詹森不等式
jensen不等式证明均值不等式
Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。
Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。
本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。
一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。
具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。
1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。
此即Jensen不等式的常见表述形式。
二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。
常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。
具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。
这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。
三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。
对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。
这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。
3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。
通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。
不等式之母——Jensen不等式
ap + bq pq
臆-
1 p
lnap- 1 q
lnbq=-lna-lnb=-ln(ab)袁于是得证遥
(芋)Y oung 不等式的积分形式院设 y=f(x)是[0,肄)
上严格单调增加的连续函数袁且 f(0)=0袁记它的反
摘 要院Jensen 不等式是一个特别重要而且应用广泛的不等式袁 本文展示了诸多著名不等式与 Jensen 不等式的内在联系遥
关键词院Jensen 不等式曰H 觟lder 不等式曰C auchy 不等式曰M inkow ski不等式曰Y oung 不等式曰Liapounov 不等式
中图分类号院O 122.3 文献标识码院A 文章编号院1673-260X 渊2021冤07-0005-04
1 引言 Jensen 不等式是一个极其重要的不等式遥 它在
凸分析尧概率论尧运筹学尧物理学以及现代金融理论 等众多领域都有广泛应用遥 而且袁尽管 Jensen 不等 式与很多不等式形式不同袁 但却存在着缜密地联 系曰 许多著名不等式都可以统一在 Jensen 不等式 之中遥 这里将一些著名不等式与 Jensen 不等式的
渊5冤
证 由于 f(x)是区间 I上的凹函数袁则对于坌x0
沂I袁有 f(x)逸f(x0)+f忆(x0)(x-x0)遥 取 x=X 袁x0=E (X ),则有
f(X )逸f(E (X ))+f忆(E (X ))(X -E (X ))袁两端同时取数学期
望即得式渊5冤遥
4 Jensen 不等式的关联不等式
上
上
n
臆 梢
梢
k=1
梢
n
上 上 上 上
移梢
p(xk)
梢 梢 梢
移p(xk)
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。
琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。
琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。
这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。
当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。
一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。
詹森不等式等号成立条件
詹森不等式等号成立条件詹森不等式是数学中的一个重要不等式，广泛应用于信息论、统计学、概率论等领域。
这个不等式最早由瑞士数学家日期康·詹森（Jensen）于1906年提出，命名为詹森不等式，其表述为：对于凸函数f(x)和任意实数x1, x2, ..., xn，有：f( (x1+x2+...+xn) / n ) ≤ (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ) / n其中等号成立当且仅当对于任意的i,j，有f(xi) = f(xj)。
我们需要证明的是：当且仅当函数f为仿射函数时，上述不等式中的等号成立。
证明：首先，我们需要了解什么是凸函数和仿射函数。
凸函数是指函数图像上位于任意两点之间的线段所在的函数值不超过这两点对应函数值的弦线的函数。
换句话说，如果一条线段把函数的两个点连接起来，那么这条线段上的函数值总是小于等于这两个点组成的弦线的函数值。
仿射函数是指函数图像上的所有点都在一条直线上的函数，也可以说是一次函数。
接着，我们假设函数f为仿射函数，即f(x) = ax + b，其中a和b为任意实数。
此时，我们需要证明等式：f( (x1+x2+...+xn) / n ) = (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ) / n将f(x)代入式子得到：a(x1+x2+...+xn)/n + b = (ax1+ b + ax2 + b +...+axn + b)/n移项化简得到：ax1 + ax2+...+axn = (a(x1+x2+...+xn) + nb)/n移项继续化简得到：a(x1-xn) = (n-1)a(x1+x2+...+xn)/(n^2)因为x1, x2, ..., xn为任意实数，所以可以将x1换成(x1+x2+...+xn)/n-x2/ n-x3/ n-...-xn/ n）得到：a(x1+x2+...+xn)/n - a(x2/ n+x3/ n+...+xn/ n) = (n-1)a(x1+x2+...+xn)/(n^2)去掉一些项简化后得到：a(x1+x2+...+xn)/n = a(x2/ n+x3/ n+...+xn/ n)因为a为任意实数，所以上式成立当且仅当x1, x2, ..., xn在一条直线上。
凸函数与琴生不等式
2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B
均值不等式的证明方法及应用
均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。
应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。
本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。
