湖南省长沙市南雅中学2018年高一新生入学考试数学试卷
南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题(答案)
南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。
2018年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学一模试卷
（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的
值．
24．（9 分）如图，圆 O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交圆 O 于点 E，交
BC 于点 D，过点 E 作直线 l∥BC．
（1）判断直线 l 与圆 O 的关系，并说明理由；
（2）若∠ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BE＝EF；
内（元）；②若只在国外销售，销售价格为 150 元/件，受各种不确定因素影响， 成本为 a 元/件（a 为常数，10≤a≤40），当月销量为 x（件）时，每月还需缴 纳 x2 元的附加费，月利润为 W 外（元）．
（1）若只在国内销售，当 x＝1000（件）时，y＝
（元/件）；
（2）分别求出 W 内、W 外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；
有
个．
17．（3 分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的
基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术
是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：
牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问：
A．4
B．4
C．8
D．8
11．（3 分）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30
米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α，则树 OA 的高度为（ ）
A．
米
B．30sinα 米
C．30tanα 米
D．30cosα 米
12．（3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别落在 x、y 轴上，点 B 坐标为（6，4），反比例函数 y＝ 的图象与 AB 边交于点 D，
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷含答案
湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。
南雅中学2018-2019初二入学考-数学试卷
南雅中学2018-2019（秋）初二入学考试满分：100分 时量：90分钟 录入人：许霖一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.（南雅中学2018-2019 ）A.3±B.3C.9±D.92.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）在直角坐标系中，点P （6-2x ，x -5）在第四象限，则x 的取值范围是（ ）A.35x <<B.5x >C.3x <D.35x -<<3.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）在ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝3，则a 的取值范围时（ ）A.38a <<B.511a <<C.610a <<D.811a <<4.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）若二元一次方程组2332x y x y +=⎧⎨-=⎩的解同时也是方程21x my -=-的解，那么m 的值为（ ）A.2-B.1-C.3D.45.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，AB=7cm ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， DE ⊥AB 于点E ，则EB 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．不能确定6.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN7.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D 、E ，AE ＝3cm ，△ADC 的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．17cm8.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）已知a b <，则下列式子不成立的是（ ）A.11a b +<+B.33a b <C.1122a b ->-D.如果0c <，那么a b c c< 9.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x 千米，黄河长为y 千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能应是（ ）A.836561284x y x y +=⎧⎨-=⎩B.836651284x y x y -=⎧⎨-=⎩ C.836651284x y y x +=⎧⎨-=⎩ D.836651284x y y x -=⎧⎨-=⎩10.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE ＝DF ，连接BF 、CE ，下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达（0，0），则它最开始所在位置的坐标是__________.12.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）不等式5335x x x a-<+⎧⎨<⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是__________.13.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）若2316x y +=，且3219x y +=，x y x y+=-__________.14.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）一个多边形的各内角都等于120°，则这个多边形是__________边形.15.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 与BC 交于点F ，则∠AFC ＝__________．16.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图所示，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得到点C′，若∠C′EB ＝40°，则∠EDC′＝__________度．17.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）解方程组和不等式组（每小题4分，共8分） ()21232121132x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩ ()()324221152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩三、解答题（共5小题，18~20题，每小题8分；21~22题，每小题10分，共44分）18.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，已知AD ，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，∠CAB=90°，求：（1）AD 的长； （2）△ABE 的面积；（3）△ACE 和△ABE 的周长的差．19.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）如图，如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA.20.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案．21.（南雅中学2018-2019学年初二入学考试）对x、y定义一种新运算T，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中a 、b 均为非零常数），例如：()010,101a b T b ⨯+⨯==+，已知()1,12T -=-，()4,21T =.（1）求a 、b 的值；（2）若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m p⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有4个整数解，求实数p 的取值范围.。
