2013年嘉兴市二模考试数学卷 理科试题及答案
2013年浙江高考数学模拟卷理2
秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷(文科)
2013年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，x∈A，且x∉B，则x=()A.1B.2C.3D.9【答案】B【解析】试题分析：先由x∈A，确定出x的取值范围，再由x∉B，去掉不满足条件的x，从而得到x的值．∵x∈A，∴x的可能取值是1，2，3．∵x∉B，∴x的值不能取1，3，9，∴x=2．故选B．2.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．∵复数===，∴复数对应的点的坐标是(，)∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3.若，则()A.0＜x＜1B.x＜C.0＜x＜D.＜x＜1【答案】C【解析】试题分析：由不等式，可得，解此不等式组求得原不等式的解集．由不等式，可得，解得0＜x＜，故选C．4.对于指数函数f(x)=a x，“a＞1“是“f(x)在R上的单调”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据指数函数f(x)=a x的性质，当a＞1时y=f(x)为R上的单调增函数，当0＜a＜1时，y=f(x)为R上的单调减函数；可判定它们的关系．根据指数函数f(x)=a x的性质，当a＞1时y=f(x)为R上的单调增函数，当0＜a＜1时，y=f(x)为R上的单调减函数；则“a＞1“能得出“f(x)在R上的单调”，而在R上f(x)在R上的单调，不能推出a＞1，故“a＞1“是“f(x)在R上的单调”的充分而不必要条件．故选A．5.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如下图所示，从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，可有种选法；其中构成的四边形是梯形的只有6．根据古典概型的概率计算公式即可得出．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，可有种选法；其中构成的四边形是梯形的只有6：ADEF，ADCB，BEFA，BEDC，ADCB，ADEF．由古典概型的概率计算公式可得：P==．故选B．6.已知直线l，m与平面α，β，γ，满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有()A.α⊥γ，m∥βB.α∥β，α⊥γC.m∥β且l⊥mD.α⊥γ，l⊥m【答案】D【解析】试题分析：利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理判断即可．设底面ABCD为平面γ，平面CDEF为平面α，平面ABFE为平面β，∵m⊥γ，m⊂α，∴α⊥γ．(面面垂直的判定定理)设α∩γ=b，∵l∥α，l⊂β，α∩γ=b，∴l∥b，(线面平行的性质定理)又∵m⊥γ，b⊂γ，∴m⊥b，(线面垂直的性质)又∵l∥b，∴l⊥m．故选D．7.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为1的球，所以圆锥的高为：，所以组合体的体积为：=．故选A．8.函数y=sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为()A. B. C. D.π【答案】A【解析】试题分析：可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得AB=2CD=4，还可得AB=，解方程可得ω的值．由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和-1，可得CD=1-(-1)=2故AB 的长度为2CD=4，又AB为函数的一个周期的长度，故可得2=，解之可得ω=故选A9.设F是双曲线的左焦点，C是其右顶点，过F作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是() A.(1，2) B.(1+，+∞) C.(1，1+) D.(2，+∞)【答案】D【解析】试题分析：利用双曲线的对称性及钝角△ABC，可得∠ACF1＞45°，从而得到|AF1|＞|CF1|，由此建立关于a、b、c的不等式，转化成关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得出双曲线离心率的范围．根据双曲线的对称性，可得|AC|=|BC|，∴△ABC是等腰三角形，若△ABC是钝角三角形，则∠ACB是钝角．∵∠ACF1=∠ACB，可得R t△ACF1中，∠ACF1＞45°．∴|AF1|＞|CF1|，可得，即，整理得c2-ac-2a2＞0两边都除以a2，可得e2-e-2＞0，解之得e＜-1或e＞2．∵双曲线的离心率e∈(1，+∞)，∴e＞2．故选：D．10.已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为()A. B.4 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由条件利用基本不等式可得ab∈(0，]，再由=1-4ab+，且1-4ab+在(0，]上是减函数，求得它的最小值．∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤，即ab∈(0，]．再由(a+2b)2=a2+4b2+4ab=1，故=1-4ab+．把ab当做自变量，则1-4ab+在(0，]上是减函数，故当ab=时，1-4ab+取得最小值为1-+8=，故选D．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，则a5= ．【答案】81【解析】试题分析：由已知可得数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．由数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，可知数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴=81．故答案为81．12.一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为2001，2004，2009，x，2015，2016，2019，2020，中位数为2014，则x= ．【答案】2013【解析】试题分析：这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数2014=，∴x=2013故答案为：2013．13.已知两非零向量满足，，则向量夹角的最大值是．【答案】【解析】试题分析：设向量夹角为θ，由余弦定理求得cosθ=，再利用基本不等式求得cosθ取得最小值，即可求得θ的最大值．∵两非零向量满足，，设向量夹角为θ，由于非零向量以及构成一个三角形，设||=x，则由余弦定理可得1=4+x2-4x•cosθ，解得cosθ==≥，当且仅当x=时，cosθ取得最小值为，角θ取得最大值为，故答案为．14.若某程序框图如图所示，则运行结果为．【答案】5【解析】试题分析：算法在给出循环变量i和累加变量S分别赋值1和0的基础上，首先执行了依次运算，然后逐次判断执行，直到不再满足判断框中的条件结束算法，输出i的值．框图首先给循环变量i和累加变量S分别赋值1和0，然后执行S=0+；判断1＜，执行i=1+1=2，S=1+；判断，执行i=2+1=3，S=；判断，执行i=3+1=4，S=；判断，执行i=4+1=5，S=；判断，不满足判断框中的条件，输出i=5，算法结束．故答案为5．15.在△ABC中，sin A+cos A=，AC=4，AB=5，则△ABC的面积是．【答案】【解析】试题分析：已知第一个等式左边变形后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sin A的值，再由AC与AB的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．∵sin A+cos A=sin(A+)=，∴sin(A+)=，∴A+=(舍去)，或A+=，即A=，∴sin A=sin=sin(+)=cos=，则△ABC的面积为AC•AB sin A=．故答案为：16.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是．【答案】4【解析】试题分析：先画出不等式组表示的平面区域，再由三角形面积公式求之即可．作出不等式组表示的平面区域，如图所示的△ABC其中可得A(2，3)，B(0，2)，C(2，0)∴S△ABC=AC•d=×4×2=4故答案为：4．17.已知点A(-3，0)和圆O：x2+y2=9，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P(异于A，B)是圆O上的动点，PD⊥AB于D，，直线PA与BE交于C，则当λ= 时，|CM|+|CN|为定值．【答案】【解析】试题分析：设点P(x0，y0)，则点E(x0，)，用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．再根据a2-b2=c2可得λ的值．由题意可得B(3，0)，M(-1，0)、N(1，0)，设点P(x0，y0)，则点E(x0，)．故PA的方程为y=•(x+3)…①，BE的方程为y=(x-3)…②．由①②联立方程组可得y2=(x2-9)．把=9-代入化简可得+=1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a=6．此时，a=3，c=1，b=，由a2-b2=c2可得9-=1，求得λ=，故答案为．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)求的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式得：=，化简得a2+b2-ab=c2，即a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵C为三角形的内角，∴C=；(Ⅱ)==[sin A+sin(-A)]=2sin(A+)，∵A∈(0，)，∴A+∈(，)，∴sin(A+)∈(，1]，则的取值范围是(1，2]．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos C，将得出的关系式变形后代入求出cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；(Ⅱ)所求式子利用正弦定理变形，将sin C的值代入，整理为一个角的正弦函数，由A 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域求出范围即可．19.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n+2．(Ⅰ)记b n=a n+1，求证：数列{b n}为等比数列；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：(Ⅰ)由a n+1=3a n+2，可知a n+1+1=3(a n+1)．∵b n=a n+1，∴b n+1=3b n，又b1=a1+1=3，∴数列{b n}是以3为首项，以3为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，得，∴．∴S n=(1×31+2×32+…+n•3n)-(1+2+…+n)其中1+2+…+n==，记+(n-1)×3n-1+n×3n①∴3T n=32+2×33+…+(n-1)×3n+n×3n+1②两式相减得-2T n=3+32+…+3n-n×3n+1=，∴．∴．【解析】(I)由a n+1=3a n+2，可知a n+1+1=3(a n+1)．可得数列{b n}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列．(II)由(I)可得：得，于是．从而S n=(1×31+2×32+…+n•3n)-(1+2+…+n)，对于前一个括号用“错位相减法”即可求出，后一个括号利用等差数列的前n项和公式即可得出．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF 将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．(Ⅰ)求证：B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)若AP=2PB，求二面角A′-PC-E的平面角的正切值．【答案】解：(Ⅰ)因为EP∥FC，FC⊄平面A′PE，所以FC∥平面A′PE．因为平面A′PE⊥平面PEC，且A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC．同理，B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE．所以平面B′FC∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)因为AC=BC=3a，AP=2PB，所以CE=a，EA′=2a，PE=2a，PC=a．过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．由(Ⅰ)知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC．所以∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，可记为θ．在R t△PCE中，求得EM=，所以tanθ===．【解析】(Ⅰ)通过证明B′C所在的平面B′FC与平面A′PE平行，即可证明B′C∥平面A′PE．(Ⅱ)利用AP=2PB，过E作EM⊥PC，垂足为M，连结A′M．说明∠A′ME即为所求二面角A′-PC-E的平面角，记为θ，然后求二面角A′-PC-E的平面角的正切值的大小．21.已知函数．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在(1，2)上有极值，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，若a=1，则f(x)=-2x-3lnx．f′(x)=x-2-==．当x∈(0，3)时，f′(x)＜0；当x∈(3，+∞)时，f′(x)＞0．所以函数有极小值f(3)=--3ln3，无极大值．(II)f′(x)=ax-2+=(x＞0)．记h(x)=ax2-2x+a-4．若f(x)在(1，2)上有极值，则h(x)=0有两个不等根且在(1，2)上有根．由ax2-2x+a-4=0得a(x2+1)=2(x+2)，所以a==．令x+2=t，则t=x+2∈(3，4)，y=t+-4在(3，4)上递增，所以t+-4∈(，)，，故a∈(，3)，经检验当a∈∈(，3)时，方程h(x)=0无重根．故函数f(x)在(1，2)上有极值时a的取值范围为(，3)．【解析】(Ⅰ)求出函数定义域，a=1时求出f′(x)，在定义域内解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0，由导数符号即得函数f(x)的极值；(Ⅱ)求导数f′(x)=(x＞0)，令h(x)=ax2-2x+a-4，则f(x)在(1，2)上有极值，等价于h(x)=ax2-2x+a-4=0有两个不等根且在(1，2)上有根．分离出参数a后，转化为求函数值域解决；22.如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：上．(Ⅰ)求抛物线C1的方程及其准线方程；(Ⅱ)过抛物C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN 的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)C1的焦点为F(0，)，所以=0+1，p=2．故C1的方程为x2=4y，其准线方程为y=-1．(Ⅱ)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y-t2=k(x-2t)．由，得x2-2kx+4tk-2t2+2=0．由△=(2k)2-4(4tk-2t2+2)=0，化简得k2-4tk+2t2-2=0，记PM，PN的斜率分别为k1，k2，则m=k1k2=2t2-2，因为m∈[2，4]，所以t2∈[2，3]，所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12，21]，所以|OP|∈[，]．【解析】(Ⅰ)写出C1的焦点为F(0，)，代入抛物线C2方程即可求得p值，从而可得抛物线C1的方程及其准线方程；(Ⅱ)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y-t2=k(x-2t)．联立切线方程与抛物线C2的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k1，k2，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t2范围，由两点距离公式可得|OP|的范围；。
浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学(理)试题及答案
嘉兴市2013年3月高三教学测试（一）理科数学试题卷注意事项：1. 本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满 分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. OB. -14. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n 是空间中两条不 同直线，则下列命题中错误的是A. 若m//n m 丄α, 则n 丄αB. 若m//α α ⋂β, 则m//nC. 若m 丄α , m 丄β， 则α//βD. 若m 丄α, m ⊂ β 则 α 丄β5. 已知函数⎩⎨⎧>≤0),(0),(21x x f x x f 下列命题正确的是A. 若)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数，则)(x f 存在最大值B. 若)(x f 存在最大值，则)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数C. 若)(1x f ,)(2x f 均为减函数，则)(x f 是减函数D. 若)(x f 是减函数，则)(1x f ,)(2x f 均为减函数A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知双曲线c: )0(12222>>=-b a by a x ,以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O),若|MN|=a 32,则双曲线C 的离心率 是x sin 1xsin 1<9. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1)组成的 正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是A. 13B. 14C. 15D. 1710. 已知函数f(x)=x 2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x 丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若≠⋂BA 且存在x 0∈B，x 0∈A则实数b 的取值范围是A 0≠bB b<0或4≥bC 40<≤bD 44≥≤b b 或非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.14. 设(x-2)6=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 6(x+1)6,则a 0+a 1+a 2+…+a 6 的值为15. 一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放 回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数X 的均值E(X) =__16. 若b a ,是两个非零向量，且]1,33[|,|||||∈+==λλ，则b 与b a -的夹角的17. 己知抛物线y 2=4x 的焦点为F,若点A, B 是该抛物线上的点，=∠AFB的中点M 三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟• 18. (本题满分14分）在ΔABC 中，a,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边，且a=(I )求角B 的大小(II)若3=∆ABC S ，求b 的最小值.19. (本题满分14分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3 =5, a1 , a2.a5成等比数列(I)求数列{a n}的通项公式：(II)若数列{b n}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1b n=a n且数列{b n}的前n项和T n20. (本题满分15分）BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有E C=F D=2.(I)求证：AD丄B F :(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C的余弦值.21 (本题满分15分）已知椭圆C: 1222=+y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2, O 为原点.(I)如图①，点M 为椭圆C 上的一点，N 是MF 1的中点，且NF 2丄MF 1,求点M 到y 轴的距离；(II)如图②，直线l: ：y=k + m 与椭圆C 上相交于P,G 两点，若在椭圆C 上存 在点R,使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围.22. (本题满分14分） 已知函数x a x a x x f ln )12()22(21)(2+++-=(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的]2,1[,],25,23[21∈∈x x a ，恒有|211|)(|)(|121x x x f x f -≤-λ，求正实数λ的取值范围.三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分） 18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：C B C A cos sin sin 21sin +=，…2分 又因为)(C B A +-=π，所以)sin(sin C B A +=，…4分可得C B C C B C B cos sin sin 21sin cos cos sin +=+，…6分即21cos =B .所以3π=B …7分 （Ⅱ） 因为 3=∆ABC S ，所以 33sin 21=πac ，所以4=ac …10分 由余弦定理可知：ac ac ac ac c a b =-≥-+=2222…12分所以42≥b ，即2≥b ，所以b 的最小值为2．…14分19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，由题⎪⎩⎪⎨⎧==532251a a a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+52)()4(12111d a d a d a a ，…3分解得：⎩⎨⎧==211d a . …4分 122)1(1)1(1-=-+=-+=∴n n d n a a n .…5分（Ⅱ）n n n a b b b b =++++-1321242 ①20．解：（Ⅰ）证明：∵DC BC ⊥，且2==CD BC ，∴2=BD 且45=∠=∠BDC CBD ； …1分又由DC AB //，可知45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ，∴ADB ∆是等腰三角形，且45=∠=∠DBA DAB ， ∴90=∠ADB ，即DB AD ⊥；…3分∵⊥FD 底面ABCD 于D ，⊂AD 平面ABCD ，∴DF AD ⊥， …4分∴⊥AD 平面DBF.又∵⊂BF 平面DBF ，∴可得BF AD ⊥. …6分 （Ⅱ）解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系. 可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ， …8分 又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ )1,22,22(N设),0,0(0z M ，∴)1,22,22(0z -=.又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ，∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点. …11分 设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =， 且)2,2,2(--=，)1,2,0(-=BM ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BM n BF 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x ， 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n .…13分又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n ， …14分 ∴63,cos 21=<n n .故所求二面角B-MF-C 的余弦值为63.…15分 21．解（Ⅰ）)0,1(1-F ，…1分 设),(00y x M ，则1MF 的中点为)2,21(0y x N -， …2分∵21NF MF ⊥，∴021=⋅NF MF ，即0)2,23(),1(0000=-⋅+y x y x ， …3分∴03220020=+--y x x （1） …4分 又有122020=+y x， （2）由（1）、（2）解得2220-=x （2220+=x 舍去） …5分 所以点M 到y 轴的距离为222-.…6分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OPRQ 为平行四边形，∴R x x x =+21，R y y y =+21． …8分 ∵R 点在椭圆上，∴1)(2)(221221=+++y y x x ，即1]2)([2)(221221=++++m x x k x x ，…9分化简得，28)(8))(21(2212212=+++++m x x km x x k ．…（1） …10分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222得0224)21(222=-+++m km x x k ． 由0>∆，得2212m k >+…（2）， …11分 且221214k km x x +-=+．…12分代入（1）式，得282132)21()21(16222222222=++-++m k m k k m k k ，化简得22214k m +=，代入（2）式，得0≠m ． …14分 又121422≥+=k m ， ∴21-≤m 或21≥m ．…15分22．解：（Ⅰ）x a a x x f 12)22()(+++-='=x x a x )1)(12(--- （0>x ）令0)(='x f ，1,1221=+=x a x…1分① 0=a 时，0)1()(2≥-='x x x f ，所以)(x f 增区间是()+∞,0；② 0>a 时，112>+a ，所以)(x f 增区间是)1,0(与),12(+∞+a ，减区间是)12,1(+a ③021<<-a 时，1120<+<a ，所以)(x f 增区间是)12,0(+a 与),1(+∞，减区间是)1,12(+a ④ 21-≤a 时，012≤+a ，所以)(x f 增区间是),1(+∞，减区间是)1,0( …5分 （Ⅰ）因为]25,23[∈a ，所以]6,4[)12(∈+a ，由（1）知)(x f 在]2,1[上为减函数. …6分若21x x =，则原不等式恒成立，∴),0(∞+∈λ…7分 若21x x ≠，不妨设2121≤<≤x x ，则)()(21x f x f >，2111x x >， 所以原不等式即为：)11()()(2121x x x f x f -≤-λ，即22111)(1)(x x f x x f λλ-≤-对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 恒成立 令x x f x g λ-=)()(，所以对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 有)()(21x g x g <恒成立，所以x x f x g λ-=)()(在闭区间]2,1[上为增函数 …9分所以0)(≥'x g 对任意的]25,23[∈a ，]2,1[∈x 恒成立。
