 关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且 等于，即=。
经典求极限方法
精心整理求极限的常用方法典型例题1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim)1)(1)(1(lim 22=++=++-x x x x x x 2例2【解】x 【注】 (2)3．分子例3【解】x 例4：求极限30sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】x x x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x xx 和ex n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim 11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1+，最后凑指数部分。
【解】22121x xx x ⎤⎡-→例6：(1)5(1)当0→x x cos 1-(2)(3)例7【解】x →例8【解】x x x x 30tan sin lim-→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→【说明】∞∞或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】22)sin1ln(2coslnlimxxxx+-→xxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim2+--=→【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且)0(≠f，求极限.)()()(lim0⎰⎰--→xxx dttxfxdttftx【解】由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxx utxduufduufdttxf,于是→x lim =x 7例lim 例【解1】原式2cosln331limxxxex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=22cosln3limxxx→+⎛⎫⎪⎝⎭=【解2】原式2cosln331limxxxex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=22cosln3limxxx→+⎛⎫⎪⎝⎭=8．利用Taylor公式求极限例13求极限)0(,2lim2>-+-→axaa xxx.【解】)(ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x +++==,)(ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;∴a x x a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14求极限011lim (cot )x x x x →-.x →=9例1510．n n (1)(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a 0)；极限严格定义证明，例如：limn 当 an0，|q| 1时 nlim(3x 1) 5；limq ；等等n x 2不存在，当|q| 1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x) g(x)] A B （2）limf(x) g(x) A Bf(x)g(x)AB（3）lim,(此时需B 0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）limsinxxx 0111xxlim(1 ) e lim(1 x) e（2）；xx x 0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1例如：limsin3x3xx 01，lim(1 2x)x 02xe，lim(1x3)3 e；等等。
xx4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1 x)～ex 1。
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题在高中数学中，极限问题是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域中发挥着重要的作用。
解决极限问题需要良好的数学思维和方法，本文将介绍一些常见的解题思路，并通过例题来说明。
一、数列极限问题的解题思路1. 递推法：对于递推数列，通过递推关系式来确定极限。
例如，对于等差数列an=2n+1，可以通过推导和观察得出其极限为无穷大。
2. 逼近法：对于数列an，通过构造逼近数列bn，使得bn与an的差趋近于零，然后求出bn的极限，进而得到an的极限。
例如，在求解数列an=√n的极限时，可以构造逼近数列bn=n，通过求bn的极限等于无穷大，得出an的极限也等于无穷大。
3. 按定义法：对于给定的数列an，根据极限的定义进行证明。
例如，证明数列an=1/n的极限为零，可以通过定义极限的方式来进行推导。
二、函数极限问题的解题思路1. 代入法：当函数在某一点不存在或无法求极限时，可以尝试代入近似值进行计算。
例如，求f(x)=sinx/x在x=0处的极限时，可以通过代入x的近似值0.001、0.0001等进行计算。
2. 夹逼法：对于函数f(x)，如果在某一区间内存在两个函数g(x)和h(x)，且g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限均为L，则可以推导出f(x)的极限也为L。
例如，在证明函数f(x)=xsin(1/x)在x=0处的极限为零时，可以构造函数g(x)=-|x|和h(x)=|x|，并证明f(x)被夹在g(x)和h(x)之间。
3. 导数法：对于某些特殊的函数，可以通过求导数来求极限。
例如，对于函数f(x)=e^x/x，在x趋近于正无穷时，可以通过求导数得到f'(x)=e^x/x^2，在取极限时，可以得到极限为无穷大。
三、综合例题例题1：求极限lim(n→∞) (√n+1-√n)。
解：对于这个极限问题，我们可以利用有理化的方法进行求解。
首先，我们将式子进行分子有理化，得到(√n+1-√n)×(√n+1+√n)/(√n+1+√n)。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 20)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x例7 nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
求极限的方式及例题总结
x0 12 ( x )2 6
3
1 sin
3n n1
x
6
sin x
2
x
x 2
1
e
，
。
lim (1
x
1 6 sin x
lim[(1 3sin x) 3sin x ] x
lim[(1
n
x0
4．等价无穷小 定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。
利用等价无穷小代换（定理 4）求极限 x ln(1 3x)
lim 例 9 x0 arctan(x 2 ) 解： x 0时，ln(1 3x) ～ 3x ， arctan(x2 ) ～ x2 ，
原式= x0 x 2
e x esin x lim 例 10 x0 x sin x
所以，
lim
原式= x0 x
x2 sin
x
1 x
例 2 n
解：原式=
lim
例 3 n
解：原式
lim
n[(n
n n 2 n 1
(1)n 3n
2n 3n
上下同除以3n
3．两个重要极限
lim sin x 1 （1） x0 x
（2） x0
lim(1 x) x e
1
lim
2)
( 1)n 3
n ( 2)n 1
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
3x 1 2 lim 例 1 x1 x 1
( 3x 1)2 22 lim
解：原式= x1 (x 1)( 3x 1 2) x1 (x 1)( 3x 1 2) 4 。
求极限的方法及例题总结
1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
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极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim0=→xxx ，e x xx =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时，13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110x g x f xx →存在时，)()(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim110x g x f x x →，即)()(lim 0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。
5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(limx g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(lim x g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim00x f x f x x =→ 。
7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n（2）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim则极限∞→n n x lim一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。
二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn nn n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限例4xx ex 122lim →解：因为20=x 是函数xex x f 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。
3． 利用两个重要极限求极限例5203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim22022=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 20)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。
例7nn n n )12(lim +-∞→ 解：原式=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4． 利用定理2求极限例8xx x 1sinlim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 )arctan()31ln(lim 20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时，～x 3，)arctan(2x ～2x ， 原式=33lim2=⋅→xxx x 。
例10 xx e e xx x sin lim sin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→xx x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→xx xx x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样： 0lim sin tan lim 3030=-=-→→xxx x x x x x 。
例11xx x x sin )1sin tan(lim 20→解：等价与是无穷小，时，当xx x x x x x 1sin )1sin tan(1sin0222∴→ ， 所以， 原式=01sin lim 1sinlim020==→→xx x x x x x 。
（最后一步用到定理2）6． 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12203cos 1limxxx -→（例4） 解：原式=616sin lim 0=→x x x 。
（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1-→x xx π 解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。
例143sin limx x x x -→ 解：原式=203cos 1limxx x -→=616sin lim 0=→x x x 。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 xx x x x x sin cos sin lim20-→ 解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→xx x 。
正确解法：。
原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19xx xx x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim --∞→，此极限不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：原式=xxxxx cos 3sin 21lim +-∞→ （分子、分母同时除以x ）=31（利用定理1和定理2） 7． 利用极限存在准则求极限例20 已知),2,1(,2,211=+==+n x x x n n ，求n n x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<n x <2），由准则1极限n n x ∞→lim 存在，设 a x n n =∞→lim 。
对已知的递推公式 nn x x +=+21两边求极限，得：aa +=2，解得：2=a或1-=a （不合题意，舍去）所以2lim =∞→n n x 。
例21 )12111(lim 222nn n n n ++++++∞→解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n因为1lim2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。