第3章 短期聚合风险模型

年真题） 【例题3.2】（2005年真题）总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为： 例题 】 年真题
n + 2 3 *( n fS ( x ) = ∑ f X n) ( x ) 1 2 L 0.2 × 0.8 ，x = 0 ， ， ， n n =0
∞
* 其中，个体损失额X的概率函数为：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。f X ( n ) 表示fX的n重卷
(3.2) (3.3)
M S (t ) = E (etS ) = M N ln M Ci (t ) (3.4) 只要已知理赔次数N的矩母函数MN(t)和理赔额Ci的矩母函数，便可由上式进行复合运算得
到S的矩母函数。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
e − λ λ n *n FS ( x) = ∑ P ( x) n! n =0
∞
e − λ λ n *n f S ( x) = ∑ p ( x) n! n =0 E ( S ) = λ p1
∞
Var ( S ) = λ p2 M S (t ) = e
（2）特殊性质 ①求和的封闭性： 已知S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，Si为参数λi的复合泊松分布，理赔额变量的 分布函数为Pi(x)=1，2，…，m。则S=S1+S2+…+Sm服从参数为 λ = 分布函数为：
λ [ M C ( t )−1]
∑ λ 的复合泊松分布，且S的
i =1 i
m
P( x) = ∑
λi P ( x) λ i i =1
m
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
②可分解性： 假设随机变量S服从复合泊松分布，参数λ＞0，理赔额变量为离散型，概率函数为 πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi 表示理赔额变量的取值。若记Ni 为S中取值为xi 的次数， i=1，2，…，m，则有： N=N1+N2+…+Nm，N＞0，
§3.2 1．S的概率分布 ． 的概率分布
理赔总量模型
设理赔总量S的分布函数为Fs(x)，密度函数为fs(x)，则：
FS ( x) = P( S ≤ x) = ∑ P ( S ≤ x | N = n P( N = n) ）
n =0
∞
= ∑ P ( N = n ) P* n ( x )
n =0 ∞
∞
官方总站：圣才学习网
（3）泊松分布 ①参数λ为常数：
P { N = k} =
λk
k! E ( N ) = Var ( N ) = λ M N (t ) = e
λ et −1
， e − λ，k = 0，2， ，λ＞0 1 ⋅⋅⋅
( )
注：泊松分布是二项分布的一种极限结果。 ②参数λ为随机变量： 假定N的泊松分布的参数λ是随机变量，记作Λ，设其分布离散型分布都可归入（a，b）类计数分布：
官方总站：圣才学习网
【要点详解】 要点详解】
§3.1
理赔次数和理赔额的分布
短期聚合风险模型： 短期聚合风险模型：
N C + C2 + ⋅⋅⋅ + C N = ∑ Ci S = 1 i =1 0
N＞0 N= 0
(3.1)
其中：N表示某类保单在单位时间内发生理赔的次数，Ci表示该类保单在此期间第i次理赔 的金额，S为该类保单在此期间的理赔总量。 模型假设： ☞ 随机变量N，C1，C2，…相互独立。 ☞ C1，C2，…具有相同的分布，即Ci都是同质风险。记它们的共同分布为P(x)、概率密度 （或概率函数）为p(x)，用C表示服从该共同分布的随机变量。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
1．理赔次数的分布 ． 理赔次数变量是取值非负整数的随机变量，它刻画保单组合在给定的时间内的总理赔次 数。 （1）二项分布
n n −k P { N = k } = q k (1 − q ) ，k = 0，2， ，n，0＜q＜1 1 ⋅⋅⋅ ， k E ( N ) = nq ，Var ( N ) = nq(1 − q ) M N ( t ) = ( q + pet )
P { N = n}= ∫ P ( N = n | Λ = λ ) u (λ )d λ = ∫
0
∞
∞
λn
n!
0
e − λ u (λ ) d λ
E ( N ) = E[ Λ ] Var ( N ) = E (Λ) + Var (Λ) M N (t ) = M Λ ( et − 1)
定理： 定理：当Λ取定为某个值λ后，N服从参数为λ的泊松分布，Λ~Gamma(α，β)，则N的无条件 分布为负二项分布，参数分别为：
r = α，p =
β
1+ β
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
2．理赔额变量 ． 理赔发生后的理赔金额是一个取值于非负实数的随机变量，它刻画每次理赔的损失金额 状况。各类离散型分布、连续分布、混合型分布都可用于描述理赔额分布。 年春季真题） 【例题3.1】（2008年春季真题）某保险人承保保险标的索赔次数N服从参数为Λ的泊松 例题 】 年春季真题
0 S = x1 N1 + x2 N 2 + ⋅⋅⋅ + xm N m
有以下结论成立： ☞ N1，N2，…，Nm相互独立； ☞ Ni服从参数为λi=λπi的泊松分布，i=1，2，…，m。
N =0 N＞0
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
§3.3 1．复合泊松模型的定义 ． 短期聚合风险模型满足以下条件时： （1）N服从参数为λ＞0的泊松分布。
复合泊松模型
（2）理赔额变量C1，C2，…相互独立具有相同的分布，简称为理赔额变量C。其分布函 数为P(x)，x≥0；密度函数为p(x)，x≥0；并记其k阶原点矩为：
∞
pk = ∫ x k dP ( x) k = 1 2， ， ， ⋅⋅⋅
0
（3）N与C1，C2，…，相互独立。 则短期聚合风险模型的随机变量S为参数λ＞0的复合泊松模型。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
2．复合泊松模型的性质 ． （1）基本性质
第3章 短期聚合风险模型 章
【考试内容】 考试内容】 3.1 理赔次数和理赔额的分布 理赔次数的分布 理赔额变量 3.2 理赔总量模型 S的概率分布 S的均值、方差 S的矩母函数 3.3 3.4 复合泊松模型 聚合理赔量的近似模型 正态近似 平移伽玛近似
中华精算师考试网
0
∞
∞
λ ne−λ
n!
0
e− λ d λ
=2
− ( n +1)
∫
∞ 0
λ n+1−1e −2 λ
Γ(n + 1)
2n+1 d λ
= 2− ( n+1)
故
P( N = k ) 1 = P( N = k − 1) 2
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
（2）负二项分布
n
r + k − 1 r k P { N = k} = ， 1 ⋅⋅⋅ p q ，k = 0，2， k rq E(N ) = p rq Var ( N ) = 2 p p M N (t ) = t 1 − qe
r
中华精算师考试网
f S ( x ) = ∑ P ( N = n) p * n ( x )
n =0
2．S的均值、方差 ． 的均值 的均值、
E ( S ) = E ( N ) E (Ci ) Var ( S ) = E 2 (Ci )Var ( N ) + E ( N )Var (Ci )
3．S的矩母函数 ． 的矩母函数
分布，假设Λ服从参数为l的指数分布，则
P( N = k ) =（ P( N = k − 1)
E．6/7
）。
A．1/2 【答案】A 答案】
B．2/3
C．3/4
D．5/6
【解析】由已知，有fΛ(λ)=e-λ，λ≥0，则 解析】
P { N = n} = ∫ P { N = n | Λ = λ} f Λ (λ )d λ = ∫
③分布计算的递推性质 ☞ 对于复合泊松模型，当理赔额变量C取值于正整数时，有如下的fS(x)的迭代公式：
f S (0) = e− λ f S ( x) =
λ
x
∑ ip(i) f
i =1
x
S
( x − i ) ，x = 1 2，⋅⋅⋅ ，3
(3.5)
☞ 若理赔次数N的分布满足：
b P { N = n} = a + P { N = n − 1}，n = 1 2， ， ⋅⋅⋅ n
解得：p=1.51。
中华精算师考试网
官方总站：圣才学习网
例题3.4】 年春季真题） 【 例题 】 （ 2008年春季真题） 假定理赔次数N服从几何分布，概率分布为P(N=n)=pqn ， 年春季真题 n=0，1，2，…，0<p<1，p+q=1；个别理赔额X服从参数为β的指数分布Exp(β)，聚合理赔S的 矩母函数Ms(t)等于（ p A. qβ 1− β −t p( β − t ) E. β − qβ + t 答案】 【答案】A ）。
B. 1−
p
β −t
β
C. 1−
p q( β − t )
D.
β
pβ 1 − q( β − t )
【解析】由已知，有 解析】
M X (t ) = β ，M N (t ) = p t β −t 1− qe
故
M s (t ) = M N [ln M X (t )] p = 1− qM X (t ) p = 1− q β β −t