数学_2013年浙江省绍兴市高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2013年浙江省绍兴市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分在在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A ={y|y =√x −1, x ∈R}，集合B ={y|1≤y <4}，则A ∩(∁R B)( )A (0, 1)∪[4, +∞)B [4, +∞)C (4, +∞)D ⌀2. 已知a >0且a ≠1，则log a b >0是(a −1)(b −1)>0的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而充分要条件C 必要条件D 既不充分也不必要条件3. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A 33πcm 2B 42πcm 2C 48πcm 2D 52πcm 24. 函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到y =sinωx 的图象，只需把y =f(x)的图象上所有点( )A 向右平移π6个单位长度B 向右平移π12个单位长度C 向左平移π6个单位长度 D 向左平移π12个单位长度5. 已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，为l 过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A l ⊥m 且l // mB l // m 且l ⊥αC l ⊥m 且l ⊥αD l // m 且l // α6. 设函数f(x)=xsinx,x ∈[−π2，π2]，若f(x 1)>f(x 2)，则下列不等式一定成立的是（ ）A x 1+x 2>0B x 12>x 22C x 1>x 2D x 12<x 227. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（ ）A 18125 B 36125 C 44125 D 811258. 设函数f(x)={2,x >m x 2+4x +2，x ≤m，若函数y =f(x)−x 恰有三个零点，则实数m 的取值范围的（ ）A [−1, 2)B [1, 2]C [2, +∞)D (−∞, −1]9. 设F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点，A(a, b)，P 是双曲线右支上的动点．若|PF|+|PA|的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为（ ）A √10−1B 1+√10C 1+√32D 1+√10210. 将7个红球，6个白球（小球只有颜色的区别）放入5个不同盒子，要求每个盒子中至少红球、白球各一个，则不同的放法共有（ ）A 20种B 25种C 45种D 75种二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11. 已知复数z ＝m 2(1+i)−m(3+6i)为纯虚数，则实数m ＝________．12. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．13. 若变量x ，y 满足约束条件{y ≤0x −2y ≥1x −4y ≤3，则z =3x +5y 的取值范围是________．14. 若(3√x √x)n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 15. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率均为23，现有5件产品，其中2件一等品．3件二等品．记该5件产品通过检测的产品个数为ξ，则随机变量的数学期望Eξ=________．16. 在△ABC 中，已知AB =3，AC =2，P 是BC 中垂线上任意一点，则PA →⋅BC →=________．17. 已知函数f(x)=x 2+4x+k 2x ，x ∈[1, 3]，若对定义域内任意实数x 1，x 2，x 3，不等式f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（共5小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a =2sinA 且cosB cosC =−b2a+c（1）求角B 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值．19. 已知数列{a n}的前项和为S n，满足a n+S n=2n（1）求证：数列{a n−2}是等比数列（2）若不等式2λ−λ2>(2n−3)(2−a n)对任意的正整数恒成立，求实数λ的取值范围．20. 如图，在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD，AD⊥AB，将△ADC沿AC这起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC．（1）求证：BC⊥AD；（2）点M是线段DB上的一点，当二面角M−AC−D的大小为时π3时，求DMNB的值．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，的离心率e=√55，以两个焦点F1，F2和短轴的两个端点B1，B2为顶点的四边形F1B1F2B2的面积为4．(I)求椭圆C的方程；(II)设过点P(4, 0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的中点落在F1B1F2B2四边形内（含边界），求直线l斜率的取值范围．22. 已知函数f(x)=2x2+3(a2+a)lnx−8ax（I）若x=3是f(x)的一个极值点求a的值；（II）若函数f(x)在其导函数f(x)′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．2013年浙江省绍兴市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. A3. C4. A5. A6. B7. B8. A9. C10. D11. 312. 1013. [−8, 9]14. −54015. 416. 52 17. (0, 3√3]18. 解：（1）由正弦定理，得cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，即2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0又A +B +C =π，所以sin(B +C)=sinA ，故2sinAcosB +sinA =0，因为sinA ≠0，故cosB =−12， 又因为B 为三角形的内角，所以B =2π3．（2）因为a sinA =b sinB =√3=2，所以b =√3，而b 2=a 2+c 2+ac ≥3ac ．故有ac ≤1，所以S =12acsinB ≤√34． 19. （1）证明：由a n +S n =2n ，得a 1+S 1=2a 1=2，即a 1=1．由a n +S n =2n ，可得a n+1+S n+1=2(n +1)，两式相减得2a n+1−a n =2．∴ a n+1−2=12(a n −2)． ∴ 数列{a n −2}是首项为a 1−2=−1，公比为12的等比数列； （2）解：由{a n −2}是首项为−1，公比为12的等比数列，得 a n −2=−(12)n−1，则a n =2−(12)n−1．设b n =(2n −3)(2−a n )，代入a n 得b n =(2n −3)⋅(12)n−1． b n+1−b n =5−2n2⋅(12)n−1， 当n ≤2时，b n+1≥b n ；当n ≥3时，b n+1<b n ．∴ 2λ−λ2>(2n −3)(2−a n )恒成立等价于2λ−λ2>b 3=34．解得12<λ<32．∴ 实数λ的取值范围是(12，32)．20. （1）证明：∵ 平面ACD ⊥平面ABC =AC∴ 在直角梯形ABCD 中，AB =2CD =2AD ，AD ⊥AB求得：BC ⊥AC∴ BC ⊥平面ACDAD ⊂平面ACD∴ BC ⊥AD（2）分别取AC 、AB 的中点O 、E ，分别以OA 、OE 、OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD =√2则：A(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，D(0, O, 1)，B(−1, 2, 0)设DM →=λDB →，M(x, y, z)则：x =−λ，y =2λ，z =1−λ所以：AC →=(−2, 0, 0)，AM →=(−λ−1, 2λ, 1−λ)设平面AMC 的法向量n 1→=(x,y,z)则有：{n 1→⋅AM →=0˙ 得到：{−2x =0−(λ+1)x +2λy +(1−λ)z =0令z =2λ则：x =0，y =λ−1又平面ADC 的法向量n 2→=(0,1,0)由题意可知：当二面角M −AC −D 的大小为π3时， cos π3=|n 1→|⋅|n 2→|˙=12解得：√(λ−1)2+(2λ)2=12 λ=2√3−3即DM →=(2√3−3)DB →所以：DM MB =√32 21. 解：(1)由题意得{c a =√552bc =4a 2=b 2+c 2，解得a =√5，b =2，c =1，∴ 椭圆方程为：x 25+y 24=1．(2)设直线l 的方程为y =k(x −4)，由{x 25+y 24=1y =k(x −4)，得(5k 2+4)x 2−40k 2x +80k 2−20=0， ∵ 直线l 与椭圆交于A ，B 两点，∴ △=1600k 4−4(5k 2+4)(80k 2−20)>0， 解得−2√1111<k <2√1111，① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 中点M(x 0, y 0)，则x 1+x 2=40k 25k 2+4，∴ x 0=20k 25k 2+4≥0，∴ 点M 在y 轴右侧，直线B 2F 2方程为y =−2x +2，直线B 1F 2的方程为y =2x −2， 要使点M 在四边形内部，（包含边界），则{y 0≤−2x 0+2y 0≥2x 0−2， ∴ {−165k2+4≤−2⋅20k 25k 2+4+2−16k 5k 2+4≥2⋅20k 25k 2+4−2， 化简，得{15k 2−8k −4≤015k 2+8k −4≤0， 解得4−2√1915≤k ≤−4+2√1915，② 由①②，得：4−2√1915≤k ≤−4+2√1915． 22. 解：(I)f′(x)=4x +3(a 2+a)x −8a =4x 2−8ax+3(a 2+a)x =4(x−a)2−a 2+3a x ，∵ x =3是f(x)的一个极值，∴ f′(3)=4(3−a)2−a 2+3a =0，解得，a =4或a =3；而当a =3时，f′(x)≥0，故不成立，当a =4时，满足条件，故a =4．(II)f′(x)=4x +3(a 2+a)x −8a =4x 2−8ax +3(a 2+a)x设g(x)=4x 2−8ax +3(a 2+a)，△=16(a 2−3a)， 设g(x)=0的两根为x 1，x 2，(x 1<x 2)，（1）当△≤0，即0≤a ≤3时，∴ f(x)单调递增，满足题意；（2）当△>0，即a<0或a>3时，①若x1<0<x2，则34(a2+a)<0，即−1<a<0，此时，f(x)在(0, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，而f′(x)在(0, +∞)上单调递增，故不满足题意，②若x1<x2≤0，则{2a<034(a2+a)≥0，解得a≤−1，此时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，满足题意；③若0<x1<x2，则{2a>034(a2+a)>0，则a>0，此时，f(x)在(0, x1)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，不满足题意；综上所述，a的取值范围为(−∞, −1]∪[0, 3]．。
浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考理数卷 word版含答案
2012学年浙江省五校联考数学（理科）试题卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|sin ,}A y y x x R ==∈，集合{|lg }B x y x ==，则()RC A B = ( )A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．[11]-， C ．(1,)+∞ D ．[1,)+∞2．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为( )A ．83B ．32C ．83-D ． 32-3．程序框图如图所示，其输出结果是111，则判断框中所填的条件是（ ）A ．5n ≥B ．6n ≥C ．7n ≥D ．8n ≥ 4．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为nS ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*n N ∈都有n kS S ≤成立，则k 的值为（ ）A ．22B ．21C ．20D ．196．设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ）A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减C ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递增D ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递减7．已知圆O 的半径为2，A B 、是圆上两点且AOB ∠=23π，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<<，则CM CN ⋅的最小值为（ ）A ．－2B ．－1C ．－3D ．－48．已知实数x y 、满足01240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 ( )A ．32-B ．－2C ．2D ．129．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x 、1个y 、1个z 组成；2个x 不能连续出现，且y 在z 的前面；数字在0、1、2、…、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（ ）A ．12600B ．6300C ．5040D ．252010．如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2πB ．4πC ．23πD ．3π二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知3[,],sin 2παπα∈=，则sin 2α＝_______．12．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．13．4(1)(2x x +的展开式中2x 项的系数为_______．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．15．已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=，且22(2)4k x y x y +≤+恒成立，则k 的最大值是________．16．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[0,1)，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．当1132a <≤时，对任意的自然数n 都有n a a =，则实数a 的值为 ．17．设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为______________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知向量m =(2sin ,1)x ，n =23,2cos )x x ，函数()f x =m ⋅n t -． (Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π∈上有解，求t 的取值范围； (Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，当（Ⅰ）中的t 取最大值且()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值．19．（本题满分14分）一个口袋中装有2个白球和n 个红球（2n ≥且n N *∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(Ⅰ) 摸球一次，若中奖概率为13，求n 的值；(Ⅱ) 若3n =，摸球三次，记中奖的次数为ξ，试写出ξ的分布列并求其期望． 20．（本题满分14分）已知直角梯形ABCD 中，,,AD DC AD AB CDE ⊥⊥∆是边长为2的等边三角形，5AB =．沿CE 将BCE ∆折起，使B 至'B 处，且'B C DE ⊥；然后再将ADE ∆沿DE 折起，使A 至'A 处，且面'A DE ⊥面CDE ，'B CE ∆和'A DE ∆在面CDE 的同侧．(Ⅰ) 求证：'B C ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 求平面''B A D 与平面CDE 所构成的锐二面角的余弦值．21．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点(0,1)A-．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N两点（,M N点与A点不重合），求AM AN⋅的值；当AMN∆为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．22．（本题满分15分）已知函数2(1)(),(0,1]2axf x xx-=∈-，它的一个极值点是12x=．(Ⅰ) 求a的值及()f x的值域；(Ⅱ)设函数()44xg x e x x a=+--，试求函数()()()F x g x f x=-的零点的个数．。
浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题(扫描版)
2013年高三教学测试（二）文科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．D ； 7．C ； 8．A ； 9．D ； 10．D ．第10题提示：因为812221≤⇒≥+=ab ab b a ，当且仅当212==b a 时取等号．又因为ab ab ab b a ab b a 141)2(21422+=+⋅≥++．令ab t =，所以t t t f 14)(+=在]81,0(单调递减，所以217)81()(min ==f t f ．此时212==b a ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．13；12．2013； 13．︒30； 14．5； 15．26525+； 16．4； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求c b a +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+c a b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分（Ⅱ）C BA c ba sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，c ba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，21=a ，231+=+n n a a ．（Ⅰ）记1+=n n a b ，求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由231+=+n n a a ，可知)1(311+=++n n a a ．因为1+=n n a b ，所以n n b b 31=+， …4分 又3111=+=a b ， 所以数列{}n b 是以3为首项，以3为公比的等比数列． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,31n n a =+13-=n n a ，所以n n na n n -=3． 所以)21()3323(2n n S n n +++-⋅++⋅+= …9分 其中2212nn n +=++记n n n T 33232⋅++⋅+= ①13233)1(3233+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T ② 两式相减得1112323333332+++⋅---=⋅-+++=-n n n n n n n T …13分 4334121+⋅-=+n n n T所以4322341221-+-⋅-=+n n n S n n …14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '；（Ⅱ）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （Ⅱ）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．PAB FC 'B 'A E（第20题） M B F PA FC 'B 'A E （第20题）由（Ⅰ）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分 在R t △PCE 中，求得a EM 552=， 所以55522tan =='=aaEM E A θ．…15分21．（本题满分15分） 已知函数x a x x ax f ln )4(22)(2-+-=，0>a ．（Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,1(上有极值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）若1=a ，则x x x x f ln 3221)(2--=．x x x x x x x x x f )1)(3( 3232)('2+-=--=--=．…2分 当)3,0(∈x 时，0)('<x f ；当),3(+∞∈x 时，0)('>x f ． …4分 所以函数有极小值3ln 323)3(--=f ，无极大值．…6分 （II ）)0( 42 42)('2>-+-=-+-=x x a x ax x a ax x f ．记42)(2-+-=a x ax x h ．若)(x f 在)2,1(上有极值，则0)(=x h 有两个不等根且在)2,1(上有根． …8分 由0422=-+-a x ax 得)2(2)1(2+=+x x a ， 所以425)2(21)2(22-+++=++=x x x x a ．…10分 因为)4,3(2∈+x ，所以)3,58(∈a ．…14分 经检验当)3,58(∈a 时，方程0)(=x h 无重根．故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范围为)3,58(．…15分22．（本题满分14分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线1C 上的动点P 作抛物线2C 的两条切线PM 、PN ， 切点为M 、N ．若PM 、PN 的斜率乘积为m ，且]4,2[∈m ，求||OP 的取值范围．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分 所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）任取点),2(2t t P ，设过点P 的2C 的切线方程为)2(2t x k t y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-121)2(22x y t x k t y ，得0224222=+-+-t tk kx x ． 由()0)224(4222=+--=∆t tk k ，化简得022422=-+-t tk k ，…9分记PN PM ,斜率分别为21,k k ，则22221-==t k k m ， 因为]4,2[∈m ，所以]3,2[2∈t…12分（第22题）所以]21,12[4)2(422422∈-+=+=t t t OP ， 所以]21,32[∈OP ．…14分。
浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
‘2013年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．A ； 7．B ； 8．D ； 9．C ； 10．A ．第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．81； 12．5； 13．)121sin(+=x y ； 14．22； 15．3222c b a ++； 16．①③； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求c b a +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+， …4分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分 （Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ． …11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cb a +的取值范围是]2,1(． …14分 19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ， …4分 即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ．…7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． …14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PB AP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？B FPA F C 'B 'A E解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． …2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分 则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλa a A ， )1,0,1('++λλλa a B ，)0,1,1(++λλλa a P ． )1,1,0('++=λλλa a CA ，)1)1(,1,1(''+-+-+=λλλλλa a a B A ，)1,1,0('+-+=λλa a P B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ，…9分 平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ．…11分 由2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλλλn m ， …13分 化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． …15分21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的（第20题）距离为d ，求d 的最小值．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ，…2分 所以102+=p ，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分 （Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ， 则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-， 所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …8分MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-， 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…12分 于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=． 令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． 所以，d 的最小值为3．…15分 22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．（Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|x f y =的极值点； （Ⅱ）若不等式ex ea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围． （e 为自然对数的底数）解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x x f ，111)('--=e x x f ．当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分 又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ． …6分 （Ⅱ）不等式e x ea a e ax x f )21()(22-++-≤， 整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa e ax x ．…（*） 设a e xa e ax x x g ++-+=)21(ln )(22， 则e ae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ）x e e ex a ax 222)21(2++-=x e e ax ex 2)2)((--=．…8分 ①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增；当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减．从而0)()(max ==e g x g ．故，0)(≤x g 恒成立． …11分 ②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2ex e ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e aex e a >-； 再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-e ae x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ． 所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾．综上所述，0≤a ．…14分。
嘉兴二模试题数学及答案
嘉兴二模试题数学及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，则f(-2)的值为：A. 5B. 1C. -1D. 9答案：A2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {2, 3, 4}答案：B3. 计算下列极限：lim(x→0) (sin x) / x 的值为：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 已知等差数列{a_n}，公差d=3，a_1=2，则a_5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A5. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求导数y'：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^2 - 4x + 5C. 3x^2 - 12x + 6D. x^2 - 4x + 11答案：A6. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值：A. 1B. √2C. 2D. √3答案：B7. 已知向量a = (3, -4)，b = (2, 1)，则a·b的值为：A. -10B. 2C. 8D. -2答案：A8. 已知圆心为(0, 0)，半径为5的圆，求圆的方程：A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 10C. (x - 5)^2 + y^2 = 25D. (x + 5)^2 + y^2 = 25答案：A9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的对称轴：A. x = 2B. x = -2C. x = 0D. x = 4答案：A10. 已知等比数列{b_n}，公比q=2，b_1=1，则b_3的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = log_2(x)，若f(x) = 3，则x = ______。