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷和解析答案
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．（5分）计算：=．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．2．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为阴影部分地面积与三角形地面积地比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域地概率等于．故选C．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0地两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．4．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家地距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．6．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时，=1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时，=2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．7．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PD=x ，S △PEF =y ，S △AQD =z ，梯形ABCD 地高为h ， ∵AD=3，BC=4，梯形ABCD 面积为7，∴，解得：，∵PE ∥DQ ，∴∠PEF=∠QFE ，∠EPF=∠PFD ， 又∵PF ∥AQ ， ∴∠PFD=∠EQF ， ∴∠EPF=∠EQF ， ∵EF=FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ）， ∵PE ∥DQ ， ∴△AEP ∽△AQD ， 同理，△DPF ∽△DAQ ， ∴=（）2，=（）2，∵S △AQD =3，∴S △DPF =x 2，S △APE =（3﹣x ）2， ∴S △PEF =（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2， ∴y=[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×=﹣x 2+x ，∵y 最大值==，即y 最大值=．∴△PEF 面积最大值是， 故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）计算：= 2﹣2 ．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为3．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故地值为3．故答案为：3．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是x＜0或1＜x＜4．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组地整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求地函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【解答】解：如图：延长MN交BC地延长线于T，设MB地中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌地单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，则W与x地函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组地解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是﹣7（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5地实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC地长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形地边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，=•a•==9+．∴S△ABC答：△ABC地面积是9+．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG地边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件地t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，当0≤t ≤时，S=S △FMN =×t ×t=t 2， ②如图④，当G 在AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan ∠DCB=EC•=（4﹣t ）=3﹣t ，∴FK=2﹣EK=t ﹣1，∵NL=AD=， ∴FL=t ﹣，∴当＜t ≤2时，S=S △FMN ﹣S △FKL =t 2﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+t ﹣； ③如图⑤，当G 在CD 上时，B′C ：CH=B′G ：DH ， 即B′C ：4=2：3，解得：B′C=， ∴EC=4﹣t=B′C ﹣2=， ∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t ）=3﹣t ， ∵GN=GB′﹣B ′N=t ﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣， ④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t +． 综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣； 当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题
