第2讲 Leslie矩阵模型

3.4 Leslie 矩阵模型
本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie 在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。

假设女性最大年龄为s 岁，分s 岁为n 个年龄区间：
n i n is n s i t i ,,2,1,,)1( =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-=∆
年龄属于i t ∆的女性称为第i 组，设第i 组女性人口数目为
),,2,1(n i x i =，称T n x x x x ),,,(21 =为女性人口年龄分布向量，考虑x 随
k t 的变化情况，每隔
n
s
年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。

设初始时间为0t ，n
ks
t t k +=0时间的年龄分布向量为
T k n k k k x x x x ),,,()()(2)(1)( =，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口
演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。

设第i 组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为i a （第i 组每位女性在n
s
年中平均生育的女婴数，0≥i a ），存活率i b （第i 组女性在
n
s 年仍活着的人数与原来人数之比，10≤<i b ），死亡率i b -=1，假设i a ，
i b 在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。

k t 时第一组女性的总数)(1k x 是1-k t 时各组女性（人数为n i x k i ,,2,1,)1( =-）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：
)
1()1(22)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x
k t 时第1+i 组（1≥i ）女性人数)
(1k i x +是1-k t 时第i 组女性经
n
s
年存活下来的人数，可以由下式表示：
1,,2,1,1)(1-==-+n i x b x k i
i k i 用矩阵将上两式表示为：
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------113
12111
21
121321000000000k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a x x x x
记：
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000
000
0001
2112
1
n n n b b b a a a a L
，⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n k k k k x x x x x 321)(， 则有 )0()
(x L x
k k =
称L 为Leslie
矩阵，由上式可算出k t 时间各年龄组人口总数、人口
增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。

利用Leslie 模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L 的特征值和特征向量有关。

矩阵L 有唯一的单重正特征值1λ，对应的特征向量为：
T
n n b b b b b b x ),,,,
1(1
1
12121211
11--=λλλ
若1λ是矩阵L 的正特征值，则L 的任一个（实的或者复的）特征值
λ都满足：
1λλ≤
若矩阵L 的第一行有两个顺序元素0,1>+i i a a ，则L 的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L 矩阵必有严格优势特征值。

若矩阵L 有严格优势特征值1λ，对应特征向量为1x ，则：
11
)
(lim cx x k k k =∞
→λ
这表明时间k t 充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k i
x 占总数∑=n
i k i x 1
)(的百分比几乎等于特征向量1x 中相应分量占分量
总和的百分比。

同时k t 充分大后，人口增长率
)
()
()1(k i
k i k i x
x x -+趋于11-λ，或说11>λ时，
人口递增；11<λ时，人口递减；11>λ时，人口总数稳定不变。

例1 加拿大人口数量预测问题
为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）
分析：
由上表得到加拿大人口的Leslie 矩阵L 如下所示，求解特征方程，
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000
000099621.0000000000099694.00000
00000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00
L 可以得到L 矩阵的特征值：0763.1=λ和特征向量：
T x ]2104.0,2294.0,2489.0,2694.0,2910.0,3141.0,3390.0,3656.0,3942.0,4257.0[=
通过上述过程大家可以发现，一旦L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab 求解程序如下：
clear all
L=zeros(10,10);
L(1,:)=[0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240]; L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694; L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700; [v,d]=eig(L); a1=d(1,1); a2=v(:,1);
a3=v(:,1)./sum(v(:,1)); pie(a3)
legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')
结果：
14%
11%10%9%
7%
图1 加拿大人口结构示意图
由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(k
i
x占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占分量总和的百分比。

如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增7.662%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。