【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(浙江卷)2
2013浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i2．设集合S={x|x>−2}，T={x|x 2+3x −4≤0}，则( R S)∪T=A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lgx+lgy =2lgx +2lgyB ．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgyC ．2lgx ∙ lgy =2lgx +2lgyD ．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a=4B ．a=5C ．a=6D ．a=76．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α=A ．43B ．34C ．−34D ．−437．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B=14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC=90︒B ．∠BAC=90︒C ．AB=AC D8．已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)=(e x −1)(x −1)k(k=1，2)，则A ．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B ．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C ．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D ．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值9．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率为（第5题图）A ． 2B ． 3C ．32D ．6210．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α(P)]，Q 2=f α[f β(P)]，恒有 PQ 1= PQ 2，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒非选择题部分（共100分）二、填空题：每小题4分，共28分．11．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x −13x 5的展开式中常数项为A ，则A= ． 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 cm 3． 13．设z=kx+y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x+y −2≥0，x −2y+4≥0，2x −y −4≤0．若z 的最大值为12，则实数k= ．14．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答）．15．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点F(−1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|=2，则直线l 的斜率等于 ．16．在△ABC ，∠C=90︒，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM=13，则sin ∠BAC= ．17．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b |的最大值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分． 18．（本小题满分14分）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列（Ⅰ）求d ，a n ；（Ⅱ）若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．19．（本题满分14分）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 E η=53，D η=59，求a ∶b ∶c ．20．（本题满分15分）如图，在四面体A −BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD=2，BD=22．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC ． （Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ； （Ⅱ）若二面角C −BM −D 的大小为60︒，求∠BDC 的大小．21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C 1：x 2a 2+y2b 2=1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2+y 2=4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．22．（本题满分14分）已知a ∈R ，函数f(x)=x 3−3x 2+3ax −3a+3（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当x ∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值．（第21题图）AB D PQ M（第20题图）参考答案1、【答案解析】B2、【答案解析】C 因为( R S)={x|x ≤−2}，T={x|−4≤x ≤1}，所以( R S)∪T=(−∞，1].3、【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4、【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确 5、【答案解析】A6、【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34. 7、【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B|=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a+1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a+1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a+1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a −1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC=BC 8、【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C 正确。
浙江省嘉兴市2013届高三理综第二次模拟考试试题(嘉兴二模,扫描版)
浙江省嘉兴市2013届高三理综第二次模拟考试试题（嘉兴二模，扫描版）11122013年高三教学测试（二）1314 理科综合参考答案及评分标准 2013.4一、二选择题（6*20＝120分）生物部分 1．D 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D化学部分 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C 12．C 13．A 物理部分 14．B 15．C 16．A 17．B 18．AB 19．BC 20．AC 三、非选择题21.（10分，每空2分）（1）保证计时器不倾斜或保证上、下限位孔在同一竖直线上； （2）放纸带时手有抖动；能（3） 3h ；22（10分，每空2分）（1）如上左图 (2) a 点 (3) 如上右图(4) 4 和 8 （不写全扣1分） （5）半导体23．解：（1）B 运动到A 过程中的加速度为a 1，由牛顿定律得F －μmg=ma 1， a 1= 10m/s 2 ①2分B 滑到A 处时的速度为v ，则 v 2=2a 1L ②2分由①②式得 v=2m/s ③1分 （2）设粘合之后的共同速度为v 1，共同运动的加速度大小为a 2，则P a b c15L a v2212)2(=， 即22/25.6s m a = ④1分 11t a v =， t 1=0.2s ⑤2分2212t a v =， t 1=0.16s ⑥2分 B 从开始向右运动到C 处时的时间为t=t 1+t 2，由以上几式得t=0.36s ⑦1分（3）以粘合体为研究对象，设ER 材料对粘合体的阻力大小f ER ，由牛顿第二定律可得：22ma F f kd ER =-+ ⑧2分解得： f ER =4N ⑨ 3分24．解析：（1）对A 处进入的正电子，由类平抛运动规律得A t v L 0= ①1分 22221AA t m Ee at L == ②1分得：eLmv E 22= ③2分对C 处进入的电子，由牛顿定律得eLmv B L mv B ev 0200==④3分 方向垂直纸面向外。
数学_2013年浙江省某校高考数学模拟试卷(二)(理科)(含答案)
2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=( ) A {x|x >1} B {x|x ≥1} C {x|1<x ≤2} D {x|1≤x ≤2}2. 函数y =cosxcos(x −π4)的最小正周期是（ ）A π2 B π C 2π D 4π3. “a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax ≥1”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 65. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）A 2B 1C 23 D 136. 已知(x −3y)n 展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有（ ）A 15项B 16项C 17项D 18项7. △ABC 中，∠BAC ＝120∘，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则AD →⋅BC →的取值范围是（ ）A [1, 2]B [0, 1]C [0, 2]D [−5, 2]8. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0)作圆 x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12(OF →+OP →)，则双曲线的离心率为( )A √10 B√105 C √102D √2 9. 已知函数y =sinax +b(a >0)的图象如图所示，则函数y =log a (x −b)的图象可能是（ ）A B C D10. 定义：若将数列A:a 1，a 2，a 3(a i ∈N, i =1, 2, 3)，变换成数列B:b 1，b 2，b 3，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2)，且b 3=|a 3−a 1|．则称为数列A 的“1次变换”；继续对数列B 进行这样的“1次变换”，得到数列C:c 1，c 2，c 3，则称为数列A 的“2次变换”；依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．设数列A:1002，1004，2，若数列A 的“k 次变换”得到的数列各项之和最小，则k 的最小值是（ ） A 83 B 498 C 501 D 502二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．11. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅(1+i)＝2i ，则z ＝________． 12. 在△ABC 中，若AB =1，AC =√3，|AB →+AC →|=|BC →|，则BA →⋅BC →|BC →|=________．13. 已知数列{a n }为等比数列，且a 4⋅a 6=2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5=2a 5，则S 9=________．14. 防疫站有A 、B 、C 、D 四名内科医生和E 、F 两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控．两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A 只能去乙地．则不同的选派方案共有________种．15. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥0y ≥2x +1x +y +k ≤0（k 为常数），若目标函数z =2x +y 的最大值是113，则实数k 的值是________．16. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =120∘，过弦AB 中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为________．17. 四棱锥O −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，各侧棱长均为√3，则以O 为球心，1为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acosC −csinC =b ．（1）若C=π6，求∠B．（2）求sin(2C−A)+sinB的取值范围．19. 甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为78．（1）求P．（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，侧面PAB⊥平面ABCD，AP=AB=1，∠PAB=2π3，点M，N，E分别在线段PD，AC，BC上，且满足DM=CN，EN // AB．（1）求证：平面EMN // 平面PAB；（2）设DMDP =λ，若二面角A−MN−E的大小为2π3，求λ的值．21. 如图，过点D(−2, 0)作圆O:x2+y2=r2(0<r<√3)的切线交椭圆C:x26+y23=1于A，点A与E(−3, 0)的连线段EA与椭圆C相交于另一点B．（1）若△OAD的面积为1，求r的值；（2）求证：直线BD与圆O相切．