绝密★启用前湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π值是（ ）A ．12-B ．12C ．D ．22- 4．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点()sin ,2cos P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．……………………7．如果33log log 4m n +≥，那么m n +的最小值为（ ） A ．4B ．C ．9D ．188．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线3x π=对称B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 10．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=u u u v u u u v v，则OC =u u u v （ ）A ．2OA OB -u u u v u u u vB ．2OA OB -+u u u v u u u vC ．2133OA OB-u u uv u u u vD ．1233OA OB -+u u uv u u u v11．已知函数1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ，则有（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x <<12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有（ ）A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．cos300°＝____________. 14．在△ABC 中，“30A >︒”是“”的 ▲ ．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 15．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()ααβ=+=，则sin β=_____16．已知()2sin f x x π=，()g x =，则()f x 与()g x 图象交点的横坐标之和为___________.三、解答题17．已知sin θ=，2πθπ<<．（1）求tan θ的值；（2）求222sin sin cos 3sin cos θθθθθ++的值． 18．已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.19．设:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集为{}|0x x <；:q 函数()2ln y ax x a =-+的定义域为R ．若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围．20．已知3cos 5α=，cos 10β=-，23απ<<π，0βπ<<． （1）求sin α和sin β的值； （2）求αβ-的值． 21．在锐角ABC V 中，274sin cos 222B C A +-=． （1）求角A 的大小； （2）求sin sin B C 的最大值．22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函()f x 的一个上界.已知函数()111()()24x x f x a =++，()121log 1axg x x -=-． ()1若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；()2在()1的条件下，求函数()g x ，在区间5,3⎡⎤⎢⎥上的所有上界构成的集合；f x在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案1．B 【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0A B ⋂=-. 【考点定位】集合的表示，集合的运算. 2．C 【解析】 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ． 3．A 【解析】 【分析】 由03ππ<<,将3x π=代入()cos2f x x =中,进而求解即可.【详解】由题,21cos 332f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查分段函数求函数值,考查特殊角的三角函数值. 4．B 【解析】分析：由()()sin cos cos sin A B B A B B -+-利用两角和的正弦公式，得到sin 1A =，可得2A π=，从而可得结果.详解：ABC ∆中，若()()cos cos sin 1sin A B B A B B -+-≥，则()sin 1sin A B B A ⎡⎤-+=≥⎣⎦，sin 1A ∴=， 2A π=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5．D 【解析】 【分析】由点()sin ,2cos P θθ位于第二象限可得sin 0θ<,2cos 0θ>,即可判断θ所在象限. 【详解】由题,因为点()sin ,2cos P θθ位于第二象限, 所以sin 0θ<,2cos 0θ>, 所以θ在第四象限, 故选:D 【点睛】本题考查象限角,属于基础题. 6．C 【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小 7．D 【解析】 【分析】先由对数的运算法则得出()333log log log m n mn +=,再利用基本不等式性质可求出最小值.解：∵()333log log log 4m n mn +=≥, ∴43mn ≥,又由已知条件隐含着0m >,0n >,故18m n +≥≥=,当且仅当9m n ==时取到最小值． 所以m n +的最小值为18. 故选：D 【点睛】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由T π=可得2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中即可得到结果.【详解】 由题,2T ππω==,所以2ω=,则()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将3x π=代入()f x 中可得sin 2sin 0333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心, 故选:B 【点睛】本题考查正弦型函数的周期性的应用,考查代入验证法处理正弦型函数的对称性问题. 9．A【解析】∵()232sin 1cos 23cos22y x x x ππ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭， ∴232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是最小正周期为π的偶函数. 10．A 【解析】由AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r , CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r代入运算即可得解.【详解】解：因为20AC CB +=u u u r u u u r r，所以2()()0OC OA OB OC -+-=u u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以OC =u u u r 2OA OB -u u u r u u u r ，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属基础题. 11．D 【解析】 【分析】先将1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点转化为|lg |y x =与2xy -=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+∞内,即可得到112lg x x --=和222lg x x -=,然后两式相加即可求得12x x 的范围.【详解】Q 1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ,2x ,即|lg |y x =与2xy -=有两个交点由题意0x >,分别画2xy -=和|lg |y x =的图像∴ 发现在(0,1)和(1,)+∞有两个交点不妨设1x 在(0,1)内，2x 在(1,)+∞内，∴ 在(0,1)上有112lg x x -=-,即112lg x x --=——①在(1,)+∞有222lg x x -=——② ①②相加有211222lg x x x x ---=Q 21x x >,∴2122x x --<即21220x x ---<∴12lg 0x x < ∴1201x x <<故选:D . 【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 12．B 【解析】 【分析】由cos y x π=关于y 轴对称,则可将问题转化为当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数,画出图象,由图象即可得到结果. 【详解】由题,因为cos y x π=关于y 轴对称,所以只要找到当0x >时,5log y x =与cos y x π=的交点个数即可,函数图象如图所示,则共有5个交点, 故选:B 【点睛】本题考查余弦型函数的奇偶性的应用,考查利用函数图象求交点个数,考查数形结合思想. 