概率论与数理统计第六章测试题

第6章 参数估计
选择题
1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则
（A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的
2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均
为未知参数，X =1ˆμ
，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。

（A ）X =1ˆμ
是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ
比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-n
i i X n 1
2)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是
（A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-n
i i X X n 1
2)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12
)(11μ (D) ∑=-n i i X n 1
2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量
5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X
和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22Y
X S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+-
（C ）2
22-++n m S S Y
X (D) 2)1()1(22
-+-+-n m S n S m Y X
6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果
（A ）X~N(μ,σ2) (B) X 服从参数为μ的指数分布 （C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题
1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其
均值、方差分别为X ，S 2 ，如果2)32(ˆS a X a -+=λ
为λ的无偏估计，则a= 。

2．已知1ˆθ、2ˆθ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆθ与2ˆθ不相关，2
1ˆ4ˆθθD D =，如果2
13ˆˆˆθθθb a +=也是θ的无偏估计，且是1ˆθ、2ˆθ所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则a= ，b= 。

3．设总体X 的概率密度为⎩
⎨⎧<<-=-其它，,0,
10,)1()(1x x x f θθ 则θ的矩估计量为 。

4．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2，其均值、方差分别为
X ，S 2 ，则当c= 时，22)(cS X - 是μ2的无偏估计。

5．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且
EX=μ，DX=σ2，
21
2)(X b X a n
i i +∑= 的
数学期望等于σ2，则a= ，b= 。

解答题
1．设总体X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧<<+=其它，,0,
10,)1()(x x x f θθ 其中θ>-1是未知参数，X 1,X 2,…,X n
是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量。

2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≥=--其它，,
0,
,2)()(2θθx e x f x 其中θ>0是未知参数，
x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的一组样本观测值，求θ的最大似然估计量。

3. 设总体X 的概率分布为
其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

4．设某种元件的寿命X （单位：小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≥=--其它，,
0,,1),;(μθμθθμ
x e x f x 其中θ，μ(>0) 为未知参数。

自一批这种器件中随取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为n X X X ,...,,21，求θ，μ的最大似然估计量。

5．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--其它，,
0,
,);()(θθθx e x f x θ为未知参数，n X X X ,...,,21为取自
X 的一个样本，证明：1ˆ1-=X θ，n
X X n
1
},...,min{ˆ12-=θ 是θ的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。

6．设总体X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它，,0,
0),(6);(3θθθθx x x
x f θ为未知参数，
n X X X ,...,,21为取自X 的一个样本，
（1）求θ的矩估计量θˆ；（2）求θˆ的方差θˆD ；（3）讨论θ
ˆ 的无偏性。

7．某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p ，他在第X 次射击时，首次击中目标。

（1）试写出X 的分布律；
（2）以此X 为总体，从中抽取简单随机样本n X X X ,...,,21，试求未知参数p 的矩估计量和最大似然估计量。

8．设从均值为μ，方差为σ2的总体中分别抽取容量为n 1，n 2的两个独立样本，样本均值分别为X 和Y 。

试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a 和b ，Y b X a T +=是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使得方差DT 达到最小。

参 考 答 案
选择题
1．C 2．D 3．C 4． B 5．D 6． A 填空题
1．1/2 2．0.2，0.8 3．1/1ˆ-=X θ
4．1/n 5．1/(n-1)，-n/(n-1) 解答题 1．解：（1）2
1)1(1
++=
+=
⎰
θθθθdx x x EX ，所以令X EX =，解得θ的矩估计量X X --=112ˆθ；
（2）似然函数为 ,)()1();()(1
1
θθθθ∏∏==+==
n
i i
n
n
i i
x x f L
其对数似然函数为 ),ln()1ln();()(ln 1
1
∏∏==++==
n
i i
n i i
x n x f L θθθθ
考虑0ln 1)(ln 1
=∑++==n i i x n d L d θθθ，解得∑--==n
i i
x n 1
ln 1ˆθ； 于是θ的最大似然估计量为∑--==n
i i
X n
1
ln 1ˆθ。

