人教版初中数学《完全平方公式》PPT
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完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：
人教版初二数学上册优质课《完全平方公式PPT精品优秀课件》
自己做
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
初中数学完全平方公式课件PPT
例6.已知x2-y2=8，x+y=4，求x与y的值 例7.化简(a+1)(a2+1)(a4+1)…(a2000+1)
能力提高
5. x
1 x
m, 则x2
1 x2
____;
x
1 x
m, 则x2
1 x2
__;
6.
x
2
y
2
x
2
y
2
_____;
7.已知a2
解：原式= ( x2y + )2 = ( x2y)2+2× x2y× + = x4y2 + x2y +
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
要灵活运 用哦！
变式训练 比一比谁做的快？
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
(如算式1.23452+0.76552+2.469×0.7655)就属于完全平方公式的 逆用.下面再举几例加以说明:
1.若a(a−1)−(a2−b)=7，
2.计算:(2x − 3y)2 (2x+3y)2
求 a2 b2 ab 的值。 2
3.计算:(ab+1)2 −(ab − 1)2
4. x2 − y2=6,x+y=−3.求(x−y)2的值.
3a
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式PPT课件
探究
a a
b
b
b
a
a
b
如图，有四张卡片： 1.你能用这四张卡片拼成一个大正方形吗？请你动手拼一拼。 2.你能用不同的方法求大正方形的面积吗？ 3.你从中发现了什么规律？ 4.你能用整式的乘法法则说明理由吗？ 5.这个结论对我们的运算起到什么样的作用呢？
得出结论：
(a b)2 a2 2ab b2
用一用2
例1、利用完全平方公式计算：
1. (2x 3)2
2. (m 1 )2 2
3. ( y 2)2 4. (4x 5 y)2
用一用3
例2、利用完全平方公式计算：
1. 1022 2. 992
用后反思
1.利用完全平方公式简便了我们的计算。 2.利用完全平方公式时，我们应该注意的一些事项有： （1）中间项是两数（式）的2倍。 （2）各项的符号。 （3）该添加括号的应该添加括号。
做一做
利用完全平方公式计算： 1. (1 x 2 y)2
2
2. (m n)2 n2
3. (a 1 )2 a
4. 9.52
小结
1.这节课你学到了什么知识？ 2.运用这一知识时应注意哪些事项？ 3.通过这节课的学习你有何感想与体方公式进行计算吗？
视察上面各式，讨论下面的问题： 1.公式的左边有什么特点？ 2.公式的右边有什么特点？ 3.公式的符号有什么特点？ 4.你能用自己的语言叙述这个公式吗？
各式特点
1.积为二次三项式。 2.积中两项为两数的平方和。 3.另一项是两数的两倍，且与乘式中间的符号相同。 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式。
其实据有关资料表明，古代中国人在多年以前就利用类似的 图形认识了这个规律。
猜想
a a
b
b
b
a
a
b
如图，有四张卡片： 1.你能用这四张卡片拼成一个大正方形吗？请你动手拼一拼。 2.你能用不同的方法求大正方形的面积吗？ 3.你从中发现了什么规律？ 4.你能用整式的乘法法则说明理由吗？ 5.这个结论对我们的运算起到什么样的作用呢？
得出结论：
(a b)2 a2 2ab b2
用一用2
例1、利用完全平方公式计算：
1. (2x 3)2
2. (m 1 )2 2
3. ( y 2)2 4. (4x 5 y)2
用一用3
例2、利用完全平方公式计算：
1. 1022 2. 992
用后反思
1.利用完全平方公式简便了我们的计算。 2.利用完全平方公式时，我们应该注意的一些事项有： （1）中间项是两数（式）的2倍。 （2）各项的符号。 （3）该添加括号的应该添加括号。
做一做
利用完全平方公式计算： 1. (1 x 2 y)2
2
2. (m n)2 n2
3. (a 1 )2 a
4. 9.52
小结
1.这节课你学到了什么知识？ 2.运用这一知识时应注意哪些事项？ 3.通过这节课的学习你有何感想与体方公式进行计算吗？
视察上面各式，讨论下面的问题： 1.公式的左边有什么特点？ 2.公式的右边有什么特点？ 3.公式的符号有什么特点？ 4.你能用自己的语言叙述这个公式吗？
各式特点
1.积为二次三项式。 2.积中两项为两数的平方和。 3.另一项是两数的两倍，且与乘式中间的符号相同。 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式。
其实据有关资料表明，古代中国人在多年以前就利用类似的 图形认识了这个规律。
猜想
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
《完全平方公式》课件
(2) 992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10 000-200+1 =9 801.
