特征函数和矩母函数

矩母函数和特征函数
一、矩母函数
tX
1．定义
称
e
的数学期望
(t ) E[e ]
tX
为随机变量X的矩母函数。
2．原点 矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t )逐次求导，并计算在 t 0
值：
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点的
n tX
(t ) E[ XetX ]
（n )
(t ) E[ X e ]
l
P{N l} P ( s )
l 0 j 1

l
P{N l}[ P ( s )]l G ( P ( s ))
l 0
dG( P ( s )) EY H (1) ds
s 1
dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s 1 G (1) P (1) EN EX1 (注P (1) 1)
P ( s ) pk s pk s
k k k 0 k 0

n
k n 1
p s
k

k
, n 0,1,
k n
P
( n)
( s ) n! pn
( n)
k n 1
k (k 1) (k n 1) p s
k
令s 0, 则P
(0) n! pn
k 0
k！
k
e


k 0

(e ) k！
it
麦克劳林公式
e e

eit
e
( e it 1)
例2 设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的 特征函数。
解
X的概率密度为
1 b a f ( x) 0
b itx
a xb
其它
所以
1 X (t ) e dx a ba
k 2
P (1) k (k 1) pk k (k 1) pk
k 2 k 1

k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1 k 1

DX EX 2 ( EX ) 2 P (1) EX ( EX ) 2 P (1) P (1) [ P (1)]2
e g X (at )
itb
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征 函数为gY(t)。 t2 解：X~N(0 , 1) ，X的特征函数为 g X (t ) e 2 设Y= X + ，则Y~N( , 2) ， Y的特征函数为
gY (t ) eit g X ( t )
1 f ( x) 2




e (t )dt
itx
（相差一个负号的傅立叶逆变换）
(t ) eitx f ( x)dx
（相差一个负号的傅立叶变换）
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。 解 由于 所以
k P（X k） e k！ k e itk e X (t )
P ( n ) ( 0) 故 pn ，n 0,1， n!
(2)
P ( s ) pk s k , P ( s ) kpk s k 1
k 0 k 1


E ( X ) kpk P (1)
k 1

P ( s ) k (k 1) pk s k 1
r
c r s PZ ( s )
r 0
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0

P{Y k , N l}s
k 0 l 0


e e it (b a )
itb ita
例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特 征函数g(t)及EX、EX2、DX。 k 解: X的分布律为P(X=k)= C n p k q nk ， q=1-p，k=0,1,2,,n
g (t ) e C p q
itk k 0 k n k n nk
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散 型随机变量X，特征函数为
(t ) eitx pk
k

k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征 函数为 itx (t ) e f ( x)dx 对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
PX ( s ) pk s , PY ( s ) qk s
k k 0 k 0 k
PZ ( s ) c k s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0

k
q s
l 0 l

l

k ,l 0
p qs
k l r

k l
r pk q r k s r 0 k 0
(t ) (t1 , t2 , , tn ) Ee
itX
n E exp i tk X k k 1
性质： (1) (0) 1, (t ) 1, (t ) (t ) 。 (2) (t )在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则 (k ) k k (0) i EX , k n 当k=1时，EX = (1) (0) / i ； (2) (0) ( (1) (0) / i)2 。 当k=2时，DX =
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整 数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非 负整数值随机变量，则 Y N X

k 1
k
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
二、特征函数
1 .特征函数 设X为随机变量，称复随机变量 e itX 的数学期望
X (t ) E[e
itX
]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t ) X (it )
还可写成
ei cos i sin
欧拉公式：
X (t ) E[cos tX ] iE[sin tX ]
(4) (t )是非负定函数。 (5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量， 则X=X1+X2++Xn的特征函数为 (t ) 1 (t )2 (t )n (t )
(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。
如果随机变量X为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有反演公式：
e
t 1 2 t 2 2
指数分布
it
t
2
itx
x2 2

i e 2
x2 itx 2

t 2



e e
x2 itx 2
dx tg (t ),
dg 1 2 g '(t ) tg (t ) 0, tdt , ln g (t ) t C g 2
g (t ) e
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0

k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
t 0
npq n 2 p 2
DX EX EX npq
2 2
例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。 x 解: 1 itx
2
g (t )
2


e e
2
dx
1 g (t ) 2



ixe e
x2 itx 2
i dx 2
e d e
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有
1 t 2 C 2
,由g (0) 1, 得C 0，从而g (t ) e
1 t2 2
例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的 gY (t ) e itb g X (at) 。 特征函数gY(t)为
eit ( aX b ) 证：gY (t ) E ei ( at ) X eitb eitb E ei ( at ) X E
e
( s 1)
1 p
q 2 p
pe it 1 qe it
ps 1 qs
分布
均匀分布
期望
ab 2
方差
特征函数 矩母函数
e ibt e iat i (b a ) t e bt e at (b a ) t
b a 2
12
N ( , )
2

1

1
2
e
i t 1 2 t 2 2
k
P{Y k}P{ N l}s k
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0

k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1

k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
e e
i t

2t 2
2
e
i t
2t 2
2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
分布
0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布
期望
方差
特征函数
母函数
p
np
pq
npq
q pe it
q + ps
it n
q pe
e
( e it 1)
(q +ps)n


C
k 0
n
k n
pe
it k
q
n k
pe q
it
n
n d it EX ig (0) i pe q t 0 np dt 2 n 2 2 d 2 it EX i g (0) i 2 pe q dt
（n )

(0) E[ X ]
n
3．和的矩母函数 定理1
矩母函数分别为 1 (t ) ， 2 (t ) ，…， r (t ) ，
Y X 1 X 2 X r 的矩母函数为
设相互独立的随机变量 X 1，X 2， ，X r 的
则其和
Y (t ) 1 (t ) 2 (t ) … r (t )