解三角形题型总结原创
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解三角形题型总结
ABC ∆中的常见结论和定理：
一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=，
所以sin()sin ,cos()cos ,
tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-；
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++=
所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22
A B C
+=，…………
2．大边对大角
3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；
(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.
四、面积公式：
（1）12a S ah = （2）1()2
S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径）
（3）111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
五、 常见三角形的基本类型及解法：
（1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π；
根据正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b
（2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,）
解法：根据余弦定理2
2
2
2cos c a b ab C =+-求出边c ；
根据余弦定理的变形bc
a c
b A 2cos 2
22-+=求A ；
根据内角和定理求角)(C A B +-=π.
（3）已知三边（如：c b a ,,）
解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2
22-+=求A ；
根据余弦定理的变形ac
b c a B 2cos 2
22-+=求角B ；
根据内角和定理求角)(B A C +-=π
（4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222
2cos c a b ab C =+-；
解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C
c
B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）；
再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；.
先看一道例题：
例：在ABC ∆中，已知0
30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）
六、 在ABC ∆中，已知A b a ,,，则ABC ∆解的情况为：
法一：几何法（不建议使用）
（注：表中，A 为锐角时，若A b a sin ⋅<，无解；A 为钝角或直角时，若b a ≤，无解.
法二：代数法（建议使用）
通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一）
题型总结：
题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型
模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若不是求第三边c ，用正弦定理。
例1：在ABC ∆中，已知0
45,2,2===A c a ，求∠C 。（答案：030=C ）
例2：在ABC ∆中，已知0
30,32,6===B c b ，求∠C 。（答案：045=C 或0135）
例3：在ABC ∆中，已知
030,22
,2==
=B b a ，求∠A 。（答案：无解）
例4：（3）在ABC ∆中，已知0
2,1,30a b B ===，求∠A 。（答案：一解）
A 为锐角 A 为钝角或直角
图 形
关系式 A b a sin ⋅=
b a A b <<⋅sin
b a ≥
b a >
解的 个数
一解
两解
一解
一解
题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型 两角一边（两角一对边，两角一夹边）
模型1：在ABC ∆中，已知角B A ,和边a ,解三角形。 模型2：在ABC ∆中，已知角B A ,和边c ,解三角形。 用正弦定理 例题：
题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型
模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角C ,解三角形。用余弦定理
练习：
题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型
模型：已知边c b a ,,解三角形。根据余弦定理，bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 2
22-+=，
ab
c b a C 2cos 2
22-+=，分别求得角C B A ,,（或根据内角和定理求得角C )。
练习：
题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型
模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若只求第三边c ，用余弦定理。 模型： 在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若不是只求第三边c ，用正弦定理。
例题：
练习：在ABC ∆中，已知0
30,32,6===B c b ，求边a 。（答案：3a =±