一点应力状态分析
第04讲 任一点的应力状态
S S x S y S z Si Si ( Si )
将全应力分量Sx,Sy,Sz投影到法线N上，得σ
2
2
2
2
2
S x l S y m S z n S i li
xl y m z n
2 2 2
2 ( xy lm yz mn zx nl ) ij l i l j
金属塑性成型原理
机电工程学院
王忠雷
第三章 金属塑性变形的力学基础
第一节 应力分析
第一讲 任一点的应力状态
塑性力学基本假设 应力的概念 一点的应力状态 斜微分面上应力
塑性力学基本假设
连续性假设 匀质性假设 各向同性假设 初应力为零 体积力为零 体积不变假设
S x xl
yx
m zx n
S x x l yx m zx n S y xy l y m zy n S z xz l yz m z n
S
j
ij l i
斜微分面上应力
3、求解
ABC面上全应力：
2
（1）受力物体内部不同的点，应力不同； （2）受力物体内部同一的点，不同方向应力不同；
（3）单向拉伸时，各个方向面上的应力不同，但是 可以由垂直面上的应力来表示。
结论：要描述受力物体的应力状态必须清楚其内部任意点的 应力状态；要描述一点的应力状态必须知道其任意截面上的 应力; 对于单向拉伸，其应力状态可由垂直面上的应力来表 示。
2 2 2 2
S y xy l y m zy n
S 3
3
2
S xl S y m S z n 4
弹性力学一点应力状态
有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然 后对每个单元进行应力分析，最后将 所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格， 然后对每个差分网格进行应力分析， 最后将所有差分网格的应力结果进行 汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界 元，然后对每个边界元进行应力分析， 最后将所有边界元的应力结果进行汇 总。
04
一点应力状态的测量和计 算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻 孔，将应变片粘贴在孔内， 然后通过测量应变片的电 阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过 测量物体表面的微小变形 量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播 特性，通过测量声波的传 播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下， 一点应力状态会出现奇异行为 ，如应力集中、应变局部化等 现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不 同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应 用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状 态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用 下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中 ，选取一个点作为研究对象，分 析该点在各种应力作用下的状态 。
02
弹性力学基础
弹性力学简介
描述空间一点的应力状态需要的应力分量
描述空间一点的应力状态需要的应力分量应力是描述物体内部受力状态的物理量，空间一点的应力状态包括三个主要应力分量：正应力、剪应力和法向应力。
正应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，正应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为x方向正应力、y方向正应力和z方向正应力。
这三个应力分量分别用σx、σy和σz表示。
正应力由两部分组成：一部分来自于物体外部对其的作用力，称为外应力或受载应力；另一部分来自于物体内部的分子间作用力，称为内应力或静力应力。
正应力可以使物体沿着这个方向产生形变，例如拉伸、压缩等。
