3.12 判断三角形的形状

高中数学三角形形状的判定

高中数学三角形形状的判定高中数学中，判定三角形的形状是一个重要的知识点。

三角形的形状判定包括根据角度或边长的关系，确定三角形是锐角、直角还是钝角三角形，以及判断三角形是否为等腰、等边或不等边三角形。

本文将详细介绍高中数学中常见的三角形形状的判定方法。

一、根据角度判定三角形形状通过三角形内角之和为180度的性质，我们可以根据角度的大小判定三角形的形状。

1. 锐角三角形当三个内角都小于90度时，我们称这个三角形为锐角三角形。

锐角三角形是常见的三角形形状之一。

2. 直角三角形当三角形有一个内角为90度时，我们称这个三角形为直角三角形。

直角三角形中的直角通常指的是直角三角形的直角边，即与直角相邻的两条边。

3. 钝角三角形当三个内角都大于90度时，我们称这个三角形为钝角三角形。

钝角三角形是不太常见的三角形形状。

二、根据边长判定三角形形状通过三角形边长的关系，我们可以判定三角形是等腰、等边还是不等边三角形。

1. 等腰三角形当三角形的两条边长度相等时，我们称这个三角形为等腰三角形。

等腰三角形的特点是两个底边相等，顶角也相等。

2. 等边三角形当三角形的三条边长度都相等时，我们称这个三角形为等边三角形。

等边三角形的特点是每个内角都为60度。

3. 不等边三角形当三角形的三条边长度都不相等时，我们称这个三角形为不等边三角形。

不等边三角形是最一般的三角形形状。

综上所述，根据角度和边长的关系，我们可以准确地判定三角形的形状。

这些判定方法在解决各类数学问题时非常实用，同时也是高中数学考试的重要内容。

三、实例分析为了更好地理解和应用三角形形状的判定方法，我们来看几个具体的实例。

1. 判断形状：已知三角形的三个内角分别为40度、80度和60度，我们需要判断这个三角形的形状。

解析：由题意可知，三个内角之和为180度，符合三角形的性质。

根据角度的大小，可以判断出这是一个锐角三角形。

2. 判断形状：已知三角形的三个边长分别为3cm、5cm和3cm，我们需要判断这个三角形的形状。

判断三角形形状

判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。

注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。

判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。

根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。

本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。

边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。

角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。

此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。

边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。

中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。

角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。

正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。

面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。

向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。

因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。

代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。

例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。

这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。

在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。

判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。

在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。

本文将介绍十种常用的方法。

方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。

如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。

2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。

3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。

方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。

1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。

2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。

3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。

方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。

1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。

2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。

3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。

方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。

1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。

2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。

3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。

方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。

1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。

2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。

方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。

1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。

判断三角形形状的常用方法

判断三角形形状的常用方法判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。

一、配方法例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则∆ABC 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得a b c a b b c c a 4442222220++---=配方得：12022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，，得a b c BC ==，∆A 为等边三角形，故选D 。

例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）∆ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b ca b c 222325215++=⨯+..，则∆ABC 是（） A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上答案都不对解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得：44138120222a b c ac bc ++--=到此思路已经明朗，配方得423022()()a c b c -+-=所以a c -=0且230b c -=得c a b a ==，32所以∆ABC 是等腰三角形，故选B 。

二、因式分解例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则∆ABC 是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形或直角三角形解：把两个条件等式各自因式分解得()()()()a b a c b c b a +-=+-=0因为a b c >>>000，，所以a b b c +>+>00，所以a c -=0且b a -=0即a b c ==，故∆ABC 是等边三角形，选C三、利用解方程组例 4. （2001年初二希望杯第一试）已知∆ABC 中，∠=︒B 60，∠>∠C A ，且()()()∠=∠+∠C A B 222，则∆ABC 的形状是_________。

