精品-高三数学专题复习教案--函数

高三数学专题复习――函数

一、本章知识结构：

二、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系.

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。

三、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图像

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

函数的图像是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。

1．掌握描绘函数图像的两种基本方法——描点法和图像变换法．

2．会利用函数图像，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．

3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．

4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

例1、设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( )

A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}

【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A）。

［点评］本题主要考查对数函数图像的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。

例2、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）

A B C D

【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。

［点评］函数图像是近年高考的热点的试题，考查函数图像的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。

例3、设 ()11x

f x x

+=

-，又记 ()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2008f x = （ ）

A ．

11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1

x

-； 【解析】:本题考查周期函数的运算。()()1121111

,11f x f x f x x f x

++=

==---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-=

===-+-，据此，()()414211

,1n n x f x f x x x

+++==--，()()4341

,1

n n x f x f x x x +-=

=+，因2008为4n 型，故选C . ［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。

例4、函数3

()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为（ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2

【解析】：3

()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=

故()11f a --=-即()0f a -=.

［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。

例5、已知集合{}a x y y x P +≥=),(，集合{}

b x y y x Q +-≤=),(，若Φ≠⋂Q P ，求实数a 和b 之间的大小关系。 【解析】：利用数形结合，分别讨论当a ＞0，a ＜0和a=0三种情况下，a 与b 之间的关系。

（1） 当a ＞0时，b ≥a ＞0； （2） 当a=0时，b ≥a=0； （3） 当a ＜0时，b ≥-a ＞0。

综上所述，a b ≥。

［点评］在作含有绝对值的函数图像时，可利用奇偶性、对称性等。此外，在解集合的

题目时，一定要看清楚集合中的元素到底表示什么含义，比如此题中集合的元素是点。

考点二：二次函数

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等

函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.

学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.

例6、设二次函数()()f x a x b x c a =++>2

0，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足

a

x x 1

021<

<<。当()x x ∈01

,时，证明：1)(x x f x <<。 【解析】：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数

()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.

证明：由题意可知

))(()(21x x x x a x x f --=-.

当()

x x ∈01,，且a

x x 1

021<

<<时， 0))((21>--x x x x a ，

∴ 当()

x x ∈01,时，x x f >)(。

又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， 当a

x x x 1

021<<<<时，,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <。

综上可知，所给问题获证.

［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。 例7、设二次函数2

()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围；（第1问 采用解法1中的方法较好） （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

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的大小．并说明理由．（第2问 采用解法3中的方法较好） 【解析】法1：（Ⅰ）令2

()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，