剪应力是指作用于物体某一截面上的平行于该截面的应力。
在空间中的一点，剪应力可以沿着三个坐标轴方向产生，分别称为xy方向剪应力、yz方向剪应力和xz方向剪应力。
这三个应力分量分别用τxy、τyz和τxz表示。
剪应力是由物体外部力矩对其产生的，表现为物体的旋转和扭转。
法向应力是指作用于物体某一截面上的垂直于该截面的应力。
在空间中的一点，法向应力可以沿着各个方向产生，由于其方向多变，没有显式的表示方式。
法向应力可以使物体在垂直于该截面上产生形变，例如变形、弯曲等。
在空间一点的应力状态可以用应力张量来描述。
应力张量是一个二阶对称张量，它包含了全部的应力分量信息。
在直角坐标系下，应力张量的表示形式为：σ = [σx τxyτxz][τxy σy τyz][τxz τyz σz]其中，σx、σy和σz分别表示x方向、y方向和z方向的正应力分量；τxy、τyz和τxz分别表示剪应力的分量。
应力张量可以通过力学分析或实验测量得到。
在工程领域中，了解空间一点的应力状态对于设计和分析结构的强度和稳定性至关重要。
通过合理选择材料和结构形式，可以使结构在应力状态下具有足够的强度和抗变形能力。
因此，研究应力分量及其变化规律对于工程实践具有重要意义。
综上所述，空间一点的应力状态需要考虑正应力、剪应力和法向应力三个应力分量。
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
一点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。
因为受力构件同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。
例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。
应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
如图8-3是通过轴向拉伸杆件点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件围绕点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。
由剪应力互等定理，有：，，。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
(精品)一点的应力状态-经典
t 30 0
b
解：x 1 0 M P a, y 3 0 M P a
t t x y 2 0 M P a , y x 2 0 M P a , 30
x
20MPa
x 2 y x 2 yco s2 txysin2
1 0 3 0 1 0 3 0 c o s6 0 2 0 sin 6 0
3 0
2
2
第七章
应力状态分 析
7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法 7.4 三向应力状态 7.5 广义虎克定律
§7-1 应力状态的概述 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
一、什么是应力状态？ 应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
tm
a
T
x
tm
a
t
T
Ip
x
（实心截面）
M y
Mz
Iz
FQ
t
F
S
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
（二）应力的面的概念
FP
FP
FP
FP
F
F
A
F
co2s
t
t
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
x y 0
t xy t
(2)求主应力
m mainxx 2y
x
y
2
2
t
2 xy
1
t
1 t
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
同一点应力状态的三个主应力数值
同一点应力状态的三个主应力数值在力学中，应力是指物体内部受到的力的作用。
在三维空间中，一个点的应力状态可以由三个主应力来描述，分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力。
