计算电磁学中的积分方程法

① 所要求的精度； ② 计算矩阵元的难易程度； ③ 能够求逆的矩阵大小；
④ 良态矩阵[l]的可实现性（若矩阵的行列式值接近于零，则称为病态矩阵，在求逆
时容易引起很大的误差；反之，行列式值不接近于零者则称为良态矩阵）。 综上所述，矩量法的求解过程一般分为四步，如下： ① 将未知量展开成由基函数构成的级数； ② 选取合适的检验函数，与基函数内积； ③ 由内积构成矩阵方程； ④ 解矩阵方程，求得未知量。
精确 Lf ϕ(Lf )
误差
近似 Lf ϕ (Lf n )
投影 图 2-1 矩量法在函数空间的图形表示
ϕ (wm )
图中ϕ (Lf ) 表示 L 的值域，ϕ (Lf n ) 表示由 Lf n 张成的空间，ϕ (wm ) 表示由 wm 张成的 空间， wm 为我们选取的检验函数。
现将 ε (z) 的表示式两端与检验函数 wm 求内积，即两端的矢量在ϕ (wm ) 空间上的投影
函数 wm 时，应使它的某种组合能够逼近格林函数。
1.3 基函数与检验函数的选择
矩量法的求解原理是较简单的，但在实际应用中，其效率受到很多因素的影响，例如 离散化程度、基函数和检验函数的选择、矩阵方程的求解过程，等等。其中，基函数和检验 函数的选择尤为重要。从理论上讲，有许多组函数可供选择，而实际上，只有少数的函数对 给定的问题是适当的。另外，基函数与检验函数可有多种组合方式，选择不同类型的组合，
假定两个函数 f1 和 f 2 以及两个任意常数 a1 和 a2 ，若下面的关系存在 L(a1 f1 + a2 f 2 ) = a1L( f1 ) + a2 L( f 2 )
则称 L 为线性算子。
在应用矩量法处理问题的过程中，需要求内积 < f , g > 的运算。现定义内积如下： 在希尔伯特空间 H 中两个元素 f 和 g 的内积是一个标量（实数或复数），记为 < f , g > ，
计算电磁学中积分方程方法 胡俊
电子科技大学
得宜于电子计算机与数值算法的快速发展，以计算机数值求解电磁问题的科学—计算电 磁学已成为十分热门的研究方向，现已广泛应用于先进作战武器设计、雷达目标自动识别、 地球物理探测、微波遥感与成象、微波集成电路设计、高速电路信号完整性分析等众多领域。 其编制的数值程序极强的通用性、普适性与可靠性，使该学科成为了除实验测量以外的重要 电磁分析手段。
现有算子方程如下：
L( f ) = g
L 为算子。如前所述，算子可以是微分方程、差分方程或积分方程。G 是已知函数如激励源，
f 为未知函数如电流。假定算子方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 L−1 存在，使 f = L−1 (g) 成立，其中 L 与 L−1 互为逆算子。
算子 L 的定义域为算子作用于其上的函数 f 的集合。算子 L 的值域为算子在其定义域上 运算而得的函数 g 的集合。
内积的运算满足下面的关系：
⑴ < f , g >=< g, f > ⑵ < a1 f + a2 g, h >= a1 < f , h > +a2 < g, h > ⑶ 〈 f , f * 〉 > 0 ，若 f ≠ 0
〈 f , f * 〉 = 0 ，若 f = 0 其中 a1 和 a2 为标量， f * 为 f 的共轭量。
矩量法既可用于求解微分方程，也可用于求解积分方程。但目前已经有了求解微分方程 的有效方法――差分法、有限元法，所以矩量法大多用来求解积分方程。
目前，矩量法的应用已相当广泛。例如，求天线的辐射场时，首先用矩量法求解天线上 的电流分布，即求解电流分布的积分方程；求某个目标的散射场或透射场时，也要先用矩量 法来求解目标上的电流分布，得出电流分布后再由积分求得总场。
间通常不能和一个标量空间有一一对应关系） 根据线性空间的理论，N 个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程
都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子方程可化为矩阵方程求解。由于在求解过程中， 需要计算广义矩量，故称这种方法为矩量法。即矩量法是将算子方程化为矩阵方程，然后求 解该矩阵方程的方法。
方法使误差化为最小，所以矩量法是一种使误差化为最小的方法。由于误差正交于投影，所 以它是二阶无限小，由变分法可以得到与此相同的结论。这样，可写出下列矩阵方程
I •Z =V
Z 中的元素为
V 中的元素为
Z mn =< wm , L[ f n (z)] >
Vm =< wm , g >
I 中的元素为待求的未知量展开式中的系数 an 。前面已经提到，如果我们选择基函数 f，使
