水量计算问题

河南理工大学2011年数学建模竞赛论文答卷编号（竞赛组委会填写）：

题目编号：（ A、B、C、D、E之一）

论文题目：

水量计算问题

参赛队员信息(必填)：

封二

答卷编号（竞赛组委会填写）：

评阅情况（学校评阅专家填写）：评阅1.

评阅2.

评阅3.

摘要

本文通过设计构造辐射井的地下水降落曲线的数学公式，来建立辐射井水量的计算模型。 针对问题一：

根据辐射管在水平布置上的对称性，可将问题简化为对一扇形域的水流运动的研究。又结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，得到辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度近似呈正比例关系。分析实测的辐射井降落曲线资料得出地下水降落曲线高度x T 与距离x 之间近似呈自然对数的函数关系，构建地下水降落曲线的函数关系式，并将观测井取得的相关数据代入进行验证，证明了函数的可行性。 针对问题二：

结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，将沿辐射井横剖面上的地下水降落曲线近似为高度的平均直线；可知集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量占总水量的很小比例，可只计算沿垂直方向流入辐射管的水量。按照降落曲线的函数式，采用积分法得到沿辐射管全程的平均高度，再结合平均高度T 对应的水平距R 、剖面矩形宽度b 、局部

阻抗系数φ以及集水管的汇流强度公式

x

p

x

x T H

k

q φ-=，即可得到辐射井出水量。

针对问题三：

根据问题一二中建立的模型进行数据处理。在问题一种利用附件一中所给的数据,得出参数α、0T ，然后将其代入公式中，得出相应的结果，再与实际测量的数据进行比较，判断误差大小，进行评价；问题二中计算出相应的参数变量

T

b 、

T

d 、

T

∆T ，然后通过计算公式得出ϕ的值，再代入求出对应时间的n Q ，比较实际

测量数并分析。

关键字： 汇流强度 局部阻抗系数 降落曲线弯曲率 单管流量

1、问题重述

辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。

要求：

(1) 设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。 (2) 建立辐射井水量计算模型。

(3) 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。

2、问题分析

此题研究的是辐射井水量计算的数学模型。首先要明确影响辐射井水量计算的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井地下水降落曲线（面）数学公式和计算水量的过程中可以直接应用。

2.1、设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式

辐射井的工作状况与普通筒井有很大不同。就地下水降落曲线看，一般筒井影响范围内,地下水降落曲线呈上凸的抛物线，近井处水力坡度很陡，远井逐渐变平缓，在井壁处往往有明显的水跃发生。而辐射井在水平辐射管延伸范围内，降落曲线与筒井刚好相反，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，呈下凹曲线，井壁处几乎不发生水跃。在辐射管的端点处，水力坡度陡增，并出现凸凹拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成上凸的抛物线，水力坡度由陡变缓，与普通井一致。

由于黄土垂直方向的渗透系数比水平方向大若干倍，加上辐射管的水平位置的影响，黄土地含水层的地下水基本是沿着垂直方向进入辐射管。当地下水位由于抽水下降时，这一现象在水平集水管延伸范围内尤为明显。此时，大部分水量由辐射管截取后，通过管道汇入集水井，而通过集水井井壁和辐射管端点外侧流进的水量，则占很少比例。为方便计算，可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水量。辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度, 基本上成正比例的关系。管中水流, 由于有压管流, 其水头沿程变化相对很小, 可视为相当于井水位的一个固定值。分析实测的辐射井降落曲线资料可以得出, 高度x T 与距离x 之间, 近似地呈自然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度p T 的变化而变化。根据资料得

到经验表达式)

(00

)(x R

p p x e

T T T T ---+=α代入表一所给出的数据，对该函数进行多

次检验，如果在误差允许范围内所得计算值与实测值相差不大，则表明该函数是

合理的且能够进行运用。经多次检验证明了运用此种方法所得的函数确实是可行的，即得到辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。

（辐射井的平面布设图和表示其工作状况的剖面图，参看图1和图2）

图1 辐射井平面布设图

图2 辐射井工作状况（纵剖面）图

2.2、建立辐射井水量计算模型

辐射井能够充分利用黄土垂直方向渗透性强这一特点, 从黄土层中大量汇集地下水，其主要靠水平方向的辐射管加大出水量，辐射管的尺寸大小、长度、埋设部位以及地下水位的高度等, 与辐射管汇集地下水能力的大小有密切关系。因此我们以地下水的运动规律为依据建立合理的辐射井出水量的计算模型。

在每个辐射管中，对于任意部位x ，进入水平集水管的单长流量（或汇流强度）x q 可用公式x

p

x

x

p

x

x T H

k

T H

k

q φφ-≈-=计算。由于x q 是随着x 变化的一个变