特征函数讲义和矩母函数
特征函数与矩函数
根据概率分布的性质和公式，计算相应的矩函数。例如，对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数和概率分布函 数来计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数和概率分布函数来计算。
数值法
对于一些复杂的概率分布，可以使用数值方法来近似计算矩函数。例如，蒙特卡洛方法可以用来模拟随 机变量的样本值，然后通过样本值的数学期望来近似计算矩函数。
05 特征函数与矩函数的扩展
广义特征函数与矩函数
定义
广义特征函数与矩函数是相对于经典的特征 函数与矩函数的扩展，它们在更广泛的意义 下描述了数据的统计特性。
性质
广义特征函数与矩函数具有更强的灵活性和适应性 ，能够更好地处理复杂的数据分布和异常值。
应用
在统计学、机器学习、数据分析等领域，广 义特征函数与矩函数被广泛应用于数据建模 、特征提取和异常检测。
03 特征函数与矩函数的应用
在概率论中的应用
特征函数用于描述随机变量的概率分布， 可以表示为复平面上的函数。通过计算特 征函数的导数，可以得到随机变量的各阶 矩，如均值、方差、偏度、峰度等。
特征函数还可以用于研究随机变量的 变换性质，例如，通过特征函数可以 推导出随机变量的变换规律，以及随 机变量的独立性、相关性等性质。
特征函数与矩函数
目录
• 特征函数 • 矩函数 • 特征函数与矩函数的应用 • 特征函数与矩函数的区别与联系 • 特征函数与矩函数的扩展
01 特征函数
定义与性质
定义
特征函数是概率论和统计学中的一个 概念，用于描述随机变量或随机过程 的特性。
性质
特征函数具有一些重要的性质，如实 部和虚部都是单调递减的，且实部和 虚部都是偶函数。
特征函数的性质
唯一性
概率论上的母函数
概率论上的母函数(gen erati ng fucnction)定义：假设随机变量E取非负整数值，且相应的分布列为：(0，1, 2)(P o, P i, P2)那么P k*s k( k从0到无穷)的和为s的函数，此函数称为的母函数。
特征函数(概率论)在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。
在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：®x(t) = E(e itX)其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。
用矩母函数M x(t)来表示(如果它存在)，特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。
「x(t)二M ix (t)二M x(it)与矩母函数不同，特征函数总是存在。
如果F x是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：E (e itx)= ::e itx dF x(x)在概率密度函数f x存在的情况下，该公式就变为：E (e itx) = . ： e itx f x (x)dx如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tx为数量积。
R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。
一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f x(x) = f x(-x))是实数，因为从x>0所获得的虚数局部与从x<0所获得的相互抵消。
连续性勒维连续定理勒维连续定理说明，假设(X n)n」"为一个随机变量序列，其中每一个X n都有特征函数-：n,那么它依分布收敛于某个随机变量X :Xn ° > X当n —如果件一巴in^is j cp 当n Too且④(t)在t=0处连续，9是X的特征函数。
莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。
反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。
也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
1-4特征函数和母函数
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
矩母函数
因而
Y |Xx x 1 y f fY Y||X X y y||x xd y 1/1 1- 1 -x x x 1 y d y1 2 x
Y|X 1 X/2
fY|X y|x 1/ 1-x
注意： Y|X 1 X/2是随机变量，当X x 时， 其值为
Y|X x 1 x/2
思考题：当X与Y独立时， X |Y y 的值？
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdF Xx
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期 望操作，所以有：
0 de tX
d t
t0
d e tX d t t0
X e tX t0
X
取k阶导数，可以得到 k 0
Xk 方便计算分布的矩
.
.
6
X ～ U n ifo r m 0 ,1 ， Y |X ～ U n ifo r m x ,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x , y ，然后计算
Y yf x,ydxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
第2章 随机变量-特征函数
例1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即 P { X c } 1 求X 的特征函数.
