北京市西城区学探诊八年级数学下册第18章勾股定理(无答案)
北京西城学探诊八下数学答案
参考答案第十七章 反比例函数测试1 反比例函数的概念1．xky =(k 为常数，k ≠0)，自变量，函数，不等于0的一切实数． 2．(1)xy 8000=，反比例； (2)xy 1000=，反比例； (3)s ＝5h ，正比例，ha 36=，反比例； (4)xwy =，反比例． 3．②、③和⑧． 4．2，x y 1=． 5．)0(100>⋅=x xy 6．B ． 7．A ． 8．(1)xy 6=； (2)x ＝－4． 9．－2，⋅-=xy 410．反比例． 11．B ． 12．D ． 13．(1)反比例； (2)①Sh 48=； ②h ＝12(cm)， S ＝12(cm 2)． 14．⋅-=325x y 15．.23x xy -=测试2 反比例函数的图象和性质(一)1．双曲线；第一、第三，减小；第二、第四，增大． 2．－2． 3．增大． 4．二、四． 5．1，2． 6．D ． 7．B ． 8．C ． 9．C ． 10．A ． 11．列表：x … －6 －5 －4 －3 －2 －112 3 4 5 6 … y… －2 －2.4 －3 －4 －6 －12 126432.42…由图知，(1)y ＝3；(2)x ＝－6； (3)0＜x ＜6．12．二、四象限． 13．y ＝2x ＋1，⋅=xy 1 14．A ． 15．D 16．B 17．C 18．列表：x … －4 －3－2 －1 1 234… y…134 24－4－2 －34－1 …(1)y ＝－2； (2)－4＜y ≤－1； (3)－4≤x ＜－1． 19．(1)xy 2-=， B (1，－2)； (2)图略x ＜－2或0＜x ＜1时； (3)y ＝－x ．测试3 反比例函数的图象和性质(二)1．4． 2．3． 3．y 2． 4．①③④． 5．B ． 6．B ． 7．C ． 8．xy 3=． 9．－3；－3． 10．(－2，－4)． 11．.221<<y ． 12．B ． 13．D. 14．D ． 15．D ． 16．(1)xy 3=，y ＝x ＋2；B (－3，－1)； (2)－3≤x ＜0或x ≥1． 17．(1))0(3>=x x y ；(2).332+-=x y 18．(1)x y x y 9,==；(2)23=m ；;29-=x y(3)S 四边形OABC ＝1081．测试4 反比例函数的图象和性质(三)1．(－1，－2)． 2．－1，y ＜－1或y ＞0，x ≥2或x ＜0． 3．.224-- 4．0． 5．＞；一、三． 6．B ． 7．C 8．(1)m ＝n ＝3；(2)C ′(－1，0)． 9．k ＝2． 10．⋅-=xy 311．5，12． 12．2． 13．＜． 14．C ． 15．A ． 16．(1)m ＝6，y ＝－x ＋7；(2)3个． 17．A(4，0)． 18．(1)解⎩⎨⎧=+-=+-0,5b ak b k 得15+=k a ；(2)先求出一次函数解析式95095+-=x y ，A (10，0)，因此S △COA ＝25． 19．(1)2121,3--=-=x y x y ；(2).2=CD AD测试5 实际问题与反比例函数(一)1．xy 12=；x ＞0． 2．⋅=x y 903．A ． 4．D ． 5．D ． 6．反比例；⋅=tV 3007．y ＝30πR ＋πR 2(R ＞0)． 8．A ． 9．(1))0(20>=x xy ； (2)图象略； (3)长cm.320．测试6 实际问题与反比例函数(二)1．).0(12>=V vρ 2．(1)5； (2)R I 5=； (3)0.4； (4)10．3．(1)48； (2))0(48>=t tV ； (3)8； (4)9.6． 4．(1))0(9>=ρρV ； (2)ρ＝1.5(kg/m 3)； (3)ρ有最小值1.5(kg/m 3)．5．C ． 6．(1)V p 96=； (2)96 kPa ； (3)体积不小于3m 3524． 7．(1))0(6>=R RI ； (2)图象略； (3)I ＝1.2A ＞1A ，电流强度超过最大限度，会被烧． 8．(1)x y 43=，0≤x ≤12；y ＝x108 (x ＞12)； (2)4小时． 9．(1)xy 12000=；x 2＝300；y 4＝50；(2)20天第十七章 反比例函数全章测试1．m ＝1． 2．k ＜－1；k ≠0． 3．.22 4．⋅-=xy 1． 5．⋅=x y 66．).4,49()4,49(21--Q Q 7．C ． 8．C ． 9．A ． 10．D ． 11．D ． 12．C ． 13．B ． 14．B ． 15．B ．16．(1)y ＝－6； (2)4＜x ＜6； (3)y ＜－4或y ＞6． 17．(1)第三象限；m ＞5； (2)A (2，4)；⋅=xy 8 18．(1);8xy -= (2)S △AOC ＝12． 19．(1，0) 20．(1),8xy -= y ＝－x －2； (2)C (－2，0)，S △AOB ＝6； (3)x ＝－4或x ＝2； (4)－4＜x ＜0或x ＞2． 21．(1);6,32xy x y ==(2)0＜x ＜3； (3)∵S △OAC ＝S △BOM ＝3，S 四边形OADM ＝6， ∴S 矩形OCDB ＝12； ∵OC ＝3， ∴CD ＝4： 即n ＝4，⋅=∴23m 即M 为BD 的中点，BM ＝DM ． 22．k ＝12第十八章 勾股定理测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2． 3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.31014．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3． 13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论． 15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)第十八章 勾股定理全章测试1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6， CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 7．26或.2658．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △． 9．D ． 10．C 11．C ． 12．B 13．.2172提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长．14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ． 15．提示：过A 作AH ⊥BC 于HAP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH ) ＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2 ＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16． 16．14或4．17．10； .16922n +18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++ 19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+． ③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3由勾股定理得：325=x ，得△ABD 的周长为.m 380 第十九章 四边形测试1 平行四边形的性质(一)1．平行，□ABCD ． 2．平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高． 3．110°，70°． 4.16cm ，11cm ． 5．互相垂直． 6．25°． 7．25°． 8．21cm 2． 9．D ． 10．C ． 11．C ．12．提示：可由△ADE ≌△CBF 推出． 13．提示：可由△ADF ≌△CBE 推出． 14．(1)提示：可证△AED ≌△CFB ；(2)提示：可由△GEB ≌△DEA 推出， 15．提示：可先证△ABE ≌△CDF ．(三)16．B (5，0) C (4，3)D (－1，3)． 17．方案(1)画法1：(1)过F作FH∥AB交AD于点H(2)在DC上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；画法2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形画法3：(1)在AD上取一点H，使DH＝CF(2)在CD上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形方案(2)画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，(2)在AB上取一点Q，连接PQ，(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM，PN则四边形QMNP就是所要画的四边形测试2 平行四边形的性质(二)1．60°、120°、60°、120°．2．1＜AB＜7．3．20．4．6，5，3，30°．5．20cm，10cm．6．18．提示：AC＝2AO.7．53cm，5cm．8．120cm2．9．D；10．B．11．C．12．C．13．B．14．AB ＝2.6cm ，BC ＝1.7cm ．提示：由已知可推出AD ＝BD ＝BC ．设BC ＝x cm ，AB ＝y cm ，则⎩⎨⎧=+=+.6.8)(2,62y x y x 解得⎩⎨⎧==,6.2,7.1y x15．∠1＝60°，∠3＝30°．16．(1)有4对全等三角形．分别为△AOM ≌△CON ，△AOE ≌△COF ，△AME ≌△CNF ，△ABC ≌△CDA ．(2)证明：∵OA ＝OC ，∠1＝∠2，OE ＝OF ，∴△OAE ≌△OCF ．∴∠EAO ＝∠FCO ．又∵在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ．∴∠EAM ＝∠NCF ．17．9．测试3 平行四边形的判定(一)1．①分别平行； ②分别相等； ③平行且相等； ④互相平分； ⑤分别相等；不一定； 2．不一定是．3．平行四边形．提示：由已知可得(a －c )2＋(b －d )2＝0，从而⎩⎨⎧==.,d b c a4．6，4； 5．AD ，BC ． 6．D ． 7．C ． 8．D ．9．提示：先证四边形BFDE 是平行四边形，再由EM NF 得证． 10．提示：先证四边形AFCE 、四边形BFDE 是平行四边形，再由GE ∥FH ，GF ∥EH 得证． 11．提示：先证四边形EBFD 是平行四边形，再由EPQF 得证．12．提示：先证四边形EBFD 是平行四边形，再证△REA ≌△SFC ，既而得到RE SF ．13．提示：连结BF ，DE ，证四边形BEDF 是平行四边形． 14．提示：证四边形AFCE 是平行四边形．15．提示：(1)DF 与AE 互相平分；(2)连结DE ，AF ．证明四边形ADEF 是平行四边形． 16．可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下：测试4 平行四边形的判定(二)1．平行四边形． 2．18． 3．2． 4．3． 5．平行四边形． 6．C ． 7．D ． 8．D ． 9．C ． 10．A ． 11．B ． 12．(1)BF (或DF )； (2)BF ＝DE (或BE ＝DF )；(3)提示：连结DF (或BF )，证四边形DEBF 是平行四边形． 13．提示：D 是BC 的中点． 14．DE ＋DF ＝1015．提示：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBF ＝60°．又∵CD ＝BF ，∴△ACD ≌△CBF ．(2)∵△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ，∠CAD ＝∠BCF ．∵△AED 为等边三角形，∴∠ADE ＝60°，且AD ＝DE ．∴FC ＝DE ． ∵∠EDB ＋60°＝∠BDA ＝∠CAD ＋∠ACD ＝∠BCF ＋60°， ∴∠EDB ＝∠BCF ．∴ED ∥FC ． ∵EDFC ，∴四边形CDEF 为平行四边形.16．(1)x y 1=；(2))2,21(--A ； (3)P 1(－1.5，－2)，P 2(－2.5，－2)或P 3 (2.5，2)． 17．(1)m ＝3，k ＝12；(2)232+-=x y 或.232--=x y 测试5 平行四边形的性质与判定1．60°，120°，60°，120°． 2．45°，135°，45°，135°． 3．90°． 4．10cm ＜x ＜22cm ． 5．.33+6．72．提示：作DE ∥AM 交BC 延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，可得△BDE 是直角三角形，⋅=536DF 7．315 提示：作CE ⊥BD 于E ，设OE ＝x ，则BE 2＋CE 2＝BC 2，得(x ＋5)2＋27)3(=x ．解出23=x ．S □＝2S △BCD ＝BD ×CE ＝.315 8．7． 9．＝．提示：连结BM ，DN ．10．(1)提示：先证∠E ＝∠F ； (2)EC ＋FC ＝2a ＋2b ．11．提示：过E 点作EM ∥BC ，交DC 于M ，证△AEB ≌△AEM ． 12．提示：先证DC ＝AF ．13．提示：连接DE ，先证△ADE 是等边三角形，进而证明∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°． 14．(1)设正比例函数解析式为y ＝kx ，将点M (－2，－1)坐标代入得21=k ，所以正比例函数解析式为x y 21=，同样可得，反比例函数解析式为xy 2=； (2)当点Q 在直线MO 上运动时，设点Q 的坐标为)21,(m m Q ，于是S △OBQ ＝21｜OB ·BQ ｜＝21·21m ·m ＝41m 2而S OAP ＝21｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，1412=m ，解得m ＝±2所以点Q 的坐标为Q 1(2，1)和Q 2(－2，－1)；(3)因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P (－1，－2)是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标Q (n ，n2)， 由勾股定理可得OQ 2＝n 2＋24n ＝(n －n 2)2＋4，所以当(n －n 2)2＝0即n －n2＝0时，OQ 2有最小值4， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ 2同时取得最小值，所以OQ 有最小值2．由勾股定理得OP ＝5，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2(OP ＋OQ )＝2(5＋2)＝25＋4．测试6 三角形的中位线1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半． 2．16，64×(21)n －1． 3．18． 4．提示：可连结BD (或AC )． 5．略． 6．连结BE ，CEAB ⇒□ABEC ⇒BF ＝FC ．□ABCD ⇒AO ＝OC ，∴AB ＝2OF ．7．提示：取BE 的中点P ，证明四边形EFPC 是平行四边形．8．提示：连结AC ，取AC 的中点M ，再分别连结ME 、MF ，可得EM ＝FM ． 9．ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点．10．提示：AP ＝AQ ，取BC 的中点H ，连接MH ，NH ．证明△MHN 是等腰三角形，进而证明∠APQ ＝∠AQP ．测试7 矩形1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线； (3)平行四边形；对角线相等；三个角． 2．5，53． 3．⋅2344．60°． 5．⋅6136．C ． 7．B ． 8．B ． 9．D ．10．(1)提示：先证OA ＝OB ，推出AC ＝BD ；(2)提示：证△BOE ≌△COF ． 11．(1)略；(2)四边形ADCF 是矩形． 12．7.5．13．提示：证明△BFE ≌△CED ，从而BE ＝DC ＝AB ，∴∠BAE ＝45°，可得AE 平分∠BAD ． 14．提示：(1)取DC 的中点E ，连接AE ，BE ，通过计算可得AE ＝AB ，进而得到EB 平分 ∠AEC ．(2)①通过计算可得∠BEF ＝∠BFE ＝30°，又∵BE ＝AB ＝2 ∴AB ＝BE ＝BF ： ②旋转角度为120°．测试8 菱 形1．一组邻边相等．2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．3．平行四边形；相等，互相垂直． 4．.310 5．20，24． 