关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUEINEQUALIT YABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximum and minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.Key words: average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum; limit; integral inequality目录前言 --------------------------------------------------------------------- 4 1 均值不等式的证明方法 --------------------------------------------------- 51.1 柯西法 ----------------------------------------------------------- 51.2 数学归纳法 ------------------------------------------------------- 61.3 詹森不等式法 ----------------------------------------------------- 71.4 不等式法 --------------------------------------------------------- 71.5 几何法 ----------------------------------------------------------- 81.6 排序法 ----------------------------------------------------------- 91.7 均值变量替换法 --------------------------------------------------- 91.8 构造概率模型法 --------------------------------------------------- 91.9 逐次调整法 ------------------------------------------------------ 101.10 泰勒公式法 ----------------------------------------------------- 102 均值不等式的应用 ------------------------------------------------------ 122.1 均值不等式在证明不等式中的应用 ---------------------------------- 122.2均值不等式在比较大小问题中的应用--------------------------------- 132.3 均值不等式在求最值问题中的应用 ---------------------------------- 132.3.1 均值不等式求最值时常见错误 -------------------------------- 142.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 -------------------------- 162.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 ---------------------------- 172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 ------------------------------ 192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 ------------------------------ 193 结论 ------------------------------------------------------------------ 21 参考文献: --------------------------------------------------------------- 22 致谢 -------------------------------------------------------------------- 23前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答. 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.著名数学家阿基米德[]1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究[]214-. 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作[]8.冉凯[]9对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.1 均值不等式的证明方法首先,我们给出均值不等式. 定理1 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则 1212nn n a a a a a a n+++≥⋅， ()11-上式当且仅当12n a a a ===时等号成立.上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把12na a a n+++和12n n a a a ⋅分别叫做这n 个数的算术平均数和几何平均数,分别记做()n A a 和()n G a ，(1-1)式即为()()n n a G A a ≥.下面给出均值不等式的几种证明方法.1.1 柯西法当2n =时,由于120,0a a >>.有212()0a a -≥,得12122a a a a +≥. 当4n =时,12341234()()a a a a a a a a +++=+++41234123412342244a a a a a a a a a a a a ≥+≥=.当8n =时,12345678()()a a a a a a a a +++++++441234567844a a a a a a a a ≥+8123456788a a a a a a a a ≥. 这样的步骤重复n 次之后将会得到, 令1211122,,;n nn n n n a a a a a a a a a a A n+++++======= ()12-有1122221212(2)()2n nnnn n nn n n nA n A A a a a Aa a a A--+-=≥⋅=⋅即1212nn n a a a a a a n+++≥⋅.这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.1.2 数学归纳法证法一当2n =时，不等式显然成立. 假设当n k =时,命题成立. 则当1n k =+时,12111k k K a a a a A k ++++++=+,11121k K k G a a a +++=⋅.因为i a 具有全对称性，所以不妨设1min 1,2,,|,1{}i a a i k k ==+,1{|,,1}1,2,k i a ma a x i k k +==+.显然 111K k a A a ++≤≤,以及()()11110K k K a A a A +++--≤.于是,111111()K k K k A a a A a a +++++-≥. 所以12111111()(1)k K K K K K a a a A kA k A A A k k k +++++++++-+-====211121111()()k k K kk k K a a a a A a a a a A k+++++++++-≥⋅+-.即12111()k k k k K A a a a a A +++≥+-两边乘以1K A +,得111211112111()()k K k k K k K k k K A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=.从而,有11K K A G ++≥.所以，由数学归纳法，均值不等式对一切n 成立，即 ()()n n A a G a ≥. 证法二当2n =时，不等式显然成立； 假设当n k =时成立.