无论力的方向如何，应力状态在一个点处总是具有对称性，即主应力方向相互垂直且大小按由大到小的顺序排列。
应力状态越复杂，三个主应力的差异也越大。
最大主应力是应力变化中最强的。
如果一个物体承受一条单向载荷，最大主应力就在这个方向上。
而如果一个圆柱体在一个向上的载荷下，最大主应力将位于圆柱体底部。
中间主应力表示两个最大和最小主应力之间的应力。
在一个均匀的球形体受到的压力相等时，中间主应力的值等于零。
最小主应力是应力状态中最弱的。
最小主应力的值与应力最强的方向相垂直。
在一个圆柱体上，最小主应力位于圆柱体的侧面上。
三个主应力的数值可以用数学公式来计算。
一个三维应力状态可用一个张量来描述，它被称为应力张量。
应力张量可以表示为一个3×3的矩阵，其中每个元素代表一个分量。
根据线性代数，应力张量可对称分解为三个正交矩阵，每个矩阵对应一个主应力方向和大小。
最大主应力的大小等于应力张量的最大特征值，中间主应力的大小则等于次大特征值，而最小主应力的大小就等于最小特征值。
三个主应力的数值决定了一个物体在应力下的断裂点。
在工程学中，登录这些应力的值非常重要。
例如，在地震工程中，地震的荷载将产生最大主应力，因此可以在修建建筑物之前对地震的强度进行评估。
在地质工程中，岩石层的抗拉强度对于油气开采来说是非常重要的，而最小主应力决定了产储层中的裂缝走向。
总之，同一点的三个主应力的数值是描述物体应力状态必不可少的三个参数。
通过计算这些值，可以更好地理解物体在不同应力下的响应和行为，从而有助于进行工程设计、地震评估、油气勘探等应用。
一点的应力状态
一点的应力状态
一点的应力状态是指处于轻微压力下的状态，不会造成明显的紧张或焦虑。
人们常常在工作、学习或日常生活中感受到一点的应力，这种应力可能来自于任务的要求、时间的紧迫或者是自身的期望。
尽管一点的应力有助于提升工作效率和动力，但过度应激或长期处于高强度应激状态可能会对身心健康产生负面影响。
因此，适当的应对和管理一点的应力非常重要，可以通过调节心态、放松身心、寻求支持等方式来缓解压力，保持身心的平衡。
平面问题中一点的应力状态
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x
( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
一点处的应力状态
一点处的应力状态应力是物体内部的分子间相互作用力，是物体内部的一种力学性质。
在物体内部的每一点都存在着应力，不同位置的应力状态会随着外界力的作用而发生变化。
本文将以一点处的应力状态为标题，探讨应力的概念与分类，旨在对读者提供对应力的更深入的了解。
一、应力的概念应力是物体内部的分子间相互作用力，揭示了物体内部各部分之间的相互作用关系。
应力是一个矢量，通常用希腊字母σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
在物体内部的每个点处，都存在着不同方向和大小的应力。
二、应力的分类根据作用力的方向和作用面的不同，可以将应力分为三类：正应力、剪应力和体积应力。
1. 正应力正应力是与物体表面垂直的应力，分为拉应力和压应力。
拉应力是物体表面上的单元面积上的拉力与该单元面积的比值，压应力则是物体表面上的单元面积上的压力与该单元面积的比值。
2. 剪应力剪应力是与物体表面平行的应力，是物体内部各部分相对于彼此的相对移动所产生的内部作用力。
剪应力是切线方向的应力，是物体内部各部分相对位移所引起的内部摩擦力。
3. 体积应力体积应力是物体内部的各部分之间的相互作用力，是物体内部各部分由于受到外界压力而产生的内应力。
体积应力是一种力的均匀分布状态，作用于物体的各个方向。
三、应力的影响与应用应力的大小和方向会直接影响物体的力学性质和变形行为。
根据材料的不同，应力会引起物体的弹性变形、塑性变形或破坏。
应力还广泛应用于工程领域，如材料的强度计算、结构设计以及材料的改性等。
结语应力是物体内部的一种力学性质，分为正应力、剪应力和体积应力。
正应力是与物体表面垂直的应力，剪应力是与物体表面平行的应力，体积应力则是物体内部各部分之间的相互作用力。
应力的大小和方向会直接影响物体的力学性质和变形行为，对材料的强度计算和工程设计具有重要意义。
通过对应力的概念和分类的探讨，希望读者能对应力有更深入的了解。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
