《医用高等数学》考点归纳

《医用高等数学》主要知识点概要

第1章 函数与极限

§1.1 函数

基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：

1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞

=和0

lim ()x x f x A →=

2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】

[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =

()lim ()

im

()lim ()

f x f x

g x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例12

2、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim

1x x

x

→=，重点例题：教材第15页13-15

2) lim(10)e ∞

+=型，两种基本形式：1lim 1x

x e x →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

和()1

0lim 1x x x e →+=

重点例题：教材第16页，例16-17

3、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义 2) 无穷小的基本性质

①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大

③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质

①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小

③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘

除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。

主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1x

x x x x x x e +- 以及：211cos ~

2

x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）

§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义

2、 判定函数在0x 连续的方法： 1) []000

lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=

2)

0lim ()()x x f x f x →=

基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。

重点例题：教材第25页，例26，第27页，练习1-3，第1-3题

第2章 导数与微分

§2.1 导数的概念 1、 导数的定义：

设函数()y f x =在0x 点的取得的自变量增量和函数值增量分别为：x ∆和y ∆，

且极限：0000()()lim

lim

x x f x x f x y

x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，其值为A ，则A 称为函数在0x 点的导数；若函数在区间I 上每一点均存在导数，则称函数在该区间上可导，构成的新函数称为原函数的导函数，简称为导数，一般记为：'y 或

dy

dx

或'()f x 2、 判断函数在0x 点是否可导的方法：

从导数定义出发，判断0000()()lim lim

x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆是否存在，若存在，则可导；否则不可导。 3、 导数的几何意义：

函数()y f x =在0x 点的导数值实际上就是曲线()y f x =在0x 点处的切线斜率。 4、 函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。 5、 函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导

重点例题：教材第38页，练习2-1，第4、6、7题

§2.2 求导法则

1、 函数四则运算的求导法则和基本初等函数的求导公式

设(),()u u x v v x ==，则：

()'''u v u v ±=± ()''ku ku =（k 为常数） ()'''uv u v v u =+ 2

'''u u v v u

v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

基本初等函数的求导公式：教材第48页 2、 复合函数求导法则 设(),()y f u u x ϕ==，则

dy dy du

dx du dx

=⋅ 3、 隐函数求导法则【重点】

基本方法：等号两侧分别对x 求导，且将y 视为x 的函数，利用复合函数求导法则求导。

重点例题：教材第44页，例16-18，教材第51页，练习2-2，第3题

4、 对数求导法【重点】

基本方法：等式两侧分别取自然对数，化简后再求导

重点例题：教材第46页，例20-21，教材第51页，练习2-2，第4题 反函数求导和参数方程求导不作要求

5、 高阶导数的概念和表示方法 §2.3 函数的微分

1、 函数微分的定义和表示方法

重点例题：教材第53页，例26-27

2、 微分在近似计算中应用

重点例题：教材第57页，例30-32

§2.4 洛必达法则【重点】

重点例题：教材63页，例39-40，例44，教材第65页，练习2-4，第4题（1）-（4）、（6）

-（7）、（11）-（14）

§2.5 利用导数研究函数的性态【重点】：题型主要为选择或填空，一般根据函数特性判断

函数大致图像形状，不要求作图。

1、 利用函数一阶导数判定函数单调性