22. 设函数f(x)=x2−(a−2)x−alnx．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)已知方程f(x)=c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2．(I)若c=0，求满足条件的最小正整数a的值；(II)求证：f′(x1+x22)>0．2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）答案1. D2. B3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A 10. C 11. 1+i 12. 1213. 36 14. 6 15. −3 16. √33 17. 29π18. 解：（1）在△ABC 中，∵ acosC −csinC =b ，∴ sinAcosC −sin 2C =sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∵ sinC ≠0，C =π6，∴ cosA =−sinC =−12，A ∈(0, π)，∴ A =2π3，∴ B =π6；（2）sin(2C −A)+sinB =sin2CcosA −cos2CsinA +sin(A +C) =sin2CcosA −cos2CsinA +sinAcosC +cosAsinC =sin2C(−sinC)−cos2cosC +cos 2C −sin 2C=−2sin 2CcosC −(1−2cos 2C)cosC +cos 2C −sin 2C =−cosC +2cos 2C −1=2(cosC −14)2−98；∵{ 0<C <π2C =A −π2B =(π−A −C)∈(0,π2)，∴ C ∈(0, π4)，∴ cosC ∈(√22, 1)，∴ sin(2C −A)+sinB ∈(−√22, 0)． 19. 解：（1）至少1人面试合格概率为78（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1−78=18． 所以(1−P)3=18，即P =12．（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格(1−12)3=18，甲不合格，乙丙至少一人不合格12×(1−12×12)−(1−12)3=14，签约人数为0的概率：18+14=38；签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：12×(1−12×12)=38；签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：12×12×(1−12)=18； 签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：(12)3=18．分布表：数学期望：Eξ=0×38+1×38+2×18+3×18=1．20. （1）证明：∵ 侧面PAB ⊥平面ABCD ，侧面PAB ∩平面ABCD =AB ， 由ABCD 为正方形，得AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴ AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴ AD ⊥PA ，又PA =AB =1，∴ PD =AC =√2，DM =CN ，过M 作MR // AD ，交AP 于R ，过N 作NQ // AD 交AB 于Q ， ∴ RM = // QN ，∴ RMNQ 为平行四边形，∴ MN // RQ ，又RQ ⊂平面PAB ，MN 不包含于平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ，又EN // AD ，AD ⊂平面PAB ，∴ EN // 平面PAB ， ∵ MN ，EN ⊂平面EMN ， ∴ 平面EMN // 平面PAB ．（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， B(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(1, 1, 0)， H(0, 32, 0)，H 为P 在平面ABCD 内的射影，P(0, 32, √32)，令DM →=λDP →，0≤λ≤1， 则CM →=λCA →，CE →=λCB →，∵ 平面MNE // 平面PAB ，AD ⊥平面PAB ， ∴ α→=(1,0,0)为平面法向量， 设p →=(x, y, z)为平面AMN 的法向量， AM →=(1−λ,12λ,√32λ)，AN →=(1−λ, −1+λ, 0)，{p →⋅AN →=(1−λ)x +(λ−1)y =0˙， 取x =1，得p →=(1,√3λ)，∵ 二面角A −MN −E 的大小为2π3， ∴ |cos <α→，p →>|=√1+1+(λ−2√3λ)=|cos2π3|=12，∴ (√3λ)2=2，∵ λ∈[0, 1]，√3λ=√2，解得λ=2(√6−1)5． 21.（1）解：∵ △OAD 的面积为1，设y A >0，∴ 12×2⋅y A =1，即y A =1，A(2, 1)， ∴ 直线AD:y =14(x +2)， ∴ 由直线AD 与圆相切，得到d =r =√17=2√1717．（2）证明：设直线AE:y =k(x +3)，联立椭圆方程C:x 26+y 23=1，消去y ，得(1+2k 2)x 2+12k 2x +(18k 2−6)=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)， 则x 1+x 2=−12k 21+2k 2，x 1x 2=18k 2−61+2k 2，设A 关于x 轴的对称点为A ′(x 1, −y 1)， 则k BD =y 2x 2+2，k A ′D =−y 1x 1+2， 则k BD −k A ′D =y 2x 2+2−−y 1x 1+2=k(x 2+3)x 2+1+k(x 1+3)x 1+2=k(2+1x 1+2+1x 2+2)=k(2+x 1+x 2+4x 1x 2+4+2x 1+2x 2)=k(2+−12k 2+4+8k 24+8k 2+18k 2−6−24k 2)=k(2−2)=0．∴ k BD =k A ′D ，即B ，D ，A ′共线，故由AD 和圆相切，得直线BD 和圆也相切． 22. 解：(1)f′(x)=(2x−a)(x+1)x(x >0)当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)的单调增区间为(0, +∞)当a >0时，由f ′(x)>0得x >a2；由f ′(x)<0得0<x <a2，∴ 函数f(x)的单调增区间为(a 2，+∞)，单调减区间为(0,a2) (2)由(1)可得，若函数f(x)有两个不相等的实数根x 1，x 2． 则a >0，且f(x)的最小值f(a2)<0， 即−a 2+4a −4aln a2<0． ∵ a >0，∴ a +4ln a 2−4>0．令ℎ(a)=a +4ln a2−4，可知ℎ(a)在(0, +∞)上为增函数，且ℎ(2)=−2，ℎ(3)=4ln 32−1=ln8116−1>lne −1=0，所以存在零点ℎ(a 0)=0，a 0∈(2, 3)，当a >a 0时，ℎ(a)>0；当0<a <a 0时，ℎ(a)<0． 所以满足条件的最小正整数a =3．又当a =3时，f(3)=3(2−ln3)>0，f(1)=0，∴ a =3时，f(x)由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．(3)∵ x 1，x 2是方程f(x)=c 的两个不等实根，不妨设0<x 1<x 2则x 12−(a −2)x 1−alnx 1=c ，x 22−(a −2)x 2−alnx 2=c两式相减得x 12−(a −2)x 1−alnx 1−(x 22−(a −2)x 2−alnx 2)=0，即a =x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2，又∵ f′(a2)=0，当x >a2时f ′(x)>0； 当 0<x <a2时f ′(x)<0故只要证明x 1+x 22>a2即可，即证x 1+x 2>x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2即证明：ln x1x 2<2x 1−2x 2x 1+x 2，设t =x 1x 2(0<t <1)，令g(t)=lnt −2t−2t+1，则g′(t)=(t−1)2t(t+1)2≥0，则g(t)=lnt −2t−2t+1在(0, +∞)为增函数，又∵ g(1)=0，∴ t ∈(0, 1)时，g(t)<0总成立，得证．。
2013年高考理科数学浙江卷试题及答案解析(K12教育文档)
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2013年浙江高考理科数学试题及答案解析选择题部分(共50分)一、选择题：每小题5分,共50分．1．已知i 是虚数单位,则（−1+i)（2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题 【答案解析】B2．设集合S =｛x ｜x 〉−2}，T ={x ｜x 2+3x −4≤0}，则(R S ）∪T =A ．（−2，1]B ．（−∞，−4］C ．(−∞,1］D ．［1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题【答案解析】C 因为（R S )=｛x |x ≤−2｝,T ={x ｜−4≤x ≤1｝，所以(R S )∪T =(−∞，1］。
3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg （x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg （xy )=2lg x ∙ 2lg y 【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x ）=A cos(ωx +φ)（A 〉0,ω>0,φR )，则“f （x ）是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题 【答案解析】B 由f (x ）是奇函数可知f (0)=0,即cos φ=0,解出φ=错误!+k π，k Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是错误!,则 A ．a =4 B ．a =5 C ．a =6 D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题【答案解析】A6．已知αR ，sin α+2cos α=错误!，则tan2α= A ．错误! B ．错误! C ．−错误! D ．−错误!【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样,属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=错误!可得错误!=错误!，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−错误!,于是tan2α=错误!=−错误!. 7．设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B =错误!AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有错误!∙错误!≥错误!∙错误!，则A ．ABC =90B ．BAC =90 C ．AB =ACD ．AC =BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题 【答案解析】D 由题意，设｜错误!|=4，则｜错误!｜=1，过点C 作AB的垂线,垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，错误!∙错误!=｜错误!|｜错误!|=（错误! −（a +1)）|错误!｜，错误!∙错误!=−｜错误!｜｜错误!|=−a ，于是错误!∙错误!C开始S =1，k =1k >a ?S =S +1k (k +1)k =k+1 输出S结束是否 （第5题图）≥错误!∙错误!恒成立，相当于(错误!−（a +1)）｜错误!｜≥−a 恒成立，整理得|错误!|2−(a +1）｜→，PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =（a −1)2≤0即可,于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=（e x −1)(x −1）k (k =1,2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f （x ）在x =1处取到极大值 C ．当k =2时,f （x ）在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f （x ）在x =1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x ）=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f （x )的大致图象，于是选项A,B 错误；当k =2时，方程f （x ）=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x ）的大致图象，易知选项C 正确。
