第六讲_聚类分析
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聚类分析_精品文档
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluste.Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术.也叫分类分析(classificatio.analysis)或数值分类(numerica.taxonomy), 它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法, 所谓类, 通俗地说, 就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性, 不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法, 它将一批样品或变量, 按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类.聚类分析的内容十分丰富, 按其聚类的方法可分为以下几种:(1)系统聚类法: 开始每个对象自成一类, 然后每次将最相似的两类合并, 合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度. 这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止. 并类的过程可用一张谱系聚类图描述.(2)调优法(动态聚类法): 首先对n个对象初步分类, 然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整, 直到分类合理为止.(3)最优分割法(有序样品聚类法): 开始将所有样品看成一类, 然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类, 一直分割到所需的K类为止. 这种方法适用于有序样品的分类问题, 也称为有序样品的聚类法.(4)模糊聚类法: 利用模糊集理论来处理分类问题, 它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果.(5)图论聚类法: 利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题, 创造了独具风格的方法.(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题, 在多元统计分析中, 可用来作预报的方法很多, 如回归分析和判别分析. 但对一些异常数据, 如气象中的灾害性天气的预报, 使用回归分析或判别分析处理的效果都不好, 而聚类预报弥补了这一不足, 这是一个值得重视的方法。
聚类分析以及相关系数(课堂PPT)
x 1 1.000 x 2 0.846 1.000 x 3 0.805 0.881 1.000 x 4 0.859 0.826 0.801 1.000 x 5 0.473 0.376 0.380 0.436 1.000
x 6 0.398 0.326 0.319 0.329 0.762 1.000 x 7 0.301 0.277 0.237 0.327 0.730 0.583 1.000 x 8 0.382 0.415 0.345 0.365 0.629 0.577 0.539 1.000
三角形（如图6.2.4所示），取 DKL 边的中线
作为 DMJ ，由初等平面几何可知，DMJ 的计算
公式为
D 2 M J 1 2 D K 2 J 1 2 D L 2 J1 4 D K 2 L
6 .2 .5
35
GK
DKJ DMJ
DKL
GJ
D LJ
14
最常用的相似系数有如下两种
1.夹角余弦
变量x i 与 x j的夹角余弦定义为
n
xkixkj
cij 1
n
k1
xk2i
n
xk2j1/2
k1 k1
6.1.6
它是 R n 中变量 x i的观察向量 x1i,x2i,xniT
与变量x j 的观察向量 x1j,x2j,,xnjT之间的
夹角 ij 的余弦函数，即 cij1coisj 。
2选定中的最小元素设为3计算新类与任一类之间距离的递推公式minminminminminljkjij所在的行与列合并成一个新行新列对应该行列上的新距离值由632式求得其余行列上的距离值不变这样就得到新的距离矩阵记为重复上述对的两步得如果某一步中最小的元素不止一个则称此现象为结tie对应这些最小元素的类可以任选一类合并或同时合并
x 6 0.398 0.326 0.319 0.329 0.762 1.000 x 7 0.301 0.277 0.237 0.327 0.730 0.583 1.000 x 8 0.382 0.415 0.345 0.365 0.629 0.577 0.539 1.000
三角形（如图6.2.4所示），取 DKL 边的中线
作为 DMJ ，由初等平面几何可知，DMJ 的计算
公式为
D 2 M J 1 2 D K 2 J 1 2 D L 2 J1 4 D K 2 L
6 .2 .5
35
GK
DKJ DMJ
DKL
GJ
D LJ
14
最常用的相似系数有如下两种
1.夹角余弦
变量x i 与 x j的夹角余弦定义为
n
xkixkj
cij 1
n
k1
xk2i
n
xk2j1/2
k1 k1
6.1.6
它是 R n 中变量 x i的观察向量 x1i,x2i,xniT
与变量x j 的观察向量 x1j,x2j,,xnjT之间的
夹角 ij 的余弦函数，即 cij1coisj 。
2选定中的最小元素设为3计算新类与任一类之间距离的递推公式minminminminminljkjij所在的行与列合并成一个新行新列对应该行列上的新距离值由632式求得其余行列上的距离值不变这样就得到新的距离矩阵记为重复上述对的两步得如果某一步中最小的元素不止一个则称此现象为结tie对应这些最小元素的类可以任选一类合并或同时合并
聚类分析及其应用实例ppt课件
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
Outlines
聚类的思想 常用的聚类方法 实例分析：层次聚类
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3. 实例分析：层次聚类算法
定义：对给定的数据进行层次的分解
第4 步
➢
凝聚的方法（自底向上）『常用』
思想：一开始将每个对象作为单独的
第3 步
一组，然后根据同类相近，异类相异 第2步 的原则，合并对象，直到所有的组合
并成一个，或达到一个终止条件。 第1步
a, b, c, d, e c, d, e d, e
X3 Human（人） X4 Gorilla（大猩猩） X5 Chimpanzee（黑猩猩） X2 Symphalangus（合趾猿） X1 Gibbon（长臂猿）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