6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．C ． 11．120°；(2)83． 12．2．13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略． 14．(1)略；(2)△ABC 是Rt △．15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略． 16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．(3)提示：∵3≤△BEF 的边长＜222)2(43)3(43<≤∴S .3343<≤∴S 17．略． 18．.)23(1-n 测试9 正方形1．相等、直角、矩形、菱形．2．是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四． 3．(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角； (2)有一组邻边相等． (3)有一个角是直角．4．互相垂直、平分且相等． 5．2a ，2∶1． 6．112.5°，82cm 2；7．5cm ． 8．B ． 9．B ．10．55°． 提示：过D 点作DF ∥NM ，交BC 于F ．11．提示：连结AF ．12．提示：连结CH ，DH ＝3． 13．提示：连结BP ． 14．(1)证明：△ADQ ≌△ABQ ；(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．21AD ×QE ＝61S 正方形ABCD ＝38 ∴QE ＝34∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为)34,34( ∴过点D (0，4)，)34,34(Q 两点的函数关系式为：y ＝－2x ＋4，当y ＝0时，x ＝2，即P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD ＝QA 此时△ADQ 是等腰三角形；②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA ＝DQ ，△ADQ 是等腰三角形； ③如图，设点P 在BC 边上运动到CP ＝x 时，有AD ＝AQ∵AD ∥BC ∴∠ADQ ＝∠CPQ ． 又∵∠AQD ＝∠CQP ，∠ADQ ＝∠AQD ， ∴∠CQP ＝∠CPQ ． ∴CQ ＝CP ＝x ．∵AC ＝24，AQ ＝AD ＝4． ∴x ＝CQ ＝AC －AQ ＝24－4．即当CP ＝24－4时，△ADQ 是等腰三角形．测试10 梯形(一)1．不平行，长短，梯形的腰，距离，直角梯形，相等． 2．同一底边上，相等，相等，经过上、下底中点的直线． 3．两腰相等，相等．4．45． 5．7cm ． 6．.3 7．C ． 8．B ． 9．A ．10．提示：证△AEB ≌△CAD ． 11．(1)略；(2)CD ＝10． 12．.3 13．(1)提示：证EN ＝FN ＝FM ＝EM ；(2)提示：连结MN ，证它是梯形的高．结论是.21BC MN = 14．(1)①α＝30°，AD ＝1； ②α＝60°，23=AD ；(2)略． 测试11 梯形(二)1．(1)作一腰的平行线； (2)作另一底边的垂线； (3)作对角线的平行线； (4)交于一点； (5)对称中心； (6)对称轴． 2．60°． 3．3； 4．12． 5．A ． 6．A ． 7．B ．8．60°．提示：过D 点作DE ∥AC ，交BC 延长线于E 点． 9．.348+ 10．.22311．.10 12．方法1：取)(21b a BM +=．连接AM ，AM 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分．方法2：(1)取DC 的中点G ，过G 作EF ∥AB ，交BC 于点F ，交AD 的延长线于点E ． (2)连接AF ，BE 相交于点O ．(3)过O 任作直线MN 与AD ，BC 相交于点M ，N ，沿MN 剪一刀即把梯形ABCD 分成面积相等的两部分．13．(1)证明：分别过点C ，D 作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ．垂足为G ，H ，如图1，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．图1∴CG ∥DH∵△ABC 与△ABD 的面积相等 ∴CG ＝DH∴四边形CGHD 为平行四边形 ∴AB ∥CD .(2)①证明：连结MF ，如图2，NE 设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)， ∵点M ，N 在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，图2∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k ． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴OE ＝y 1，OF ＝x 2． ∴S △EFM ＝21x 1y 1＝21k ． ∴S △EFN ＝21x 2y 2＝21k ． ∴S △EFM ＝S △EEN ．由(1)中的结论可知：MN ∥EF ． ②如图3所示，MN ∥EF ．图3第十九章 四边形全章测试1．D ． 2．B ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．45． 7．.13 8．).2,22(+9．.13 10．⋅n2511．略． 12．BF ＝AE ；证明提示：△BAE ≌△CFB ． 13．(1)略；(2)菱形． 14．提示：连结EH ，HG ，GF ，FE15．(1)90°；(2)提示：延长AE 与BC 延长线交于点G ，证明△AFG 是等腰三角形； 16．(1)菱形；(2)菱形，提示：连结CB ，AD ；证明CB ＝AD ；(3)如图，正方形，提示：连结CB 、AD ，证明△APD ≌△CPB ，从而得出AD ＝CB ， ∠DAP ＝∠BCP ，进而得到CB ⊥AD ．第二十章 数据的分析测试1 平均数(一)1．9．2． 2．8；2． 3．9.70． 4．B ． 5．C ． 6．(1)略；(2)178，178；(3)甲队，理由略． 7．小明8．900． 9．1．625． 10．80.4；体育技能测试． 11．A ． 12．D ． 13．够用；∵30×10×1.7＝510＜600． 14．(1)41元；(2)49200元．15．(1)解题技巧，动手能力；(2)2.84；(3)7000．测试2 平均数(二)1．4． 2．82． 3．165． 4．B ． 5．C ．6．88.715070805272=--⨯(分)．7．10个西瓜的平均质量51013.416.429.430.524.515.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (千克)，估计总产量是5×600＝3000(千克)．8．1． 9．4． 10．B ． 11．D ． 12．B ． 13．(1)80； (2)4000．14．(1)6；(2)158.8． 15．(1)45； (2)220；(3)略．测试3 中位数和众数(一)1．9；9． 2．11． 3．2． 4．C ． 5．C ． 6．C ．7．(1)15，15，15，平均数、中位数和众数；(2)16，5，4、5和6，中位数和众数． 8．按百分比计算得这个月3元、4元和5元的饭菜分别销售10400×20％＝2080份，10400×65％＝6760份，10400×15％＝1560份，所以师生购买午餐费用的平均数是95.310400515604676032080=⨯+⨯+⨯元；中位数和众数都是4元．9．1.75；1.70；1.69． 10．30；42． 11．A ． 12．A ． 13．(1)88；(2)86；(3)不能．因为83小于中位数． 14．(1)平均身高为16010162162160158162167151154166=++++++++(厘米)；(2)中位数是161厘米，众数是162厘米；(3)根据(1)(2)的计算可知，大多数女生的身高应该在160厘米和162厘米之间，因此可以选择这部分身高的女生组成花队． 15．B ．16．(1)50，5，28；(2)300．测试4 中位数和众数(二)1．平均数． 2．2.5或3.5． 3．D ． 4．A ．5．(1)样本平均数是80分，中位数是80分，众数是85分；(2)估计全年级平均80分． 6．(1)平均数是209133200350051000115002200013500140001500≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(元)，中位数和众数都是1500(元)； (2)平均数是32883320035005100011500220001185001285001500≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(元)，中位数和众数都是1500(元)．(3)中位数和众数都能反映该公司员工的工资水平．而公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，导致平均数和中位数偏差较大，所以平均数不能反映该公司员工的工资水平． 7．⋅++++8322;2;dc b a c b c 8．m －a ；n －a ． 9．A ． 10．(1)3.7101437681=⨯+⨯+⨯=x (分)，6.71011067382=⨯+⨯+⨯=x (分)，2班将获胜；我认为不公平，因为4号评委给两个班的打分明显有偏差，影响了公正性； (2)可以采取去掉一个最高分和一个最低分后，再计算平均数，这样1班获胜；也可以用中位数来衡量标准，也是1班获胜． 11．(1)众数是113度，平均数是108度；(2)估计一个月的耗电量是108×30＝3240(度)； (3)解析式为y ＝54x (x 是正整数)．12．(1)21； (2)1班众数：90分；2班中位数：80分；(3)略测试5 极差和方差(一)1．6；4． 2．2． 3．12；3． 4．B ． 5．B ．6．甲组的极差是6，方差是3.5；乙组的极差是5，方差是3；说明乙组的波动较小． 7．(1)4；(2)方差约是1.5，大于1.3，说明应该对机器进行检修． 8．甲． 9．改变；不变． 10．B ． 11．B ． 12．C ． 13．(1)甲组及格率是30％，乙组及格率是50％，乙组及格率高；(2)甲x ＝2，乙x ＝2，2甲s ＝1，2乙s ＝1.8，甲组更稳定．测试6 极差和方差(二)1．B ． 2．B. 3．4． 4．8． 5．8． 6．18． 7．＞，乙． 8．(1)(2)①平均数；②不能；方差太大．9．(1)A 型：平均数 14；方差4.3(约)；B 型：中位数 15． (2)略．第二十章 数据的分析全章测试1．⋅++++pn m px nx mx 321 2．4． 3．乙． 4．81． 5．16． 6．D ． 7．C ． 8．B ． 9．C ． 10．A ． 11．7920元． 12．41，40～42，40～42． 13．平均数分别为26.2，25.8，25.4，班长应当选， 14．(1)(2)略．15．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是：0)2112224431(101=+--+-++--乙种电子钟走时误差的平均数是：0)1222122134(101=+-+-+-+--∴两种电子钟走时误差的平均数都是0秒．(2)=⨯=-++--+-=60101])02()03()01[(1012222 甲s 6秒2 8.46101])01()03()04[(1012222=⨯=-++--+-=乙s 秒2 ∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是6秒2和4.8秒2．(3)我会买乙种电子钟，因为平均数相同，且甲的方差比乙的大，说明乙的稳定性更好，故乙种电子钟的质量更优．16．(1)①25，90°； ②7，7； (2)10，15．第二十一章 二次根式测试1 二次根式1．.3,32>≥x a ． 2．x ＞0，x ＝1． 3．(1)7；(2)7；(3)7；(4)7；(5)0.7；(6)49． 4．D ． 5．B ．6．D ． 7．(1)x ≤1；(2)x ＝0；(3)x 是任意实数；(4)x ≥－7． 8．(1)18； (2)6；(3)15；(4)6．9．x ≤0． 10．x ≥0且⋅=/21x 11．0． 12．1. 13．C ． 14．D ． 15．(1)0.52；(2)－9；(3)23；(4)36． 16．2，3，4． 17．0测试2 二次根式的乘除(一)1．x ≥0且y ≥0． 2．(1)6；(2)24；(3)16．3．(1)42；(2)0.45；(3).3122a 4．B ． 5．A ． 6．B ． 7．B8．(1)32； (2)6； (3)24； (4)x 32； (5)3b ； (6)ab 2； (7)49； (8)12； (9).263y xy 9．.cm 6210．102 11．＞，＞，＜． 12．D ． 13．D ． 14．(1)45xy 2 (2)2a 2bb ；(3)34； (4)9． 15．6a －3；56 16．(1)a -- (2)y --117．a ＝－1，b ＝1，0．测试3 二次根式的乘除(二)1．(1)32； (2)23； (3)53； (4)x 34； (5)36； (6)223； (7)ab b a 2； (8)⋅630 2．(1)3； (2)2； (3)a 3； (4)a 2； (5).6 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．(1);54 (2);35 (3);22 (4);23 (5);63 (6);2 (7);322 (8)4． 7．(1);77 (2);42 (3)－⋅339 8．(1);55 (2);82 (3);66 (4)⋅y yx 55 9．0.577；5.196． 10．B ． 11．C ． 12．(1)55-；(2);33x (3).b a +13．.332 14．(1)722-；(2)1011-；(3).1n n -+测试4 二次根式的加减(一)1．.454,125;12,27;18,82,32 2．.36)2(;33)1(-3．B ． 4．A ． 5．C ． 6．.33 7．.632+ 8．.216 9．.23+10．.23- 11．⋅-42341112．错误． 13．D 14．.57329- 15．.23- 16．⋅617a 17．0． 18．原式＝y x 32+，代入得2． 19．.33102235+ 20．(1)都打“√”；(2)1122-=-+n n n n n n (n ≥2，且n 是整数)； (3)证明：⋅-=-=-+-=-+111)1(1223222n n n n n n nn n n n n 测试5 二次根式的加减(二)1．6． 2．3,72． 3．(1)22； (2)ax 3-．4．B ． 5．D ． 6．B. 7．⋅66 8．.763- 9．⋅3619 10．⋅417 11．.215 12．.62484- 13．.67- 14．B ． 15．D ． 16．⋅-41 17．.103- 18．ab 4 (可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．19．9．20．⋅335 第二十一章 二次根式全章测试1．＞－2． 2．.ab b -- 3．.27,31,12 4．1． 5．4． 6．B ． 7．C ． 8．C ． 9．A ． 10．68-．11．.562- 12．.12- 13．.2ab - 14．.293ab b a -15．.245x -． 16．周长为.625+ 17．两种：(1)拼成6×1，对角线(cm)0.733712721222≈=+；(2)拼成2×3，对角线)cm (3.431312362422≈=+．第二十二章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法1．1，最高，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．2x 2－6x －1＝0，2，－6，－1． 3．k ≠－4．4．x 2－12x ＝0，1，－12，0． 5．－2． 6．.32±=y7．A ． 8．C ． 9．C ． 10．C ．11．y 1＝2，y 2＝－2． 12．.32,3221--=-=x x13．x 1＝9，x 2＝－11． 14．⋅-==21,2321x x15．.12,03)12(22+=-++x x16．(2－n )x 2＋nx ＋1－3n ＝0，2－n ，n ，1－3n ．17．m ≠±3，m ＝3． 18．C ． 19．A ． 20．C ．21．⋅±=3322,1x 22．.14,5421-=-=x x 23．x 1＝1，x 2＝7．24．.,21m n x m n x +-=+=25．a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0． 26．C ．27．m ＝1不合题意，舍去，m ＝－1． 28．2009．测试2 配方法解一元二次方程1．16，4． 2．⋅23,493．⋅43,169 4．⋅31,915．