一点的应力状态电测实验报告
一点的应力状态电测实验报告一点的应力状态电测实验报告复杂应力状态主应力测定实验报告使用设备名称与型号同组人员实验时间一、实验目的二、实验设备与仪器三、实验原理四、实验操作步骤五、实验结果及分析计算1、实验数据应变花位置：方向45°0°-45°载荷εΔεεΔεεΔε100N200N300N400N500N平均Δε//应变花位置：方向45°0°-45°载荷εΔεεΔεεΔε100N200N300N400N500N平均Δε//应变花位置：方向45°0°-45°载荷εΔεεΔεεΔε100N200N300N400N500N平均Δε//2、结果计算六、思考题试分析理论值和实验值的误差及产生误差的可能因素。
七、实验中的收获、感想与建议-3-扩展阅读：12年电测实验报告(电子版)哈尔滨工程大学实验报告实验名称：电子测量实验1、常用电子仪器主要性能指标的检验及波形参数的测量2、有源滤波器频率特性测量班级：学号：姓名：实验时间：202*-10-XX成绩：指导教师：李思纯哈尔滨工程大学实验室与资产管理处制实验一一、实验名称：常用电子仪器主要性能指标的检验及波形参数的测量二、实验目的1)掌握电子测量实验中常用电子仪器主要性能指标的检验方法。
2)掌握电子测量实验中常用的电子仪器示波器、函数信号发生器、频率计、万用表的原理及正确使用方法。
3)掌握用双踪示波器观察典型信号波形和读取波形参数的方法。
4)了解交流电压测量的基本原理，掌握有效值、平均值、峰值之间的换算关系并对几种典型电压波形进行参数测量。
三、实验原理、内容与实验步骤1．示波器探头校正将示波器探头一端拧入示波器垂直通道CH1(或CH2)输入端，探针连接到示波器标准方波信号输出端，若示波器显示波形为理想方波，则探头校正完毕。
若显示非理想方波，需调整探头中补偿电容C，直到调出最佳方波为止。
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
一 一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。
在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。
通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。
式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。
因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。
分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
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其中，n>1 称为安全系数。 作用于构件上的应力，尤其是最大应力超过许用应力时会对构件产生破坏， 所以在设计时要充分看率材料强度和应力间的关系，尽量留有余地，以保证构件 正常工作。
6.结论及认识
工程力学，尤其是材料力学在研究构件受力状态时，需要采用微元手段， 分 析我们关心的受力面的受力状态，这就落脚点某截面某点处的应力状态，从宏观 到微观，在从微观反馈到宏观上的研究手段值得我在今后的研究学习中借鉴。 材 料特性决定了构件在受不同特性的外力作用下的变形与破坏， 所以根据材料的不 同，在设计研究和校核时我们采用的评价标准是不一样的。 通过分类对比和整理， 我对不同种类的应力情况有了全面初步的了解，为今 后的学习打下了一定基础。 对一点处的应力状态分析，使我更加深刻地认识了应力-应变-破坏之间关系 的复杂性，今后还将继续花时间在这方面的学习上。
FR ， FR / A 称为该微面积上的平均应力。当 A 0 时，该平均应力趋向
一个极限，即：
p lim FR / A
A0
（1.1）
P 称为点 B 的应力，或全应力，它是分布内力在点 B 的集度，反映内力在点 B 的强弱程度。P 是一个矢量，通常将其分解成沿截面法向和切向的两个分量： 正应力 和切应力 。 在处理工程力学问题中， 尤其是材料力学中的应力应变分析时，我们发现应 力不仅取决于点的位置，还取决于过该点的截面的方位。过一点可以作无数个方 位不同的截面， 由不同截面得到的应力一般不相同。为了完整地描述变形固体内 一点处的受力情况，特地引入一点处的应力状态的概念： 一点处各个方向截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。 为建立一点处的应力状态的力学模型和数学模型， 可以在该点处隔离出一个