离差平方和法（ ward method ）：
各元素到类中心的欧式距离之和。
Gp
Cluster P
Cluster M
Cluster Q
D2 WM Wp Wq
G q
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
凝聚的层次聚类法举例
Gp G q
Dpq max{ dij | i Gp , j Gq}
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
Outlines
聚类的思想 常用的聚类方法 实例分析：层次聚类
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3. 实例分析：层次聚类算法
定义：对给定的数据进行层次的分解
第4 步
➢
凝聚的方法（自底向上）『常用』
思想：一开始将每个对象作为单独的
第3 步
一组，然后根据同类相近，异类相异 第2步 的原则，合并对象，直到所有的组合
并成一个，或达到一个终止条件。 第1步
a, b, c, d, e c, d, e d, e
X3 Human（人） X4 Gorilla（大猩猩） X5 Chimpanzee（黑猩猩） X2 Symphalangus（合趾猿） X1 Gibbon（长臂猿）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
离差平方和法（ ward method ）：
各元素到类中心的欧式距离之和。
Gp
Cluster P
Cluster M
Cluster Q
D2 WM Wp Wq
G q
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
凝聚的层次聚类法举例
Gp G q
Dpq max{ dij | i Gp , j Gq}
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
《聚类分析》PPT课件
应聘者 X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 18 11 21 26 20 16 14 24 22 29 23 22 23 29 23 22 23 29 27 28 18 16 22 26 22 22 24 24 24
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Ch6 聚类分析
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1
聚类分析根据一批样品的许多观测指标，按 照一定的数学公式具体地计算一些样品或一些参 数(指标)的相似程度，把相似的样品或指标归为 一类，把不相似的归为一类。
例如对上市公司的经营业绩进行分类；据经 济信息和市场行情，客观地对不同商品、不同用 户及时地进行分类。又例如当我们对企业的经济 效益进行评价时，建立了一个由多个指标组成的 指标体系，由于信息的重叠，一些指标之间存在 很强的相关性，所以需要将相似的指标聚为一类， 从而达到简化指标体系的目的。
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29
(1) 所 选 择 的 亲 疏 测 度 指 标 在 实 际 应 用中应有明确的意义。如在经济变量分析 中，常用相关系数表示经济变量之间的亲 疏程度。
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30
(2)亲疏测度指标的选择要综合考虑已对样本观测 数据实施了的变换方法和将要采用的聚类分析方法。如在 标准化变换之下，夹角余弦实际上就是相关系数；又如若 在进行聚类分析之前已经对变量的相关性作了处理，则通 常就可采用欧氏距离，而不必选用斜交空间距离。此外， 所选择的亲疏测度指标，还须和所选用的聚类分析方法一 致。如聚类方法若选用离差平方和法，则距离只能选 用 欧氏距离。
剂的种类等。在名义尺度中只取两种特性状态的变量是很
重要的，如电路的开和关，天气的有雨和无雨，人口性别
聚类分析(共8张PPT)
第4页，共8页。
聚类分析
三、聚类分析中的测度与标准化
在聚类分析技术的发展过程中，形成了很多种测度相似性的方法。每一种方法 都从不同的角度测度了研究对象的相似性。
在数据采集过程中，一般可以用三种方式采集数据：二分类型数据、等级类型 数据和连续类型数据。在进行聚类分析时可以根据不同的数据特点采用相应的测度 方法。
尽量避免绝对数据。
研究个案 A B C
受教育年限 10 16 6
年收入（万元） 2
1.5 1
年收入（元） 20000 15000 10000
A、B、C在不同距离单位时的距离图
A
B
B
10.01
C
A
10000
C
单位：万元
第6页，共8页。
单位：元
聚类分析
四、常用两种聚类分析方法
1.快速聚类法
快速聚类过程是初始分类的有效方法。适用于大容量样本的情形，由用户指定须聚类的 类数之后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。
m维空间中点与点之间的某种距离就可用来描述样品之间的亲疏程度。 而聚类分析则较常使用于将变量属性相似程度较高的观察值，加以分类，使类与类间的异质性达到最大，而同一类的几个观察值同质性很高。 ③对数据进行变换处理，（如标准化或规格化）；
mm维维空 空间间中中点点与与点点实之之际间间的的应某某用种种距距时离离，就就可可两用用者来来描描的述述主样样品品要之之差间间的的别亲亲在疏疏程程于度度因。。子分析是针对“变量”予以分组，而聚类分析 按照这种方则法是不断将进“行合观并察，直值到个把所体有”的样予品以合为分一组个，大类亦为即止。因子分析时，根据因变量（题项）间关系密切与 四⑦、最常 后用绘两制否种系，聚统类聚将分类变析谱方系量法图予，按以不分同的类分（类标分准为或不几同个的层分类面原因则，子得）出不；同而的分聚类类结果分。析则较常使用于将变量属性相似 从数据结构程和度统计较形高式上的看观，因察子值分析，是加一种以“横分向类合并，”的使方类法，与聚类类分间析的则是异一质种“性纵向达合到并”最的方大法，。 而同一类的几个观察值 适每用一于 种大方容法同量都质样从本不性的同很情的形角高，度。由测用度户了指研定究须对聚象类的的相类似数性之。后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。 研究学生学业差异、因教师素教分学水析平：等等横，向都需简要化对研，究聚对象类进分行分析类：。纵向分组
聚类分析
三、聚类分析中的测度与标准化
在聚类分析技术的发展过程中，形成了很多种测度相似性的方法。每一种方法 都从不同的角度测度了研究对象的相似性。
