特征函数和矩函数

矩母函数和特征函数
一、矩母函数
1．定义
2．原点 矩的求法
称 etX 的数学期望 (t) E[etX ]
为随机变量X的矩母函数。
利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t)逐次求导，并计算在 t 0 点的
值：
(t) E[XetX ]
（n) (t) E[X netX ]
（n) (0) E[ X n ]
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。
(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整
数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非
负整数值随机变量，则
Y

N

Xk
k 1
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)

n
P{X=k}=pk，k=0,1,
则称

P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk

P (k) (0) ,
k!
k

0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
X
j

k

s
k
l0
k 0
j 1


l0
P{N
l}
l j 1

k 0
P{
X
j

k}s
k


l
P{N l} P(s)
l0
j 1

P{N l}[P(s)]l G(P(s)) l0
EY H (1) dG(P(s))
2

i 2
g(0)

i 2
d2 dt 2
peit q n t0 npq n2 p2
DX EX 2 EX 2 npq
例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。
解:
g(t)
1

eitx

e
x2 2
dx
2
g(t)
1

ixeitx
npq

q p2
q peit n (q +ps)n
e (eit 1)
pe it 1 qeit
e (s1)
ps 1 qs
分布 期望 方差 特征函数 矩母函数
均匀分布
N(, 2)
ab 2

b a 2 e ibt e iat
12 i(b a)t
ebt eat (b a)t
Y的特征函数为
gY (t) eit g X ( t)
e e e it
2t2 2
it 2t2 2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
分布 期望 方差 特征函数 母函数
0-1分布
p
二项分布 np
泊松分布
几何分布 1 p
pq q peit
q + ps
e

x2 2
dx

2
i
2
eitxd

x2 e 2


i itx x2 e2
2


t
2

e e itx
x2 2
dx

tg(t),

g '(t) tg(t) 0, dg tdt, ln g(t) 1 t2 C
则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中
ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0
设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s),
PZ(s)，即有

PX (s) pk sk , PY (s) qk sk
k 0
k 0

PZ (s) ck sk k 0
3．和的矩母函数
定理1
设相互独立的随机变量 X1，X 2，，X r 的
矩母函数分别为 1 (t) ， 2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 Y X1 X 2 X r 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
(k) (0) ik EX k , k n 当k=1时，EX = (1) (0) / i ； 当k=2时，DX = (2) (0) ( (1) (0) / i)2 。
(4) (t)是非负定函数。
(5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量， 则X=X1+X2++Xn的特征函数为
E ei(at)X eitb eitbE ei(at)X eitb g X (at)
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征
函数为gY(t)。
t2
解：X~N(0 , 1) ，X的特征函数为gX (t) e 2
设Y= X + ，则Y~N( , 2) ，

P(s) pk sk pk sk pk sk , n 0,1,
k 0
k 0
k n1

P (n) (s) n! pn k(k 1)(k n 1) pk skn k n1
令s 0,则P (n) (0) n! pn
故pn

P (n) (0) ，n n!
2
e e it

1 2

2
t
2
t

1 2

2t
2
指数分布 1
1



2
it
t
ds
s 1
dG dP G(P(1)) P(1) dP ds s1
G(1) P(1) EN EX1
(注P(1) 1)
二、特征函数
1 .特征函数
设X为随机变量，称复随机变量 e itX
的数学期望 X (t) E[eitX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
（相差一个负号的傅立叶变换）
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
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k）
k
k！e

所以

X (t) eitk k 0
k
k！e


e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
例2 设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的 特征函数。

0,1，
(2)


P(s) pk sk , P(s) kpk sk1
k 0
k 1

E( X ) kpk P(1) k 1

P(s) k(k 1) pk sk1 k2


P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
(t) 1(t)2 (t) n (t)
(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。
如果随机变量X为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有反演公式：
f (x) 1 eitx(t)dt （相差一个负号的傅立叶逆变换）
2
(t) eitx f (x)dx
X (t) X (it)
欧拉公式：
ei cos i sin
还可写成
X (t) E[costX ] iE[sintX ]
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为

(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
解
X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
所以
X (t)
b eitx 1 dx a ba
eitb eita it(b a)
例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特
征函数g(t)及EX、EX2、DX。
解:
X的分布律为P(X=k)=


PX (s)PY (s) pk sk ql sl
k 0
l 0
pkql skl r pkqrk sr
k ,l 0
r 0 k 0


cr sr PZ (s) r 0

(4) H (s) P{Y k}sk k 0
函数为
(t) eitx f (x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特
征函数为
(t) (t1,t2,
, tn ) EeitX

E
exp

i
n
tk
X
k

k1

性质：
(1) (0) 1, (t) 1, (t) (t) 。 (2) (t)在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则
k2
k 1


k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ，


P Y
k,

{N

l}s
k
k0
l 0


P{Y k, N l}sk k0 l0

P{Y k}P{N l}sk k0 l0


P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0


l P{N l} P
g
2
g (t )

1t2 C
e2
,由g (0)
1, 得C

0，从而g (t )

1t2
e2
例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的
特征函数gY(t)为 gY (t) eitb gX (at) 。 证：gY (t) E eit(aX b)
C
k n
pk q nk
，
q=1-p，k=0,1,2,,n
n
n
g(t) eitkCnk pk qnk Cnk
peit k qnk
peit q n
k 0
k 0
EX ig(0) i d dt
peit q n t0 np
EX