2,42pp 6．⋅a ba b 2,422 7．C ． 8．D ． 9．C ． 10．C ．11．.21±=x 12．.33±=y 13．D ． 14．D ． 15．C ．16．A ．17．⋅-=+=3102,310221x x18．.2,2321-==x x19．x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1≥0，当x ＝2时有最小值为1．测试3 公式法解一元二次方程1．).04(2422≥--±-=ac b a acb b x2．2，8，－2． 3．C ． 4．B ． 5．B ． 6．B ．7．.72,7221--=+-=x x 8．⋅-=+=3104,310421x x 9．m ＝1，－3． 10．B ． 11．⋅--=+-=231,23121x x 12．.32,3221-=+=x x 13．mx -=121，x 2＝1.14．x 1＝a ＋1，x 2＝3a －1. 测试4 一元二次方程根的判别式1．＞，＝，＜． 2．＞－1． 3．≥0． 4．m ＝2或m ＝－1．5．B ． 6．C ． 7．B ． 8．D ．9．①k ＜1且k ≠0；②k ＝1；③k ＞1． 10．⋅-≥49k 11．∆＝m 2＋1＞0，则方程有两个不相等的实数根．12．C ． 13．D ． 14．C ． 15．B ． 16．C ．17．m ＝4，2121-==x x ． 18．证明∆＝－4(k 2＋2)2＜0．19．∵b ＝c ＝4 ∴△ABC 是等腰三角形．20．(1) ∆＝[2(k －1)]2－4(k 2－1)＝4k 2－8k ＋4－4k 2＋4＝－8k ＋8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得02＋2(k －1)·0＋k 2－1＝0，解得k ＝－1或k ＝1(舍去)．即当k ＝－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4，所以它的另一个根是4．测试5 因式分解法解一元二次方程1．x ＝0，x 2＝3． 2．271=x ，x 2＝－2． 3．x 1＝0，⋅=322x 4．x 1＝x 2＝－3． 5．x 1＝0，.62=x 6．x 1＝0，.3222-=x 7．x ＝1，x 2＝3． 8．x 1＝x 2＝2． 9．A ． 10．D ．11．x 1＝2，⋅=322x 12．x 1＝0，x 2＝1． 13．x 1＝7，x 2＝－4． 14．x 1＝4，x 2＝2．15．x 1＝0，x 2＝2． 16．x 1＝x 2＝3．17．x 1＝0，.322=x 18．.3,321-==x x19．x 1＝－1，x 2＝－7． 20．C ． 21．D ． 22．D ．23．x 1＝－m ＋n ，x 2＝－m －n ． 24．.2,221b a x b a x -=+=25．x 1＝2b ，x 2＝－b ．26．15． 27．当k ＝1时，x ＝1；当k ≠1时，x 1＝1，⋅-+-=112k k x 测试6 一元二次方程解法综合训练1．⋅-=+=331,33121x x 2．x 1＝1，x 2＝－1． 3．.1,3221==x x 4．.102,10221-=+=x x 5．B ． 6．B ． 7．B ． 8．D ． 9．⋅-==21,3221x x 10．.32,3221-==x x 11．x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n ． 12．⋅==a x a x 2,2121 13．8． 14．x 1＝－a －b ，x 2＝－a ＋b ．15．B ． 16．B ．17．⋅==22,221x x 18．⋅-==227,22721x x 19．x 1＝k －2，x 2＝k －3． 20．.33,2221==x x21．当x ＝－4 y 时，原式35=；当x ＝y 时，原式＝0． 22．略．23．3(x －1)(x ＋3)．24．).21)(21(+---x x测试7 实际问题与一元二次方程(一)1．(1)工作时间工作总量；(2)速度×时间．2．1．1a ， 1.21a ， 3．31a ． 3．a 81100元． 4．D ． 5．D ． 6．7，9，11或－11，－9，－7． 7．,226,226+-2． 8．50％． 9．3000(1＋x )2＝5000． 10．10％ 11．(50＋2x )(30＋2x )＝1800． 12．D ．13．分析：2007年经营总收入为600÷40％＝1500(万元)．设年平均增长率为x ．1500(1＋x )2＝2160.1＋x ＝±1.2．∵1＋x ＞1，∴1＋x ＝1.2，∴1500(1＋x )＝1500×1.2＝1800(万元)．14．分析：设每件衬衫应降价x 元，则盈利(40－x )元，依题意(40－x )(20＋2x )＝1200．即x 2－30x ＋200＝0．解出x 1＝10，x 2＝20．由 于尽量减少库存，应取x ＝20．15．分析：(1)y ＝240x 2＋180x ＋45；(2)y ＝195时，45,2121-==x x (舍去)． ∴这面镜子长为1m ，宽为.m 21 16．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为△ACB 的面积的一半． 依题意，12,2.216821)6)(8(2121==⨯⨯⨯=--x x x x (舍)． 即2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 的面积的一半．17．分析：设P ，Q 两点开始出发到x 秒时，P ，Q 距离为10cm ．(16－3x －2x )2＝102－62．⋅==524,5821x x ∴出发58秒或524秒时，点P ，Q 距离为10cm ． 第二十二章 一元二次方程全章测试1．3x 2－5x －2＝0． 2．5． 3．(1)5； (2)－5．4．4． 5．－2． 6．3．7．C ． 8．B ． 9．C ． 10．B ． 11．C ．12．(1)x 1＝0，x 2＝2； (2)x 1＝2，x 2＝4； (3);221==x x (4)x 1＝3，x 2＝－7； (5).15,2121=-=x x (6)x 1＝a ，x 2＝a －b ． 13．m ＝1，另一根为－3．14．∆＝4m 2＋8m ＋16＝4(m ＋1)2＋12＞0．15．(1)设2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为x ，50(1＋x )2＝72，∴1＋x ＝±1.2，∴x 1＝0.2，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为20％．(2)设每年新增手机用户的数量为y 万部，依题意得：[72(1－5％)＋y ](1－5％)＋y ≥103.98，即(68.4＋y )×0.95＋y ≥103.98，68.4×0.95＋0.95y ＋y ≥103.9864．98＋1.95y ≥103.98，1.95y ≥39，∴y ≥20(万部)．∴每年新增手机用户的数量至少要20万部．16．分析：仓库的宽为x cm ．(1)若不用旧墙．S ＝x (50－x )＝600．x 1＝30，x 2＝20．即长为30cm ，宽为20cm 符合要求．(2)若利用旧墙x (100－2x )＝600．.13525+=x ∴利用旧墙，取宽为m )13525(+，长为m )131050(-也符合要求．有帮助吗？我还有好多答案，要的找我！。
八年级下册数学 第十八章 勾股定理
第十八章 勾股定理18．1 勾股定理（一）教学目标1．知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
教学方法： 教学用具： 学情分析：例题的意图分析：例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
八年级数学下《第18章 勾股定理》全章课件(11份)-5
12 12
D B
C
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x E
16-x
小明手里有一块三角形的红色 彩旗，已知两边AC=8cm、 AB=8 2 cm,并且这两条边与 第三边的夹角分别为60°和 45°,求第三边的长。 A
B
45° D 60° C
通过今天的学习,用 你自己的话说说你的收获和体会?
1.Rt△ABC中, ∠A=90°, 3、直角三角形两边长分别为 a=17, b=8, 则 c=பைடு நூலகம்__ 15 9和12，则第三边长为（ C ） 2. Rt△ABC中 , ∠ B=90 ° , B 3 7 A 15 a:c=5:12,a+c=34, 则 15或3 7 D 以上都不对 C 26 b=___
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操场上的五星红旗在迎风飘扬， 旗杆从旗顶到地面的高度为1600cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如下图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h. 彩旗完全展平时的尺 寸如下图的长方形 （单位：cm）.
120
90
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本节课主要是应用勾股定理来解决实际问 题，在应用定理时，应注意：1、要会把 实际问题转化成数学问题，2、没有图的 要按题意画好图并标上字母；3、必要时 要利用勾股定理列方程来解。 我学会了！
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作业：
发下去的卷上没有 做完的题
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a
a
a 勾股定理的应用
c
勾股定理 c a
b
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b
c
八年级数学下册《18
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
假如直角三角形旳两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方.
B
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2
ac
Cb
A
勾股世界
两千两数千数年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首发先发觉觉了了勾勾股股定定理，理所，以 所以在国外 在人国们外一人们般一称般勾称勾股股定定理理为为毕毕达哥达拉哥斯 拉斯定理。 定为理了。纪为了念纪毕念达毕达哥哥拉拉斯斯学学派派，1，9515955年希腊 年曾希经腊发曾经行发了行了一一枚枚纪纪念念票邮。票.
例1.星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,
同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰 高约为900米,如图:为了以便游人,此景区从主峰A处向地 面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距
1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少?
分析：已知△ABC中，
ACB 90
国我家国之是一。最早早在三了千解数勾年前股，定理旳 国国家家之之一。一早。在早三千在数三年前千，数年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就数提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早种在直三千角数，年前假，如勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么数弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、数弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著数名年前旳，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中数.年前
A
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八年级数学下册第十八章勾股定理18
专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF 的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )(第1题)A.83cm B．2 3 cmC．2 2 cm D．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．(中考·东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的6种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，点D 为AC 边的中点，过D 点作DE⊥DF，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．(第1题)利用勾股定理作长为n 的线段2．已知线段a ，作长为13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2＝2AB 2－CD 2.求证：AB ＝BC.(第3题)利用勾股定理解非直角三角形问题4．如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第4题)利用勾股定理解实际生活中的应用5．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km /h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m /s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第5题)利用勾股定理探究动点问题6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．(第6题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 3 km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，∴AC＝20 21≈20×4.6＝92(km )．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t 1＝8060＝113(h )，乘“武黄城际列车”需时间t 2≈92180＋2040＝1190(h )．∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”． 3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm )，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝16 900，所以AB ＝130 cm .所以壁虎至少爬行130 cm .(第3题)(第5题)4．105．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP. 易知BD⊥AC，且BO ＝OD ，∴BP＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短． ∵AE＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得 ED 2＝AE 2＋AD 2＝32＋42＝25＝52， ∴ED＝BP ＋EP ＝5.6．解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD⊥BB′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A′B′＝8 km ，DC ＝6 km .∴AC＝AD 2＋DC 2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km .(第6题)(第7题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝22＋22＝8，∴AC＝8＝2 2.8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线． (4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC 2＝102＋52＝125， ∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.