在数据采集过程中，一般可以用三种方式采集数据：二分类型数据、等级类型 数据和连续类型数据。在进行聚类分析时可以根据不同的数据特点采用相应的测度 方法。
尽量避免绝对数据。
研究个案 A B C
受教育年限 10 16 6
年收入（万元） 2
1.5 1
年收入（元） 20000 15000 10000
A、B、C在不同距离单位时的距离图
A
B
B
10.01
C
A
10000
C
单位：万元
第6页，共8页。
单位：元
聚类分析
四、常用两种聚类分析方法
1.快速聚类法
快速聚类过程是初始分类的有效方法。适用于大容量样本的情形，由用户指定须聚类的 类数之后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。
m维空间中点与点之间的某种距离就可用来描述样品之间的亲疏程度。 而聚类分析则较常使用于将变量属性相似程度较高的观察值，加以分类，使类与类间的异质性达到最大，而同一类的几个观察值同质性很高。 ③对数据进行变换处理，（如标准化或规格化）；
mm维维空 空间间中中点点与与点点实之之际间间的的应某某用种种距距时离离，就就可可两用用者来来描描的述述主样样品品要之之差间间的的别亲亲在疏疏程程于度度因。。子分析是针对“变量”予以分组，而聚类分析 按照这种方则法是不断将进“行合观并察，直值到个把所体有”的样予品以合为分一组个，大类亦为即止。因子分析时，根据因变量（题项）间关系密切与 四⑦、最常 后用绘两制否种系，聚统类聚将分类变析谱方系量法图予，按以不分同的类分（类标分准为或不几同个的层分类面原因则，子得）出不；同而的分聚类类结果分。析则较常使用于将变量属性相似 从数据结构程和度统计较形高式上的看观，因察子值分析，是加一种以“横分向类合并，”的使方类法，与聚类类分间析的则是异一质种“性纵向达合到并”最的方大法，。 而同一类的几个观察值 适每用一于 种大方容法同量都质样从本不性的同很情的形角高，度。由测用度户了指研定究须对聚象类的的相类似数性之。后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。 研究学生学业差异、因教师素教分学水析平：等等横，向都需简要化对研，究聚对象类进分行分析类：。纵向分组
聚类分析详解ppt课件
以上我们对例6.3.1采用了多种系统聚类法进行聚类，其结果 都是相同的，原因是该例只有很少几个样品，此时聚类的过 程不易有什么变化。一般来说，只要聚类的样品数目不是太 少，各种聚类方法所产生的聚类结果一般是不同的，甚至会 有大的差异。从下面例子中可以看到这一点。
动态聚类法（快速聚类）
(4) 对D1 重复上述对D0 的两步得 D2，如此下去 直至所有元素合并成一类为止。
如果某一步Dm中最小的元素不止一个，则称此现 象为结(tie)，对应这些最小元素的类可以任选一对 合并或同时合并。
27
二、最长距离法
类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离， 即
DKL
max
iGK , jGL
聚类分析应注意的问题
（1）所选择的变量应符合聚类的要求
如果希望依照学校的科研情况对高校进行分类，那么可以 选择参加科研的人数、年投入经费、立项课题数、支出经 费、科研成果数、获奖数等变量，而不应选择诸如在校学 生人数、校园面积、年用水量等变量。因为它们不符合聚 类的要求，分类的结果也就无法真实地反映科研分类的情 况。
主要内容
引言 聚类分析原理 聚类分析的种类 聚类分析应注意的问题 聚类分析应用 聚类分析工具及案例分析
聚类分析的种类
（1）系统聚类法（也叫分层聚类或层次聚类） （2）动态聚类法（也叫快速聚类） （3）模糊聚类法 （4）图论聚类法
系统聚类法
对比
常用的系统聚类方法
一、最短距离法 二、最长距离法 三、中间距离法 四、类平均法 五、重心法 六、离差平方和法(Ward方法)
对比
k均值法的基本步骤
(1)选择k个样品作为初始凝聚点，或者将所有样品分成k 个初始类，然后将这k个类的重心(均值)作为初始凝聚点。
聚类分析法ppt课件全
8/21/2024
25
1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（3）分类函数
按照修改原则不同，动态聚类方法有按批修改法、逐个修改法、混合法等。 这里主要介绍逐步聚类法中按批修改法。按批修改法分类的原则是，每一步修 改都将使对应的分类函数缩小，趋于合理，并且分类函数最终趋于定值，即计 算过程是收敛的。
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1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（2）初始分类 有了凝聚点以后接下来就要进行初始分类，同样获得初始分类也有不同的
方法。需要说明的是，初始分类不一定非通过凝聚点确定不可，也可以依据其 他原则分类。
以下是其他几种初始分类方法： ①人为分类，凭经验进行初始分类。 ②选择一批凝聚点后，每个样品按与其距离最近的凝聚点归类。 ③选择一批凝聚点后，每个凝聚点自成一类，将样品依次归入与其距离
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14
1.2 聚类分析的种类
（2）系统聚类分析的一般步骤 ①对数据进行变换处理； ②计算各样品之间的距离，并将距离最近的两个样品合并成一类； ③选择并计算类与类之间的距离，并将距离最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的两类合并，如果累的个
数大于1，则继续并类，直至所有样品归为一类为止； ④最后绘制系统聚类谱系图，按不同的分类标准，得出不同的分类结果。
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1.2 聚类分析的种类
（7）可变法
1 2 D kr
2 （8）离差平方和法
(D k 2 pD k 2 q)D p 2q
D k 2 rn n ir n n p i D i2 pn n ir n n q iD i2 qn rn in iD p 2 q
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聚类分析解析课件
类间距的度量
类：一个不严格的定义
定义9.1:距离小于给定阀值的点的集合 类的特征
◦ 重心：均值 ◦ 样本散布阵和协差阵 ◦ 直径
类间距的定义
最短距离法 最长距离法 重心法 类平均法 离差平方和法 等等
最小距离法（single linkage method）
极小异常值在实际中不多出现，避免极 大值的影响
类的重心之间的距离
对异常值不敏感，结果更稳定
离差平方和法（sum of squares
method或ward method）
W代表直径，D2=WM－WK－WL
即
DK2L
nL nk nM
XK XL XK XL