数学_2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 是虚数单位，则1+i i+i 1+i=( )A −12+32i B 12−32i C 32+12i D 32−12i2. 已知集合A ={k ∈Z|sin(kπ−θ)=sinθ,θ∈(0,π2)}，B ={k ∈Z|cos(kπ+θ)=cosθ,θ∈(0, π2)}．则(∁Z A)∩B =( )A {k|k =2n, n ∈Z}B {k|k =2n −1, n ∈Z}C {k|k =4n, n ∈Z}D {k|k =4n −1, n ∈Z}3. 设P 为函数f(x)=sin(πx)的图象上的一个最高点，Q 为函数g(x)=cos(πx)的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ） A √π24+4 B 2 C√172D 2√2 4. 设直线：l:y =kx +m(m ≠0)，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则“k =−ba ”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分条件D 既不充分也不必要条件 5. 若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0 与不等式x −2y +m ≤0都成立，则实数m的取值范围是（ ）A m ≥0B m ≤3C m ≥lD m ≥3 6. 设数列{a n }是首项为1的等比数列，若{12a n +a n+1}是等差数列，则(12a 1+1a 2)+(12a 2+1a 3)+⋯+(12a2012+1a2013)的值等于（ ）A 2012B 2013C 3018D 3019 7. 已知双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，A 、B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q ，若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−45，则双曲线的离心率是（ ） A3√55 B 94 C 32 D 958. 若函数f(x)=(x +1)e x ，则下列命题正确的是（ ）A 对任意m <−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m B 对任意m >−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m C 对任意x ∈R ，都存在m <−1e 2，使得f(x)<m D 对任意x ∈R ，都存在m >−1e2，使得f(x)<m9. 如图，平面α与平面β交于直线l ，A ，C 是平面α内不同点，B ，D 是平面β内不同的两点，且A ，B 、C 、D 不在直线l 上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A 若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 可能平行也有可能相交 B 若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行 C 若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD 都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线 D M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 10. 已知cosx =23(x ∈R)，则cos(x −π3)=________．11. (2x √x)6展开式中常数项为________（用数字作答）． 12. 如图是某程序框图，则该程序运行后输出的值是________．13. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．14. 公差不为0的等差数列{a n }的部分项a k 1，a k 2，a k 3…，构成等比数列，且k 1=1，k 2=2，k 3=6，则k 4=________．15. 如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →=23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l // OD ，P 是直线l 上的任意点，若OP →=λ1OB →+λ2OC →，则λ1−λ2=________．16. 已知a 2sinθ+acosθ−2=0，b 2sinθ+bcosθ−2=0(a ，b ，θ∈R ，且a ≠b)，直线l 过点A(a, a 2)，B(b, b 2)，则直线l 被圆(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=4所截得的弦长为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在直角坐标中，A(3, 1)，B(−3, −3)，C(l, 4)，P 是AB ¯和 AC ¯夹角平分线上的一点，且 |AP|¯=2，则 AP ¯的坐标是（ ） A (−5√2613，√2613) B (−√2, √2) C (−4√55，2√55) D (−√3，1) 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2，acosB −bcosA =72. (1)求bcosA 的值；(2)若a =4，求△ABC 的面积.19. 已知盘中有编号为A ，B ，C ，D 的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别） （1）求恰好包含字母A ，B ，C ，D 的概率；（2）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X ．求X 的分布列和期望E(X)．20. 如图，已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =√3，AB =1．AD =2．∠BAD =120∘，E ，F ，G ，H 分别是BC ，PB ，PC ，AD 的中点．（1）求证：PH // 平面GED ；（2）过点F 作平面α，使ED // 平面α，当平面α⊥平面EDG 时，设PA 与平面α交于点Q ，求PQ 的长．21.如图，已知直线y =2x −2与抛物线x 2=2py(p >0)交于M 1，M 2两点，直线y =p2与y 轴交于点F ．且直线y =p2恰好平分∠M 1FM 2． （I ）求P 的值；（II ）设A 是直线y =p2上一点，直线AM 2交抛物线于另点M 3，直线M 1M 3交直线y =p2于点B ，求OA →⋅OB →的值．22. 设函数f(x)=ax 3+bx （a ，b 为实数）．（1）设a ≠0，当a +b =0时．求过点P(−1, 0)且与曲线y =f(x)相切的直线方程； （2）设b >0，当a ≤0且x ∈[0, 1]时，有f(x)∈[0, 1)，求b 的最大值．2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. A5. B6. C7. C8. B9. D 10.2±√15611. 60 12. 613. 50+50√3 14. 22 15. −3216. 2√3 17. A18. 解：(1)∵ acosB +bcosA =a ⋅a 2+c 2−b 22ac+b ⋅b 2+c 2−a 22bc=c ，∴ 由c =2得acosB +bcosA =2， 结合acosB −bcosA =72联解， 可得bcosA =−34；(2)由(1)得acosB =2−bcosA =114，∵ a =4， ∴ cosB =1116，可得sinB =√1−cos 2B =3√1516， 根据正弦定理，得△ABC 的面积为 S =12acsinB=12×4×2×3√1516=3√154. 19. 解：（1）记事件“恰好包含字母A ，B ，C ，D”为E ， 则P(E)=C 31⋅C 31⋅C 31⋅C 31C 124=955．（2） 由题意可得随机变量X 的取值可能为：1，2，3，且P(X =1)=C 31C 124=1165，P(X =2)=C 32(C 41C 43+C 42C 42+C 43C 41)C 124=68165，P(X =3)=3C 41C 41C 42C 124=3255．故X 的分布列为：故数学期望为E(X)=1165+2×68165+3×3255=8533．20. （1）证明：连接HC ，交ED 于点N ，连接GN ，∵ DHEC 是平行四边形，∴ N 是线段HC 的中点，又G 是PC 的中点， ∴ GN // PH ，又∵ GN ⊂平面GED ，PH ⊄平面GED ， ∴ PH // 平面GED ．（2） 方法1：连接AE ，∵ ∠BAD =120∘，∴ △ABE 是等边三角形，设BE 的中点为M ，以AM 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则B(√32, −12, 0)，C(√32, 32, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, √3)， 则E(√32, 12, 0)，F(√34, −14, √32)，G(√34, 34, √32)． 设Q(0, 0, t)，ED →=(−√32,32,0)，DG→=(√34,−54,√32)． 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)是平面GED 的一个法向量，则{n 1→⋅DG →=√34x 1−54y 1+√32z 1=0˙，得{x 1=√3y 1z 1=√33y 1，令y 1=1∴ n 1→=(√3,1,√33)． 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)是平面α的一个法向量， 则{n 2→⋅QF →=√34x 2−14y 2+(√32−t)z 2=0˙，得{x 2=√3y 2z 2=12t−√3y2，令y 2=1，得n 2→=(√3,1,12t−√3)，当平面GED ⊥平面α时，n 1→⋅n 2→=3+1+√33⋅12t−√3=0，得t =118√3=11√324，则PQ 的长为√3−11√324=13√324．方法2：连接BH ，则BH // ED ，又∵ PB // GE ，∴ 平面PBH // 平面GED ， 设BH 与AE 交于点K ，PK 的中点为M ， ∵ F 是PB 的中点，∴ FM // BK ，∵ ABEH 是菱形，∴ AE ⊥BK ，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BK ，∴ BK ⊥平面PAK ． ∴ FM ⊥平面PAK ，过M 作MQ ⊥PK ，交PA 于Q ，设MQ 与FM 所确定的平面为α，∵ ED // BH // FM ，∴ ED // 平面α，又平面α⊥平面PBH ，∴ 平面α⊥平面EDG ． 得平面α满足条件．∵ PA =√3，AK =12，∴ PK =√3+14=√132， 由PQ PK=PM PA，得PQ =PK⋅PM PA=√3˙=13√324．21. 解：(I) 由{y =2x −2x 2=2py ，整理得x 2−4px +4p =0，设M 1(x 1, y 1)，M 2(x 2, y 2)， 则{△=16p 2−16p >0x 1+x 2=4px 1⋅x 2=4p， ∵ 直线y =p2平分∠M 1FM 2，∴ k M 1F +k M 2F =0， ∴y 1−p 2x 1+y 2−p 2x 2=0，即2x 1−2−p 2x 1+2x 2−2−p 2x 2=0，整理得：4−(2+p2)⋅x 1+x 2⋅=0，则4−(2+p 2)⋅4p 4p=0，解得p =4，满足△>0，∴ p =4．（II ） 由（1）知抛物线方程为x 2=8y ， 且{x 1+x 2=16x 1x 2=16，M 1(x 1,x 128)，M 2(x 2,x 228)，设M 3(x 3,x 328)，A(t, 2)，B(a, 2)， 由A 、M 2、M 3三点共线得k M 2M 3=k AM 2，∴ x 228−x 328x2−x 3=x 2+x 38=x 228−2x2−t，即：x 22+x 2x 3−t(x 2+x 3)=x 22−16， 整理得：x 2x 3−t(x 2+x 3)=−16 ①由B 、M 3、M 1三点共线得k M 1M 3=k BM 1， ∴ x 128−x 328x1−x 3=x 1+x 38=x 128−2x1−a，即x 12+x 1x 3−a(x 1+x 3)=x 12−16x 1x 3−a(x 1+x 3)=−16 ②②式两边同乘x 2得：x 1x 2x 3−a(x 1x 2+x 2x 3)=−16x 2， 即：16x 3−a(16+x 2x 3)=−16x 2③由①得：x 2x 3=t(x 2+x 3)−16，代入③得：16x 3−16a −ta(x 2+x 3)+16a =−16x 2， 即：16(x 2+x 3)=at(x 2+x 3)，∴ at =16． ∴ OA →⋅OB →=at +4=20．22. 解：（1）∵ a ≠0，a +b =0，∴ b =−a ，则f(x)=ax 3−ax ， ∴ f ′(x)=3ax 2−a ，设切点T(x 0, y 0)，则f ′(x 0)=k PT ，即：切线方程为y −y 0=(3ax 02−a)(x −x 0)，又∵ 切线过点P(−1, 0)，∴ −(ax 03−ax 0)=(3ax 02−a)(−1−x 0)，解得：x 0=−1或x 0=12．当x 0=−1时，f ′(x 0)=2a ，切线方程为y =2ax +2a ， 当x 0=12时，f′(x 0)=−14a ，切线方程为y =−14ax −14a ．（2） ①当a =0，b >0时，f(x)=bx 在[0, 1]上递增，∴ b ≤1． ②当a <0，b >0时，令f ′(x)=3ax 2+b =0，得x =±√−b 3a，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，（1） 若√−b3a ≥1时，f(x)在[0, 1]上递增， ∵ f(0)=0，∴ {−b3a ≥1a +b ≤1a <0,b >0，即：{3a +b ≥0a +b ≤1a <0,b >0，由线性规划知：b ≤32．（2） 若√−b 3a <1时，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，在[√−b 3a, 1]上递减，又f(0)=0，由题意得：{−b3a <1f(√−b 3a )≤1a +b ≥0，由f(√−b3a )≤1得，a ⋅(−b3a )⋅√−b3a +b ⋅√−b3a ≤1， 即：23b ⋅√−b 3a ≤1，得4b 3≤−27a ． 又a +b ≥0，∴ a ≥−b ， ∴ 4b 3≤27b ，得0<b ≤32√3． 当b =32√3时，a =−b =−3√32，满足−b3a <1．综上所述：b的最大值为3√3．2。
嘉兴二模数学试题及答案
嘉兴二模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是（）。
A. m≥0B. m≤0C. m≥4D. m≤42. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+2b的坐标为（）。
A. (4,2)B. (4,3)C. (5,0)D. (5,3)3. 若直线l：y=kx+1与椭圆C：\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共点，则k的取值范围是（）。
A. -\(\sqrt{3}\)≤k≤\(\sqrt{3}\)B. -\(\sqrt{3}\)≤k≤\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C. -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)≤k≤\(\sqrt{3}\)D. -\(\sqrt{3}\)≤k≤\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)4. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，g(x)=x^2，若f[g(x)]=1，则x 的值为（）。
A. 1B. -1C. 2D. -25. 若不等式\(\frac{ax+1}{x+2}<1\)的解集为\(\{x|x<-2\)或x>-\(\frac{1}{2}\)\}，则a的值为（）。
A. -\(\frac{3}{2}\)B. -\(\frac{1}{2}\)C. 3D. 16. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则数列{an}的前n项和Sn的表达式为（）。
A. Sn=n^2B. Sn=n(n+1)C. Sn=n^2+nD. Sn=n(n+1)/27. 若函数f(x)=\(\frac{1}{2}\)x^2-2x+3在区间[0,3]上的最大值为M，最小值为N，则M-N的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知双曲线C：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，若双曲线C的离心率为\(\sqrt{5}\)，则\(\frac{b}{a}\)的值为（）。
嘉兴市2013年初中升学考试数学试卷(带答案)
