《医用高等数学》考点归纳

《医用高等数学》主要知识点概要第1章 函数与极限§1.1 函数基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞=和0lim ()x x f x A →=2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =()lim ()im()lim ()f x f xg x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例122、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim1x xx→=，重点例题：教材第15页13-152) lim(10)e ∞+=型，两种基本形式：1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭和()10lim 1x x x e →+=重点例题：教材第16页，例16-173、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义 2) 无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。

主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1xx x x x x x e +- 以及：211cos ~2x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义2、 判定函数在0x 连续的方法： 1) []000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=2)0lim ()()x x f x f x →=基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。

重点例题：教材第25页，例26，第27页，练习1-3，第1-3题第2章 导数与微分§2.1 导数的概念 1、 导数的定义：设函数()y f x =在0x 点的取得的自变量增量和函数值增量分别为：x ∆和y ∆，且极限：0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，其值为A ，则A 称为函数在0x 点的导数；若函数在区间I 上每一点均存在导数，则称函数在该区间上可导，构成的新函数称为原函数的导函数，简称为导数，一般记为：'y 或dydx或'()f x 2、 判断函数在0x 点是否可导的方法：从导数定义出发，判断0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆是否存在，若存在，则可导；否则不可导。

3、 导数的几何意义：函数()y f x =在0x 点的导数值实际上就是曲线()y f x =在0x 点处的切线斜率。

4、 函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。

5、 函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导重点例题：教材第38页，练习2-1，第4、6、7题§2.2 求导法则1、 函数四则运算的求导法则和基本初等函数的求导公式设(),()u u x v v x ==，则：()'''u v u v ±=± ()''ku ku =（k 为常数） ()'''uv u v v u =+ 2'''u u v v uv v -⎛⎫= ⎪⎝⎭基本初等函数的求导公式：教材第48页 2、 复合函数求导法则 设(),()y f u u x ϕ==，则dy dy dudx du dx=⋅ 3、 隐函数求导法则【重点】基本方法：等号两侧分别对x 求导，且将y 视为x 的函数，利用复合函数求导法则求导。

重点例题：教材第44页，例16-18，教材第51页，练习2-2，第3题4、 对数求导法【重点】基本方法：等式两侧分别取自然对数，化简后再求导重点例题：教材第46页，例20-21，教材第51页，练习2-2，第4题 反函数求导和参数方程求导不作要求5、 高阶导数的概念和表示方法 §2.3 函数的微分1、 函数微分的定义和表示方法重点例题：教材第53页，例26-272、 微分在近似计算中应用重点例题：教材第57页，例30-32§2.4 洛必达法则【重点】重点例题：教材63页，例39-40，例44，教材第65页，练习2-4，第4题（1）-（4）、（6）-（7）、（11）-（14）§2.5 利用导数研究函数的性态【重点】：题型主要为选择或填空，一般根据函数特性判断函数大致图像形状，不要求作图。

1、 利用函数一阶导数判定函数单调性2、 函数极值的两种求法（第一判定条件、第二判定条件）3、 函数最值的求法4、 函数拐点的求法及凹凸性的判定5、 函数渐近线的求法（水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线）重点例题：教材第77页，例60-62第3章 不定积分§3.1 不定积分的概念与性质 1、 不定积分基本性质()()'()f x dx f x =⎰ '()()F x dx F x C =+⎰[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰ ()()kf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）2、 基本积分公式【熟练应用】重点例题：教材第91页例7、例11-13§3.2 换元积分法【重点、核心】 1、 第一类换元积分法（凑微分法）对已知积分()g x dx ⎰若不能直接根据积分公式得出其结果，则选定合适中间变量u ，令()u x ϕ=，将原积分代换为[()]'()()'()f x x dx f u u dx f u du ϕϕ⋅=⋅=⎰⎰⎰，若()f u du⎰满足基本积分公式，则求出()f u du ⎰，最后将结果中u 代换为x第一类还原积分的关键问题：选定合适的中间变量u ，将原积分恒等变形，将关于dx 代换为du ，将()g x 代换为()f u重点例题：教材第96页，例14-16，例19-24，例26-27、例30-312、 第二类换元积分法对已知积分()f x dx ⎰若不能直接根据积分公式得出其结果，则选定合适中间变量t ，令()x t ϕ=，将原积分代换为[()]'()f t t dt ϕϕ⋅⎰，若[()]'()()f t t g t ϕϕ⋅=，原积分变为()g t dt ⎰，若()g t dt ⎰满足积分公式，则求出()g t dt ⎰，最后将结果中t 代换为x第二类还原积分主要用于积分函数含有根号时，另附补充积分公式：教材第107页【熟记并应用】重点例题：教材第102页，例32、例34-36§3.3 分部积分法 1、 基本步骤：1) 按照“反对幂指三”先后顺序设定u ； 2) 求出du 和v ；3) 原积分利用分部积分公式换为：()f x dx uv vdu =-⎰⎰进行计算重点例题：教材第110页，例43-48§3.4 积分表的使用（不考）第4章 定积分及其应用§4.1 定积分的概念与性质 1、 定积分的定义及几何意义 2、 定积分的性质 1) 基本性质：()0baf x dx =⎰（当a b =时）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2) 其他性质：①定积分结果为常数，仅与积分区间和被积函数有关，与采用哪个积分变量表示无关：()()()...bb baaaf x dx f u du f t dt ==⎰⎰⎰②()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰，[]()()()()b bbaa af xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰③若在区间[,]a b 上，()()f x g x ≥，且(),()f x g x 均存在定积分，则()()bbaaf x dxg x dx ≥⎰⎰3) 积分中值定理及其几何意义 §4.2 微积分学基本定理1、 积分上限函数的定义及其导数【重点】 1) 定义：()()bax f t dt φ=⎰2) 导数：()'()()'()b ax f t dt f x φ==⎰重点例题：教材第135页，例2、例4-52、 牛顿-莱布尼兹定理【重点】设函数()F x 式连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰对于分段函数或绝对值函数，一定要注意分区间讨论求定积分。