2．解：似然函数为 ⎪⎩
⎪⎨
⎧=≥∑==
--==∏
其它，,0,...,1,,2);()()
(21
1
n i x e x f L i n x n n
i i n
i i θθθθ ⎪⎩
⎪⎨
⎧≥∑=⇒+-=其它，,0,),...,min(,2)(1221
θθθ
n n x n x x e L n
i i 由上面形式可得},...,min{ˆ1n x x =θ时，似然函数达到最大值，于是θ的最大似然估计量为},...,min{ˆ1n
X X =θ。

3．解：（1）θ43-=EX ，所以令2==x EX ，解得θ的矩估计值4
1
ˆ=θ
； （2）似然函数为 ,)21()1(4)21()]1(2[)(4
2
6
4
2
2
2
θθθθθθθθθ--=--=L 其对数似然函数为 ),21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln θθθθ-+-++=L 考虑
0218126)(ln =----=θθθθθd L d ，解得)137(12
1ˆ-=θ。

4．解：似然函数为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=≥∑==
--==∏
其它，,0,...,1,,1),;(),(11
n i x e x f L i n x n n
i i n
i i μθμθμθθ
μ
其对数似然函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧
≥+∑--==其它，,0,
},...,min{,1ln ),(ln 11μθ
μθθμθn n i i x x n x n L 由上面形式可得},...,m in{ˆ1n x x =μ
时，lnL 达到最大值。

同时，考虑0][1),(ln 1
2=-∑+-=∂∂=μθθθμθn x n L n
i i ，解得μθ
ˆˆ-=x ； 于是θ，μ的最大似然估计量为},...,min{ˆ1n X X =μ；},...,min{ˆ1n
X X X -=θ。

5．证明：1)
(+==
⎰∞
--θθ
θdx xe
EX x ，222)(22++==
⎰∞
--θθθ
θdx e x EX x ，DX=1，
于是 θθθ=-+=-=111ˆ1X E E ，即 1ˆ1
-=X θ 为θ的无偏估计量； 令},...,min{1)
1(n X X X =，则X (1) 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--其它，,
0,
,)()()1(θθx ne x f x n
从而n dx xne EX x n 1)()1(+
==⎰∞
--θθ
θ，所以n
X X n
1},...,min{ˆ12-=θ 也为θ的无偏估计量；
又n X D D 1ˆ1
==θ，2
2)
1(2)1()1(21)(ˆn EX EX DX D =-==θ，当n>1时 n X X n
1},...,min{ˆ12-=θ 比 1ˆ1-=X θ 更有效。

6．解：（1）θθθθ21)(603=-=⎰dx x x x EX ，所以令X EX =，解得θ的矩估计量X 2ˆ=θ； （2）203
22103)(6θθθθ=-=⎰dx x x x EX ，22
2201)(θ=-=EX EX DX ，故
2514ˆθθ
n X D D ==； （3）由于θθ
==X E E 2ˆ，即 θˆ 为θ的无偏估计量。

7．解：（1）X 的分布律为：P(X=x)=p(1-p)x-1，x=1,2,…
(2)p 的矩估计量：EX=1/p ，令X EX =，解得X
p
1
ˆ=； p 的最大似然估计量：n
x n i p p p L -∑
-=)1()(，从而对数似然函数为
)1ln()(ln )(ln p n x p n p L i --∑+=，令
0)(ln =∂∂p p L ，解得X
p
1
ˆ=。

8．证明：μμ=+=+=)(b a Y bE X aE ET ，从而Y b X a T +=是μ的无偏估计量，由于是
2
2
212222122
2
))1(()(σσn a n a n b n a Y D b X D a DT -+=+=+=
利用一元函数的微分法，得到其最小值点为211n n n a +=，2
12
n n n b +=。