第 章克里格法
第 章克里格法
1、简单克里金法
? 为使估计方差最小，需对上式求λi的偏导数并令其为0
? 整理得简单克里金方程组：
? 用矩阵表示为：
? 将简单克里金方程组表达式带入估计方差表达式得 简单克里金估计方差表达式：
1、简单克里金法
从简单克里金方程组的 n 个方程中便可求得n 个权重系数λi ，则YV(x)的简 单克里金估计量为：
? 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的 变异函数模型为球状模型，如下所示。
? 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气 温数据估算0点处的气温值。
?令 ?则
Y(x)=Z(x)-m
[ [ [ E Y(x)]=E Z(x)-m]= E Z(x)]-m=0
? 待估块段新待估值
1、简单克里金法
? 设在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,…n),其观测值为Z(xi) (i=1,2,…n)，则观 测值新变量为：Y(xi)=Z(xi)-m
? Y(V)的估计值Yv*是Y(xi) (i=1,2,…n)的线性组合，则
（2）最优估计
[ [ Var Zv* (x) ? Zv (x)] ? E Zv* (x) ? Zv (x)]2 ? min
3、克里金法估值过程
（1）数据检查 （2）模型拟合 （3）模型诊断 （4）模型比较
二、线性克里金法
? 当区域化变量Z(x)的E[Z(x)]=m 为简单克里金法
已知，则称
? 若Z(x)的E[Z(x)]
未知，则称为普通克里金法
1、简单克里金法
? 设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数
克里格法插值法
克里格法插值法克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。
所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。
相对于其他插值方法。
主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。
而那些趋势面法，样条函数法等。
虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。
克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。
克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。
克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。
如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。
它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
地质统计学(6)_普通克里格法-cjg2011
要
点
1. 克里格法的定义
2. 克里格法的种类 3. 克里格法的使用信息和应用条件 4. 普通克里格方程组 5. 普通克里格方差 6. 算例与应用实例
一、概述
1. 克里格法的定义 矿业定义：根据一个块段（盘区）内外的若干信息样品的某特征值 （品位）数据，对该块段（盘区）品位（特征值）作出一种线性、无偏、 最小估计方差的估计方法。 数学定义：一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。
1 其中： 2 , n
C (v1 ,V ) C (v2 ,V ) M C (vn ,V ) 1
C (v1 , v1 ) C (v1 , v2 ) C (v2 , v1 ) C (v2 , v2 ) K C (v , v ) C (v , v ) n 1 n 2 1 1 C (v1 , vn ) C (v2 , vn ) C (vn , vn ) 1 1 1 1 0
估计。
v2 ⊙ x2
v1 ⊙ x1
V
⊙
x0
v3 ⊙ x3
v4 ⊙ x4
2. 线性估计量的构造
Zi （i=1，2，… ，n）是一组离散的信息样品数据，它们定义在 点承载xi （i=1，2，… ，n）上的；或是确定在以xi 点为中心的承载vi
（i=1，2，… ，n）上的平均值Zvi (xi) （简记Zi ）。且这n个承载vi
（ 2）
(i 1,2,, n)
于是得到简单克里格方程组： iC ( xi , x j ) C ( xi ,V )
j 1
n
从这个方程组中解出λi （i=1，2，… ，n），即为所求的简单克里 格系数，它必定满足最小方差无偏估计的要求。 将克里格方程组两端均乘以λi ，并对i 从1到n求和，则有：
克里格法
二、克里格法（Kriging）转载克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。
如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。
这种变量反映了空间某种属性的分布特征。
矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。
区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。
一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h 处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。
在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。
二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。