(第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC 1. (2)如图，AC′1＝42＋（4＋4）2＝4 5.AC 1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm )，BC ＝12×30＝15(cm )．(第10题)由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm )． (2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm >25 cm . (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm )>25 cm .综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm . 专训2 1．A2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x. 在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴42＋(8－x)2＝x 2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S △BED ＝12DE·AB＝12×5×4＝10.3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D＝∠B＝90°. ∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE， ∴AD＝AF ，DE ＝EF ，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF ，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG ，∴Rt △ABG≌Rt △AFG(HL )． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE＝DE ＝EF ＝3，∴EG＝3＋x. ∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2. ∴BG＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD 是长方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF. ∴AE＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D＝90°知，ED 2＋DC 2＝CE 2，即b 2＋c 2＝a 2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C ＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠C，BD ＝CD ，∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC(ASA )， ∴BE＝FC ＝3.∴AB＝7，则BC ＝7.∴BF＝4.在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25，∴EF＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2.又∵AD 2＝2AB 2－CD 2，∴AD 2＋CD 2＝2AB 2.∴A C 2＝2AB 2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2，故BC 2＝AB 2，即AB ＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．4．解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，(第4题)∴CD＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝102－52＝5 3.∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝11.∴BC＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．5．解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝12AB. ∵OA＝100 m ，∴AB＝200 m .由勾股定理，得OB ＝AB 2－OA 2＝2002－1002＝100 3(m )．在Rt △AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∴OC＝OA ＝100 m ．∴B(－100 3，0)，C(100，0)．(2)∵BC＝BO ＋CO ＝(100 3＋100)m ，100 3＋10015≈18>503，∴这辆汽车超速了．6．解：(1)在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm .(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；[第6题(2)]②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2，解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；[第6题(3)]③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，所以t 2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258.综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.。
2021年八年级数学下册 第十八章勾股定理复习教案 人教新课标版
2021年八年级数学下册第十八章勾股定理复习教案人教新课标版从容说课勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的发现．验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生对直角三角形有了更进一步的认识和理解．为了使学生更好地认识勾股定理和它的逆定理，更好地运用他的解决实际生活中的问题，通过回顾已学过的知识，加强对勾股定理及逆定理的理解和应用．在本章，数形结合的思想有较多的体现，教学中应更进一步地渗透这种思想，让学生更进一步体验从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系．勾股定理和逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用。
在本小结中应让学生更进一步体会它们在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息．进一步介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值．这一定理又导致了无理数的产生——数学历史上的第一次数学危机．本章小结三维目标一、知识与技能1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结．2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．3．了解勾股定理的历史．二、过程与方法1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法．2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．三、情感态度与价值观1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量．教学重点1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．教学难点1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．2．建立本章的知识框架图，教具准备多媒体课件．教学过程一、引入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到．第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．二、回顾与思考问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质．现在我们来回答问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第2个问题．问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．例如：①在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝15°，根据三角形的内角和定理，可得∠A＝90°．根据定义可判断△ABC是直角三角形．②在△ABC中．∠A＝12∠B＝13∠C，由三角形的内角和定理可知∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，所以∠A＝30°，∠B＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°，△ABC是直角三角形．上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)．例如：①△ABC的三条边分别为a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠B＝90°．②△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2这个结论呢?师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢?生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确。
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版
八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称作毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就所提了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法各种各样，常见的是拼图方法用拼图的方法验证三角学的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的占地约不同的表示方法方法，列出等式，推导出与勾股定理常见方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)2c2，化简可证．DCHEFGbaAcB方法二：baaccbbccaab四个直角三角形的面积与正方形小面积的和等于大的正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S412abc22abc2大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S1梯形2(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21122ab2c，化简得证用心爱心专心AaDbccBbEaC３.勾股定理的适用范围勾股定理阐释了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于正五边形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须清了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一旁，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际结构性问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，正方形那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①是否是的逆定理是判定一个三角形勾股定理直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能出现形状，在运用这很强理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及a2b2c2只是这种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当圆周的平方等于两条直角相等边的平方和时，这个正方形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以不断提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用不含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）mn,2mn,mn2222（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理之时，必须把握直角三角形的先决条件，了解圆周中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理成功进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形假如直角三角形，在具体用心爱心专心推算过程中，应用平方和两短边的平方和与最长边的平方进行很，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其九章算术逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理断定判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：CCC30°ABADBBDACBDA题型一：直接考查勾股定理硝普钠１.在ABC中，C90．⑴已知AC6，BC8．求AB的长⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：随意应用勾股定理a2b2c2题型二：应用软件勾股定理建立方程例２.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个矩形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个矩形的面积为分析：在解直角三角形此时，要想到勾股定理，及直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长CD12EAB分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来用心爱心专心例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mAEBDC分析：根据题意建立数学模型，题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①a1.5，b2，c2.5②a54，b1，c23例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的对顶角逆定理综合应用例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC用心爱心专心新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边两的平方和等于切线的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：DHEFbAcGaC1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．2方法二：四个直角三角形的面积与正方形小面积的和等于大的正方形的面积．四个直角1面积正方形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2大正方形面积为2BbacabS(ab)a2abb所以abcbc222222c111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证222３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的供应量关系，它只适用于于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
八年级数学下册第十八章勾股定理章节检测无答案新人教版