Cluster K
Cluster M
Cluster L
◦ 对异常值很敏感；对较大的类倾向产生较大的距 离，从而不易合并，较符合实际需要。
如表9.2所示，每个样品有p个指标，共 有n个样品
每个样品就构成p维空间中的一个点
:第i个样品的第k个指标对应的取值
◦ i=1……n; k=1……p
:第i个样品和第j个样品之间的距离
◦ i=1……n; j=1……n
点间距离测量问题
样品间距离与指标间距离 间隔尺度、有序尺度与名义尺度 数学距离与统计距离 相似性与距离：一个硬币的两面
类图上发现相同的类
饮料数据
16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量
SPSS实现
选择Analyze－Classify－Hierarchical Cluster, 然 后 把 calorie （ 热 量 ） 、 caffeine （ 咖 啡
因）、sodium（钠）、price（价格）选入 Variables, 在Cluster选Cases（这是Q型聚类：对观测 值聚类），如果要对变量聚类（R型聚类） 则选Variables, 为 了 画 出 树 状 图 ， 选 Plots ， 再 点 Dendrogram等。 可以在Method中定义点间距离和类间距 离
聚类分析法ppt课件
7
（2）计算样品的距离。
d ij xi x j yi y j
8
G1
D(0)
G2 G3
G4
G5
G1 G2 G3 G4 G5
0 0.34 1.37 1.34 1.33
0 1.03 1 1.67
0 0.63 1.3
0 0.67
0
9
（3）找出D(0)非对角线上的最小元素， 将其对应的两个类合并为一个新类。
0 0.63 1.30 0 0.67
0
19
0
D(2)
1.37 0
1.67 1.30
0
20
0 1.67
D(3)
0
21
G1 G2 G3 G4 G5
0.4
0.8 1.2 1.6 2.0
聚类距离
பைடு நூலகம்22
G1 G2 G3 G4 G5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
G1 G2 G3 G4 G5
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
聚类距离
聚类距离
23
某村对5个地块就其土壤质地和土壤有机 质含量进行了评估，结果如下。请分别 使用最长距离法和最短距离法对这5个地 块进行聚类分析，要求分为两类。
地块 A
B
C
D
E
质地 8
3
6
6
4
有机质 5
7
4
9
7
含量
24
聚类分析法
Cluster Analysis
1
聚类分析
将具有相似(similarity)性质（或距离）的 个体（样本）聚为一类，具有不同性质 的个体聚为不同的类。
聚类分析的思路和方法ppt课件
14
❖ 1. 绝对距离（Block距离）
p
dij 1 xik xjk k1
❖ 2. 欧氏距离(Euclidean distance)
1
dij 2 p (xikxjk)2 2
k1
精选ppt
15
❖ 3. 明考斯基距离(Minkowski)
❖ 4. 兰氏距离
1
dij
p
(xik xjk)q
k1
n
n
(xki xi )2 (xkj xj )2
k1
k1
❖ 2. 夹角余弦
n
xkixkj
Cij
k 1
1
n xk2i n xk2j 2
k 1 k 1
精选ppt
18
计数变量(Count)（离散变量）的聚类统计量
❖ 对于计数变量或离散变量，可用于度量样本 （或变量）之间的相似性或不相似性程度的 统计量主要有卡方测度（Chi-square measure） 和Phi方测度（Phi-square measure）。
应聘者 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 28 18 11 21 26 20 16 14 24 22 Y 29 23 22 23 29 23 22 23 29 27 Z 28 18 16 22 26 22 22 24 24 24
精选ppt
8
精选ppt
9
精选ppt
10
聚类分析根据一批样本的许多观测 指标，按照一定的数学公式具体地计算 一些样本或一些指标的相似程度，把相 似的样本或指标归为一类，把不相似的 归为一类。
精选ppt
19
二值(Binary)变量的聚类统计量
精选ppt
20
第六讲——聚类分析PPT课件
聚类分析就是按照对象之间的“相似”程度 把对象进行分类
什么是聚类分析？
(两种分类方式)
聚类分析的“对象”可以是所观察的多个样本， 也可以是针对每个样本测得的多个变量
按照变量对所观察的样本进行分类称为Q型聚类
按照多项经济指标(变量)对不同的地区(样本)进行分 类
按照样本对多个变量进行分类，则称为R型聚类
统计名言 现实是复杂的，是绝对不可能由一 个有组织的科学模型完全描述出来 的。
——Thomas Kuhn
聚类分析
1 聚类分析的基本原理 2 层次聚类 3 K-均值聚类
怎样把消费者分类？
南京雅兴市场研究有限公司在A城市的14个城区抽取3000个 15岁以上具有独立购买能力的消费者样本， 研究消费者的生 活方式。调查中采用一系列关于对社会活动、价值观念等内容 的陈述，请消费者根据自己的情况做出评价。评价结果采用7 分评价法，1分表示“非常同意”，7分表示“非常不同意”
本章主要介绍聚类分析方法
聚类分析
1. 聚类分析的基本原理
1.1 什么是聚类分析? 1.2 相似性的度量
1 聚类分析的基本原理 1.1 什么是聚类分析？
什么是聚类分析？
(cluster analysis)
把“对象”分成不同的类别
这些类不是事先给定的，而是直接根据数据的特 征确定的
把相似的东西放在一起，从而使得类别内部 的“差异”尽可能小，而类别之间的“差异 ”尽可能大
怎样把消费者分类？
上进型：占消费者总人数的不到13%。他们对生活的态度积极，多 为未婚青年，平均年龄在28岁左右，25岁以下的占40%，单身未婚 的比例占1/2以上。职业上的显著特征是：1/3为学生，三资企业员工 的比例达1/10。男性的比例高于女性。这类消费者是受教育程度最 高的，他们的平均家庭收入却是最高的，月平均收入在2300元左右
什么是聚类分析？
(两种分类方式)
聚类分析的“对象”可以是所观察的多个样本， 也可以是针对每个样本测得的多个变量
按照变量对所观察的样本进行分类称为Q型聚类
按照多项经济指标(变量)对不同的地区(样本)进行分 类
按照样本对多个变量进行分类，则称为R型聚类
统计名言 现实是复杂的，是绝对不可能由一 个有组织的科学模型完全描述出来 的。
——Thomas Kuhn
聚类分析
1 聚类分析的基本原理 2 层次聚类 3 K-均值聚类
怎样把消费者分类？
南京雅兴市场研究有限公司在A城市的14个城区抽取3000个 15岁以上具有独立购买能力的消费者样本， 研究消费者的生 活方式。调查中采用一系列关于对社会活动、价值观念等内容 的陈述，请消费者根据自己的情况做出评价。评价结果采用7 分评价法，1分表示“非常同意”，7分表示“非常不同意”