4.2 变形和破坏
从常温静载下的轴向拉压试验和薄壁圆筒扭转试验结果可以看到材料的强 度失效的两种基本形式：屈服和断裂。低碳钢是塑性材料，试件拉伸时先屈服后 拉断，扭转时先屈服后剪断。这种断裂发生前均已产生明显的塑性变形，称为韧 性断裂。铸铁是脆性材料，试件压缩时沿斜截面拉断，扭转时在沿轴线成 450 的 螺旋面处拉断。 构件发生断裂显然丧失了工作能力，而屈服后长生的过大的塑性 变形也往往使构件不能正常工作。因此，屈服和断裂都不允许发生，这就要求应 力不能超过某一极限应力 u 。 材料采取哪种失效形式， 不仅与材料本身的韧脆性能有关，还与材料所处的 受力状态有关。在三向压缩状态下，脆性材料也会出现屈服现象，如钢珠可在铸 铁表面压处一个凹坑（塑性大变形） 。反之，在三向受拉状态下，塑性材料也会 发生脆断，如螺纹根部处于三向受拉，可产生脆断。由此可见，不同构件材料在 受不同外力作用下产生的应力可以导致材料发生弹塑性变形或过大的参与变形， 者将导致脆塑性材料的失效，也即产生破坏。
5.应力与材料强度关系研究
5.1 构件的强度失效
构件的失效与材料失效不同，在常温静载作用下构件有三种基本失效形式： 强度失效、 刚度失效和稳定性失效。断裂和屈服产生的塑性变形就是构件强度失 效的两种基本形式。但构件的强度失效与轴向拉压试样的试下又有区别，轴向拉 压试样横截面上的内力分布是均匀的，即各点的应力相同。当一点处应力达到极
微小的正六面体， 称为微元体， 用六个面上的应力分量来表示一点处的应力状态。
1.2 材料强度及失效
构件材料抵抗外力作用下产生的变形和破坏的能力，即是材料强度。 对于脆性材料，单向拉压下的失效形式为断裂，可取强度极限为极限应力， 失效判据为：
b
失效判据为：
（1.2）
对于塑性材料，通常认为发生屈服即为失效，一般取屈服极限为极限应力，
4.应力、变形与破坏之间的关系研究
4.1 应力和应变
虽然内力不可见，但变形是可见的，变形体的内力是由变形Байду номын сангаас引起的“附加 内力” ，其大小与变形程度密切相关。简单来说，构件在受到外界载荷时，根据 材料特性不同，或有不同的宏观变形，以直杆为例，有拉伸和压缩，弯曲，扭转 和剪切四种基本变形，以及由它们复合而成的各种复杂的变形模式。 一点处的应力状态即可导致一点处的应变，同样按照分析一点出应力的方 法，我们隔离出一个微小的六面体来分析该点出的应变。该正六面体的棱边沿三 个坐标轴方向，用六个分量可表达其变形状态。 对于脆塑性材料，工程上有应力-应变曲线来直观反映二者之间的关系。
3.一点应力状态描述
为了建立一点处的应力状态力学模型和数学模型， 可以在该点处隔离出一个 微小的正六面体， 用六个面上的应力分量来表示一点处的应力状态。切应力互等 定理指出，在相互垂直的两个界面上，切应力总是同时存在的，二者大小相等， 方向则同时指向或背离两截面的交线。由切应力互等定理可知，确定一点处的应 力状态的独立应力分量只有 6 个，用矩阵的方式给出，且应力矩阵式对称矩阵。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分为三类： （1）单向（单轴）应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主应力不为 零。例如轴向拉压直杆和纯弯曲直梁中各点处的应力状态就是单向应力状态。 （2）二向（双轴）应力状态，有两个不为零的主应力。这是最常见的情形， 例如受纯扭转的圆轴，横力弯曲梁（除上下表面外） ，各种板壳类构件，受内压 作用的薄壁圆筒和球壳（压力容器）等。 （3）三向（三轴）应力状态，三个主应力均不为零。这是最一般的应力状 态，单向、二向应力状态均可看成是它的特殊情况。例如工程中相互接触的构件 处于接触面上的各点（地应力） ，流体中的实体构件中各点，均处于三向受压状 态。而螺纹根部的点则处于三向受拉状态。
s
（1.3）
构件的失效与材料失效不同，在常温静载作用下构件有三种基本失效形式： 强度失效、 刚度失效和稳定性失效。断裂和屈服产生的塑性变形就是构件强度失 效的两种基本形式。
2.分类及其对比研究