八年级数学第十八章《勾股定理》章节检测题时刻：90分钟 满分：100分一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 一、若Rt △ABC 中，90C ︒∠=且c=13,a=12，则b=（ ） A 、11 B 、8 C 、5 D 、3二、下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=2，b=3, c=4 B 、a=7, b=24, c=25C 、a=6, b=8, c=10D 、a=3, b=4, c=5 3、 如图：a ，b ，c 表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积．．，则下列结论正确的是( ) A. a 2 + b 2=c 2B. ab=cC. a+b=cD. a+ b=c 24、小强量得家里新购买的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸（屏幕的对角线长度为电视机的尺寸）最有可能是( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)五、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A 、43B 、3C 、23D 、3六、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、97、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 2 八、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对二、填空题（本大题7个小题，每小题3分，共21分）九、若一个三角形的三边知足222c a b -=，则那个三角形是 。
10、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则那个桌面 。
2023-2024学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．C．3，4，6D．3．（2分）下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（）A．2B．3C．3.5D．45．（2分）某校艺术节歌唱比赛中，有15位评委对选手的表现打分，某位选手所得15个分数组成轮一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余13个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P 的坐标可以是（）A．（3，0）B．（﹣1，﹣2）C．（2，3）D．（﹣1，6）7．（2分）矩形纸片两邻边的长分别为a，b（a＜b），连接它的一条对角线．用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD，其边长为a+b．图中正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为（）A．2a2+2b2B．2a2+3b2C．3a2+3b2D．4a2+4b28．（2分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（）A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为yB．点P与B的距离为x，点D与E的距离为yC．点P与D的距离为x，点P与E的距离为yD．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝3x的图象平移得到，且经过点（0，﹣1），该一次函数的表达式为．11．（2分）在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B＝°．12．（2分）用一个a的值说明“＝a”是错误的，这个值可以是（写出一个即可）．13．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，AC＝6，BD＝4，则AB的长为．14．（2分）一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成．各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占30%、组间互评占30%、教师评价占40%，计算小组的综合成绩．甲、乙两个小组各部分的成绩如表所示，则组的综合成绩更高（填“甲”或“乙”）．小组小组自评组间互评教师评价甲组958585乙组90908815．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，AB⊥y轴于点B．以AB为边作菱形ABCD，若点C在x轴上，则点D的坐标为．16．（2分）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．（1）小华从家出发min时，爸爸追上小华；（2）图书馆离小华家m．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题9分，第19-22题，每题8分，第23题10分，第24题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在第一象限，且四边形OACB是矩形．（1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；作法：以点A为圆心，OB的长为半径画弧，再以点B为圆心，OA的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点C，连接AC，BC，则四边形OACB是矩形．（2）根据（1）中的作法，完成下面的证明；证明：∵AC＝OB，＝OA，∴四边形OACB是平行四边形．（）（填推理的依据）∵∠BOA＝90°，∴四边形OACB是矩形．（）（填推理的依据）（3）若直线l的表达式为，直接写出矩形OACB的面积和直线OC的表达式．19．（8分）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACFD是菱形；（2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）在直线l1：y＝﹣3x﹣1上，直线l2：y＝kx+b经过点A，且与x轴交于点B（﹣2，0）．（1）求m的值及直线l2的表达式；（2）点C（n，y1）在直线l1上，CD⊥x轴交直线l2于点D，点D的纵坐标为y2.若y1＜y2＜4，直接写出n的取值范围．21．（8分）某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x＜90．从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下：8081828283848485868687878789909192929498（1）这20个苹果的果径的众数是，中位数是；（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．包装盒1的苹果果径808182828384包装盒2的苹果果径868687878789其中，包装盒中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；（3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？22．（8分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步＝5尺）提取信息秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步（即10尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．秋千的绳索长是多少？画示意图假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，O是秋千的固定点，点A是秋千静止时踏板的位置，点B是向前推动10尺（水平距离）后踏板的位置．直线l是地面，OA⊥l于点C，BD⊥l于点D．解决问题（1）图中AC＝尺，BD＝尺，CD＝尺；（2）求秋千的绳索长．23．（10分）对于函数y＝|2x+m|（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．（1）当m＝0时，函数为y＝|2x|；当m＝7时，函数为y＝|2x+7|．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数y＝|2x|的图象关于对称；对于函数y＝|2x+7|，当x＝时，y＝3；（2）当m＝﹣4时，函数为y＝|2x﹣4|．①在图中画出函数y＝|2x﹣4|的图象；②对于函数y＝|2x﹣4|，当1＜x＜3时，y的取值范围是；（3）结合函数y＝|2x|，y＝|2x+7|和y＝|2x﹣4|的图象，可知函数y＝|2x+m|（m≠0）的图象可由函数y ＝|2x|的图象平移得到，它们具有类似的性质．①若m＞0，写出由函数y＝|2x|的图象得到函数y＝|2x+m|的图象的平移方式；②若点（t，y1）和（t+1，y2）都在函数y＝|2x+m|的图象上，且y1＞y2，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）．24．（9分）在正方形ABCD中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AE，P为点B关于直线AE的对称点．（1）连接AP，作射线DP交射线AE于点F，依题意补全图1．①若∠BAE＝α，求∠ADP的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段AF，PF和PD之间的数量关系，并证明；（2）已知AB＝2，连接PC，若PC∥AE，M，N是正方形ABCD的对角线BD上的两个动点，且，连接EM，AN，直接写出EM+AN的最小值．四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）25．对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．例如，可以看作平面直角坐标系xOy中，动点A（x，0）与定点B1（3，1）或B2（3，﹣1）之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题：（1）若将看作平面直角坐标系xOy中，动点A（x，0）与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是（写出一个即可）；（2）若，直接写出d的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．（1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是；（2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线上的两个动点．①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．2．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A．12+12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B．12+22＝（）2，能构成直角三角形，正确，符合题意；C．32+42≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；D．22+32≠（2）2，不能构成直角三角形，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系是解答本题的关键．3．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；B、5﹣＝4，原计算错误，不符合题意；C、÷＝，原计算错误，不符合题意；D、×＝＝6，正确，符合题意，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BF＝AF＝3，进而求出BC，再根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D是AB的中点，FD⊥AB，∴DF是线段AB的垂直平分线，∴BF＝AF＝3，∵CF＝7，∴BC＝CF﹣BF＝7﹣3＝4，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．5．【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．故选：D．【点评】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．6．【分析】一次函数y＝kx﹣1，当k＞0时，y随x的增大而增大，因此将下列各点代入，能使k＞0的即可．【解答】解：把（3，0）代入一次函数y＝kx+4得：3k+4＝0，k＝﹣，因此不可以，故A不符合题意；把（﹣1，﹣2）代入一次函数y＝kx+4得：﹣k+4＝﹣2，k＝6，因此可以；故B符合题意；把（2，3）代入一次函数y＝kx+4得：2k+4＝3，k＝﹣，因此不可以；故C不符合题意；把（﹣1，6）代入一次函数y＝kx+4得：﹣k+4＝6，k＝﹣2，因此不可以；故D符合题意；故选：B．【点评】考查一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，已知k的值，根据增减性可以判断．7．【分析】根据正方形面积的计算方法以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形EFGH的面积为EF2＝a2+b2，正方形MNPQ的面积为（a﹣b）2，所以正方形ABCD，正方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝3a2+3b2，故选：C．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．8．【分析】先由勾股定理得到BC＝＝5，如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F，由等面积法得到AF＝，则BF＝，再证明四边形ADPE是矩形，得到DE＝AP，则当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小，即DE的最小值为，再由而点P到点E的距离可以无限小，得到点D与E 的距离为y，点P到点D的距离可以无限性，得到点P与B的距离为x，据此可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F，＝AB•AC＝BC•AF，∵S△ABC＝×3×4＝×5AF，△ABC∴AF＝，∴BF＝＝，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴四边形ADPE是矩形，∴DE＝AP，∴当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小，∴DE的最小值为，而点P到点E的距离可以无限小，∴由函数图象可知点D与E的距离为y，而点P到点D的距离可以无限性，∴由函数图象可知点P与B的距离为x．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，画出图是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点（0，﹣1），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，∴k＝3，又∵函数y＝3x+b的图象经过点（0，﹣1），∴b＝﹣1．∴一次函数解析式为：y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，关键是正确得出函数解析式的系数．11．【分析】根据平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，再由∠A+∠C＝160°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝80°，∴∠B＝100°．故答案为：100．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．12．【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．【解答】解：∵“＝a”是错误的，∴a的值可以是﹣2（答案不唯一）．故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．13．