在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为：区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。
第5章克里格法
2、指示克里金法
• 设一区域化变量Z(x)，对于任意 给定的阈值z，引入指示函数 I(x, z)，表达式如下：
• 指示克立格法步骤如下：
• （1）确定一阈值，根据指示函 数将原数据转换为0或1；
• （2）利用转换的数据计算指示 变异函数，并进行拟合；
• （3）建立指示克立格方程组， 计算待估点值。若把指示函数 看做一普通区域化变量，也可 直接由简单或普通克立格方法 来计算待估点的值。
• 用矩阵表示为：
• 将简单克里金方程组表达式带入估计方差表达式得 简单克里金估计方差表达式：
1、简单克里金法
从简单克里金方程组的n个方程中便可求得n个权重系数λi，则YV(x)的简 单克里金估计量为：
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
• 所谓泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的 协方差函数C(h)或变异函数γ(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线 性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
（1）漂移和涨落
• 漂移：非平稳区域化变量Z(x)的数学
期望，在任一点x上的漂移就是该点 上区域化变量Z(x)的数学期望。
（2）非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数
• 1）基本假设
• 假设Z(x)的增量[Z(x)－Z(y)]具有非平稳的数学期望[m(x)－m(y)]和非平稳的方差 函数，即假设下式存在：
• 2）协方差函数和变异函数 • 当Z(x)=m(x)+R(x)时，Z(x)的协方差函数C(x,y)为：
• Z(x)的变异函数γ(x,y)为：
第五章 克里金法
克里格空间插值法ppt课件
4．高斯模型（Gaussian model） 变程为 。
1.9 理论变异函数模型
图是球状模型、指数模型和高斯模型的比较，可以看出，球状模型的变程最小，指数的模型变程最大，高斯模型的变程介于二者之间。球状模型和指数模型过原点存在切线，高斯模型则没有。
1.9 理论变异函数模型
3．指数模型(Exponential model) 其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计有效性的理论基础。
1.4邻域函数的统计函数及其意义
摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图；
1.5 空间插值的数据源
图1 各种不同的采样布置方式
1.6 采样布置方式
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程，那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以变化很大。
1.2.2局部插值方法 分类
1.4邻域函数的统计函数及其意义
众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
第5章克里格法分析
• 在满足无偏性条件下，用Z*(x)估计 Z(x)的泛克里金估计方差为： • 将无偏性条件带入得
•
要求出在满足无偏性的条件下使得 估计方差最小的权系数λi(i =1,2,…,n)，需根据拉格朗日乘数 法原理，建立拉格朗日函数F。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 求出函数F对n个权系数λi的偏导 数，并令其为0，和无偏性条件 联立建立如下方程组。
1、简单克里金法
• 简单克里金法计算示例：
• 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，所有采 样数据的均值为16.08度，并将均值作为此区域化变量的数学期望值，将所有 采样数据剔除数学期望值后拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。
•
现用简单克里金方法根据五个已知点的气温数据来估算0点处的气温值
1、简单克里金法
• 为使估计方差最小，需对上式求λi的偏导数并令其为0
•
整理得简单克里金方程组：
•
用矩阵表示为：
•
将简单克里金方程组表达式带入估计方差表达式得
简单克里金估计方差表达式：
1、简单克里金法
从简单克里金方程组的n个方程中便可求得n个权重系数λi，则YV(x)的简 单克里金估计量为：
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
则估计Z(V)的问题转化为估计Y(V)的问题
目标：找出一组权重系数 i (i 1,2,, n)，使得Yv*成为Y(V) 的线性、无偏、最优估计量
1、简单克里金法
• 在满足以下两个条件时，Yv*是Y(V)的线性、无偏、最优估计量。
（1）无偏性 由于
所以 则 Yv* 不需要任何条件即是Y(V)的无偏估计量。 （2）最优性 在满足无偏条件下，可推导估计方差公式为：
地质统计学与随机建模原理3-克里格估值
式（4）是在确保估计方差最小的前提下推导出来的，它是克里格方差，
2 故记号为 K 。其中关键的区别在于λi （i=1，2，… ，n）在两个式中的
意义不一样。
从克里格方程组解出λi 后，即得到YV的简单克里格估计量：
Z m Y m jY j m j (Z j m)
其协方差函数为： E[Y(x) · Y( y) ]=C(x, y )
对ZV的估计转化为对YV* 的估计，且有：
YV 1 V
V
Y ( x)dx
1 V
Z ( x)dx m Z
V
V
m
所用的估计量为：
Y iYi
V i 1 n
