第七章 存储模型----Inventory Models

（二）优化准则 – t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，
因此，t时间内平均费用最小，总体平均费 用就会最小。
（三）目标函数
根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时 间内的平均费用， 即 C=C（t）；
（1）t时间内订货费 t时间内订货费= 订购费 + 货物成本费 = c3+KRt
（其中K为货物单价） （2）t时间内存储费 存储费 = 平均存储量×单位存储费×时间
一、模型假设
(1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； （2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；
（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 二、存储状态
存储量
Q
斜率－R
0.5Q
t
时间T
三、存储模型
（一）存储策略
– 该问题的存储策略就是每次订购量，即问 题的决策变量Q，由于问题是需求连续均 匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t， 即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。
第三节 经济生产批量模型
----Economic Production Lot Size Model
– 经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间 模型。
一、模型假设
1) 需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； 2) 每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 3) 当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）
存储量
S
O
Q－S 时间T
t1
t2
T
三、存储模型
1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；
2．优化准则：T时期内，平均费用最小；
3．费用函数：
（1）不缺货时间 （2）缺货时间 （3）总周期时间
t1=S∕R； t2=（Q－S）∕R T=Q∕R
（4）平均存储量 （5）平均缺货量
0.5S×t1∕T=0.5S2∕Q 0.5（Q－S）×t2∕T
4．最优存储策略
令
C c1S c2 (Q S ) 0
S Q
Q
C Q
c1S 2 2Q 2
2c2Q(Q S) c2 (Q S)2 2Q 2
c3 R Q2
0
有最佳订购量
Q* 2c3R c1c2
c1
c2
最佳（最大）存储量 S* 2c3R c2
c1 c1 c2
最佳循环时间 周期内平均费用
C
C(t)
(1/2)c1Rt：存储费用曲线
c3/t：订购费用曲线
O
t* 图7—2
t
费用函数还可以描述成订购量的函数，即 C（Q）= (1/2)c1Q + c3 R/Q
此时，费用函数如下图所示：
C C(Q)
O
Q*
(1/2)c1Q：存储费用曲线 c3R/Q：订购费用曲线
Q
四、实例分析
– 教材P176实例 – 某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发
成本总计：
6841.053元
最大存储水平： 1140.75
平均存储水平： 570.088
再订货点：
427.397
每年订货次数： 136.821
周期：
2.668
– 在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一 些修改：
– （1）将订货周期该为3天，每次订货量为3×3000 （52∕365） =1282箱；
– （2）为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天 多存储200箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每3 天订货1282箱；
– （3）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再 订货点为427+200=627箱。
– 这样，公司一年总费用为： C=0.5×1282×6 + (365÷3)×25 + 200×6=8087.67元
T * Q* / R 2c3 c1 c2 c1R c2
C*
2c1c3 R
c2 c1 c2
四、实例计算
参数
最优订货量 每年存储成本 每年订货成本 每年缺货成本 成本总计 最大存储水平 平均存储水平 再订货点 最大缺货量 每年订货次数 周期
有
Q* Rt* 2c3 R
c1
即当库存为零时，立即订货，订货量为Q*，可使平均 费用最小。
Q*——经济订货批量（Economic Ordering Quantity， E.O.Q）
（五）平均费用分析
– 由于货物单价K与Q*、t*无关，因此在费用函数中可 省去该项。
– 即 C（t）= (1/2)c1Rt + c3 /t
（2）计算机求解
运筹学软件均是以年为单位，需输入如下数据：
c1=6元∕年·箱；c3=25元∕次；R=3000×52=156000箱∕年。
存储率=20%（存储费占价格比例）；每年天数：365天；
计算结果为：
最优订货量：
1140.175
每年存储成本： 3420.526元
每年订货成本： 3420.526元
3．（t，s，S）策略——每隔t时间检查库存，当库存量 小等于s时，立即补充库存量到S；当库存量大于s时， 可暂时不补充。
（二）费用 1．订货费 ——企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。 （1）订购费(ordering cost)——手续费、电信往来费用、交通费等。
与订货次数有关； （2）货物成本费——与所订货物数量有关，如成本费、运输费等。 2．生产费 ——企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。 （1）装备费(setup cost)——与生产次数有关的固定费用； （2）消耗性费用——与生产数量有关的费用。 – 对于同一产品，订货费与生产费只有一种。 3．存储费用(holding cost)
存储量 S
斜率R
t
t1
斜率P－R
0.5S 时间T
三、存储模型
1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；
2．优化准则：t+t1时期内，平均费用最小； 3．费用函数：
（1）生产时间
t=Q∕P；
（2）最大存储量
S=(P－R)t=(P－R)Q/P
（3）不生产时间与总时间：
ห้องสมุดไป่ตู้
t1=S∕R=(P－R)Q∕(P×R) t+t1=Q∕P+(P－R)Q∕(PR)=Q∕R （4）t+t1时期内平均存储费： 0.5S c1 = 0.5 c1 (P－R)Q∕P （5）t+t1时期内平均生产费用：c3 ∕(t+t1) = c3R∕Q （6）t+t1时期内总平均费用：
为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩 余部分作为存储，存储量以P－R的速度增加；当生产t 时间以后，停止生产，此时存储量为（P－R）t，以该 存储量来满足需求。当存储量降至零时，再开始生产， 开始一个新的周期。
二、存储状态图
– 设最大存储量为S；总周期时间为T，其中生产时 间为t，不生产时间为t1；存储状态图如下图。
二、存储模型中的几个要素
（一）存储策略(Inventory policy)
存储策略——解决存储问题的方法，即决定多少时间补 充一次以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种 类型：
1．t0循环策略——每隔t0时间补充库存，补充量为Q。这 种策略是在需求比较确定的情况下采用。
2．（s，S）策略——当存储量为s时，立即订货，订货 量为Q=S－s，即将库存量补充到S。
解： （1）人工计算 c1=6/52=0.1154元∕周·箱；c3=25元∕次；R=3000箱∕周。
因此有
Q* 2c3R 2 253000 1140.18 （箱）
c1
0.1154
t*=Q*∕R=1140.18∕3000=0.38（周）=2.66（天）
最小费用
c* 2c1c3R 2 0.1154 25 3000 131.57(元 /周）
C
2c1c3 R
PR P
上述各参数的单位均以c1的单位为参照
四、实例计算
– 某存储问题，有关参数如下：R=4900个/年； P=9800个/年；c1=1000元/个·年；c3=500元/次：
– 计算结果为：
– 最优生产量：
98.995
Q*
– 每年存储成本：
24748.74元
– 每年生产准备成本： 24748.74元
（五）求解存储问题的一般方法 （1）分析问题的供需特性； （2）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费
等）； （3）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型； （4）求使平均费用最小（或平均利润最大）的存储策略
（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）
第二节 经济订购批量存储模型
Economic Ordering Quantity (EOQ) Model
– 所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以 在等待一段时间后订货。
– 若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，从经 济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。
一、模型假设
（1）顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心 等待直到新的补充到来。当新的补充一到，立即将货 物交付给顾客。这是允许缺货的基本假设，即缺货不 会造成机会损失。
（2）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； （3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为
c2，且都为常数；
二、存储状态图
– 设最大存储量为S，则最大缺货量为Q－S，每次订到 货后立即支付给顾客最大缺货量Q－S；总周期时间 为T，其中不缺货时间为t1，缺货时间为t2；存储状态 图如下图。
– 成本总计：
49497.38元
– 最大存储水平：
49.497
– 平均存储水平：
24.749
– 再生产点：
19.6
– 每年生产次数：
49.497
R/Q*
– 周期：
5.051
250/（R/Q*）
第四节 允许缺货的经济订购批量模型
----An Inventory Model with Planned Shortage
C=0.5 c1 (P－R)Q∕P + c3R∕Q
4．最优存储策略
在上述费用函数的基础上：
令
dc/dQ = 0
有最佳生产量
Q* 2c3R P c1 P R
最佳生产时间
t* Q* / P 2c3R
1
c1 P(P R)
最佳循环时间
T * Q* / R 2c3 P c1R P R
循环周期内平均费用
= 0.5（Q－S） 2 ∕ Q
（6）T时期内平均存储费： 0.5c1S2∕Q （7）T时期内平均缺货费： 0.5c2（Q－S）2∕Q （5）T时期内平均订购费用： c3 ∕T = c3R∕Q （6）T时期内总平均费用：
C（S，Q）=0.5c1S2∕Q + 0.5c2（Q－S）2∕Q + c3R∕Q
——保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。 4．缺货费(backorder cost)
——因缺货而造成的损失，如：机会损失、停工待料损失、未完成
合同赔偿等。
（三）提前时间 (lead time) – 通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充
库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货 物进库的时间长度。 （四）目标函数 – 要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以 衡量优劣的准绳，这就是目标函数。 – 在存储论模型中，目标函数——平均费用函数或平 均利润函数。最优策略就是使平均费用函数最小或 使平均利润函数最大的策略。
= (1/2)Qc1t = (1/2)c1Rt2 （3）t时间内平均费用（目标函数）
C（t）= [(1/2)c1Rt2 + c3 + KRt]/t = (1/2)c1Rt + c3 /t+ KR
（四）最优存储策略
在上述目标函数中， 令 dc/dt = 0
得
t * 2c3
c1 R
即每隔t*时间订货一次，可使平均费用最小。
（三）存储问题
– 首先，有存储就会有费用（占用资金、 维护等费用——存储费），且存储越多 费用越大。存储费是企业流动资金中的 主要部分。
– 其次，若存储过少，就会造成供不应求， 从而造成巨大的损失（失去销售机会、 失去占领市场的机会、违约等）。
– 因此，如何最合理、最经济的制定存储 策略是企业经营管理中的一个大问题。
公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面 进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下： （1）方便面每周需求3000箱；（2）每箱方便面一年的 存储费为6元，其中包括贷款利息3.6元，仓库费用、保 险费用、损耗费用管理费用等2.4元。（3）每次订货费 25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元， 支付手续费、电话费、交通费等13元。（4）方便面每 箱价格30元。
第七章 存 储 模 型
----Inventory Models
第一节 有关存储论的基本概念
一、存储的有关概念
（一）、存储 – 存储——就是将一些物资（如原材料、外
购零件、部件、在制品等等）存储起来以 备将来的使用和消费； （二）、存储的作用 – 存储是缓解供应与需求之间出现供不应求 或供大于求等不协调情况的必要和有效的 方法和措施。