判断三角形的形状

一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ；解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 B cos B sin = (2RsinB)2 ⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o , A=90o ,故△ABC 是直角三角形. 3．12 判断三角形的形状1．三角形形状的判定方法：①化边为角；②化角为边.2．通过正弦、余弦定理实施边角转换.3．通过三角变换探索角的关系，符号规律.【典型例题】例1．在ΔABC 中，满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2cot cot cot 2sin sin sin 222222C B A C B A 试判断ΔABC 的形状. 例2．在ΔABC 中，已知)sin(sin )cos(tan B C A B C B -+-=，试判断ΔABC 的形状. 例3．在ΔABC 中，B C C A tan 2tan 2tan 2tan 3==且，求证：ΔABC 是锐角三角形. 例4．在ΔABC 中，满足.2tan ba b a B A +-=- （1）试判断ΔABC 的形状. （2）当a = 10，c =10时，求2tanA 的值. 【基础训练】1．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = sin 2C ，则ΔABC 是____________.2．在ΔABC 中，a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－a 2c 2 = 0，则ΔABC 是_____________.3．在ΔABC 中，cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A ) = 1，则ΔABC 是_____________.4．在ΔABC 中，tan A tan B > 1，则ΔABC 是_____________.5．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2，则ΔABC 是_____________.【拓展练习】1．已知tan A + tan B + tan C > 0，则ΔABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形 2．在ΔABC 中，BA b a tan tan 22=，则ΔABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 3．在ΔABC 中，已知1312cos sin =+A A ，则ΔABC 的形状是___________. 4．在ΔABC 中，已知cos B cos C = 2cos 1A -，则ΔABC 的形状是___________. 5．在ΔABC 中，已知a cos A = b cos B ，则ΔABC 的形状是___________.6．在ΔABC 中，已知sin A sin B+sin A cos B +cos A sin B +cos A cos B =2,则ΔABC 的形状是_________.7．在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，则ΔABC 的形状是___________. 8．在ΔABC 中，已知B A B A C cos cos sin sin sin ++=，则ΔABC 的形状是___________. 9．在ΔABC 中，分别根据下列条件，判断三角形的形状.（1）2lg sin lg lg lg -==-B c a (B 为锐角).（2）sin A = 2cos C sin B .（4）a cos B + b cos C + c cos A = b cos A + c cos B + a cos C .（5）.43sin sin ,2333==-+-+B A c c b a c b a 且（6）).sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+。

判断三角形的形状常用结论及其应用

判断三角形的形状常用结论及其应用摘要：解三角形是高中数学知识中的一个重要知识点，也是高考的一个考点，就这一知识模块下的判断三角形形状，给出常用结论及其应用的例题分析，加以记忆和使用，能更简洁有效地解决此类问题。

关键词：判断三角形形状、常用结论、应用在高考的考纲中，对于解三角形部分的要求是: 1.掌握正弦定理、余弦定理，能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题.纵观近五年高考数学理科卷中解三角形部分的考情考法：可以发现，解三角形部分命题形式多样，具体考法包括：1.利用正余弦定理来解三角形（包括求三角形中的未知量、判断三角形的形状、求三角形周长的范围或面积等），小题为主.2.角化边、边化角后求指定量，大小题都可能.3.与三角恒等变换、三角函数的性质、平面向量等结合考察综合知识，大题为主.综合性大题常出现在第17题，也就是解答题第一题.从某种程度来讲出现在大题更可怕，如果这个大题没解答好，很多考生的心态已经崩了，会直接影响到接下来的一个多小时的考试，甚至影响后面一天的考试.而在2020年的高考文科数学全国II卷中第17题就考察了证明三角形形状为直角三角形，故结合高考要求，就解三角形下的判断三角形形状这一考点，分析和淬炼出常用知识点及其应用.下面就对其展开一一论述和使用分析。

必备的基础知识包括1.三角函数性质和辅助角公式2.常用知识点一:余弦它们的使用思路就是角化边或边化角。

例.（2005北京春季7）在△ABC中，已知 ,那么△ABC一定是（）.A. 直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解：由条件得常用知识点二：例:在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边且，判断△ABC 的形状．解: ∵，∴，∴∴，∵，∴ .∵，∴ .∴△ABC为直角三角形．常用知识点三：三角形中由sin 2A＝sin 2B可得2A＝2B或2A＝π－2B例.在△ABC中，，则这个三角形的形状为．解析：由正弦定理，得，即，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．常用知识点四：射影定理，该定理画出三角形的形状并作出某一边的高即可证明，或者将左式中角的余弦处用余弦定理代换后即可得出。

【专题四】判断三角形的形状

【专题四】判断三角形的形状
判断三角形的形状是正余弦定理的重要应用，在出题的过程中往往出一个复杂的等式，选择正弦或余弦定理，通过边角互化等变换，通过化简，得到一些较简单可以直接判断三角形形状的结论。

（一）常见结论如下：
（1）sinA=sinB 且A=B ≠π⇒等腰三角形
（2）sin2A=sin2B ⇒A=B 或A+B=2π⇒等腰或直角三角形
（3）cosA=cosB ⇒A=B ⇒等腰三角形
（4）cos2A=cos2B ⇒A=B ⇒等腰三角形
(5)sin(A-B)=0⇒A=B ⇒等腰三角形
(6) A=60o 且b=c ⇒等边三角形
（7）C=045且222a b c =+⇒等腰直角三角形（A 为直角）
（8）2a ﹤22b c +＝＞三角形为锐角三角形（A 为锐角）
（9）222a b c =+＝＞三角形为直角三角形（A 为直角）（10 2a ＞22b c +＝＞三角形为钝角三角形（A 为钝角）
二．重点提示：1.解题的思路是：利用正（余）弦定理进行代换、转化、运算，显现出边与边的关系；或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出准确判断。

2.在对条件的变形中，一般两边不要约去公因式，而应移项提取公因式，以免漏解，特别注意“等腰直角三角形”
与“等腰或直角三角形”的区别。

高中数学三角形形状的判定

(微 lily2064)高中数学三角形形状的判定判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：1、基本知识点：（1）等腰三角形⇔a=b 或A=B（2）直角三角形⇔222a b c +=或A=90（3）钝角三角形⇔222a b c >+或A >90（4）锐角三角形⇔若a 为最大边且222a b c <+或A 为最大角且A <902、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。

逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：（1）统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；（2）统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；常见的题型有：一、利用三角形三边的代数关系直接判断1、在三角形ABC 中，三边a 、b 、c满足::2:1)a b c =，试判断三角形的形状。

解析：a b c << 则c边最大，且24c =+228a b +=，222c a b ∴<+，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形。

二、运用三角函数的关系直接判断2、（05北京）在ABC ∆中已知2sin cos sin ,A A C =那么ABC ∆一定是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形三角形D 、正三角形解析： (),sin sin()2sin cos sin(),sin cos cos sin 0sin()0,,C A B C A B A B A B A B A B A B A B C π=-+∴=+∴=+∴-=∴-=∴又是三角形的内角A-B=0,则选B3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A ，试判断此三角形的类型. 解析： ∵sin sin B C ＝cos 22A ∴sin sin B C ＝2cos 1A + ∴2sin sin B C ＝1＋cos[180()]B C -+将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得cosBcosC+sinBsinC=1∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜∴B －C ＝0 ∴B ＝C故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 22A －1的逆用. (2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形三、运用向量进行判断4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12, 则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形解析：非零向量与满足(||||AB AC AB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 5、在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。

判断三角形形状的方法

判断三角形形状的方法三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，而这三条线段的长度和角度关系决定了三角形的形状。

下面将介绍几种判断三角形形状的方法。

一、根据边长判断1. 等边三角形：三条边的长度相等。

例如，边长都为a的三角形。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等。

例如，两个边长为a，另一边长为b的三角形。

3. 直角三角形：有一个角度为90度。

例如，边长分别为a、b、c 的三角形中，满足a^2 + b^2 = c^2的即为直角三角形。

4. 锐角三角形：三个角度都小于90度。

例如，边长分别为a、b、c的三角形中，满足a^2 + b^2 > c^2的即为锐角三角形。

5. 钝角三角形：有一个角度大于90度。

例如，边长分别为a、b、c的三角形中，满足a^2 + b^2 < c^2的即为钝角三角形。

二、根据角度判断1. 等边三角形：三个角度都为60度。

例如，边长都为a的三角形。

2. 等腰三角形：两个角度相等。

例如，两个角度为a度，另一个角度为b度的三角形。

3. 直角三角形：有一个角度为90度。

例如，角度为90度、a度、b度的三角形。

4. 锐角三角形：三个角度都小于90度。

例如，角度分别为a度、b 度、c度的三角形中，满足a < 90度、b < 90度、c < 90度的即为锐角三角形。

5. 钝角三角形：有一个角度大于90度。

例如，角度分别为a度、b 度、c度的三角形中，满足a > 90度、b > 90度、c > 90度的即为钝角三角形。

三、根据边长和角度综合判断除了以上的方法，我们还可以综合考虑三角形的边长和角度来判断其形状。

1. 等边等角三角形：三个角度都为60度，且三个边长相等。

例如，边长都为a的三角形。

2. 等边不等角三角形：三个角度都不相等，且三个边长相等。

例如，边长都为a的三角形。

3. 等腰直角三角形：有一个角度为90度，且两条边的长度相等。

例如，两个边长为a，另一边长为b的三角形。

判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。

下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。

1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。

-若三个边长相等，则为等边三角形。

-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。

-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。

2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。

-若三个角均为90度，则为直角三角形。

-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。

-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。

3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。

-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。

-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。

4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。

-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。

-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。

5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。

-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。

6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。

-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。

若两个角相等，则为等腰三角形。

7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。

-若三个边长相等，则为等边三角形。

8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。

-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。

9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。

通过角度和可以进一步判断其形状。

-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。

判断三角形的形状

判断三角形的形状一般有两种思路：其一是化边为角，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，求出三条边之间的关系式。

实施转化的主要策略是运用三角函数的关系式、向量和正（余）弦定理等。

一、运用三角函数的关系直接判断例1：给出下列4个命题：① 若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形。

（引申sin sin A B =呢？）② 若cos cos cos A B C ⋅⋅<0，则ABC ∆是钝角三角形。

③ 若cos()cos()cos()1A B B C C A -⋅-⋅-=，则ABC ∆是等边三角形。

④在ABC ∆，若cos 2sin sin 1C A B =-，则ABC ∆形状一定是等腰三角形；⑤ ABC ∆中，若sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆的形状为钝角三角形；⑥ABC ∆中，a 边最长，且22sin sin 1B C +=，则ABC ∆是直角三角形。

以上命题正确的是（）二、运用正（余）弦定理判断例2：在ABC ∆中，如果lg a lg c -=lgsin B =-且角B 为锐角，判断此三角形的形状。

巩固练习：在ABC ∆中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC ∆的形状。

[拓展思考]在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，其中c o s 410,c o s 3A b cB a ===且（1）求证：ABC ∆是直角三角形；（2）设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧 AC 上，PAB ∠=60 。

求四边形ABCP 的面积。

三、由向量运算性质来判断例3：向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ，OA OB OC == =1，试判断ABC ∆的形状。

1. 在△ABC 中，有AB BC AB →→+→=·20，则△ABC 为_________三角形。

中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。

三角形的性质与判定

三角形的性质与判定三角形是平面几何中最基本的几何图形之一，具有许多独特的性质和判定方法。

本文将介绍三角形的常见性质，并探讨如何通过给定的条件来判定三角形的类型。

一、三角形的基本性质1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段之间都连接起来，且没有其他交点。

2. 三角形的内角和：三角形的内角和为180度。

即三角形的三个内角相加等于180度。

3. 三角形的外角和：三角形的外角和为360度。

即三角形的三个外角相加等于360度。

4. 三角形的边长关系：在任意三角形ABC中，设AB=c，BC=a，CA=b，则有两边之和大于第三边（a+b>c，b+c>a，c+a>b）。

5. 三角形的角度关系：在任意三角形ABC中，设∠A=x，∠B=y，∠C=z，则有x+y+z=180度。

二、根据已知条件判定三角形1. 根据边长判定三角形：根据三条边的长度关系可以得出以下结论：a) 如果三条边的长度满足a=b=c，则为等边三角形。

b) 如果两条边的长度相等，但第三条边不等于它们，称为等腰三角形。

c) 如果三条边的长度满足a²+b²=c²或b²+c²=a²，称为直角三角形。

d) 如果三条边的长度满足a²+b²<c²或a²+b²>c²，称为钝角三角形或锐角三角形。

2. 根据角度判定三角形：根据角度的大小关系可以得出以下结论：a) 如果三个角都小于90度，则为锐角三角形。

b) 如果有一个角等于90度，则为直角三角形。

c) 如果有一个角大于90度，则为钝角三角形。

d) 如果两个角的和等于或大于180度，则不构成三角形。

3. 根据边长和角度判定三角形：通过已知的边长和角度，可以判定三角形的类型。

a) 如果三边长度满足任意两边之和大于第三边，并且两个角度已知，则可以通过余弦定理求解第三个角度，并进一步判定三角形的类型。

判断三角形形状的方法

判断三角形形状的方法要判断一个三角形的形状，需要考虑三角形的边长和角度。

下面将介绍几种常见的判断三角形形状的方法。

1.边长判断方法：-等边三角形：三条边的长度都相等。

-等腰三角形：两条边的长度相等。

-普通三角形：三条边的长度都不相等。

2.角度判断方法：-直角三角形：其中一个角为直角（90度）。

-锐角三角形：三个角都小于90度。

-钝角三角形：其中一个角大于90度。

3.综合判断方法：-等边等角三角形：三条边的长度都相等，三个角的大小都相等，每个角为60度。

-等腰直角三角形：两条边的长度相等，其中一个角为直角。

-等腰锐角三角形：两条边的长度相等，三个角都小于90度。

-等腰钝角三角形：两条边的长度相等，其中一个角大于90度。

要进一步判断三角形的形状，可以使用以下方法：1.测量边长和角度：使用直尺和量角器等工具进行实际测量，根据测量结果进行判断。

这种方法比较准确，但需要专业仪器和对准确度要求较高。

2.利用勾股定理：勾股定理指出，直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方。

如果知道三角形的边长，可以计算出三个角是否满足勾股定理，从而判断是否为直角三角形。

3.角度关系判断：根据三角形内角和的性质进行判断。

三角形的内角和等于180度，因此可以通过已知角度的和来推导未知角度的大小，从而判断三角形的形状。

4.应用三角形相似性质：利用三角形的相似性质来判断三角形的形状。

相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

通过测量边长比例或角度的大小关系，可以判断三角形是否相似以及形状。

总结起来，判断三角形形状的方法包括边长判断、角度判断、综合判断等几种方法。

根据实际情况选择合适的方法进行判断，可以通过测量边长和角度、利用勾股定理、角度关系判断以及应用三角形相似性质等方法进行判断。

三角形的辨认与分类

三角形的辨认与分类在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一。

它由三条边和三个角组成，是我们学习数学时必须熟悉的图形之一。

今天，我们将一起来学习如何辨认和分类三角形。

一、三角形的定义三角形是由三条线段相接而成的图形。

其中，任意两条线段的长度之和要大于第三条线段的长度。

二、三角形的辨认方法辨认三角形的一个简单方法是通过测量它的边长，并满足三角形的定义。

另外，我们还可以通过观察三角形的角度来辨认它。

接下来，我们将介绍常见的三角形，并给出辨认方法。

1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

辨认等边三角形的方法是测量三条边是否相等，或者通过观察三个角是否都为60度。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

辨认等腰三角形的方法是测量两条边是否相等，或者通过观察两个角是否相等。

3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

辨认直角三角形的方法是通过测量三个角度中是否有一个为90度。

4. 锐角三角形锐角三角形是指三个角度都小于90度的三角形。

辨认锐角三角形的方法是通过测量三个角度是否都小于90度。

5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角度大于90度的三角形。

辨认钝角三角形的方法是通过测量三个角度中是否有一个大于90度。

6. 等腰直角三角形（45度角三角形）等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。

辨认等腰直角三角形的方法是测量两条边是否相等，并观察其中一个角是否为90度。

三、三角形的分类除了按照上述方法辨认三角形的类型外，我们还可以按照边长的关系将三角形分类。

1. 不等边三角形不等边三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

3. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

四、总结通过以上介绍，我们学习了如何辨认和分类三角形。

辨识三角形的方法包括通过测量三个边长和观察三个角度，符合三角形定义的条件即可确定为三角形。