完全平方公式的常见变形
a2 + b2 = （a + b）2−2ab = （a − b）2 + 2ab;
（a + b）2 = （a − b）2 + 4ab;
（a−b）2 = （a + b）2−4ab;
可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就 可以运用这个公式. (2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左 边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的 符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“”. (3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如 (a±b)2 = a2±b2 .
随堂练习
C
(a+b)2
A. ab (a+b)2-44aabb
b
B. (a+b)2 =a2+2ab+b2-4ab
C. (a-b)2 =(a-b)2
a
D. a2-b2
图1
图2
课堂小结
两个数的和（或差）2倍
全
平
方
公
式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
《完全平方公式》
知识回顾
平方差公式:
两个数的差
积 (a+b)(a-b)=a2-b2. 两个数的和 平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的平方差.
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式. 2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方 公式进行计算.
完全平方公式公开课ppt课件
应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第14章 整式的乘法与因式分解 14.2.2 完全平方公式
14.2.2 完全平方公式
快乐预习感知
1.完全平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2
.
2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的 平方和 ,加上(或减
去)它们的积的 2倍 .这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式 .
3.计算:(x+3)2= x2+6x+9
,(x-3)2= x2-6x+9 .
4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号 .
即是:遇“加” 不变 ,遇“减” 都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c
B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]
互动课堂理解
互动课堂理解
2.乘法公式的综合运用 【例2】 计算:(1)(2a+b-c)2; (2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c). 分析(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公 式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反 项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的. 解: (1)原式=[(2a+b)-c]2 =(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc. (2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)] =(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2) =4b2-a2-9c2+6ac.
快乐预习感知
1.完全平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2
.
2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的 平方和 ,加上(或减
去)它们的积的 2倍 .这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式 .
3.计算:(x+3)2= x2+6x+9
,(x-3)2= x2-6x+9 .
4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号 .
即是:遇“加” 不变 ,遇“减” 都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c
B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]
互动课堂理解
互动课堂理解
2.乘法公式的综合运用 【例2】 计算:(1)(2a+b-c)2; (2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c). 分析(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公 式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反 项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的. 解: (1)原式=[(2a+b)-c]2 =(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc. (2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)] =(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2) =4b2-a2-9c2+6ac.
完全平方公式(共16张PPT)
点评小组 5组
知识综合应用 探究：
（书面展示）
9组
1组
8组 6组
5组
要求： ⑴ 先点评对错；再点评思路方法，应该注意的问 题，力争进行必要的变形拓展。 ⑵ 其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大 胆质疑。
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误， 并加以改正： 2 2 (1) (2a−1) ＝2a −2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； 2 2 (3) (a−1) ＝a −2a−1.
(a b) a 2ab b
2 2
2
学习目标：
公式进行简单的计算，提高计算能力； 全平方公式的应用技巧； 提高学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
1.能准确推导出完全平方公式，并能运用
2.通过自主学习，小组合作，探究总结完
3.激情参与，阳光展示，充分感知数学美，
预习反馈
小组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 第九组
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
， 结果不同：
(a b)2＝a2 2ab+b2;
(a+b)(a−b)＝a2−b2.
整理巩固
要求：整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
当堂检测
要求：学生自主完成 答案：见教师用书
课堂评价
学科班长： 1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
用不同的形式表示实验田 a 的总面积, 并进行比较.
直 2 总面积 = ( a + b ) ； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
《完全平方公式》PPT课件
解：（1）不对。(a 1)2 (a)2 2(a) 12
a2 2a 1
（2）不对。 (2x 1)2 (2x)2 12 2 • 2x •1 4x2 1 4x
（3）不对。 (2a b)2 (2a)2 2 • (2a) • b b2
4a2 4ab b2
例2 运用完全平方公式计算：
( a － b)2 = a 2 — 2 · a · b + b 2.