其中： Y Z i m (i 1,2,, n)
' T
(v 1 ,v n ) 1 (v 2 ,v n ) 1
(v n ,v n ) 1 1 0
2 K
M (V ,V )
'
（4）信息样品为非点承载时的普通克里格方程组与普通克里格方差 若样品的承载不能看作是点承载，而是以x i为中心，其体积为v i
在无偏性条件 数法。 令：
i 1
n
i
1 下，要使得估计方差最小，从而求得诸权
系数λ i , (i=1,2,…,n)，这是一个求条件极值的问题，要用拉格朗日乘
n F 2 i 1 ，为n个权系数λ 和μ 的(n+1)元函数。 i i 1
2 E
-2 μ是拉格朗日乘数。求出F对λ i , (i=1,2,…,n)以及F对μ的偏导数，并
克里格法Kriging——有公式版
克里格法（Kriging）——有公式版二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。
如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。
这种变量反映了空间某种属性的分布特征。
矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。
区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。
一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。
在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。
二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。
在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为：区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。
第5章克里格法PPT课件
实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布，即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的总体之中）。 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
二、线性克里金法
1、简单克里金法
设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均值Z(x)， Z(x)表达式为 由于 E[Z(x)]=m已知 令 Y(x)=Z(x)-m 则 E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0 待估块段新待估值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。 整理得估计Z (x)的泛克里金方程组：
泛克里金方程组可用矩阵表示为： 其中
（3）Z(x)的泛克里金法估计
从泛克里金方程组可得以下两等式： 将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为： 用变异函数γ(h)表示如下：
或 普通克里金方程组用矩阵形式表达为： 或 权重系数 或 普通克里金估计方差用矩阵表达为： 或
2、普通克里金法
普通克里金计算示例： 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气温数据估算0点处的气温值。
克里格方法(Kriging)
则取消第（k+1）次测点的移动。
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4
利用克里格方程求出估计量Z(p)
克里格法新解
01 变差函数：几乎所有的变差函数理论模型都可归纳为以下形式
(h)=A(h)*B(h)
(h)仅取决于测点的样本值，(h)则仅取决于测点的空间分布
02 A(h)由下式确定：A(h)=C(0)
03 至于B(h) 的参数 1,2,,s利用最大似然法求解，得到
上有n个测点样本点处的最优线性估计为最小化非测点处的估值方差可推导出克里格方程组01010202方程求解后可得的估值方差为0303由此可知估值及估值方差完全取决于ch克里格法步骤测点数据的分析和选择
克里格（Kriging）法
克里格法是地质统计学的核心。 解决问题：主要对矿产资源储量进行估计， 现已推广运用到各领域。 方法概要：根据已知样品的空间位置和相关 程度，求出未知区域线性无偏、估计误差最小 的储量。 优点：考虑到样品的空间变异性特征。
n
i1
n j1
1 B'(hij)
B'(hij) k
0
优化测点分布的克里格方程组
由(h)=C(0)B(h)，可得 C(h)=C(0)(1-B(h))
设 ce(h)1B(h) ，则上式可表示为
c(h)c(0)ce(h)
令 c(0)e 将上述式子代入克里格方程组可得与C(0)无关的克里 格方程组和克里格方差，如下
一个正数，而无需实际采集的样本值。
上式说明，随机场上估值方差的分布相对大小仅取决于测点的空间分布。
测点分布的优化的步骤
将区域Ω网格化，网格单元为边长等于d的正方形；将落在区 域Ω中的m个网格节点依次编号1、2、…、m,相应的空间坐标 为q 1、q2、…、qm
克里格插值法
克里格法（Kriging）——有公式版二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。
如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。
这种变量反映了空间某种属性的分布特征。
矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。
区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。