有限的，那么这个矩阵就是有限阶的，因而可以用人们熟知的方法来求逆。
在任何一个特定的问题中，主要任务是选择 f n 和 wn 。 f n 必须是线性无关的，并且它
∑ 们的累加式 f n 要能够很好地逼近 f。 wn 也应该是线性无关的，并且也应该使得内积 n
< wn , g > 取决于 g 的相对独立性。影响 f n 和 wn 的选择的一些其它因素是：
∑ an L( fn ) = g n
对此问题若已经规定了一个适当的内积 < f , g > ，那么，在 L 的值域内定义一个权函数或
检验函数 w1, w2 , w3 Λ 的集合，并将上式对每个 wm 取内积，则
∑ an 〈wm , Lf n 〉 = 〈wm , g〉 n
式中 m = 1 , 2 , 3 … 此方程可以写成如下的矩阵形式
[gm ]
=
⎢⎢<
w2 , g
>
⎥ ⎥
⎢⎣ Μ ⎥⎦
如果矩阵[l]是非奇异性的，其其逆矩阵[l]−1 存在， an 由下式给出
[an ] = [lmn ]−1[g m ]
∑ f 的解由 f = an f n 即可得出。为简明地表示此结果，规定函数的矩阵为 n
[
Hale Waihona Puke ~fn]=
[
f1,
f2,
f3
Λ
]
于是，可将 f 写成
一般将基函数分为两大类，即全域基（整域基）和分域基（子域基）。前者在算子定义 域的全域上存在，后者仅仅存在珪算子定义域的各个分域上。下面具体介绍两类基函数。
1.3.1.1 全域基
基函数在算子 L 的定义域内不为零（边界条件要求为零时除外）且彼此线性无关。如：
在物理问题中，对于 Lf = g ，L 表示系统，g 表示激励，f 表示响应。确定了 L 的逆矩
阵 L−1 以后，就可以得到该系统的一般解 f = L−1g （通常为近似解）。如果 g 是良态的，就
可以得到任何激励 g 的响应 f。在下一节中，我们就将简单介绍一下常用的几种近似方法。
1.2.2 线性空间理论对矩量法的解释
域中对所有的 f ≠ 0 ，若 〈 f * , Lf 〉 > 0 ，则算子为正定算子；若 〈 f * , Lf 〉 ≥ 0 ，则算子为半 正定算子，若 〈 f * , Lf 〉 < 0 ，则算子为负定算子。
1.2 矩量法原理
在本节中，将具体讨论一下矩量法这一求解线性方程组的普遍方法。
1.2.1 矩量法的求解过程
[lmn ][an ] = [g m ]
式中
⎢⎡< w1, Lf1 >
< w1, Lf 2 > Λ Λ
⎤ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
[lmn ] = ⎢< w2 , Lf1 > < w2 , Lf 2 > Λ Λ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎡ a1 ⎤
[an
]
=
⎢ ⎢
a2
⎥ ⎥
⎢⎣ Μ ⎥⎦
⎡< w1, g > ⎤
对于齐次方程组
L( f ) = g
其中 L 为线性算子，g 为已知函数，f 为未知函数。令 f 在 L 的定义域中被展开为 f1, f 2 , f3 Λ
的组合，即
∑ f = an f n n
式中 an 是系数， f n 被称为展开函数或基函数。对于精确解，f 通常为无穷项之和，而 f n 形
成一个基函数的完备集。对于近似解，f 通常为有限项之和。应用算子的线性性，可得
对于所有算子 L 定义域中的 f，若有下面的关系成立
< Lf , g >=< f , La g > 则称 La 为 L 的伴随算子。若 La = L 则称 L 为自伴算子，此时 La 的定义域就是 L 的定义域，
且有下面的关系式成立：
< Lf , g >=< f , Lg >
解的特性依赖于算子的特性，如果 f 是实数，Lf 也是实数，则算子为实算子。假如在其定义
Y。
泛函——表示为 ρ = φ ( f ) ，把具有元素 f 的函数空间 F 映射到具有元素ρ的标量空间
R。
算子——表示为 g = L( f ) ，把一个函数空间映射到自己当中，即 f 和 g 是同一空间的
元素。
通常，函数的逆 f −1 和算子的逆 L−1 都是存在的，但泛函的逆极少存在。（即一个函数空
第一章 矩量法概论
随着计算机技术的发展，我们可以进行的计算量越来越大，精度越来越高。在绝大多数 情况下，数值算法的精度都可以达到要求，并且，应用数值算法还可以解决用解析法不能解 决的问题。因此，数值方法的应用越来越广泛，而以数值计算为基础的计算电磁学在过去的 几十年里也得到了长足的发展。本章所谈到的矩量法就是计算电磁学中的一种常用计算方 法。
本章简要介绍了矩量法的基本理论和求解过程，对于它的详细介绍及更多应用，请参考 有关文献[2][3]。
1.1 矩量法的数学基础