【分析】再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO＝＝＝3，BO＝DO＝＝＝2，∵对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABO中，AB＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形性质是关键．14．【分析】根据加权平均数：加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数；分别计算即可．【解答】解：甲小组的综合成绩为：95×30%+85×30%+85×40%＝88（分），乙小组的综合成绩为：90×30%+90×30%+88×40%＝89.2（分），∴乙组的综合成绩更高．故答案为：乙．【点评】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．15．【分析】由菱形的性质得BC＝CD＝AB＝3，分两种情况：①当点C在x轴负半轴时，②当点C在x 轴正半轴时，由勾股定理求出OC的长，再得出OD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵点，AB⊥y轴于点B，∴AB＝3，OB＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝3，分两种情况：①当点C在x轴负半轴时，OC＝＝＝1，∴OD＝CD﹣OC＝3﹣1＝2，∴D（2，0）；②当点C在x轴正半轴时，OC＝＝＝1，∴OD＝CD+OC＝3+1＝4，∴D（4，0）；综上所述，点D的坐标为（2，0）或（4，0），故答案为：（2，0）或（4，0）．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．16．【分析】（1）由图象可知，小华从家出发10min时，爸爸追上小华；（2）由图象可知，爸爸回家用14﹣10＝4（min），故爸爸追上小华用4min，可知小华提速前的速度与爸爸的速度比为4：10＝，设爸爸速度为x m/min，可得4（x+x）＝1184，x＝200，从而小华提速前的速度为x＝80（m/min），提速后速度为x＝200×＝96（m/min），再列式计算即得答案．【解答】解：（1）由图象可知，小华从家出发10min时，与爸爸的距离为0，即爸爸追上小华时，小华从家出发10min；故答案为：10；（2）由图象可知，爸爸追上小华后用14﹣10＝4（min）回到家，∴小华提速前的速度与爸爸的速度比为4：10＝，设爸爸速度为x m/min，则小华提速前的速度为x m/min，提速后速度为x×1.2＝x m/min，∴4（x+x）＝1184，解得x＝200，∴小华提速前的速度为x＝200×＝80（m/min），提速后速度为x＝200×＝96（m/min），∵10×80+（20﹣10）×96＝1760（m），∴图书馆离小华家1760m，故答案为：1760．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题9分，第19-22题，每题8分，第23题10分，第24题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先算平方差，再算加减．【解答】解：（1）原式＝3+5＝8；（2）原式＝28﹣1＝27．【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．18．【分析】（1）由题意作图即可；（2）根据矩形的判定定理即可求解；（3）求出点A、B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2）、（4，2），即可求解．【解答】（1）解：由题意作图如下：（2）证明：∵AC＝OB，BC＝OA，∴四边形OACB是平行四边形，（两组对边分别相等的四边形为平行四边形），∵∠BOA＝90°，∴四边形OACB是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形），故答案为：BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；（3）解：对于，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，即点A、B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2）、（4，2），则矩形OACB的面积＝OA×OB＝2×4＝8；设直线OC的表达式为：y＝kx，将点C的坐标代入上式得：2＝4k，则k＝，则直线OC的表达式为：y＝x．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形和矩形的性质和判定、一次函数的性质、作图等，难度不大．19．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，而CF＝BC，则AD∥CF，AD＝CF，所以四边形ACFD是平行四边形，因为∠CEF＝∠ABF＝90°，所以FA⊥CD，则四边形ACFD是菱形；（2）由CD＝AB＝5，得DE＝CE＝，求得FE＝＝6，则FA＝2FE＝12，则S四边形ACFD ＝FA•CD＝30．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ACFD是平行四边形，∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，∴∠CEF＝∠ABF＝90°，∴FA⊥CD，∴四边形ACFD是菱形．（2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，∴DE＝CE＝CD＝，AE＝FE，∵∠DEF＝90°，DF＝，∴FE＝＝＝6，∴FA＝2FE＝12，＝FA•CD＝×12×5＝30，∴S四边形ACFD∴四边形ACFD的面积为30．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，推导出AD∥CF，AD＝CF，进而证明四边形ACFD是平行四边形是解题的关键．20．【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）由图象可知直线l1在直线l2上方即可，由此即可写出n的范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在直线l1：y＝﹣3x﹣1上，∴m＝﹣3×（﹣1）﹣1＝2，∴A（﹣1，2），∵直线l2：y＝kx+b经过点A，且与x轴交于点B（﹣2，0）．∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝2x+4；（2）当x＝0时，y2＝2x+4，解方程组得，由图象知，当点C位于点D上方时，垂于x轴的直线在交点的右侧，即y1＜y2＜4，n的取值范围为﹣1＜n＜0．【点评】本题考查两条直线平行或相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）根据方差的意义解答即可；（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径为80≤x＜85（单位：mm）所占比例即可．【解答】解：（1）87出现的次数最多，故众数是87；把20个苹果的果径从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，87，故中位数是＝86.5；故答案为：87，86.5；（2）包装盒1的平均数为＝82，包装盒1的方差为：×[（80﹣82）2+（81﹣82）2+（82﹣82）2+（82﹣82）2+（83﹣82）2+（84﹣82）2]＝，包装盒2的平均数为＝87，包装盒2的方差为：×[2×（86﹣87）2+3×（87﹣87）2+（89﹣87）2]＝1；因为1＜，所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．故答案为：甲；（3）2000×＝700（个），答：估计符合A款包装盒要求的苹果有700个．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．22．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）过点B作BE⊥OC于点E，则∠BEO＝90°，CE＝BD＝5尺，设OA＝OB＝x尺，则OE＝OA+AC ﹣BD＝（x+1﹣5）尺，在Rt△OBE中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由题意可知，AC＝1尺，BD＝5尺，CD＝10尺，故答案为：1，5，10；（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，则∠BEO＝90°，CE＝BD＝5尺，设OA＝OB＝x尺，则OE＝OA+AC﹣BD＝（x+1﹣5）尺，在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE2+OE2＝OB2，即102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即秋千的绳索长为14.5尺．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．23．【分析】（1）结合图象可得，y＝|2x+7|＝3，求得即可；（2）①描点、连线即可画出图象；②分别求出当当x＝1、2、3时，y＝|2x﹣4|的函数值，在结合图象即可得出答案；（3）①由y＝|2x+m|＝|2（x+）|，再结合图象即可得出答案；②由y＝|2x+m|＝|2（x+）|可得，y＝|2x+m|的图象关于x＝﹣对称，点（t+1，y2）关于x＝﹣的对称点为（﹣m﹣t﹣1，y2），再根据y1＞y2，进而得出答案．【解答】解：（1）由题意，结合图象可得，函数y＝|2x|的图象关于y轴对称；又令y＝|2x+7|＝3，∴2x+7＝±3．∴x＝﹣2或﹣5．故答案为：y轴；﹣2或﹣5．（2）①函数y＝|2x﹣4|的图象，如图：②当x＝1时，y＝|2﹣4|＝2，当x＝2时，y＝|4﹣4|＝0，当x＝3时，y＝|6﹣4|＝2，结合图象可知，当1＜x＜3时，y的取值范围为0≤y＜2．故答案为：0≤y＜2．（3）①∵y＝|2x+m|＝|2（x+）|，结合图象可得，若m＞0，将函数y＝|2x|的图象向左平移个单位长度得到函数y＝|2x+m|的图象．②∵y＝|2x+m|＝|2（x+）|，∴y＝|2x+m|的图象关于x＝﹣对称，∴点（t+1，y2）关于x＝﹣的对称点为（﹣m﹣t﹣1，y2），∵若点（t，y1）和（t+1，y2）都在函数y＝|2x+m|的图象上，且y1＞y2，∴t＜﹣m﹣t﹣1，解得：t＜﹣．【点评】本题主要考查一次函数图象与几何变换、一次函数的图象、一次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．24．【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出∠PAE＝∠BAE＝α，由正方形的性质可得出AP＝AD，∠PAD＝90°﹣2α，由三角形内角和定理即可得出∠ADP＝∠APD＝45°+α；②过点作AG⊥DF于点G，则∠AGF＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可得出PG＝PD，由①可知，∠APD＝45°+α，∠PAF＝α，即可求出∠F＝45°，进一步可得出AG＝FG，由勾股定理可得出AF＝FG，由线段的和差关系可得出AF＝（PF+PD），变形即可得证；（2）由对称得AE⊥BP，BF＝PF，结合等腰三角形的性质得点为BC的中点，过点作AG∥MN，且AG ＝MN，则四边形AGMN为平行四边形，那么EM+AN的最小值就等于EM+GM，当点G，M，E三点共线时，EM+GM取最小值，由题意得AG＝MN，过点G作GQ⊥AB交AB于点H，作GH⊥CB交CB 延长线于点H，则四边形GQBH为矩形，有GH＝QB，GQ＝HB，求得AQ＝GQ＝1，对应有GH＝QB ＝1，HB＝GQ＝1，利用勾股定理求得GE，即可求得EM+AN的最小值．【解答】解：（1）补全图形如下：①∵点P与点B关于直线AE对称，∴AE垂直平分BP，AB＝AP，且∠PAE＝∠BAE＝α，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AP＝AD，∠PAD＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠PAE＝90°﹣2α，∴∠ADP＝∠APD＝（180°﹣∠PAD）÷2＝45°+α，∴∠ADP＝45°+α；②过点作AG⊥DF于点G，如图：则∠AGF＝90°，∵AP＝AD，∴PG＝PD，∵∠APD＝∠F+∠PAF，由①可知，∠APD＝45°+α，∠PAF＝α，∴∠F＝45°，∴∠GAF＝∠F＝45°，∴AG＝FG，在Rt△AGF中，AF＝＝FG，∴AF＝（PF+PG）＝（PF+PD），即AF＝2PF+PD；（2）由对称性得AE⊥BP，BF＝PF，BE＝PE，∵PC∥AE，∴BP⊥PC，∵BE＝PE，∴∠CBP＝∠BPE，∵∠CBP+∠ECP＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠CPE，则BE＝EP＝EC，∴E为BC的中点，∵BC＝AB＝2，∴BE＝1，过点A作AG∥MN，且AG＝MN，则四边形AGMN为平行四边形，∴AG＝MN，AN＝GM，∴EM+AN的最小值就等于EM+GM，当点G，M，E三点共线时，EM+GM取最小值，∵BN＝BM+，∴AG＝MN＝，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，作GH⊥CB交CB延长线于点H，则四边形GQBH为矩形，∴GH＝QB，GQ＝HB，∵∠ABD＝45°，AG∥MN，∴AQ＝GO＝1，∵AB＝2，∴GH＝QB＝1，HB＝GQ＝1，∴GE＝＝，则EM+AN的最小值为．【点评】本题是四边形综合题，主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线．四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）25．【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可；（2）根据已知条件可知||表示点P（x，0）与点E（﹣2，3）的距离PE和点P（x，0）与点F（1，1）的距离PF之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，|PE﹣PF|取最大值，且最大值为EF的长，求出最大值即可．【解答】解：（1）∵＝，∴动点A（x，0）与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）．（2）∵＝||，∴由（1）可知：||表示点P（x，0）与点E（﹣2，3）的距离PE和点P（x，0）与点F（1，1）的距离PF之差，∵三角形任意两边之差小于第三边，∴当P、E、F三点共线时，|PE﹣PF|取最大值，且最大值为EF的长，∴d的最大值为EF＝＝．【点评】本题考查了坐标与图形性质、非负数的性质：绝对值，解题的关键是正确理解题意．26．【分析】（1）分类讨论：若直线l1经过点（0，﹣1），直线l经过点（0，4），求得直线l1：y＝2x﹣1，直线l2；y＝﹣3x+4，联立得，解得，故点P1是线段a的“双线关联点”；若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1），同上可求点P3是线段a的“双线关联点”；（2）①当直线l1经过，直线l2经过点时，求得l1，直线l2，联立方程求解；当直线l1经过点，直线l2经过点时，求得l1，直线l2，联立方程，求解即可解答；②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则，，【解答】解：（1）若直线l1经过点（0，﹣1），直线l2经过点（0，4），则代入得b1＝﹣1，b2＝4，∴直线l1：y＝2x﹣1，直线l2：y＝﹣3x+4，联立得，解得，∴点P1是线段a的“双线关联点”；若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1），则同理可求直线l1：y＝2x+4，直线l2：y＝﹣3x﹣1，联立得，解得，∴点P3是线段a的“双线关联点”，故答案为：P1，P3；（2）①将点A、B代入，得，，∴，，当直线l1经过点，直线l2经过时，则代入得，，解得，，∴直线，直线l2：，联立得，解得，∴，解得，∴；当直线l1经过点，直线l2经过点时，同上可求l1，直线l2：，联立得，解得，∴，解得，∴；综上所述，点P的横坐标为或；②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则，由①得，消去m可得，∴点M在直线上运动，同理可求点N在直线l：上运动，∵线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，∴正方形CDEF与直线和直线恰有2个交点，当t＞0且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图，随着t增大，当点E落在直线l上，此时1个交点，不符合题意，如图，则，解得；当t继续增大，此时，则直线l与正方形有2个交点，符合题意，如图，当t继续增大，直至点C（t，t）落在直线P，则，解得t＝15，此时有3个交点，不符合题意，如图，当时，此时有4个交点，不符合题意，如图，综上，．【点评】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键。