应力按其类型可分为正应力、切应力、剪应力、接触应力、主应力等。 正应力和切应力是应力分别沿作用面垂直和平行的两个方向的分力， 由此可 知，应力不仅取决于点的位置，还取决于通过该点所取截面的方位。 正应力有正负之分， 例如对于杆来说， 轴向上的正应力如为正， 既是拉应力， 如为负，既是压应力。 切应力会导致材料的剪切变形， 用线应变 来描述一点处沿某一方向线变形 的程度。 在梁的计算中，一般取梁的轴线为 x 轴，弯曲平面内垂直于梁轴线的方向为 y 轴，垂直于弯曲平面的方向为 z 轴，对于只受 xy 平面内的横向力和力偶作用 的梁，有截面法可以确定梁的任意横截面内的内力分量只有 y 方向的力 Fs 和 z 方向的力偶 M，即剪应力和弯矩。 接触应力， 即两个接触物体相互挤压时在接触区及其附近产生的应力。例如 滚动轴承、齿轮和凸轮等零件，在较高的接触应力的反复作用下，会在接触表面 的局部区域产生小块或小片金属剥落，形成麻点和凹坑，使零件运转噪声增大， 振动加剧，温度升高,磨损加快,最后导致零件失效。因此设计这类零件时，必须 考虑接触强度，包括接触静强度和接触疲劳强度。 两弹性物体接触时， 最大接触切应力出现在接触点下方某一深度处与接触面 成 45°角的平面上。在该平面上的切应力分布，随表层向下而增大，达到最大
一点处的应力状态与材料强度关系研究
1.定义及工程背景
1.1 应力和一点处的应力状态
在工程力学中，一个物体受力可以分为外力和内力。外力包括作用在构件上 的主动力和约束力，其中主动力又称为载荷。对于处于平衡状态的构件来说， 主 动力和约束力构成平衡力系。 静力学中介绍的刚体系统平衡问题中的内力是指系统内各个刚体之间的相 互作用力。 变形体的内力是指同一物体相邻两部分之间的相互作用力，须用一假 想截面把物体的某一部分分离出来才能暴露出来。这里所定义的内力，是指构件 受载荷作用发生变形，其内部各点的相对位置发生改变，由此而产生的相互作用 力的改变量，即由于载荷作用使构件变形而引起的“附加内力” 。它与构件的变 形有关， 因而与构件的刚度和强度密切相关，成为变形固体力学研究的主要对象 之一。 一般情况下内力在截面上的分布是不均匀的，构件的强度破坏往往是从内 力集度最大的点，称为危险点开始的。例如传动轴和梁，破坏往往从表面上某点 开始。 为了正确地判断构件的强度和进行强度和进行强度设计，必须了解内力在 截面上的分布规律，并能计算任一点处的内力大小，便引入内力集度——应力。 若在受力构件某一截面上点 B 处取一微面积 A ， A 上分布内力的合力为
值后又随离表层距离增大而减小。 当两物体滚动接触时，切应力由最大值变到零，再由零到最大值，形成脉动 循环应力，使物体产生接触疲劳破坏，其裂纹方向与接触表面成 45°角。这种 理论广泛应用在传统的齿轮接触疲劳强度计算中。在滚动轴承的接触疲劳计算 中，认为裂纹源是由于在 ZY 平面内，一定深度处的切应力[zy]对称循环作用引 起的。 [zy]的数值也随离表面的深度而变化接触疲劳裂纹主要在[zy]达到最大值 处产生。然后裂纹平行于表面扩展直到局部表层突然断裂。 主应力指的是物体内某一点以法向量为 n=(n1,n2,n3)的微面积元上剪应力 为零时的正应力。这时，n 的方向称为这一点的应力主方向。一点在某一微面积 元上的正应力，是物体内某一点以法向量为 n=(n1,n2,n3)的微面积元上剪应力 为零时的正应力.这时,n 的方向称为这一点的应力主方向.一点在某一微面积元 上的正应力,当面积的法向量 n 变化时,在应力主方向上取驻值.对于一点的应力 张量σij(i,j=1,2,3),主应力一般有三个,它们满足作图中方程时，这个三次方 程的解即主应力σi (i=1,2,3).对于给定点的应力张量,主应力是坐标变换下的 不变量.
5.2 强度设计准则
在进行构件强度设计时，应力与材料强度之间的关系是考虑的主要因素， 为 了确保安全，留有余地，必须使构件横截面上的最大工作应力小于极限应力。 设 计准则为：
称为许用应力，由下式规定： 式中 为最大工作应力， 、
（5.1）
u / n
（5.2）
限应力时， 整个截面上的点的应力均达到极限应力，从而导致整个截面屈服或断 裂。但构件横截面上的内力分布一般不均匀，当最大应力点达到极限应力时， 其 余各点并未失效。 结果构件为脆性材料制成，则一点处屈服并不会很快导致整个 截面屈服， 构件往往还能正常工作。目前大多数工程部门在常规设计中仍采用弹 性设计思想，即“一点处失效”的设计概念，认为一点失效导致整体失效。