《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结

1、1正弦定理和余弦定理

1、1、1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知

A:B:C=1:2:3,求a :b :c、

【点拨】

本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：

【解题策略】

要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。

【点拨】

此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴

a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、

∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75，

∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的

取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。

【点拨】

通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】

“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。

【点拨】

通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B=

45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、

【点拨】

观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理

【解题策略】

在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化

与化归思想的应用。例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证、

【点拨】

本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用、证明：

【解题策略】

有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S、

【点拨】

先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。解：由题意，得∴B为锐角，由正弦定理得

【解题策略】

在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且,求△ABC 的面积S的最大值。

【点拨】

本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：【解题策略】

把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C

本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：（R为

△ABC的外接圆半径），又∵A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角、解法2：由及正弦定理得，，，从而即又∵0＜A+B＜π，

【解题策略】

切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。

【点拨】

欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：变形为又∴△ABC是直角三角形。由解得

【解题策略】

解此类问题应注意定理与条件的综合应用。------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解

【易错点辨析】

本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1）在△ABC中，（2）在△ABC中，

（1）由正弦定理得（2）由正弦定理得

【点拨】

（1）漏解，由（0＜B＜180）可得因为b＞a,所以两解都存在。（2）增解。由（0＜B＜180）可得，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以不符合条件，应舍去。

【正解】

（1）由正弦定理得又∵0＜B＜180（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得又∵0＜B＜180∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A，不符合条件，应舍去，。易错点忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】

解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180等造成的错误。例2在△ABC中，若求的取值范围。

【错解】

由正弦定理得

【点拨】

在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。

【正解】

由正弦定理可知∴0＜B＜45，＜＜

1、∴1＜＜3，故1＜＜