则当1n k =+时，有1111(1)k k k k k a k G k G -++++-≥⋅，于是11111122111(1)()()k k k k k k k k k k a k G G G a GG k-++++++-=≤⋅11(1)1()2k k k a k G G k +++-≤+ 11(1)1()2k k k a k G A k+++-≤+.所以 1112(1)(1)k k k k G k A k G +++⋅≤++-,所以 11k k G A ++≤. 当且仅当11k k a G ++=且1(1)k k k k G a k G +⋅=+-时等号成立. 由数学归纳法知,均值不等式对一切n 成立，即 ()()n n A a G a ≥．1.3 詹森不等式法引理1(Jensen 不等式)若()f x 为区间I 上的凸函数，对任意i x I ∈，0(1,2,,)i i n λ>=，且11ni i λ==∑，则11()()i nni i i i i f x f x λλ==≤∑∑ (1-3)成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.令 ()ln f x x =-,(0)x >,易知()f x 在(0,)+∞是凸函数.由于0(1,2,,)i a i n >=,令1i nλ=，则由引理1有下式,12121)(ln ln ln )ln(nn a a a a a a nn +++≤-+++-.则12121211)(ln ln ln )ln()ln(nn n a a a a a a a a n n na +++≥+++=,因此11212)ln()ln(nnn a a a a a na +++≥,即1212nn n a a a a a a n+++≥⋅,当且仅当12n a a a ===时等号成立.1.4 不等式法在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式1x e x ≥+进行推导. 设()x f x e =，对()x f x e =应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:2112x x e x x e θ=++, 其中, 0x ≠, 01θ<<. 因此, 1x e x >+,0x ≠.当0x =时，等号成立.下面给出均值不等式的证明过程. 取一组数k x ,1,2,,k n =，使10nk k x ==∑.令 (1)k k n a x A =+.则由(1)k x k x e +≤(k x 全为零时,取等号)可得,111111()(1)k nnn nx nn n k k n n n k k k G a x A A e A ===⎡⎤==+≤=⎢⎥⎣⎦∏∏∏，所以 ()()n n A a G a ≥.1.5 几何法作函数nx G y e =的图像,它是凸曲线，并在点(),n G e 处作切线 ny exG =,可见这条切线在函数的下面(见图11-)，因此,可以得到0i na G inea eG ≥>1,2,3,,i n =（）.所以12()12()()()n na a a G n nn nnea ea ea e e G G G +++≥⋅=，于是n n nA n G ≥，即n n A G ≥,且从上述证明中可知，当且仅当12n n a a a G ====时，等号成立.图1-11.6 排序法做序列: 11n a x G =,1222n a ax G =,…,12111n n n n a a a x G ---=,121n n n na a a x G ==，取其中的一个排列:11nb x ==,21b x =,…,1n n b x -=，则111n x a b G =,222n x a b G =,…,n n n nx a b G =. 不妨设120n x x x ≥≥≥>.则121110n x x x <≤≤≤.由排序原理可知3121212312111n n n nx x x x x x x n b b b b x x x ++++≥⋅+⋅++⋅=, 即12n nn n a a a n G G G +++≥,1212nn n a a a a a a n+++≥⋅,所以 ()()n n A a G a ≥.1.7 均值变量替换法本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证2n =时，不等式显然成立. 假设当n k =时，不等式成立. 则当1n k =+时，设1(1,2,,)i i k x a A i n +=-=,则110k i i x +==∑.设i x 不全为零,必有一个ix 为正,另一个为负,不妨设10i x x <<,由于 1211121112()()()k k k k a a A x A x A A x x ++++=++++<, 从而112311123411()()k k k k k k A x x a a A x x a a a kA ++++++++++>++=111234111k k kkk k k G a a a a a A A +++++>=.所以 1111k k k k A G ++++>,即11k k A G ++>.易证,当且仅当0i x =时(即12n a a a ===时)取等号,故原不等式()()n n A a G a ≥成立．1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.引理 2 设X 是一个随机变量,并且数学期望EX 存在,则有22()EX EX ≥,ln (ln )EX E X ≥. ()14-建立概率模型,设随机变量X 的概率分布为1()i P X a n==,其中0i a ≥,1,2,,i n =.由引理2可知,1111ln ln nni i i i a nn a ==≥∑∑,112ln ln 1ni i n n a a a a n =≥∑,即1212nn n a a a a a a n+++≥⋅成立.1.9 逐次调整法12,,...,n a a a 中必存在最值数，不妨设1min{}i a a =,2max{}i a a =. 易见21212()[]2a a a a +≥.于是,用122a a+取代12,a a .n A 不变,但是n G 增大,即 121231()()11()22nn i i a a a a a a a n n =++++++=∑,1212123()()22n nn n a a a a a a a a a ++≤⋅⋅.对于各个n ,这种代换至多进行1n －次(有限次).因此，212123()2n n n n n n n nn n a a G a a a a a A A A A +=≤⋅≤≤=.即 n n G A ≤,当且仅当12n a a a ===时,取等号.1.10 泰勒公式法设()log (01,0)xaf x a x =<<>，则21''()0ln f x x a=->，将()f x 在0x 处展开，有 '''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-.因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-,取011,(,),(1,2,,)ni i i x a a a b i n n ==∈=∑,从而'111111()()()()(1,2,,)n nn i i i i i i i i f a f a f a a a i n n n n ===≥+-=∑∑∑.故'111111111()()()()()nn n n nn i i i i i i i i i i i i f a nf a f a a a nf a n n n ======≥+⋅-=∑∑∑∑∑∑, 即 1111()()n ni i i i f a f a n n ==≤∑∑.因此有 12121()1log (log log log )n na a a a a a naa a a n+++≤+++,即 12121()()1log log n n a a a a a a n a an+++⋅≥,亦即112121()()loglog (01)nn n a a a a a a n aaa +++⋅≥<<,故有1212nn n a a a a a a n+++≥⋅,(0,1,2,,)i a i n >=.2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.