重点例题：教材第138页例6-8，练习4-2，第6题（7）-（10）§4.3 定积分的计算【重点】 1、 换元法求定积分：换元必换限经验：通常使用第一类换元法时，不必写出中间变量，因此不需要换限；使用第二类换元法时，要写出中间变量，因此要换限再计算。

重点例题：教材第142页，例10、例14-15，练习4-3第1题（1）-（6）2、 分部积分法求定积分：bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰重点例题：教材第145页，例16-18§4.4 定积分在几何中的应用1、 利用定积分求平面图形面积：教材第150页，例202、 利用定积分求旋转体体积：教材第154页，例22 §4.5 定积分在其他方面的应用1、 函数的平均值：函数()y f x = 在区间[,]a b 上的平均值为：1()ba y f x dxb a=-⎰ 2、 定积分在物理学上的应用（不考）3、 定积分在医学上的应用【重点】：教材第164页，例31；第168页，练习4-5，第11题；第175页，第7题4、 定积分在经济学上的应用（不考） §4.6 反常积分（不考）第5章多元函数微积分（不考）第6章 常微分方程一、一阶微分方程1、 可分离变量的微分方程 1) 基本形式：'()()y g y f x = 2) 解法：'()()()()()()dy dy y g y f x g y f x f x dx dx g y =⇒=⇒=()()dyf x dxg y ⇒=⎰⎰ 重点例题：教材第221页，例3-52、 一阶线性非齐次微分方程 1) 基本形式：'()()y p x y q x += 2) 解法：①求出其对应齐次方程通解：()p x dxCe -⎰②代入通解公式：()()()()p x dx p x dx p x dxy Ce e q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰求解 重点例题：例9-11二、三种可降阶微分方程1、 右侧仅含x 1) 基本形式：()()n yf x =2) 解法：对右侧()f x 连续进行n 次积分运算，得到含有n 个常数的通解重点例题：教材第228页，例122、 右侧不含y1) 基本形式：''(,')y f x y = 2) 解法：①令'p y =，原方程换为'(,)p f x p = ②解得关于p 的一阶微分方程通解1(,)p x C ϕ= ③代入通解公式：12(,)y x C dx C ϕ=+⎰求解重点例题：教材第229页，例13-143、 右侧不含x1) 基本形式：''(,')y f y y = 2) 解法：①令'p y =，原方程换为'(,)p f y p = ②解得关于p 的一阶微分方程通解1(,)p y C ϕ= ③代入通解公式：211(,)dy x C y C ϕ=+⎰求解重点例题：教材第231页，例15，练习6-3：第1、2题三、 二阶常系数线性齐次微分方程1、 基本形式：'''0y py qy ++=（,p q 为实常数）2、 解法：1) 写出原方程的特征方程20qr pr q ++=，并解得12,r r 2) 根据12,r r 的三种情况对应写出其通解 ①若12,r r 为相异实根，通解为：1212r xr xC e C e + ②若12,r r 为重根r ，通解为：()12rxC C x e +③若12,r r 为共轭复根r i αβ=±，通解为：()12cos sin xeC x C x αββ+重点例题：教材第236页，例16-18 【其他内容不考】第7章 线性代数初步（不考）。