( 2x - y )2 = ( 2x )2 －2 ·(2x）·y + y 2 = 4x2－4xy+y2
归纳
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两个公式可合并为一个 公式： (a b)2 a2 2ab b2
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问、能用(a-b)2=a2-2ab+b2来计算 (a b)2 吗？
3、该怎样计算（a+b）（a+b） 即( a + b)2 ？
我们用乘法对加法的分配律来推导一般情况
( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
动脑筋
能否利用（a+b）（ a+b）的计算结果，即
a2 2a 1
（2）不对。 (2x 1)2 (2x)2 12 2 • 2x •1 4x2 1 4x
（3）不对。 (2a b)2 (2a)2 2 • (2a) • b b2
4a2 4ab b2
例2 运用完全平方公式计算：
( a － b)2 = a 2 — 2 · a · b + b 2.
( 2x - y )2 = ( 2x )2 －2 ·(2x）·y + y 2 = 4x2－4xy+y2
归纳
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两个公式可合并为一个 公式： (a b)2 a2 2ab b2
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问、能用(a-b)2=a2-2ab+b2来计算 (a b)2 吗？
3、该怎样计算（a+b）（a+b） 即( a + b)2 ？
我们用乘法对加法的分配律来推导一般情况
( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
动脑筋
能否利用（a+b）（ a+b）的计算结果，即
人教版八年级数学上册《完全平方公式(第2课时)添括号法则》PPT
【解析】（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
【解法1】 原式=（x+3+x)(x+3-x)
=(2x+3)×3 =6x+9.
【解法2】 原式= x2+6x+9-x2
=6x+9.
逆用平方差公式
用完全平方公式
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里
的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号． 2. 利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
.
【解析】原式=6+4(2a-b)=6+8=14.
答案：14
4.(益阳·中考）已知x 1 3 (x 1)2 4(x 1) 4 的值．
，求代数式
【解析】原式= x2 2x 1 4x 4 4 x2 2x 1 （x -1）2
( 3)2
3.
5.计算:（x+3）2-x2.
你有几种解法？
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-c=2a-（b-c） × （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） ×
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） × （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5） √
去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
【解法1】 原式=（x+3+x)(x+3-x)
=(2x+3)×3 =6x+9.
【解法2】 原式= x2+6x+9-x2
=6x+9.
逆用平方差公式
用完全平方公式
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里
的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号． 2. 利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
.
【解析】原式=6+4(2a-b)=6+8=14.
答案：14
4.(益阳·中考）已知x 1 3 (x 1)2 4(x 1) 4 的值．
，求代数式
【解析】原式= x2 2x 1 4x 4 4 x2 2x 1 （x -1）2
( 3)2
3.
5.计算:（x+3）2-x2.
你有几种解法？
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-c=2a-（b-c） × （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） ×
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） × （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5） √
完全平方公式ppt课件
推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式 的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推 导过程，包括展开、整理、简化 等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式， 强调公式中的重要部分，如中间项系 数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平 方公式进行计算，帮助学生理解公式 的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方 公式，其中$a$和$b$是常数，表示一 个二次多项式和一个一次多项式相加 或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加 或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
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x2－x＋14.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．[2019 春·梁溪区期中]下列各式中，能用完全平方公式计算的是( B ) A．(x－y)(x＋y) B．(x－y)(x－y) C．(x－y)(－x－y) D．－(x＋y)(x－y)
4．利用如图 14－2－3 中图形面积关系可以解释的公式是( A )
10．利用乘法公式计算： (1)5012； (2)9.92； (3)606102.
解：(1)原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12 ＝250 000＋1 000＋1＝251 001； (2)原式＝(10－0.1)2＝102－2×10×0.1＋0.12 ＝100－2＋0.01＝98.01； (3)原式＝60＋6102＝602＋2×60×610＋6102 ＝3 600＋2＋3 6100＝3 6023 6100.