( t ) E( e
jtX
) e
k
jtxk
pk
pk
( t ) e
k
jtxk
e jtC 1
e
jtC
例1.2 设随机变量X 服从参数为p 的0-1分布(两点分布), 求其特征函数.
e
jtX
cos tX j sin tX
( t ) E (e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
2. 特征函数的计算
e
jtX
cos( tX ) j sin( tX )
( t ) E (e
jtX
) e jtX dF ( x )
1 1 2
2 t n X n )
]
为n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的特征函数. 其中t= (t1, t2, , tn) Rn
二、二维随机变量特征函数的性质 性质2.1 设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ) ，则有
(1) (0,0) 1, 且对任意 t1 , t 2 R, | ( t1 , t 2 ) | (0,0) 1. (2) ( t1 , t 2 ) ( t1 , t 2 );
一、定义及例
1. 特征函数的定义
定义1.1 设X 是定义在概率空间 ( , F , P )上的随机变量, 它
jtX
的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
) 为X 的特征函数.
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
特征函数与矩函数的关系28页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。1、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望
二、混合分布
三、矩母函数
四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
ff X |Y ( x | y )
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率 分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
V ( X ) = E (V ( X | Y )) + V (E ( X | Y )) = E (Yp (1- p )) + V (Yp ) = p (1- p ) E (Y ) + p V (Y ) = p (1- p )l + p l = l p
现代精算风险理论
2 2
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
{
}
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y
，Y为随机变量，因此上式中 E (Y
E 轾 ( Y - E ( Y | X )) ( E ( Y | X ) - E Y ) | X û = 犏 ë
|X)
| X ), E ( X )
| X )- E Y ) E
为常数，因此
(( Y
- E ( Y | X )) | X
更一般地，对任意函数 r ( x, y)
E轾 E (r ( X , Y ) | X ) =E (r ( X , Y )) 犏 臌
证明：利用条件期望的定义和f ( x, y) =
E轾 E Y | X ) =蝌 E (Y | X = x ) f X ( x ) dx = 臌( = yf ( y | x ) f 蝌
E (Y ) =
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的工具，用于描述随机变量的性质和分布。
它们在统计推断、参数估计、假设检验等方面发挥着重要作用。
本文将详细解释特征函数和矩母函数的定义、用途和工作方式，并给出一些实际应用的例子。
1. 特征函数（Characteristic Function）1.1 定义特征函数是一个复数值函数，对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E[e itX]其中，t是实数，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数可以完整地描述一个随机变量的分布性质。
它包含了所有阶的矩信息，并且唯一地确定了随机变量的分布。
通过特征函数可以计算出随机变量的均值、方差、偏度、峰度等统计量。
1.3 工作方式给定一个随机变量X，我们可以通过求解期望来计算其特征函数。
首先，我们将复指数项展开为正弦和余弦项：e itX=cos(tX)+isin(tX)然后，取期望得到特征函数：ϕX(t)=E[cos(tX)]+iE[sin(tX)]特征函数的实部和虚部分别是随机变量的余弦和正弦分布的特征函数。
2. 矩母函数（Moment Generating Function）2.1 定义矩母函数是一个实数值函数，对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：M X(t)=E[e tX]2.2 用途矩母函数同样可以用于描述随机变量的性质和分布。
通过矩母函数可以计算出随机变量的矩信息，如均值、方差、偏度、峰度等统计量。
2.3 工作方式与特征函数类似，我们可以通过求解期望来计算随机变量的矩母函数。
将指数项展开为幂级数：e tX=∑(tX)n n!∞n=0然后取期望得到矩母函数：M X(t)=E[∑(tX)n n!∞n=0]=∑t n E[X n]n!∞n=0矩母函数的n阶导数在t=0处的值等于随机变量的n阶原点矩。
3. 特征函数与矩母函数的关系特征函数和矩母函数之间存在着紧密的联系。
通过特征函数可以推导出矩母函数，反之亦然。