13．12【解析】试题分析：01cos300cos(36060)cos602=-==． 考点：三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值．点评：简单题，利用诱导公式，转化成小范围特殊角的三角函数值． 14．必要不充分条件 【解析】此题考查充分条件和必要条件的判断、考查学生的逻辑推理和论证能力； 由在△ABC 中，“30A >︒”得出11sin 10sin 22A A <≤<<或，所以不是充分条件，由1sin 2A >，且在ABC ∆中，可以得出30120A <<o o ，所以是必要条件，所以填必要不充分条件 15．1665【解析】 【分析】由已知求出cos ,sin()ααβ+，再由两角差的正弦公式计算sin sin[()]βαβα=+-． 【详解】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即()βαβα=+-．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．16．17.【解析】【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出()f x 与()g x 的图象，如图，2=，解得9x =2=-，解得7x =-，()f x ∴与()g x 图象共有17个交点.Q 则()f x 与()g x 关于()1,0对称，设17个交点横坐标为12317,,,,x x x x L ，则1231728117x x x x ++++=⨯+=L .故答案为：17.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键.17．（1）2-（2）213 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=和sin tan cos θθθ=求解即可,需注意角的范围； （2）对分式分子分母同时除以2cos θ,进而求解即可.【详解】解:（1）因为sin θ=,2πθπ<<,根据22sin cos 1θθ+=,所以cos θ=, 所以sin tan 2cos θθθ==- （2）()()()222222222sin sin cos tan tan 23sin cos 3tan 113321θθθθθθθθ-+-++===++⨯-+ 【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查三角函数的齐次式问题.18．（Ⅰ）π；（Ⅱ）()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈ 【解析】【详解】（Ⅰ）2()sin 22sin sin 2cos 21)14f x x x x x x π=-=+-=+-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==． （Ⅱ）当2242πππ+=+x k ，即8x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 1，()f x 1时x 的集合为{|},8πx x k πk Z =+∈.19．10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据指数函数的图象可得若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,可解得12a >,当p q ∧为假,p q ∨为真时,则p 与q 中一个为真,一个为假,进而分别讨论p 为真命题,q 为假命题和q 为真命题,p 为假命题的情况,即可求解.【详解】由题,若p 为真命题,则01a <<；若q 为真命题,则20ax x a -+>在R 上恒成立,当0a =时,0x ->,不符合；当0a ≠时,20140a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得12a >； 因为p q ∧为假,p q ∨为真,所以p 与q 中一个为真,一个为假,若p 为真命题,q 为假命题,则1a ≥；若q 为真命题,p 为假命题,则102a <≤, 综上,[)10,1,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围问题,考查指数函数的图象的应用,考查已知函数的定义域求参数范围问题,考查分类讨论思想.20．（1）4sin 5α=，sin =β（2）74π 【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系求解即可,需注意角的取值范围；（2）先求得()cos αβ-,再根据αβ-的范围确定角.【详解】解:（1）因为3cos 5α=,且23απ<<π, 根据22sin cos 1αα+=,所以4sin 5α=；因为cos 10β=-,且0βπ<<,根据22sin cos 1ββ+=,所以sin =β （2）由（1）,()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+34510510⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭2=, 因为3cos 05α=>,所以522αππ<<,因为cos β=,所以2πβπ<<,即2ππβ-<-<-, 所以2παβπ<-<,所以74αβπ-=【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查已知三角函数值求角,考查余弦的差角公式的应用.21．（1）3A π=（2）34【解析】【分析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得24cos 4cos 10A A -+=,进而求解即可；（2）()sin sin sin sin B C B A B =+,进而利用和角公式展开,整理可得11sin 2264B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,由26B π-的范围,进而求得最值.【详解】解:（1）因为274sin cos 222B C A +-=,即()721cos cos 22B C A -+-=⎡⎤⎣⎦, 所以()2722cos 2cos 102A A +---=,即24cos 4cos 10A A -+=, 所以1cos 2A =, 所以3A π=（2）由（1）,()sin sin sin sin B C B A B =+()sin sin cos sin cos B A B B A =+1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2B B B =+112cos 244B B =-+ 11sin 2264B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 因为锐角ABC V ,所以2A B π+>,即62B ππ<<, 所以5666B πππ<2-<, 当262B ππ-=,即3B π=时,sin sin B C 取得最大值为34【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.22．（1）1a =-；（2）上界构成集合为[)2,+∞；（3）实数a 的取值范围为[]5,1-.【解析】试题分析：（1）因为121()log 1ax g x x -=-为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得a 的值，由于真数大于零，所以排除1a =-.即可得到结论.（2）由（1）得到的a 值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间(1,)+∞上单调递增.所以5[,3]3x ∈上，5()()(3)3g g x g ≤≤.即2()1g x -≤≤-.所以可得.即存在常数20M =≥，都有()2f x M ≤=.所以所有上界构成的集合[2,)+∞.（3）因为函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得a 的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即，即，得，而当时不合题意，故1a =-. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间(1,)+∞上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以在上递减，在上递增， 12分 在上的最大值为，在上的最小值为. 所以实数a 的取值范围为. 14分考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.。