例1 已知,,a b c 为互不相等的正数,且1abc =.求证111a b c a b c++<++. 证明1111/1/1/1/1/1/111222b c a c a b a b c bc ac ab a b c+++++=++<++=++. 故原不等式得证.例2 证明 221a b ab a b ++≥++.证明 由均值不等式得,212a a +≥,212b b +≥,222a b ab +≥.以上三式相加得,()()22212a b ab a b ++≥++，即有,221a b ab a b ++≥++. 原不等式得证.例3 设圆o 的半径为12,两弦CD 和EF 均与直径AB 交45︒,记AB 与CD 和EF 的交点分别为P 和Q,求证 221PC QE PD QF ⋅+⋅<.图21-证明 如图21-,设M 为弦CD 的中点,连接CO ,MO ,则△POM 为等腰直角三角形,且MP MO =.222222222()()2()2()2PC PD MC MP MC MP MC MP MC MO CO +=-++=+=+=211222⎛⎫== ⎪⎝⎭.同理,2212QE QF +=. 由均值不等式得，222222PC QE PD QF PC QE PD QF ++⋅+⋅≤+ 2222()()2PC PD QE QF +++=1112222+==.即 221PC QE PD QF ⋅+⋅<，原不等式得证.2.2均值不等式在比较大小问题中的应用比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键.例4 若1a b >>，lg lg p a b =⋅,1(lg lg )2Q a b =+,lg 2a bR +=,试判断,,P Q R 之间的大小关系.解 由均值不等式，得1(lg lg )lg lg 2Q a b a b P =+≥⋅=.1lg lg (lg lg )22a b R ab a b Q +=≥=+=.由于,a b a b >≠，所以不能取等号,即R Q P >>.2.3 均值不等式在求最值问题中的应用均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处.例5 求下列函数的值域：(1)22132y x x =+； (2)1y x x=+. 解 (1)因为,222211323x =622y x x x =+≥⋅. 所以,值域为[6,+)∞. (2)当0x >时，112 2y x x x x=+≥⋅=. 当0x <时,111()2 -2y x x x x x x=+=---≤-⋅=故,值域为[.],22∞⋃+∞（－－，） 例6 若02x <<,求函数()3(83)f x x x =-的最大值. 解 因为, 02x <<.所以,()3(83)3(83)24x x x f x x =≤+-=-，故()f x 的最大值是4.例7 制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时,使用的材料最省? (不计加工损耗)解 设圆322222222232V V V S rh r r r V r r rπππππ=+=+=++≥,当且仅当22Vr r π=,即32V r π= 时, 材料最省. 此时有322r r h ππ= ,故 :2:1h r =,即圆柱形的高与底面半径之比为2:1时,使用的材料最省.2.3.1 均值不等式求最值时常见错误运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小, 或不等式之间进行传递等变形,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误,而且错误不易察觉.因此,就这一问题列举几个例子进行说明.例8 求()111y x x x =+≠-的值域. 分析 在解题时,我们常常写成()111112113111y x x x x x x =+=-++≥-+=---， 故[)3,y ∈+∞.虽然111x x --与的积是常数,但1x -不一定是正数,忽视均值不等式中的各项为“正”致错, 因此解法是错误的.下面给出正确解法.解 当 1x >时,()111112113111y x x x x x x =+=-++≥-+=---,当且仅当111x x -=-,即 2x =时等号成立; 当1x <时,()111112111111y x x x x x x-=-+=-+-≥--=---,所以 1y ≤-,当且仅当0x =时取等号,所以原函数的值域为(][),13,-∞-⋃+∞.例9 求2254x y x +=+的最小值.分析 在解题时,我们常常写成 222222225411142424444x x y x x x x x x +++===++≥+=++++，所以y 的最小值是 2.可是在2y ≥ 中,当且仅当22144x x +=+,即23x =-,这是不可能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.解 在22144y x x =+++中,令24t x =+, 则1y t t =+(2t ≥),易证1y t t =+在[2,)+∞上递增,所以y 的最小值是15222+=,当且仅当2t =时,即242x +=,0x =,取“”=号.例10 若正数,x y 满足26x y +=,求xy 的最大值.分析 在解题时,我们常常写成22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当x y =且26x y +=,即2x y ==时取“”=号, 将其代入上式,可得xy 的最大值为4.初看起来,很有道理, 其实在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.但在22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭中,x y +不是定值,所以xy 的最大值不是4.这个问题忽视了均值不等式中积或和是定值的条件.下面给出正确解.解 因2112922222x y xy x y +⎛⎫=⨯≤⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当2x y =时(此时33,2x y ==)取“”=号, 所以()max 92xy =. 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略.例11 已知0 1x <<,求4lg lg y x x=+的最大值. 解 因为0 1x <<，所以lg 0x <，lg 0x ->,从而有()4lg 244lg y x x ⎛⎫-=-+-≥= ⎪⎝⎭，即 4y ≤-，当且仅当4lg lg x x -=-即1100x =时等号成立，故max 4y =-. 本题满足4lg 4lg x x⋅= 为定值，但因为0 1x <<,lg 0x <，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.例12 求 1 () 2y x x =- 102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 的最大值.解 ()()2112121122122228x x y x x x x +-⎛⎫=-=⋅⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-,即14x =时等号成立.故max 18y =. 本题)2(1x x +-不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.例13 已知0a b >>,求()64y a a b b=+-的最小值.