一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。
在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。
二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。
在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为：区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。
克里格方法
i1 j1 B' (hij ) k
优化测点分布的克里格方程组
由(h)=C(0)B(h)，可得 C(h)=C(0)(1-B(h))
设 ce (h) 1 B(h) ，则上式可表示为
c(h) c(0)ce (h)
令 c(0)e 将上述式子代入克里格方程组可得与C(0)无关的克里 格方程组和克里格方差，如下
n
ce (hij ) j e ce (hi0 )
j 1
i∈[1,n]
n
j 1
j 1
和
2 0
c(0)[1
e
n
ice (hi0 )]
i1
n
令
2 e
1 e
i ce (hi0 )
i 1
则
2 0
c(0)
2 e
其中， c(0)
取决于区域Ω上的样本值，
2 e
取决于区域Ω上测点的空
间分布。上式在优化区域Ω上测点的空间分布时，只需任意赋予C(0)
g(i)
则接受第（k+1）次测点的移动。
情况二：
(k)
( k 1)
v(i)
g (i )
，表明网格节点上的较大估值方差变大了，
则取消第（k+1）次测点的移动。
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m相应的空间坐标设置区域上n个测点的初始的空间坐标值值一变异函数理论模型为bh并给c0赋一正值当n个测点的空间分布由调整为判断是否成立
Kriging 方法与测点优化
克里格（Kriging）法
克里格法是地质统计学的核心。 解决问题：主要对矿产资源储量进行估计， 现已推广运用到各领域。 方法概要：根据已知样品的空间位置和相关 程度，求出未知区域线性无偏、估计误差最小 的储量。 优点：考虑到样品的空间变异性特征。
地质统计学(6)_普通克里格法-cjg2011
在无偏性条件 数法。 令：
i 1
n
i
1 下，要使得估计方差最小，从而求得诸权
系数λ i , (i=1,2,…,n)，这是一个求条件极值的问题，要用拉格朗日乘
n F 2 i 1 ，为n个权系数λ 和μ 的(n+1)元函数。 i i 1
2 E
-2 μ是拉格朗日乘数。求出F对λ i , (i=1,2,…,n)以及F对μ的偏导数，并
（7）指示克里格——处理非参数（类型参数）的区域化变量时
3. 克里格法的使用信息及应用条件 信息： ① 一组数据； ② 空间构形（坐标）； ③ 结构信息（变差函数模型）。
线性 平稳
条件： ① 二阶平稳（本征）假设、线性估计量——普通克里格
线性非 平稳
② 平稳条件不满足，仍采用线性估计量——泛克里格
E(Y ) i E (Yi ) i E ( Z i m) 0
V i 1 i 1 n n
E(YV )
1 V
V
E[Y ( x)]dx 0 E (YV ) E(YV )
2 的表达式： E
2 2 为了求出λi，使得 E E YV YV 最小，首先需求出
i 1 j 1
1 2 V
1 C ( x , y ) d x d y 2 i V V V i 1
n n i 1
n
C ( x , x)dx C ( x , x )
V i i 1 j 1 i j i j
n
n
2 所以： E C (V ,V ) 2 i C ( xi ,V ) i j C ( xi , x j ) i 1 j 1
（1）无偏性条件
克里格法ppt课件
行估计。
•
所谓泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的
协方差函数C(h)或变异函数γ(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线
性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
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（1）漂移和涨落
• 漂移：非平稳区域化变量Z(x)的数学
期望，在任一点x上的漂移就是该点 上区域化变量Z(x)的数学期望。 • 漂移经常用邻域模型来研究。可表达 为：在给定的以点x为中心的邻域内 的任一点，其漂移m(x)可用如下函数 表示。 •
• 将解出的λi(i =1,2,…,n)带入估计量 公式得到普通克里金估计量： • 普通克里金方程组和普通克里金估 计方差也可用变异函数γ(h)表示。
•
从普通克里金方程组可得：
•
将此式带入估计方差公式得普通克 里金估计方差，记为 ：
•
在Z(x)满足二阶平稳条件时，可采 用协方差或变异函数表达的普通克 里金方程组及克里金估计方差计算 式进行求解计算；但在本证假设条 件下，则只可采用变异函数的表达 式进行求解计算。
•
由于估计值Y(x)是对数变换后的数值，因此对估计所得Y*(x)需进行反变换。
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2、指示克里金法
• 实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布， 即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。
•
还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值 或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起 ，而是实际存在于所研究的总体之中）。