八年级数学下《第18章 勾股定理》全章课件(11份)-7
B
D
C
变式：如图，等边△ABC，高AD=6，
（1）求等边三角形的边长；
（2）求△ABC的面积。
A
B D
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C
练习 : 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD
=900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC
= 12， 求CD；
0 1 2 3 4
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探究：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，
你能在数轴上画出表示 的点吗？ 13
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与 数轴交于C点，则点C即为表示 13的点。 l
46
c
在误差范围内
3、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是： 今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐， 水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题。
译：有一个水池，水面是一个为10尺的正方形，在水 池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺。如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的 水面。这个水池的 深度与这根芦苇的长度分别是多少？
18.1勾股定理
----实际应用
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实数
一一对应
数轴上的点
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数
你能在数轴上表示出
2 的点吗？
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你能在数轴上画出表示 13的点吗？
D A C B
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八年级下册数学第18章勾股定理
八年级下册数学第18章勾股定理课题18.1勾股定理（1）知识与技能目标1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、会运用勾股定理进行简单的计算及解决生活中的实际问题。
过程与方法目标1、通过勾股定理的探索证明过程，培养合情推理能力，体会数形结合的思想。
2、通过探究活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
情感与态度目标1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．教学重点勾股定理的内容及证明，以及勾股定理的简单应用教学难点勾股定理的证明以及在生活中的应用一、引入新课2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。
那么为什么数学家大会用它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？这也就是我们本章的主要学习内容。
这一节课我们先学习有关勾股定理的内容。
二、探究新课：探究1：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？图18.1-1（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?（给学生充分时间观察图片，分组讨论上述3个问题。
）教师在此过程中要注意引导学生用不同的方法得出大正方形的面积，引导学生归纳出自己的发现。
发现：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积；即SA+SB=SC。
进而发现：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方思考：（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它具有上述性质，那么其他的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？想一想：怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？三个正方形面积有什么数量关系？据此，你有什么猜想？（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积）分析：图1中，SA=16SB=9SC=所以有：SA+SB=SC图2中，SA=4SB=9SC=所以有：SA+SB=SC由上可说明：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么猜想：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
北京市西城区学探诊八年级数学下册第18章勾股定理(无答案)
第十八章勾股定理测试1 勾股定理(1)一、填空题：1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么________＝c2；这一定理在我国被称为________．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝30°，a＝1，则c＝________，b＝________；④若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为________，斜边上的高为________．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为________．二、选择题：6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题：9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_________．12．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图①图②图③测试2 勾股定理(2)一、填空题：1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为__________．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距________km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________米路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞________米．二、选择题：5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．(A)212 (B)310 (C)56 (D)58三、解答题：7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A 和B 的距离．8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少m ．一、填空题：9．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为________米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为________(π取3)二、解答题：11．如图所示，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 到墙底端O 的距离为2m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m ，那么梯足在地面上滑出的距离BB ’的长度是多少？(精确到0.1m)12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，每平方米地毯30元，那么这块地毯需花多少元？13．如图，两个村子A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．测试3 勾股定理(3)一、填空题：1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则 AB ＝________，AB 边上的高CE ＝________．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝________，AC 边上的高BE ＝_____．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝________，AB 边上的高CD ＝________．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为________．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝________，AB ＝________，BC 边上的高AE ＝________．二、选择题：6．已知直角三角形的周长为,62+斜边为2，则该三角形的面积是( )． (A)41 (B)43 (C)21 (D)1 三、解答题：7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，,102=BE 求AB 的长．8．在数轴上画出表示10-及13的点．9．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．11．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC 的长．12．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．13．已知：如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：DE2＝AD2＋BE2．14．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝________，S n＝__________．测试4 勾股定理的逆定理一、填空题：1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为_________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为_________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为_________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝_________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为________．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为________，此三角形为二、选择题：9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a(C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)是直角三角形 (D)形状无法确定(二)综合运用诊断12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且,41CB CE求证：AF ⊥FE ．15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等． (2)若a ＞b ，则a 2＞b ．(3)若a 2＝b 2，则a ＝b ．(4)如果△ABC ≌△A 'B 'C '，那么BC ＝B 'C '，AC ＝A 'C '，∠B ＝∠B '．(5)全等三角形的三组对应角相等．16．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．全章测试一、填空题：1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为________．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为________．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm 2，则其中最大的正方形的边长为________cm ．4．如图，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．5．已知直角三角形的三边长分别为a ＋1、a ＋2、a ＋3，则a ＝________．6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝________．7．△ABC 中，AB ＝AC ＝13，若AB 边上的高CD ＝5，则BC ＝________．8．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为________．二、选择题：9．下列三角形中，是直角三角形的是( )．(A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，4110．直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高长为h ，则下列各式中总能成立的是( )．(A)ab ＝h 2 (B)a 2＋b 2＝2h 2 (C)h b a 111=+ (D)222111hb a =+ 11．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )(A)5 (B)135(C)1313 (D)59三、解答题：12．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．13．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．14．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2－AC2＝BC(BD－DC)．15．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．16．如图所示，有一个长方体，其长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，在点A处有一只蚂蚁，它想拖走B处的食物，回到A处，那么它需要爬行的最短路程应为多少？17．图①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一组能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．图①图②18．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个？(全等的三角形只算一个)。
八年级数学第十八章勾股定理
a b c
2 2
2
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勾股定理 勾股定理-----证明
你能通过下图证明勾股定理吗？
大正方形的面积可以表示为：
c a b
(1).c 2
1 (2). ab 4 (a b) 2 2
所以：c 2 2ab (a b) 2 化简得：
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动脑想一想，看谁反应快！！
1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°,
5 (1)已知a=3,b=4,则c=______;(2) 已知a=6,c=10,则 8 b=_____;
2 5 (3)已知a=2,b=4,则c=______.