解 ()()()3646436412y a a b b a b b a b b =+=-++≥=--，当且仅当()64a b b a b b-==-,即 8a =, 4b =时等号成立.故min 12y =.本题 ()64a ab b⋅-不是定值,但可通过添项、减项来满足积为定值.例14 已知0 x π<<,求4sin sin y x x=+的最小值. 解 41313sin sin 2sin 5sin sin sin sin 1y x x x x x x x ⎛⎫=+=++≥⋅+= ⎪⎝⎭. 当且仅当1sin sin x x =且33sin x=,即sin 1x = 时等号成立. 故min 5y =. 本题虽有4sin sin x x ⋅为定值,但4sin sin x x=不可能成立. 故可通过拆项来满足等号成立的条件.例15 已知52x ≥,则()24524x x f x x -+=- 有______.()A 最大值54 ()B 最小值54()C 最大值1. ()D 最小值1. 解 ()()()()2221451121242222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤===-+≥⎢⎥---⎣⎦,当且仅当()122x x -=-,即3x =时等号成立.故选()D .本题看似无法使用均值不等式,但对函数式进行分离,便可创造出使用均值不等式的条件.2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,需证明数列单调及数列有界.而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容.下面举例说明.例16 证明重要极限1lim(1)n n e n →∞+=的存在性.证明 先证数列{1(1)n n +}单调递增.令1211n a a a n===+=，11n a +=，则由均值不等式()11-得,111111(1)(1).1[(1)(1)1]1n n n nn n nn++++++<+++个个.即 111(1)11n n n n ++<++,所以 111(1)(1)1n n n n ++++<.所以 数列{1(1)n n +}单调递增.再证数列{1(1)n n+}有上界.下面的证明可以看到一个更强的命题：数列{1(1)n n +}以11(1)k k M ++=（k 为正整数）为上界.先证不等式, 当n k >时, 1111(1)(1)n k n k++<++.设 1211k ka a a k +====+，21k n a a +===.由均值不等式111()1[(1)()]1111k n k n k k n k n k k n k n +-+⋅+⋅+-=++<++， 所以 11()()11k n k n k n ++<++,因此，1111(1)(1)n k n k ++<++. 其次由111n +>,有111(1)(1)n n n n +<++,所以111(1)(1)n k n k+<++.当n k >时，任取一个正整数k ，11(1)k k M ++=均是数列{1(1)n n+}的上界.又数列{1(1)n n +}单调递增，所以,当n k ≤时,不等式111(1)(1)n k n k+<++仍然成立.因此，对于数列 {1(1)n n +}1,2n =（）, 恒有111(1)(1)n k n k +<++（k 为正整数）. 任意选定一个k 值，11(1)k k M ++= 均是数列{1(1)n n+}的上界.所以数列{1(1)n n +} 单调有界,由单调有界定理,数列{1(1)n n +} 极限存在.极限值为e ，即1lim(1)n x e n→∞+=.例17 证明数列{11(1)n n ++}极限存在且其极限是e .证明 令 11{(1)}n n x n+=+.11221(1)11111()()[]()1122n n n n n n nn n n n n x n n n n x ++++++⋅+++==≤==++++. 所以,数列{}n x 单调减少.又0n x >,则数列{}n x 有下界.1111lim(1)lim (1)(1)n n n n nn n +→∞→∞⎡⎤+=+⋅+⎢⎥⎣⎦. 因为 1(1)n n +和1(1)n+的极限都存在, 所以1111lim(1)lim (1)(1)n n n n e n n n +→∞→∞⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦. 因此, 数列{11(1)n n++}极限存在且其极限是e .例18 证明lim 1n n n →∞=.证明 由均值不等式（1-1）有:121111nnn n n n n n n -⎛⎫++++=⋅⋅≤⎪⎝⎭个2221n n n n+-=<+, 从而有201n n n≤-<,故 lim 1n n n →∞=.2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用. 例19 已知正项级数1n n a ∞=∑收敛，证明级数11n n n a a ∞+=∑也收敛.证明 因为,0n a >(1,2,)n =,由均值不等式，有111()2n n n n a a a a ++≤+,已知级数1n n a ∞=∑收敛,所以级数112n n a ∞=∑与1112n n a ∞+=∑都收敛，从而级数111()2n n n a a ∞+=+∑也收敛，再由比较判别法，知级数11n n n a a ∞+=∑收敛.2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明.例20 证明函数f x （）在[],a b 上是正值可积的, 1,2,k n =,且0a b <<,则[]11111212()()()()()()bbbbnnnnn n aa a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅≤⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 证明 利用1212nn n a a a a a a n+++≥⋅.有,1212()()()()()()n bbbnn aaaf x f x f x f x dxf x dxf x dx⋅⎰⎰⎰1212()()()1()()()n b bbn a a af x f x f x n f x dx f x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥≤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.于是 1111212()()()()()()n n nb n b bba n a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰⎰ 1212()()()11()()()b bbn a a a b b b n a a af x dx f x dx f x dx n f x dxf x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥≤+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即 []11111212()()()()()()bbbbnnnnn n aa a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅≤⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 例21 设f x （）在[0,1]上非负连续，证明101ln ()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.