本章主要介绍聚类分析方法
聚类分析
1. 聚类分析的基本原理
1.1 什么是聚类分析? 1.2 相似性的度量
1 聚类分析的基本原理 1.1 什么是聚类分析？
什么是聚类分析？
(cluster analysis)
把“对象”分成不同的类别
这些类不是事先给定的，而是直接根据数据的特 征确定的
把相似的东西放在一起，从而使得类别内部 的“差异”尽可能小，而类别之间的“差异 ”尽可能大
怎样把消费者分类？
上进型：占消费者总人数的不到13%。他们对生活的态度积极，多 为未婚青年，平均年龄在28岁左右，25岁以下的占40%，单身未婚 的比例占1/2以上。职业上的显著特征是：1/3为学生，三资企业员工 的比例达1/10。男性的比例高于女性。这类消费者是受教育程度最 高的，他们的平均家庭收入却是最高的，月平均收入在2300元左右
聚类分析课件
聚类分析课件聚类分析课件聚类分析是一种常用的数据分析方法，它可以将一组数据分成不同的类别或簇，每个簇内的数据点具有相似的特征，而不同簇之间的数据点具有较大的差异。
聚类分析在各个领域都有广泛的应用，如市场细分、社交网络分析、医学诊断等。
在本文中，我们将介绍聚类分析的基本概念、常用算法和实际应用案例。
一、聚类分析的基本概念聚类分析的目标是通过对数据进行分组，使得每个组内的数据点相似度较高，而不同组之间的相似度较低。
聚类分析的基本概念包括距离度量和聚类算法。
1. 距离度量距离度量是衡量数据点之间相似度或差异度的标准。
常用的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离等。
欧氏距离是最常用的距离度量方法，它计算数据点在多维空间中的直线距离。
曼哈顿距离则计算数据点在坐标轴上的绝对距离，而闵可夫斯基距离则是这两种距离的一种泛化形式。
2. 聚类算法常用的聚类算法包括K-means算法、层次聚类算法和DBSCAN算法等。
K-means算法是一种迭代的、基于距离的聚类算法，它将数据点分成K个簇，使得每个簇内的数据点与该簇的中心点的距离最小。
层次聚类算法则是一种自底向上的聚类算法，它通过计算数据点之间的相似度来构建一个层次结构。
DBSCAN算法是一种基于密度的聚类算法，它将数据点分为核心点、边界点和噪声点三类，具有较好的鲁棒性和灵活性。
二、常用的聚类分析算法1. K-means算法K-means算法是一种迭代的、基于距离的聚类算法。
它的基本思想是随机选择K个初始中心点，然后将每个数据点分配到距离其最近的中心点所对应的簇中。
接着，重新计算每个簇的中心点，并重复这个过程直到收敛。
K-means算法的优点是简单易实现，但它对初始中心点的选择敏感，并且需要预先指定簇的个数K。
2. 层次聚类算法层次聚类算法是一种自底向上的聚类算法。
它的基本思想是将每个数据点看作一个独立的簇，然后通过计算数据点之间的相似度来构建一个层次结构。
聚类分析 PPT课件
• 在饮料数据中，每种饮料都有四个变量值。这 就是四维空间点的问题了。
7
两个距离概念
• 按照远近程度来聚类需要明确两个概念： 一个是点和点之间的距离，一个是类和类 之间的距离。
• 点间距离有很多定义方式。最简单的是歐 氏距离。
• 当然还有一些和距离相反但起同样作用的 概念，比如相似性等，两点越相似度越大， 就相当于距离越短。
18
• 有了上面的点间距离和类间距离的概念， 就可以介绍聚类的方法了。这里介绍两个 简单的方法。
Cxy(2)rxy
i
(xi x)2 (yi y)2
i
i
当变量的测量值相差悬殊时,要先进行标准化. 如R为极差,
s 为标准差, 则标准化的数据为每个观测值减去均值后再除
以R或s. 当观测值大于0时, 有人采用Lance和Williams的距
离
1 | xi yi |
p i xi yi
10
类Gp与类Gq之间的距离Dpq (d(xi,xj)表示点xi∈ Gp和xj ∈ Gq之间的距离)
3
k-means算法
k-means算法，也被称为k-均值或k-平均。 该算法首先随机地选择k个对象作为初始的k个簇的质心； 然后对剩余的每个对象，根据其与各个质心的距离，将它赋 给最近的簇，然后重新计算每个簇的质心；这个过程不断重 复，直到准则函数收敛。通常采用的准则函数为平方误差和 准则函数，即 SSE(sum of the squared error)，其定义如 下:
D 12
(xkx)'(xi x) DpqD 12D 1D 2
xk Gp G q
(中间距离, 可变平均法,可变法等可参考各书). 在用欧氏距离时, 有统一的递推公式
7
两个距离概念
• 按照远近程度来聚类需要明确两个概念： 一个是点和点之间的距离，一个是类和类 之间的距离。
• 点间距离有很多定义方式。最简单的是歐 氏距离。
• 当然还有一些和距离相反但起同样作用的 概念，比如相似性等，两点越相似度越大， 就相当于距离越短。
18
• 有了上面的点间距离和类间距离的概念， 就可以介绍聚类的方法了。这里介绍两个 简单的方法。
Cxy(2)rxy
i
(xi x)2 (yi y)2
i
i
当变量的测量值相差悬殊时,要先进行标准化. 如R为极差,
s 为标准差, 则标准化的数据为每个观测值减去均值后再除
以R或s. 当观测值大于0时, 有人采用Lance和Williams的距
离
1 | xi yi |
p i xi yi
10
类Gp与类Gq之间的距离Dpq (d(xi,xj)表示点xi∈ Gp和xj ∈ Gq之间的距离)
3
k-means算法
k-means算法，也被称为k-均值或k-平均。 该算法首先随机地选择k个对象作为初始的k个簇的质心； 然后对剩余的每个对象，根据其与各个质心的距离，将它赋 给最近的簇，然后重新计算每个簇的质心；这个过程不断重 复，直到准则函数收敛。通常采用的准则函数为平方误差和 准则函数，即 SSE(sum of the squared error)，其定义如 下:
D 12
(xkx)'(xi x) DpqD 12D 1D 2
xk Gp G q
(中间距离, 可变平均法,可变法等可参考各书). 在用欧氏距离时, 有统一的递推公式
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别分析(Discriminant Analysis)的内容；
第二种是研究对象不存在事前分类的情况，而
将数据进行结构性分类，属于聚类分析的内容。 聚类分析是研究“物以类聚”的一种多元统计分 析方法。
聚类分析和判别分析是研究多要素事物分类 的基本数量方法，广泛地应用于自然科学(如 地理学，医学，体育等）、社会科学、工农 业生产的各个领域。 在统计分析中，它的形成和发展相对较晚， 但它却是仅次于回归分析而较常用的一种方 法。
G3
G4 G5
0.20
0.44 0.03
0.15
0.38 0.03Fra bibliotek0.07
0.00 1.00