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勾股定理---运用
7、如图，在△ABC中， 。 ∠ACB = 90 ，CD是高，若 AB=13cm，AC = 5cm，求CD的 长；
A
C
D
B
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新知理解----试一试
4.在 ABC中,C=90°, 6 8 (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___. 17 (2)若a=8,b=15,则c=______.
5. 若正方形的面积为3cm2，则它的对角线长 是 . 6
6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边 6,8,10 长分别为 .
R
A Q
S正方形 R
B
P
C
1 7 4 3 4 2
2
25
（图中每四个直角三角形的面积。
北京市西城区数学学习_探究_诊断(八年级下册)第十八章勾股定理全章测试.docx
第十八章勾股定理全章测试一、填空题1.若一个三角形的三边长分别为6, 8, 10,则这个三角形中最短边上的高为_________2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为_______ .3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的而积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为______ c m.3题图4.如图，B, C是河岸边两点，昇是对岸岸边一点，测得ZABC= 45° , ZJ6^=45°, BC=60米，则点A到岸边％的距离是______ 米.AB C4题图5.已知：如图，△初C中，Zr=90°，点0为△初C的三条角平分线的交点，ODLBC, 0ELAQ OF LAB,点、D, E,尸分别是垂足，只砂8cm, 6^=6cm,则点0到三边昇〃，AC和％的距离分别等于 _____ cm.5题图6.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直介边ABK,駁=8,将直也边畀〃折叠使它落在斜边化上，折痕为初，则妇 ________ .6题图7.厶ABC中,AB=AC=\Z,若/〃边上的高CD=5,则仇匕.8.如图，AB=5,化=3,兀边上的中线AD=2,则的血积为_________________10. 某市在旧城改造中，计划在帀内一•块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，Q 知这种草应每平方米售价臼元，则购买这种草皮至少需要().10题图(A)450日元(B)225& 元 (0150 日元(D)300w 元11. 如图，四边形血d 中，AB= BC, ZABC= ZCDA=90° , BEL AD 于点、E,且四边形血砂 的而积为8,则血=().(A)2 (C) 2迈12.如图，Rt △肋C 、屮，Zr=90° , CD LAB 于点 D,肋=13, CD=£,则 AC+BC 等于( ).⑻ 5V13(D) 9厉三、解答题二、选择题9. 下列三角形中,是直角三角形的是((A) 三角形的三边满足关系a+ b=c)(B) 三角形的三边比为1 ： 2 ：3(D) 2V3(013V13A C8题图13.已知：如图，中，ZQ〃=120°,皿=4, /1C=2, ADLBC,〃是垂足，求初的长.14.如图，已知一块四边形草地ABCD,其中Z弭=45° , ZAZZ?=90° , ^=20m, CD= 10m,求这块草地的面积.15.中，AB=AC=^点户在肚边上运动，猜想AP+PB・％的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.16.已知：△/!%中，AZ?=15,应?=13,虑边上的高人D=\2,求BC・17.如图,长方体的底面边长分别为lcm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点昇开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？3cm18.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其小--种纸片的两条直角边长都为3,另一种纸片的两条直角边长分別为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.图1 图2 图3(1) 请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直 角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸 片全部用上，互不匣叠口不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、 图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸屮的小正方形顶点重合；画图 时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2) 三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值;若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的而积各是多少；(3) 三种方法所拼得的'卜行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值; 若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.19. 有一块直角三角形的绿地，最得两直角边长分别为6m, 8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为-肓介边的肓角三角形，求扩充麻等腰三角形绿地的周1111卜.j ■•卜■■”丿aiaa r T T 1 :■ 卜・十专・」 1 Fit sailb ■ ■ ■ •• ■■ ■ ■ ■ ■ 1 I 11 •11-•--4 •・■91 ♦ II■ "T"* + • ■ ■b11 1 -« —— 1 1L B■ 33■ •■ ・Tri•44• Bl• ■ ■・4・亠长.参考答案第十八章勾股定理全章测试1. 8.2. 73. 3. V10.4. 30.5. 2.6. 3.提示：设点〃落在化上的£点处，设BD=x,则DE= BD= x, AE= AB= 6, CE=4, CD=R—x,在R仏CDE中根据勾股定理列方程.7.岳或5極.8. 6.提示：延长畀〃到E,使DE= AD,连绪BE,可得△昇朋为RtA.9. D. 10. C 11. C. 12. BH __13.-V21. 提示：作CEIAB于厂可得CE = ^,BE = 5,由勾股定理得BC = 2“，由三角7形面积公式计算畀〃长.14.150m2.提示：延长况；AD交于E.15.提示：过力作/〃丄优•于〃A哄PB・/乞=加+旳+ (BH— P小(防+/%=加+旳+胡一旳=Aff+BH=AR=\6.16.14 或4.17.10；2j9 + C.18.⑴略；(2)定值，12； (3)不是定值，8 + 6V2, 8 + 2VlO, 6^2 + 2V10.19.在Rt△昇力中，Z//6^=90° , AC=S f况=6由勾股定理得：加=10,扩充部分为Rt△应"扩充成等腰应分以下三种情况.①如图1,当AB=AD=\^时，可求CD=CB=^得△血矽的周长为32m.②如图2,当AB=BD=\0时，可求〃=4图2山勾股定理得：AD = 4y[5 f得△血炒的周长为(20 + 4V5)m..③如图3,当〃〃为底时，设AD=BD=x,则CD=x_d由勾股定理得:。
八下第十八章勾股定理
八下第十八章勾股定理1．如图，P为△ABC边BC上一点，且PC=2PB，已知∠ABC=450，∠APC=600，求∠ACB 的度数。
2．．如图△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。
3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD的长。
4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长度。
5．如图，在凸四边形ABCD中，∠B =∠D =900，∠C=1200，AB=3，BC=3，求AD的长。
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，求AP2+P B·PC 的值。
7．如图，点P是凸四边形ABCD内一点，过P点分别作AB、BC、CD、AD的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。
求四边形ABCD的周长。
8．如图，在Rt△ABC中，∠A=900，D为斜边BC中点，D E⊥DF，求证：EF2=BE2+CF29．已知Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，∠ECF=450，求证：EF2=BE2+AE210．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=CD。
求证：BD2=AB2+BC22 ，求11．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为6此正方形的边长。
12．如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积是多少？。
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第十八章勾股定理测试1 勾股定理(1)学习要求：掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．(一)课堂学习检测一、填空题：1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么________＝c2；这一定理在我国被称为________．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝30°，a＝1，则c＝________，b＝________；④若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为________．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为________，斜边上的高为________．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为________．二、选择题：6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题：9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．(二)综合运用诊断10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_________．12．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．(三)拓广、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图①图②图③测试2 勾股定理(2)学习要求：掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．(一)课堂学习检测一、填空题：1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为__________．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距________km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________米路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞________米．二、选择题：5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．(A)5m (B)7m(C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．(A)212(B)310(C)56 (D)58三、解答题：7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A 和B 的距离．8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少m ．(二)综合运用诊断一、填空题：9．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为________米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为________(π取3)二、解答题：11．如图所示，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 到墙底端O的距离为2m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m ，那么梯足在地面上滑出的距离BB ’的长度是多少？(精确到0.1m)12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，每平方米地毯30元，那么这块地毯需花多少元？(三)拓广、探究、思考13．如图，两个村子A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．测试3 勾股定理(3)学习要求：熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．(一)课堂学习检测一、填空题：1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则 AB ＝________，AB 边上的高CE ＝________．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝________，AC 边上的高BE＝________．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝________，AB 边上的高CD ＝________．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为________． 5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝________，AB ＝________，BC 边上的高AE ＝________．二、选择题：6．已知直角三角形的周长为,62+斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41 (B)43 (C)21 (D)1三、解答题：7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，,102=BE 求AB 的长．及13的点．8．在数轴上画出表示10(二)综合运用诊断9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．11．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．12．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．(三)拓广、探究、思考13．已知：如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：DE2＝AD2＋BE2．14．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝________，S n＝__________．测试4 勾股定理的逆定理学习要求：掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．(一)课堂学习检测一、填空题：1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为_________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为_________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为_________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝_________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为________．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为________，此三角形为二、选择题：9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a(C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )． (A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)是直角三角形 (D)形状无法确定(二)综合运用诊断12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且,41CB CE =求证：AF ⊥FE ．15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等．(2)若a＞b，则a2＞b．(3)若a2＝b2，则a＝b．(4)如果△ABC≌△A'B'C'，那么BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'．(5)全等三角形的三组对应角相等．(三)拓广、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．全章测试一、填空题：1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为________．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为________．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为________cm．4．如图，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．5．已知直角三角形的三边长分别为a ＋1、a ＋2、a ＋3，则a ＝________．6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝________．7．△ABC 中，AB ＝AC ＝13，若AB 边上的高CD ＝5，则BC ＝________．8．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为________．二、选择题：9．下列三角形中，是直角三角形的是( )．(A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，4110．直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高长为h ，则下列各式中总能成立的是( )． (A)ab ＝h 2 (B)a 2＋b 2＝2h 2(C)hb a 111=+ (D)222111h b a =+ 11．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )(A)5 (B)135 (C)1313(D)59三、解答题：12．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．13．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．14．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2－AC2＝BC(BD－DC)．15．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．16．如图所示，有一个长方体，其长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，在点A处有一只蚂蚁，它想拖走B处的食物，回到A处，那么它需要爬行的最短路程应为多少？17．图①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一组能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．图①图②18．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个？(全等的三角形只算一个)。