证明 由题设知f x （）在[0,1]上可积，将[0,1]n 等分，作积分和111()lim()n n i i f x dx f n n →∞==∑⎰，110111ln ()lim ln ()limln ()nn nn n i i i i f x dx f f n n n →∞→∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∏⎰. 所以 01111li ln (n )m l ()1lim ()n nn i i f nnn f x n dxi i e f n e →∞=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦→∞=∏⎡⎤=⎢⎣⎰⎥⎦=∏. 由均值不等式1212...n nn a a a a a a n+++≥⋅得,110111lim ()lim ()()nn nn n i i i i f f f x dx n n n →∞→∞==⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦∑∏⎰.故 11ln ()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.参考文献:[1]中译本（朱恩宽、李文铭等译）:《阿基米德全集》[M]. 西安：陕西科学技术出版社,1998.[2]陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130.[3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91.[4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80.[5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].MathematicsMagazine,1991,64:273.[6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35．[7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004．[8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004.[9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38.[10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10.[11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24．[12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南：山东科学技术出版社,2007.[13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152.[14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3):88-89.致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。
2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。
3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。
4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。
5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。
6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。
7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。
8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。
9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。
10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。
这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。
詹森不等式
詹森不等式詹森不等式（Jensen's Inequality）是数学中的一种基本不等式，它是在概率论和统计学中经常使用的一个不等式，特别是在证明一些概率不等式时非常有用。
以下是对詹森不等式的详细介绍。
定义詹森不等式是在概率论中，对于一个凸函数f，以及一组随机变量X，我们有以下不等式：E[f(X)]≥f(E[X])这里的“E”表示期望值。
该不等式的现代形式如下：对于任意的实数μ，如果一个函数f是集合｛fα：α∈A｝中的凸函数，且X 是一个随机变量，那么有：f(E[X]|X≤μ)≥E[f(X)|X≤μ]这里“|X≤μ”表示在X小于或等于μ条件下的期望值。
证明设X是一个随机变量，g是凸函数，那么由凸函数的性质可知，对于任意的实数a和b，有：g(a+b)≤g(a)+g(b)令a=E[X]，b=(X-E[X])I(X≤μ)，其中I(X≤μ)是指标函数，如果X≤μ，I(X≤μ)=1，否则I(X≤μ)=0。
那么a+b=X I(X≤μ)，因此：g(E[X]+(X-E[X])I(X≤μ))≤g(E[X])+g((X-E[X])I(X≤μ))上式左端等于g(E[X|X≤μ])+E[g((X-E[X])I(X≤μ))]≥g(E[X|X≤μ])+g(E[(X-E[X])|X≤μ])=g(E[X|X≤μ])+g(E[X]-E[X|X≤μ]))=g(E[X|X≤μ])+g(E[X]-E[X|X≤μ]))≥g(E[x])+g((x-E[x]))，与上述不等式右端比较，得出结论。
应用詹森不等式被广泛应用于各个领域，特别是概率论和统计学。
以下是几个具体的应用示例：1.在概率论中，詹森不等式可以用来推导一些重要的不等式，例如Cauchy-Schwarz不等式和Holder不等式。
这些不等式在很多数学分析和统计学的应用中都非常重要。
2.在统计学中，詹森不等式可以用来估计样本均值的方差。
在很多统计推断的问题中，我们需要估计样本的参数，这时候詹森不等式就非常有用了。
詹森不等式与数学竞赛中的不等式
詹森不等式与数学竞赛中的不等式数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：1.把所有x前的系数都变为正的(不必就是1,但是得就是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角已经开始,一上一下依次沿着不等式的木，奇过偶不过(即为碰到含x的项是雷次幂就沿着,偶次幂越过，后面存有详尽了解);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
⒈水解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把木所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题解,题中建议谋≤0的求解，那么只须要在数轴上看一看哪一段在数轴及数轴以下即可,观测可以获得：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的.抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
方程中建议的就是>0，只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。
x<-2或0<x<1或x>3。
⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来;⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”所指的就是水解因式后,某个因数的指数就是奇数或者偶数;比如对于不等式(x-2)2(x-3)>0(x-2)的指数就是2,就是偶数,所以在数轴上图画曲线时就不沿着2这个点，而(x-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。
琴生不等式
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。
jensen不等式的理解
jensen不等式的理解Jensen不等式的理解Jensen不等式是数学中的一种重要不等式，被广泛应用于概率论、统计学和优化理论等领域。
它是由丹麦数学家约翰·约瑟夫·昂森（Johann Jensen）在1906年提出的，因此被称为Jensen不等式。
Jensen不等式的核心思想是描述凸函数与其自变量的关系。
在数学中，凸函数是一种具有特殊性质的函数，它的弧线上的任意两点连线都位于弧线上方或者弧线上，简单来说就是函数图像上的任意两点之间的线段都位于或者在函数图像上方。
Jensen不等式的表述形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)是凸函数，那么对于[a,b]上的任意n个实数x1,x2, (x)以及非负系数λ1,λ2,...,λn且满足λ1+λ2+...+λn=1，有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤ λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)这个不等式的意义在于描述了凸函数的线性性质。
它表明，对于凸函数而言，函数值的线性组合在函数值上是保持凸性的。
也就是说，凸函数的函数值的线性组合不会超过对应自变量的函数值的线性组合。
为了更好地理解Jensen不等式，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一家公司要根据员工的绩效进行奖金发放，奖金的总额为100万元。
根据Jensen不等式，假设有三个员工，他们的绩效分别为x1、x2和x3，且绩效的权重分别为λ1、λ2和λ3。
那么根据Jensen不等式，奖金的分配方式应该满足以下条件：λ1x1+λ2x2+λ3x3 ≤ λ1f(x1)+λ2f(x2)+λ3f(x3)其中，f(x)是奖金与绩效之间的函数关系，可以是线性函数、指数函数或者其他函数。
这个不等式告诉我们，根据员工的绩效以及绩效的权重，我们可以通过函数f(x)来确定每个员工所获得的奖金。
而Jensen不等式则保证了这种奖金分配方式是公平且符合凸函数的性质。
Jensen不等式
凸函數、Jensen 不等式與Legendre 變換一、前言凸函數的出現絕非偶然，在古典力學中的動能，就是最自然直接的凸函數，其他如熵(entropy)……等皆是，當然從幾何的角度而言就是拋物線。
近代分析由於受凸分析研究所得之進展的影響，使得在非線性分析，非線性微分方程皆有長足之進展與突破，其中較重要的就是逐漸將非線性 (nonlinearity)視為一個體，而非只是線性化 (linearization) 而已。
凸函數是如此地美麗且重要，而一般教科書只是提個定義然後定理之後便是習題。
對於這樣的數學，我們實在不滿足地無法忍受，畢竟數學要教導我們聰明並學習如何去思考。
因此本文秉持此原則，將著重於幾何與物理直觀，並與一些相關聯的領域作一些對應，以思索在我們前面的那些數學巨人是如何思考問題。
二、凸函數我們從凸函數之定義開始定義：f為一定義在區間上之一實值函數 (real-valuedfunction)若對任意的, ，f滿足下式則稱f為一凸函數 (convex function)。
圖一其幾何意義為連接(a,f(a)),(b,f(b))兩點的弦，永遠在弧y=f(x)之上（圖一）。
利用分點公式我們可將(1)式表為下列之形式：由(2)式可得即圖二其幾何意義從圖形上之斜率可知。
我們的主要目的在於如何將(1)式推廣至一般情形。
首先同時也是自然而然地（在數學上 2 與n是沒有差別的）將(1)式推廣至n個點x1,…,x n。
（可用歸納法）其中, , ,。
有時候我們（有目的地）令則(4)式可改寫為這就是 Jensen 不等式之一形式。
若取特殊的p i，例如：則(6)式可表為典型的凸函數有底下的類型：在尚未做進一步推廣前，Jensen 不等式最直接的應用就是幾何平均與算數平均之關係；讀者可自行練習例題 1：（幾何-算數平均）試證(a)(b)三、Jensen 不等式的意義我們感興趣的問題是關於 Jensen 不等式(6)式或(7)式之幾何意義與物理意義，首先介紹質量中心：假設平面上有n個點且它們皆有相同之質量，其位置向量為，，則質量中心之位置向量為或這意思是從點到各點之向量彼此互相抵消。
詹森不等式证明及应用
例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中 均
为正数。
a
5
sinx1 sin x2
sinx1
x2
xn
n
n
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
n
1 1 1
n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
an
ak0,k1,2,L,n a
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
习数学许多不等式证明起到很重要的作用。
本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法
且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影
a
2
詹森不等式的证明
方法一: 用数学归纳法证 詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个 ，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。 证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n 成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量
6
例5：利用Jensen不等式证明Hölder不等式
以及柯西不等式。
1
1
Hölder不等式
n aibi n aipp n biqq
i1
i1
i1
柯西不等式
n
2
aibi
n
ai2
n
bi2
i1 i1 i1
a
7
詹森不等式的应用 应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题
问题1：
a
8
问题2：
a
9
詹森不等式的应用
应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用
设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而 且是凸域K内的型凸函数，则有 E [f(x)]f(E [x])
詹森不等式-详解
詹森不等式-详解詹森不等式（Jensen's inequality），也译为延森不等式、琴生不等式目录• 1 詹森不等式简介• 2 詹森不等式的一般形式o 2.1 测度论的版本o 2.2 概率论的版本• 3 詹森不等式的特例o 3.1 机率密度函数的形式o 3.2 有限形式o 3.3 统计物理学• 4 参考文献詹森不等式简介詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。
它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.詹森不等式的一般形式詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。
这两种方式都表明同一个很一般的结果。
假设μ是集合Ω的正测度，使得μ(Ω) = 1。
若g是勒贝格可积的实值函数，而是在g的值域上定义的凸函数，则。
以概率论的名词，μ是个概率测度。
函数g换作实值随机变量X（就纯数学而言，两者没有分别）。
在Ω空间上，任何函数相对于概率测度μ的积分就成了期望值。
这不等式就说，若是任一凸函数，则。
詹森不等式的特例假设Ω是实数轴上的可测子集，而f(x)是非负函数，使得。
以概率论的语言，f是个机率密度函数。
詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：若g是任一实值可测函数，φ在g的值域中是凸函数，则。
若g(x) = x，则这形式的不等式简化成一个常用特例：。
若Ω是有限集合，而μ是Ω上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：，其中。
若φ是凹函数，只需把不等式符号调转。
假设是正实数，g(x) = x，λi = 1 / n及。
上述和式便成了，两边取自然指数就得出熟悉的平均数不等式：。
这不等式也有无限项的离散形式。
统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：，其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。
jensen不等式
jensen不等式1. Jensen不等式回顾优化理论中的⼀些概念。
设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。
当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。
如果或者，那么称f是严格凸函数。
Jensen不等式表述如下：如果f是凸函数，X是随机变量，那么特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。
这⾥我们将简写为。
如果⽤图表⽰会很清晰：图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。
（就像掷硬币⼀样）。
X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成⽴。
当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。
Jensen不等式应⽤于凹函数时，不等号⽅向反向，也就是。
先验概率与后验概率事情还没有发⽣,要求这件事情发⽣的可能性的⼤⼩,是先验概率.事情已经发⽣,要求这件事情发⽣的原因是由某个因素引起的可能性的⼤⼩,是后验概率. ⼀、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。
后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。
先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。
⼆、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.三、先验概率与后验概率通俗释义事情有N种发⽣的可能，我们不能控制结果的发⽣，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能⼒。
信息论中的重要不等式
相对熵的性质
p( x) q( x) D ( p || q ) 0 ，等号成立 D ( p || q )是概率分布对 ( p , q ) 的凸函数
7
互信息
X 信源 P(X
Y 信宿 P (Y
x2 , , xi , , x n x1 , , p ( xi ) 1 ) p ( x1 ), p ( x 2 ), , p ( x i ), , p ( x n ) i
3.合写：
I ( X ;Y )
i j
p ( x i y j ) lo g 2
p ( xi y j )
p ( x i ) p ( y j ) H(X) + H(Y) – H(XY)
I (Y ; X )
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平均互信息（物理意义）
1. I(X;Y)= H(X) – H(X/Y) (1) H(X)——信源熵：X的不确定度 H(X/Y)——已知Y时，对X仍剩的不确定度 [结论]―Y已知”使得对X的不确定度减小了, 即获得了I(X;Y) 的信息量 (2) H(X)——信源含有的平均信息量(有用总体) I(X/Y)——信宿收到的平均信息量(有用部分) [结论] H(X/Y)—因信道有扰而丢失的平均信息 19 量，故称损失熵
9
互信息
1. 互信息 (1) yj对xi的互信息 I(xi;yj) p ( xi / y j ) I ( x i ; y j ) lo g 即： I(xi;yj)= I(xi)- I(xi/yj) p ( xi ) p(xi) ——先验概率：信源发xi的概率 p(xi/yj)——后验概率：信宿收到yj后， 推测信源发xi的概率 [含义] 互信息I(xi;yj) =自信息I(xi) - 条件自信息I(xi/yj) ＊I(xi) __信宿收到yj之前，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi/yj) __信宿收到yj之后，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi;yj) __收到yj而得到(关于xi )的互信息 =不确定度的减少量 10
Majorization不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广
学习必备欢迎下载Majorization 不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广Majorization 不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广。
正如琴生不等式对一个凸(凹)的函数给出一个极值(极大值或极小值)，而Majorization 不等式能够在某些情况下，如以下例子一样，同给出两者。
为了引述这个不等式，首先介绍对有序实数集的majorization概念。
定义：设 (x1, x2, ...., x n)、(y1, y2, ...., y n)为两个n元有序实数组，且满足以下条件o x1≧ x2≧....≧ x n，y1≧ y2≧....≧ y n，且o x1≧ｙ1，x1+ x2≧ｙ1+y2 , x1+ x2+ x3≧ｙ1+y2+y3 , ..... , x1+ ....+ x n-1≧ｙ1+....+y n-1 ，及o x1+ ....+ x n=y1+....+y n ；则记(x1, x2, ...., x n)(y1, y2, ...., y n)。
其实以上对于的比较方法是由Schur所定义，其用意是说明：当排列总和相同的数列由大到小，对于已知一数列，定理(Majorization 不等式)：设函数 f 在闭区间 I=[a, b]为凸的，且(x1, x2, ...., x n)(y1, y2, ...., y n)其中实数x i, y j在I。
则有 f(x1)+f(x2)+ .... + f(x n)≧f(y1)+ f(y2)+ .... + f(y n)。
此外，对于严格凸的函数f，等号成立当且仅当这两个n元组相等，即(x1, x2, ...., x n) = (y1, y2, ...., y n)。
对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。
注：Majorization不等式的证明将放在最后。
以下要证明琴生不等式可由Majorization 不等式中得出。