2018年湖南省长沙市南雅中学中考数学二模试卷
2018年湖南省长沙市南雅中学中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数﹣、﹣2、0、中，绝对值最小的实数是（）A．﹣2B．0C．﹣D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．a+2a＝2a2C．a•a＝a2D．（mn2）3＝mn6 3．（3分）作为长沙地铁“米”字型构架西南﹣东北方向的地铁3号线一期工程线路全长约36400米，则数据36400用科学记数法表示为（）A．364×102B．36.4×103C．3.64×104D．0.364×105 4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）若下列各组值代表线段的长度，以它们为边不能构成三角形的是（）A．3，8，4B．4，9，6C．15，20，8D．9，15，8 6．（3分）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣3）2+4，下列说法中哪个是正确的（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最小值3D．无法确定最值9．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°10．（3分）下列命题中正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．菱形的对角线相等C．三点确定一个圆D．圆内接四边形的对角互补11．（3分）在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个塔顶有（）盏灯．A．1B．2C．3D．712．（3分）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB 的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：x2y﹣y＝．14．（3分）不等式组的解集是．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝．16．（3分）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b＝．17．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数）708092将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．18．（3分）如图，直线y1＝﹣2x和双曲线y2＝﹣交于A、B两点，若y1＜y2，则x的取值范围是．三、解答题（本题共8个小题，共66分。
湖南长沙南雅中学高一下学期入学考试数学试题 含答案
长沙市南雅中学2020年上学期入学考试试卷高 一 数 学时量：120分钟 总分：150分 命题人玉 审题人：一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}1,0,1A =−，{}|11B x x =−≤<，则A B = () A ．{}1,0 B ．{}1,0− C ．{}0D ．{}1,0,1−2．命题“存在实数x ，使1x >”的否定形式是()A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤3．设1,(0)()cos 2,(0)x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩，则()3f π的值是()A ．12−B ．12C ．3−D ．23−4．ABC ∆中，若()()sin cos cos sin 1A B B A B B −+−≥，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或钝角三角形5．如果点(sin ,2cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．已知13212112,log ,log 33a b c −===，则（ ）（A ）a b c>>（B ）a c b >>（C ）c a b>>（D ）c b a>>7.如果33log log 4m n +=，那么m n +的最小值为()A ．4B ．3C ．9D ．188． 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于直线3x π=对称 B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线6x π=−对称 D ．关于点(,0)6π对称9．函数232sin 12y x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭是( ) A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数10．已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0,OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →11．已知函数1()lg ()2xf x x =−有两个零点21,x x ，则有（ ）A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x12．函数5log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有( )A ．7对B ．5对C ．3对D ．1对二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡中的对应题号后的横线上．13．cos300= 。
湖南省长沙市雨花区南雅中学2018-2019年九年级(下)开学数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年湖南省长沙市雨花区南雅中学九年级（下）开学数学试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 实数-3，√2，20，π，0.121221222…中，有理数的个数是（）6A.2B.3C.4D.52、(3分) 下列计算正确的是（）A.a2+a3=a5B.（a4）3=a12C.a2•a3=a6D.a6÷a2=a33、(3分) 2011年7月2日，杭州“最美妈妈”吴菊萍奋力接住了从10楼坠落的两岁妞妞，据估算接住妞妞需要承受约2950牛顿的冲击力，2950牛顿保留两个有效数字约为（）A.29.5×102B.2.95×103C.29×102D.3.0×1034、(3分) 不等式组{2x+3>53x−1<5的解集是（）A.1＜x＜2B.x＞1C.x＜2D.x＜1或x＞25、(3分) 下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆6、(3分) 如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（）A.4 5B.35C.43D.347、(3分) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A.a＜0B.abc＞0C.a+b+c＞0D.b2-4ac＞08、(3分) 若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A.-1B.1C.-4D.49、(3分) 有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A.事件A、B都是随机事件B.事件A、B都是必然事件C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件10、(3分) 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A.①②B.②③C.②④D.③④11、(3分) 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A.y=x2B.y=x-1C.y=34x D.y=1x12、(3分) 如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F ，BG⊥AE ，垂足为G ．