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
13．如图 14－2－4 是四张全等的长方形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的 不同表示方法，可以写出关于 a，b 的恒等式，下列各式正确的为( C ) A．(a＋b)2＝(a－b)2＋2ab B．(a－b)2＝(a＋b)2－2ab C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
图14－2－4
人教版初中数Βιβλιοθήκη 《完全平方公式》PPT 1人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
【解析】 ∵四周部分都是全等的长方形，且长为 a，宽为 b，∴四个长方形的面积 为 4ab，∵大正方形的边长为 a＋b，∴大正方形面积为(a＋b)2，∴中间小正方形的面 积为(a＋b)2－4ab，而中间小正方形的面积也可表示为(a－b)2，∴(a－b)2＝(a＋b)2－ 4ab.
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
12．[2019 春·高密期末]已知(x＋y)2＝7，(x－y)2＝3，求下列各式的值． (1)xy； (2)x2＋y2. 解：(1)∵(x＋y)2＝7，(x－y)2＝3， ∴x2＋2xy＋y2＝7①，x2－2xy＋y2＝3②， ∴①－②，得 4xy＝4， 解得 xy＝1； (2)由(1)得①＋②，得 2(x2＋y2)＝10， 解得 x2＋y2＝5.
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
14．化简： (1)[2018·温州](m＋2)2＋4(2－m)； (2)[2018·无锡](x＋1)2－(x2－x)； (3)[2018·重庆 B 卷](x＋2y)2－(x＋y)(x－y)； (4)[2018·扬州](2x＋3)2－(2x＋3)(2x－3)． 解：(1)原式＝m2＋4m＋4＋8－4m＝m2＋12； (2)原式＝x2＋2x＋1－x2＋x＝3x＋1； (3)原式＝x2＋4xy＋4y2－(x2－y2)＝x2＋4xy＋4y2－x2＋y2＝4xy＋5y2； (4)原式＝4x2＋9＋12x－4x2＋9＝12x＋18.
6．若 a＋b＝3，a2＋b2＝7，则 ab 等于( B )
A. 2
B. 1
C．－2 D．－1
7．如果 ax2＋2x＋12＝2x＋122＋m，则 a，m 的值分别是( D )
A. 2，0
B. 4，0
C. 2，14
D. 4，14
【解析】 ∵ax2＋2x＋12＝4x2＋2x＋14＋m，
a＝4，
a＝4，
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
1．下列运算正确的是( D ) A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
2．[2018 春·桂平期中]下列运算中，错误的有( C )
①(2x＋y)2＝4x2＋y2；②(a－3b)2＝a2－9b2；③(－x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x－122＝
∴14＋m＝12，解得m＝14.
8．填空：
(1)x2＋6xy＋___9_y_2___＝___x_＋__3_y____2； (2)___34_x__2＋32xy＋y2＝__34_x_+_y__2.
9．计算：(1)(3x＋1)2； (2)(2x－3y)2； (3)(－4－a)2； (4)x(x－2y)－(x＋y)2. 解：(1)原式＝9x2＋6x＋1； (2)原式＝4x2－12xy＋9y2； (3)原式＝16＋8a＋a2； (4)原式＝x2－2xy－(x2＋2xy＋y2)＝ x2－2xy－x2－2xy－y2＝－4xy－y2.
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．2(a＋b)＝2a＋2b 【解析】 ∵大正方形面积＝两个小正方形面积＋2 个长方
形面积，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
图14－2－3
5．[2018·河北]将 9.52 变形正确的是( C ) A．9.52＝92＋0.52 B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5) C．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 【解析】 9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52.故选 C.
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
人教版初中数学《完全平方公式》PPT 1
15．(逻辑推理应用)[2019 春·西湖区校级月考]我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项
和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4…)
11．已知：x＋y＝3，xy＝－7.求： (1)x2＋y2 的值； (2)x2－xy＋y2 的值； (3)(x－y)2 的值．
解：(1)∵x＋y＝3，xy＝－7， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7) ＝9＋14＝23； (2)由(1)知 x2＋y2＝23， ∴x2－xy＋y2＝23－(－7)＝23＋7＝30； (3)∵x＋y＝3，xy＝－7， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7) ＝9＋28＝37.