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
克里格法插值法
克里格法插值法克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。
所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。
相对于其他插值方法。
主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。
而那些趋势面法，样条函数法等。
虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。
克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。
克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。
克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。
如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。
它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
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提纲
一．克里金法概述 二．线性克里金法
1. 简单克里金 2. 普通克里金 3. 泛克里金法
三．非线性克里金法
1. 对数正态克里金法 2. 指示克里金法 3. 析取克里金法
四．协同克里金法
一、克里金法概述
1、克里金法概念及种类
概念：又称为空间局部估计或空间局部插值法,克里金法是建立在变异函数理论 及结构分析基础上，在有限区域内对区域化变量的取值进行线性无偏最优估 计的一种方法。
• 用变异函数γ(h)表示如下：
（4）泛克里金法计算示例
• 设某一区域气温是非平稳的区域化变量，在南北方向（空间坐标的y方向）上 存在线性漂移，即 。若已知其涨落满足二阶平稳假设，并且拟合的协方差函数 模型为球状模型，如下所示。
• 现用表5-1所示数据，利用泛克里金法根据已知五个点的气温数据来估算0点处 的气温值。
1、简单克里金法
• 简单克里金法计算示例：
• 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，所有采 样数据的均值为16.08度，并将均值作为此区域化变量的数学期望值，将所有 采样数据剔除数学期望值后拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。
• 现用简单克里金方法根据五个已知点的气温数据来估算0点处的气温值
三、非线性克里金法
• 1、对数正态克里金法
• 如果区域化变量经对数变换后是正态分布或近正态分布，则对区域化变量进 行精确估计的地统计学方法称为对数正态克立格法。
• 设区域化变量Z(x)服从对数正态分布，在待估点周围有n个样点xi(i =1,2,…,n), 其观测值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，区域化变量经对数变换后新变量为：Y(x)= lnZ(x)，Y(x)为正态分布。假定Y(x)满足二阶平稳假设，数学期望为m，协方 差函数C(h)和变异函数γ(h)存在且平稳。
要求出在满足无偏性条件 下使得估计方差最小的权系数λi(i =1,2,…,n)， 这 是个求条件极值问题。
2、普通克里金法
• 根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数F。 • 求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立方程组。
• 整理得普通克里金方程组
2、普通克里金法
• 将解出的λi(i =1,2,…,n)带入估计量 公式得到普通克里金估计量：
• 成立。这k+1个子式称为无偏性条 件。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 2）最优性条件
• 在满足无偏性条件下，用Z*(x)估计 Z(x)的泛克里金估计方差为：
• 将无偏性条件带入得
• 要求出在满足无偏性的条件下使得 估计方差最小的权系数λi(i =1,2,…,n)，需根据拉格朗日乘数 法原理，建立拉格朗日函数F。
(
x)
Zv
( x)]2
min
3、克里金法估值过程
（1）数据检查 （2）模型拟合 （3）模型诊断 （4）模型比较
二、线性克里金法
• 当区域化变量Z(x)的E[Z(x)]=m已知，则称 为简单克里金法
• 若Z(x)的E[Z(x)]未知，则称为普通克里金法
1、简单克里金法
• 设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数
• 用矩阵表示为：
• 将简单克里金方程组表达式带入估计方差表达式得 简单克里金估计方差表达式：
1、简单克里金法
从简单克里金方程组的n个方程中便可求得n个权重系数λi，则YV(x)的简 单克里金估计量为：
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均值
ZV(x)， ZV(x)表达式为
Zv (x )
1
v
v Z(x )dx
• 由于
E[Z(x)]=m已知
•令
Y(x)=Z(x)-m
•则
E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0
• 待估块段新待估值
1、简单克里金法
主要类型： 简单克里金法 普通克里金法 Ordinary Kriging 泛克里金法 Universal Kriging 对数正态克里金法 Logistic Normal Kriging 指示克里金法 Indicator Kriging 概率克里金 Probability Kriging 析取克里金法 Disjuctive Kriging 协同克里金法 Co-Kriging