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
特征函数和矩母函数课件
特征函数和矩母函数课件
什么是特征函数？
特征函数是一种连续变量，用来表示给定概率分布的连续特征。
它们借助独特的函数结构来帮助理解该分布的性质。
一般情况下，特征函数被定义为概率密度函数的积分或积分的产物，其中使用的是一组实数序列λ1，λ2，...，λn，称为参数。
它也可以考虑为对概率密度函数的一种广义函数格式的描述。
矩母函数是一种特征函数，用于根据一定的参数描述和控制一组数据的变化模式。
它也被称为矩函数或越积函数，其基本定义为一个有限个参数的多项式，由此引出一组非负实数。
矩母函数拥有独特的性质和拓扑表示，对概率密度函数进行信息可视化具有重要意义。
它也常用于表示一个系统中细胞的状态等普遍现象。
特征函数和矩母函数ppt课件
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(t) eitx f (x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特
征函数为
(t) (t1,t2,
, tn ) EeitX
E
exp
i
的数学期望 X (t) E[eitX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t) X (it)
欧拉公式：
ei cos i sin
还可写成
X (t) E[costX ] iE[sintX ]
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13
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
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1
3．和的矩母函数
定理1
设相互独立的随机变量 X1，X 2，，X r 的
矩母函数分别为 1 (t) ， 2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 Y X1 X 2 X r 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
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2
4. 母函数
P Y
k,
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
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10
ppt课件
15
(4) (t)是非负定函数。
特征函数 - 讲课
四、反演公式及唯一性定理
1 F ( x2 ) F ( x1 ) lim T 2
T
e
jtx 1
T
e jt
jtx 2
( t )dt
反演公式 (4.1.8)
P{ x1 X x2 }
连续点:
F ( x ) lim [ F ( x ) F ( x1 )]
虚数单位
i
i 2 1, i 1
j
j 1,
2
j 1
Z a bj
欧拉公式
e cos t j sint
jt
2. 复随机变量的数学期望
若复随机变量为
Z X jY
其中X, Y 均为实随机变量, 则Z 的数学期望定义为
E ( Z ) E ( X ) jE (Y )
e jtX cos(tX ) j sin( tX )
一、定义及例
1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是随机变量, 它的分布函数为 F ( x ) , 称e
jtX
的数学期望 E (e
jtX
) 为X 的特征函数.
有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数, 其中 j 1, t R. 记X 的特征函数为 X (t ), 在不会引起混乱的情况下简写为 ( t ).
件为它们的特征函数 1 (t ) 及 2 ( t ) 恒等.
推论2 设随机变量X 的特征函数 ( t )于R 上绝对可积, 则X 为具 有密度函数 f ( x ) 的连续型随机变量, 且
1 f ( x) 2
e jtx ( t )dt
( t ) E( e jtX ) e jtx pk
特征函数与矩函数的关系-写的非常不错。省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
n个互相独立的高斯变量X1, X 2 ,, X n , 方差均为 2 ,
n
则其平方和 :Y
X
2 i
服从n个自由度的
2分布.
i 1
若n个高斯变量的数学期望均为零, 称Y为中心 2分布.
Y旳概率密度为:
fY ( y)
1
(2 2 )n 2 (n
2)
y e n 1 2
y 2 2
y0
18
fY ( y)
[
nk XY (1, 1n2k
2
)
]1 0
2 0
E[ X nY k ]
第二联合特征函数定义为：XY (1,2 ) ln XY (1,2 )
cnk
(
j)nk
[
nk XY (1,2 1n2k
)
]1 0 2 0
N维联合特征函数旳一种主要性质是：当N个随机变量
相互独立时，它们旳联合特征函数是N个随机变量旳
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
1 2
f
''(x0 )(x x0 )2
x0
0
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
泰勒级数 麦克劳林级数
f (x) f (0) f '(0)x 1 f ''(0)x2 1 f (n) (0)xn
2
n!
X
()
X
(0)
' X
(0)
1 2
1
(2 2 )n 2 (n
2)
y e n 1 2
y 2 2
y0
(x) t x e 1 t dt 0
Y旳数学期望和方差为: