第四章梁的内力剪力和弯矩

M(x)
RA
x
Fb l
x0
x
a
Q(x)
CB段：
Q( x)
RA
F
Fa l
a
x
l
Q
+
-
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，Q图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
A
mC
B
x
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
(3)绘制剪力图、弯矩图
在Q=0处，M取得最大值。
F
解:(1)计算支反力：
A
B
RA
C
x a
b
l
RA Fb / l RB Fa / l ()
RB (2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
CB两段考虑，以A为原点。
M(x) RA x Q(x)
AC段：
Q(x)
RA
Fb l
0
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
MM2
2
(2（0120.505.051.05 .2150
11.500.705.5）20k)kNN
mm
6.265.k2N5kmN m（可用右段进行验证!）
12
（与保留左端求得结果一致）
§4-3 剪力图与弯矩图
1. 内力方程：
剪力方程(equation of shearing force) ： Q=Q（x） 弯矩方程(equation of bending moment) ：M=M（x）
q( x2
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
4.1.4 直接法求梁的内力
Q Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束
XA MA
A
YA
4.1.4 梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam)
②悬臂梁 (cantilever beam)
③外伸梁(overhanging beam)
一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。
二、载荷简化
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
Baidu Nhomakorabea
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束
A
YA
A
A
A
XA
A
4.1.2 平面弯曲的概念
P
q
m
对称轴 (symmetrical axis)
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
4.1.3 梁的简化—计算简图的选取
计算简图 —表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧 或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横 截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆 时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩 逆时针为正值，顺时针为负值。
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
11
例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA
x Q(x) m
x
M(x) Q(x)
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
a
F11
m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
CM
Q RA F1
RA
MC 0:
M F1( x a) RA x 0
M RA x F1( x a)
M(–)
M(–)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Q1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
O M1 x1 Q1
2-2截面:
Fy 0 :
Q2 qx2 a ql
mO 0 :
ql
x2
O M2 Q2
qlx2
M2
1 2
第四章 梁的内力—剪力和弯矩
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5
工程实际中的受弯杆 梁的内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 荷载、剪力和弯矩间的关系 用叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆
2
4.1.1 梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of
bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
Q
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
[例4-3]q 求图示简支梁的内力方程并画内力图。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Q1 (20 50 10 0.5)kN
25kN
M1 (201.5 50 0.5 10 0.5 0.25)kN m 6.25kN m
22:
QQ22(（ 2100 50101001..55）)kNkN 15kN15kN
A
RA
x l
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
q
对称 ∴RA RB ql / 2 ()
M(x) RA x Q(x)
ql /2 + Q
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Q(x) ql－qx0 x l
2
∑MC
0：M (
x)
ql 2
x
q 2
x 2 0
x
l
M +
ql 2/8
x
Q
对截面形心C取矩！
m
M
Q
RB
内力的正负规定:
①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)