• 所谓泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的 协方差函数C(h)或变异函数γ(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线 性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
（1）漂移和涨落
• 漂移：非平稳区域化变量Z(x)的数学
期望，在任一点x上的漂移就是该点 上区域化变量Z(x)的数学期望。
• 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值 或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起 ，而是实际存在于所研究的总体之中）。
• 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。
• 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象 ，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
• 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的 变异函数模型为球状模型，如下所示。
• 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气 温数据估算0点处的气温值。
3、泛克里金法
• 普通克里金法要求区域化变量Z(x)是二阶平稳或本征的，至少是准二阶平稳或 准本征的。在此条件下，至少在估计邻域内有E[Z(x)]=m（常数）。然而实际 中，许多区域化变量Z(x)在估计邻域内是非平稳的，即E[Z(x)]=m(x)，m(x)称 为漂移，这时就不能用普通克里金方法进行估计了，而是要采用泛克里金法进 行估计。
• 设Z(x)的漂移m(x)可表示为如下 k+1个单项式fl(x)(l=0,1,2,…,k)的线 性组合。
• 为使Z*(x)为Z(x)的无偏最优估计量 ，需在以下两个条件下求解权重系 数λi(i =1,2,…,n)。
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 1）无偏性条件
• 若要满足无偏性条件，需
•则
• 即对任一组系数a0，a1,…,ak等式均 成立，需
2、指示克里金法
• 设一区域化变量Z(x)，对于任意 给定的阈值z，引入指示函数 I(x, z)，表达式如下：
• 指示克立格法步骤如下：
• （1）确定一阈值，根据指示函 数将原数据转换为0或1；
• （2）利用转换的数据计算指示 变异函数，并进行拟合；
• （3）建立指示克立格方程组， 计算待估点值。若把指示函数 看做一普通区域化变量，也可 直接由简单或普通克立格方法 来计算待估点的值。
值为Z(xi) (i =1,2,…,n)， ① 将原始数据转换为标准正态数据 ② 对每个新变量Y(xi)(i=1,2,…,n) 计算埃尔米特多项式的值。 ③ 计算埃尔米特多项式系数，用埃尔米特多项式来拟合正态变形函数。 ④ 计算待估点析取克立格值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
• 设Z(x)为一非平稳区域化变量，其 数学期望为m(x)，协方差函数为 C(x,y)且已知，则
• 已知n个样品点xi(i =1,2,…,n)，其 观测值为Z(xi) (i =1,2,…,n)，现要 用这些样品点估计邻域内任一点x 的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估计量 为：
• 涨落：对于有漂移的区域化变量
Z(x)，假设可分解为漂移和涨落两 部分，
• 漂移经常用邻域模型来研究。可表达 为：在给定的以点x为中心的邻域内 的任一点，其漂移m(x)可用如下函数 表示。
• 式中，m(x) = E[Z(x)]为点x处的漂 移，R(x)称为涨落。
式中，fl(x)为一已知函数；al为未知系数 m(x)通常采用多项式形式，在二维条件 下，漂移可看成坐标x,y的函数。
• 普通克里金方程组和普通克里金估 计方差也可用变异函数γ(h)表示。
• 从普通克里金方程组可得：
• 将此式带入估计方差公式得普通克 里金估计方差，记为 ：
• 在Z(x)满足二阶平稳条件时，可采 用协方差或变异函数表达的普通克 里金方程组及克里金估计方差计算 式进行求解计算；但在本证假设条 件下，则只可采用变异函数的表达 式进行求解计算。
• 基于对数变换后的采样点数据Y(xi) (i =1,2,…,n)，计算实验变异函数并进行变 异函数模型的拟合和选择，然后利用简单克立格或普通克立格估计待估点x处 的值Y*(x)。
• 由于估计值Y(x)是对数变换后的数值，因此对估计所得Y*(x)需进行反变换。
2、指示克里金法
• 实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布， 即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。
• 现要求出权重系数λi(i =1,2,…,n)，使Z*V(x)为ZV(x)的无偏估计量，且估计方 差最小。
2、普通克里金法
（1）无偏性条件 由于
若要满足无偏性条件，需
，则无偏性条件为：
即在权系数之和为1的条件下估计量是无偏的。
（2）最优性条件
即估计方差最小条件，在满足无偏性条件下，有如下估计方差公式
1、简单克里金法
• 在满足以下两个条件时，Yv*是Y(V)的线性、无偏、最优估计量。
（1）无偏性 由于
所以 则 Yv* 不需要任何条件即是Y(V)的无偏估计量。 （2）最优性
在满足无偏条件下，可推导估计方差公式为：
1、简单克里其为0
• 整理得简单克里金方程组：