现代控制理论课后习题答案

前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。

本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。

由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。

书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。

由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。

另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。

编者 2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。

令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dy x dt =。

根据牛顿定律对1M 有：211311()d x x M x Kx B dt-=--对2M 有：2122412()()d x x dxM x f t B B dt dt-=--经整理得：状态方程为： 132411313411111243422221()x x x xB B Kx x x x M M M B B B x x x u M M M M =⎧⎪=⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--++⎪⎩输出方程为： 1122y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩写成矩阵形式为：11221111133441122222112234001000001000100()10000100x x x x B B K u M M M x x x x B B B M M M M x y x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2.5 系统的结构如图P2.5所示。

以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。

其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。

图P2.5系统结构图解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。

状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。

由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有①：2111x x x+=α ②：3222x x x+=α ③：u x x+=333α 输出y 为1y x du =+，得11122233310001001x a x x a x u x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100x y x du x ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.7 试求图 2.8P 中所示的电网络中，以电感1L 、2L 上的支电流1x 、2x 作为状态变量的状态空间表达式。

这里u 是恒流源的电流值，输出y 是3R 上的支路电压。

u图P2.8 RL 电网络解 采用机理分析法求状态空间表达式。

由电路原理可得到如下微分方程()1232222x x R R x L x +=--()1111231/u x L x x x R R =+++⎡⎤⎣⎦()123y x x R =+整理得状态空间表达式为[]133111111223232213320R R R R L L x x L u x x R R R L L x y R R x +⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.8 已知系统的微分方程 (1) u y y yy 354=+++ ； (2) u u y y-=+ 32； (3) u uy y y y 75532+=+++ 。

试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有：122331231543x x x x x x x x u y x =⎧⎪=⎪⎨=---+⎪⎪=⎩ 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。

对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：3222332()3()()()11()1223()232s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s+=---==++ 由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为1122330100001031002x x x x u x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦12311022x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。

对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+332()57()235Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m 是否小于n ，若m n =需作如下处理323232()571015185()235235Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++ 再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为112233010000105321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123105x y x u x ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

(1)3321()6116s s g s s s s ++=+++ (2)23223()231s s g s s s s ++=+++ (1) 解首先将传函(1)化为严格真有理式即：232()6105()11()()6116Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++令()()()Y s g s U s ''='，则有1231236105()()16116s s s Y s U s s s s ---------''=+++，1231()()16116E s U s s s s---''=+++， 即：123123()()6()11()6()()6()10()5()E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------'=---'=---由上式可得状态变量图如下：由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式1122330100001061161x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123x y x u x ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-6-11-6(2) 解 由已知得：12312323()()123s s s Y s U s s s s ------++=+++，令： 1231()()123E s U s s s s ---=+++，得： 123123()()2()3()()()()2()3()E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------=---=++状态变量图如下：状态表达式如下：112233010000101321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123321x y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。

图P2.10解 设11()()x s y s = (7) 22()()x s y s = (8)则由系统方框图 2.10P 可得[]112()()()cx s u s x s s a =-+ (9) []221()()()dx s u s x s s b =-+ (10)对式()()710-进行拉氏反变换得112121221122()()()()()()()()()()()()x t ax t cx t cu t x t dx t bx t du t y t x t y t x t =--+=--+==则系统状态空间表达式为1112221122001001x x u a c c x x u d b d y x y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。