嘉兴市2013年初中升学考试数学试卷（带答案）2013年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷）数学试题卷考生须知：1．全卷满分150分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题．2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效．参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的顶点坐标是（－，）．温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”．卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．－2的相反数是（▲）（A）2（B）－2（C）（D）－2．如图，由三个小立方块搭成的俯视图是（▲）3．据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船（中共一大会址）．数2500万用科学计数法表示为（▲）（A）2.5×108（B）2.5×107（C）2.5×106（D）25×1064．在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（▲）（A）1.71（B）1.85（C）1.90（D）2.315．下列运算正确的是（▲）（A）x2＋x3＝x5（B）2x2－x2＝1（C）x2•x3＝x6（D）x6÷x3＝x3 6．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为30º，则“蘑菇罐头”字样的长度为（▲）（A）cm（B）cm（C）cm（D）7πcm7．下列说法：①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式；②若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖；③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差＝0.1，＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定；④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件．正确说法的序号是（▲）（A）①（B）②（C）③（D）④8．若一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y＝ax2＋b的对称轴为（▲）（A）直线x＝1（B）直线x＝－2（C）直线x＝－1（D）直线x＝－49．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（▲）（A）2（B）8（C）2（D）210．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A○＋B＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．例如，A（－5，4），B（2，－3），A○＋B＝(－5＋2)＋(4－3)＝－2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C○＋D＝D○＋E＝E○＋F＝F○＋D，则C，D，E，F四点（▲）（A）在同一条直线上（B）在同一条抛物线上（C）在同一反比例函数图象上（D）是同一正方形的四个顶点卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．二次根式中，x的取值范围是▲时．12．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其它都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为▲．13．分解因式：ab2－a＝▲．14．在同一平面内，已知线段AO＝2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O 按逆时针方向旋转60º得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为▲．15．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程来▲．16．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为▲，小球P所经过的路程为▲．三、解答题（本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题每题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（1）计算：｜―4｜―＋(－2)0；（2）化简：a(b＋1)―ab―1．18．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB ＝DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB＝50º，求∠EBC的度数？19．如图，一次函数y＝kx＋1（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？20．为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图（2）表示“50元”的扇形的圆心角是多少度？补调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是多少元？（3）四川雅安地震后，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区建设．请估算全校学生共捐款多少元？21．某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60º（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60º缩小为10º（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5º≈0.0872，cos5º≈0.9962，sin10º≈0.1736，cos10º≈0.9848）．22．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．23．某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x―m)2―m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m＝2时，求点B的坐标；（2）求DE的长?（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？2013年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷）数学参考答案一．选择题l．A2．A3．B4．B5．D6．B7．C8．C9．Dl0．A二、填空题11．x≥3；l2．；13．a(b＋1)(b－1)；14．外切；15．－＝3；16．6，6三、解答题17．（1）2；（2）a－118．（1）略；（2）∠EBC＝25º19．（1）y＝x＋1，y＝；（2）S△ABC＝20．（1）略；（2）圆心角36º，中位数是30元；（3）16250元21．5米．22．（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）（2）∠PAB＝∠PDA＝∠BDC＝∠1如图3，∵PA＝PD∴∠PAB＝∠PDA∵∠BDC＝∠PDA（对顶角相等）又∵PC∥a∴∠PDA＝∠1∴∠PAB＝∠PDA＝∠BDC＝∠1（3）如图，EF是所求作的图形．23．（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，则：，解得：答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，则：12000＋25×200＝20×25z，解得：z＝34∴50－34＝16答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．24．（1）当m＝2时，y＝(x―2)2＋1把x＝0代入y＝(x―2)2＋1，得：y＝2∴点B的坐标为（0，2）（2）延长EA，交y轴于点F∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90º，∠CAF＝∠DAE∴△AFC≌△AED∴AF＝AE，∵点A（m，―m2＋m），点B（0，m）∴AF＝AE＝|m|，BF＝m―(―m2＋m)＝m2∵∠ABF＝90º―∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90º，∴△ABF∽△DAE∴＝，即：＝∴DE＝4（3）①∵点A的坐标为（m，―m2＋m），∴点D的坐标为（2m，―m2＋m＋4），∴x＝2m，y＝―m2＋m＋4∴y＝―•＋＋4∴所求函数的解析式为：y＝―x2＋x＋4②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)―(m2)＝―m2＋m＋4把P（3m，―m2＋m＋4）的坐标代入y＝―x2＋x＋4得：―m2＋m＋4＝―×(3m)2＋×(3m)＋4解得：m＝0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m＝8（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)＋(m2)＝m＋4把P（m，m＋4）的坐标代入y＝―x2＋x＋4得：m＋4＝―m2＋m＋4解得：m＝0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m＝―8综上所述：m的值8或―8．。
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2013年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．A ； 7．B ； 8．D ； 9．C ； 10．A ． 第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．81； 12．5； 13．)121sin(+=x y ； 14．22；15．3222c b a ++； 16．①③； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cba +的取值范围． 解：（Ⅰ）CA B A b c a sin sin sin sin --=+c a ba --=，化简得222c ab b a =-+， …4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分 （Ⅱ）CBA c ba s i n s i n s i n +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6s i n (2π+=A ． …11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，c ba +的取值范围是]2,1(． …14分19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ， …4分 即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ．…7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分 20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PB AP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． …2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分B F P A FC 'B 'A E （第20题）（Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分 则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλa a A ， )1,0,1('++λλλa aB ，)0,1,1(++λλλa a P ． )1,1,0('++=λλλa a CA ，)1)1(,1,1(''+-+-+=λλλλλa a aB A ， )1,1,0('+-+=λλa a P B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ， …9分平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ．…11分 由2160cos 311|11|22=︒=⋅++-+=λλλλ， …13分 化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． …15分21．（本题满分15分） 如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．（第20题）解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ，…2分所以102+=p ，2=p ． …4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ，则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ．同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ．…8分MN的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-，即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-．由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分 所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…12分于是222222241)1(241|24|tt tt t t d ++=+-+-=．令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=ss d （当3=s 时取等号）．所以，d 的最小值为3． …15分22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ． （Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点；（Ⅱ）若不等式exea a eax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x x f ，111)('--=e xx f ．当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a eax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*）设aexa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则ea eax xx g 2121)('2+-+=（0>x ）xe eex a ax222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(m ax ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exea e x --=．令2212e a exea =-，解得ae x =1，则当1x x >时，2212ea exea >-；再令1)(2=-eae x ，解得eaex +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…14分。