0.44
0.13 1.00
0.44
0.18 1.00
0.08
0.13 0.45
0.07
0.00 1.00
G6
G7 G8 G9
0.03
0.00 0.91 0.38
0.03
0.00 0.53 0.26
0.61
0.90 0.07 0.04
0.69
0.81 0.00 0.00
0.65
0.84 0.10 0.15
0.13
0.13 0.43 0.00
0.59
1.00 0.09 0.00
（二）距离的计算
如何度量远近？ 如果想要对100个学生进行分类，如果仅仅知道他们 的数学成绩，则只好按照数学成绩来分类；这些成绩 在直线上形成100个点。这样就可以把接近的点放到 一类。 如果还知道他们的物理成绩，这样数学和物理成绩就 形成二维平面上的100个点，也可以按照距离远近来 分类。 三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以上的 图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中，每种饮 料都有四个变量值。这就是四维空间点的问题了。 对于n个变量就是n维空间中的点。
过去人们主要靠经验和专业知识进行定性分类
处理，致使许多分类带有主观性和任意性，不能
很好地提示客观事物内在的本质差别与联系，特 别是对于多因素、多指标的分类问题。为了克服 定性分类的不足，有必要引入数学方法，形成了 数值分类法。
数值分类一般有两种情况
第一种是已知研究对象的分类情况，需将某些
未知个体正确地归属于其中某一类,这种情况属判
聚类分析
对于一个数据，我们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对excel数 据表格中的列分类)，也可以对观测值（事件，样本）来分类（相当于对 数据中的行分类）。 样品聚类：对地点、地区或样品等观测量(Case)进行聚类（不同的 目的选用不同的指标作为分类的依据），对样品或观测值聚类称为Q 型聚类。 变量聚类：对要素、指标或变量进行聚类。例如，在回归分析中由 于自变量的共线性导致偏回归系数不能真正反映自变量对因变量的 影响等。因此往往先要进行变量聚类，找出彼此独立且有代表性的 自变量，而又不丢失大部分信息。因此，变量聚类可以减少自变量 的个数，简化问题。在生产活动中不乏有变量聚类的实例，如：衣 服号码（身长、胸围、裤长、腰围）、鞋的号码。变量聚类使批量 生产成为可能。对变量的聚类称为R型聚类， 在技术上，R型聚类可以看成是对原始数据矩阵转秩后进行的Q型聚 类，因此，两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。 具体分多少类，并不一定事先假定，事先也无需知道分类对象的分类结 构，完全可以按照数据本身的规律来分类。
6.02 3.64 4.77
（3.4.9）
5.53 2.93 4.06 0.83 1.07 1.66 1.20
0.88 2.24 1.29 5.14 3.96 5.03
0.51 4.84 3.06 3.32 1.40
对于类间距离：
若类Gp与类Gq之间的距离为Dpq，d(xi,xj)表示点
xi∈ Gp和xj ∈ Gq之间的距离，则：
i i
（3.4.4）
经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大 值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
例题:表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它
们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
表3.4.2 某地区九个农业区的七项经济指标数据
区 代 号
G1 G2 G3 G4
人均耕地 x1（hm2/ 人）
点间距离和类间距离的计算
（1）点间距离的计算
常用的点间距离计算方法有：
无论是行、列，相似系数的计算一般有两种方法： 一种是夹角余弦；另一种是相关系数。
资源与环境科学系 罗庆研制
资源与环境科学系 罗庆研制
据表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式
计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：
§3.4 系统聚类分析方法
聚类分析概要 系统聚类分析的方法
系统聚类分析应用实例 聚类分析的spss过程
聚类要素的数据处理 距离的计算 直接聚类法 最短距离聚类法 最远距离聚类法
一、聚类分析概要
区域政策分区
为了实现区 域经济协调 发展的目标， 国家通过推 进西部大开 发、振兴东 北老工业基 地、促进中 部地区崛起、 鼓励东部地 区加快发展 等一系列措 施，旨在形 成东中西互 动、优势互 补、相互促 进、共同发 展新格局。
比如饮料数据（drink.sav ）
16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量；可以 按第一列分类，也可以将第一行分类，从而进行降维 （减少自变量）处理。 但从表中可以看出，各要素或 指标的单位、数量级和数量变化的幅度都不一样。
假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有n 个要素构成。它们所对应的要素数据可用 3.4.1给出。 聚 类 对 象
x
i 1
ij
1
( j 1,2, , n)
② 标准差标准化，即
xij xij x j sj (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
（3.4.2）
由这种标准化方法所得到的新数据（Z Scores），各 要素的平均值为0，标准差为1，即有
1 m x j xij 0 m i 1 sj 1 m ( xij x ) 2 1 j m i 1
（二）什么是聚类分析
聚类分析，亦称群分析或点群分析，它是按“物以类聚” 的原则来研究事物分类的一种多元统计分析方法。其基本 原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似 性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按 这种亲疏关系程度对样本进行聚类。 聚类原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的 个体差异很大。 聚类分析就是根据地理变量（样本或指标）的属性或特征 的相似性、亲疏程度，用数学的方法把它们逐步地分型划 类，最后得到一个能反映个体或站点之间、群体之间亲疏 关系的分类系统。
两个距离概念
按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点 之间的距离，一个是类和类之间的距离。 点间距离有很多定义方式。最简单的是欧氏距离，还有 其他的距离。 还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性 或相似系数等，两点相似度越大，就相当于距离越短。 由一个点组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个 点组成，那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一 类包含不止一个点，那么就要确定类间距离。 类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点 之间的距离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类 中最远点之间的距离作为这两类之间的距离；当然也可 以用各类的中心之间的距离来作为类间距离。在计算时， 各种点间距离和类间距离的选择是通过统计软件的选项 实现的。不同的选择的结果会不同，但一般不会差太多。
在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有
如下几种标准化法: ① 总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据 的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和， 即
xij xij
x
i 1
m
m
(i 1,2, , m; j 1,2,, n)
ij
（3.4.1）
这种标准化方法所得到的新数据满足
1 2 i m
要
x1
x11 x 21 xi1 x m1
素
x 2 , x j , x n
x12 x 22 xi 2 , , x1 j xij , , x1n x2n xin
, x 2 j ,
x m 2 , x mj
, x mn
人均粮 食x6（ kg/人 ）
1036.4 683.7 611.1 632.6
稻谷占 粮食比 重x7（ %）
12.2 0.85 6.49 0.92
G5
G6 G7 G8 G9
0.081
0.082 0.075 0.293 0.167
0.212
0.211 0.181 0.666 0.414
72.04
43.78 65.15 5.35 2.9
0.294 0.315 0.123 0.179
劳均耕地 x2（hm2/ 个）
1.093 0.971 0.316 0.527
水田比 重 x3（% ）
5.63 0.39 5.28 0.39
复种指 数 x4（% ）
113.6 95.1 148.5 111
粮食亩 产x5（ kg/ hm2）
4510.5 2773.5 6934.5 4458
最短距离法:
Dpq min d ( xi , x j )
最长距离法:
Dpq max d ( xi , x j )
217.8
179.6 194.7 94.9 94.8
12249
8973 10689 3679.5 4231.5
791.1
636.5 634.3 771.7 574.6
80.38
第二种是研究对象不存在事前分类的情况，而
将数据进行结构性分类，属于聚类分析的内容。 聚类分析是研究“物以类聚”的一种多元统计分 析方法。
聚类分析和判别分析是研究多要素事物分类 的基本数量方法，广泛地应用于自然科学(如 地理学，医学，体育等）、社会科学、工农 业生产的各个领域。 在统计分析中，它的形成和发展相对较晚， 但它却是仅次于回归分析而较常用的一种方 法。
G3
G4 G5
0.20
0.44 0.03
0.15
0.38 0.03Fra bibliotek0.07
0.00 1.00
0.44
0.13 1.00
0.44
0.18 1.00
0.08
0.13 0.45
0.07
0.00 1.00
G6
G7 G8 G9
0.03
0.00 0.91 0.38
0.03
0.00 0.53 0.26
0.61
0.90 0.07 0.04
0.69
0.81 0.00 0.00
0.65
0.84 0.10 0.15
0.13
0.13 0.43 0.00
0.59
1.00 0.09 0.00
（二）距离的计算
如何度量远近？ 如果想要对100个学生进行分类，如果仅仅知道他们 的数学成绩，则只好按照数学成绩来分类；这些成绩 在直线上形成100个点。这样就可以把接近的点放到 一类。 如果还知道他们的物理成绩，这样数学和物理成绩就 形成二维平面上的100个点，也可以按照距离远近来 分类。 三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以上的 图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中，每种饮 料都有四个变量值。这就是四维空间点的问题了。 对于n个变量就是n维空间中的点。
过去人们主要靠经验和专业知识进行定性分类
处理，致使许多分类带有主观性和任意性，不能
很好地提示客观事物内在的本质差别与联系，特 别是对于多因素、多指标的分类问题。为了克服 定性分类的不足，有必要引入数学方法，形成了 数值分类法。
数值分类一般有两种情况
第一种是已知研究对象的分类情况，需将某些
未知个体正确地归属于其中某一类,这种情况属判
聚类分析
对于一个数据，我们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对excel数 据表格中的列分类)，也可以对观测值（事件，样本）来分类（相当于对 数据中的行分类）。 样品聚类：对地点、地区或样品等观测量(Case)进行聚类（不同的 目的选用不同的指标作为分类的依据），对样品或观测值聚类称为Q 型聚类。 变量聚类：对要素、指标或变量进行聚类。例如，在回归分析中由 于自变量的共线性导致偏回归系数不能真正反映自变量对因变量的 影响等。因此往往先要进行变量聚类，找出彼此独立且有代表性的 自变量，而又不丢失大部分信息。因此，变量聚类可以减少自变量 的个数，简化问题。在生产活动中不乏有变量聚类的实例，如：衣 服号码（身长、胸围、裤长、腰围）、鞋的号码。变量聚类使批量 生产成为可能。对变量的聚类称为R型聚类， 在技术上，R型聚类可以看成是对原始数据矩阵转秩后进行的Q型聚 类，因此，两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。 具体分多少类，并不一定事先假定，事先也无需知道分类对象的分类结 构，完全可以按照数据本身的规律来分类。
6.02 3.64 4.77
（3.4.9）
5.53 2.93 4.06 0.83 1.07 1.66 1.20
0.88 2.24 1.29 5.14 3.96 5.03
0.51 4.84 3.06 3.32 1.40
对于类间距离：
若类Gp与类Gq之间的距离为Dpq，d(xi,xj)表示点
xi∈ Gp和xj ∈ Gq之间的距离，则：
i i
（3.4.4）
经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大 值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
例题:表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它
们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
表3.4.2 某地区九个农业区的七项经济指标数据
区 代 号
G1 G2 G3 G4
人均耕地 x1（hm2/ 人）
点间距离和类间距离的计算
（1）点间距离的计算
常用的点间距离计算方法有：
无论是行、列，相似系数的计算一般有两种方法： 一种是夹角余弦；另一种是相关系数。
资源与环境科学系 罗庆研制
资源与环境科学系 罗庆研制
据表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式
计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：
§3.4 系统聚类分析方法
聚类分析概要 系统聚类分析的方法
系统聚类分析应用实例 聚类分析的spss过程
聚类要素的数据处理 距离的计算 直接聚类法 最短距离聚类法 最远距离聚类法
一、聚类分析概要
区域政策分区
为了实现区 域经济协调 发展的目标， 国家通过推 进西部大开 发、振兴东 北老工业基 地、促进中 部地区崛起、 鼓励东部地 区加快发展 等一系列措 施，旨在形 成东中西互 动、优势互 补、相互促 进、共同发 展新格局。
比如饮料数据（drink.sav ）
16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量；可以 按第一列分类，也可以将第一行分类，从而进行降维 （减少自变量）处理。 但从表中可以看出，各要素或 指标的单位、数量级和数量变化的幅度都不一样。
假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有n 个要素构成。它们所对应的要素数据可用 3.4.1给出。 聚 类 对 象
x
i 1
ij
1
( j 1,2, , n)
② 标准差标准化，即
xij xij x j sj (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
（3.4.2）
由这种标准化方法所得到的新数据（Z Scores），各 要素的平均值为0，标准差为1，即有
1 m x j xij 0 m i 1 sj 1 m ( xij x ) 2 1 j m i 1
（二）什么是聚类分析
聚类分析，亦称群分析或点群分析，它是按“物以类聚” 的原则来研究事物分类的一种多元统计分析方法。其基本 原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似 性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按 这种亲疏关系程度对样本进行聚类。 聚类原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的 个体差异很大。 聚类分析就是根据地理变量（样本或指标）的属性或特征 的相似性、亲疏程度，用数学的方法把它们逐步地分型划 类，最后得到一个能反映个体或站点之间、群体之间亲疏 关系的分类系统。
两个距离概念
按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点 之间的距离，一个是类和类之间的距离。 点间距离有很多定义方式。最简单的是欧氏距离，还有 其他的距离。 还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性 或相似系数等，两点相似度越大，就相当于距离越短。 由一个点组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个 点组成，那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一 类包含不止一个点，那么就要确定类间距离。 类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点 之间的距离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类 中最远点之间的距离作为这两类之间的距离；当然也可 以用各类的中心之间的距离来作为类间距离。在计算时， 各种点间距离和类间距离的选择是通过统计软件的选项 实现的。不同的选择的结果会不同，但一般不会差太多。
在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有
如下几种标准化法: ① 总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据 的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和， 即
xij xij
x
i 1
m
m
(i 1,2, , m; j 1,2,, n)
ij
（3.4.1）
这种标准化方法所得到的新数据满足
1 2 i m
要
x1
x11 x 21 xi1 x m1
素
x 2 , x j , x n
x12 x 22 xi 2 , , x1 j xij , , x1n x2n xin
, x 2 j ,
x m 2 , x mj
, x mn
人均粮 食x6（ kg/人 ）
1036.4 683.7 611.1 632.6
稻谷占 粮食比 重x7（ %）
12.2 0.85 6.49 0.92
G5
G6 G7 G8 G9
0.081
0.082 0.075 0.293 0.167
0.212
0.211 0.181 0.666 0.414
72.04
43.78 65.15 5.35 2.9
0.294 0.315 0.123 0.179
劳均耕地 x2（hm2/ 个）
1.093 0.971 0.316 0.527
水田比 重 x3（% ）
5.63 0.39 5.28 0.39
复种指 数 x4（% ）
113.6 95.1 148.5 111
粮食亩 产x5（ kg/ hm2）
4510.5 2773.5 6934.5 4458
最短距离法:
Dpq min d ( xi , x j )
最长距离法:
Dpq max d ( xi , x j )
217.8
179.6 194.7 94.9 94.8
12249
8973 10689 3679.5 4231.5
791.1
636.5 634.3 771.7 574.6
80.38