若BG=4√2，则△CEF 的面积是（ ）A.√2B.2√2C.3√2D.4√2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13、(3分) 分解因式：mx 2-6mx+9m=______．14、(3分) 使代数式√2x−13−x 有意义的x 的取值范围是______．15、(3分) 甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们平均成绩均为8环，10次射击成绩的方差分别是：S 甲2=1.5，S 乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是 ______．（选填“甲”或“乙”）16、(3分) 已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为______．17、(3分) 已知关于x 的分式方程2x+2−ax+2=1的解为负数，那么字母a 的取值范围是______．18、(3分) 已知：C 32=3×21×2=3，C 53=5×4×31×2×3=10，C 64=6×5×4×31×2×3×4=15，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C 86=______，C 106=______．三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19、(6分) 计算：（√2）0+√12-tan60°+（13）-2．20、(6分) 先化简：（3a+1-a+1）÷a 2−4a+4a+1，并从0，-1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．21、(8分) 2014年世界杯足球赛6月12日-7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？（2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？（3）在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．22、(8分) 如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）23、(9分) “城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当0＜x≤28时，V=80；当28＜x≤188时，V是x的一次函数．函数关系如图所示．（1）求当28＜x≤188时，V关于x的函数表达式；（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）24、(9分) 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525、(10分) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和点Q （a ，b′），给出如下定义：若b ′={b , a ≥1−b , a <1，则称Q 点为P 点的限变点。
2018年湖南长沙南雅中学理实班招考数学卷含答案
⎨7 南雅高中部理实班招生初三数学试卷本试卷共有 20 道小题，满分 100 分，时间 90 分钟2018-3-11填空题（共 20 小题，每题 5 分，共 100 分）1. 若不等式组⎧x - 2m < 1恰有 3 个整数解，则 m 的范围为。
⎩1 - 2x ≤ 54.如图， ∆ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC = 120mm ，高 AD = 80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是mm 。
5.已知 a 、b 为有理数， m 、 n 分别表示5 - 的整数部分和小数部分，且 amn + bn 2 = 1， 则 2a + b =。
6.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4x + m = 0 。
若方程两实数根分别为 x ， x ，且满足125x 1 + 2x 2 = 2 ，则实数 m 的值为。
7.如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP = 1，点 D 为 AC 边上一点若∠APD = 60︒，则CD 的长为。
8.九年级（3）班的 50 名同学进行物理、化学两中实验测试，经最后统计知，物理实验做对的有 40 人，化学实验做对的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。
9.如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 y = k(k > 0)经过 A ， E 两点，x若平行四边形 AOBC 的面积为 18，则 k =。
10.分式方程 x x - 1 - 1 = m (x - 1) (x + 2 )有增根，则 m =。
11.已知不等式 ax + b > 0 的解集为 x > 3，则不等式bx - a < 0 的解集是 。
12.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 AE = 1 AB , AF = 1AD ，3 4连结 EF 交对角线 AC 于G ，则 AG= 。
南雅中学2018年高一入学试卷
长沙市南雅中学2018年高一新生入学考试 数学试卷考试时间：90分钟 总分：120分一、填空题（共60分，其中每题5分）1、若0b a >>，计算：a ba b-= . 2、实数m 取值范围是 时，360m m -+<3、卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范涛，主要是比较两个及两个以上样本率（构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
以下为一个典型的四格卡方检验，我们想知道是否吸烟与得肺癌之间有多大的关联，工作人员通过简单统计得到右边这个数据表：通过卡方计算公式()()()()()22n ad bc K a c a b b d c d -=++++·计算出的卡方值2K ≈ .（精确到0.01）4、如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0by b x=≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（4，2-），那么两交点之间的距离为 .5、α为锐角，52tan α=,则22sin cos αα-= . 6、已知关于x 的不等式组0420x a x ->->⎧⎨⎩的整数解共有4个，得肺癌人数 未得肺癌人数合计 吸烟人数 a=44 b=96 不吸烟人数 c=26 d=84 合计n=250则实数a 的取值范围是 .7、如右图，在平面直角坐标系中，每一个最小方格都是边长为1的正方形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则牌转中心的坐标为 . 8、已知二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，有如下 结论：①240b ac ->，②0abc > ，③9310a b ++> 则上述结论中，正确的个数是 .9、当0x >时，函数3242y x x x =-+的图像始终在函数y mx =（m 为整数）图像的1方（无交点），则m 的最大值为 .10、在平面直角坐标系中，以点3,4（）为圆心，r 为半径的圆上至多有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的中径r 的取值范围是 .11、如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则MNAF= . 12、某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图（1）、图（2）所示（注：图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线）。
南雅中学高一新生入学考试试卷
南雅中学高一新生入学考试试卷物理一、选择题(本大题8小题，每小题2分,共16分。
每小题至少有一个选项符合题目要求，不选、错选或多选均不得分，部分选取得1分)1、下列关于力的说法中，正确的是A.两个物体不接触，就一定不会发生力的作用B.人推车时，人也受到车施加的推力C.用手捏一个易拉罐，易拉罐被捏瘪了，表明力可以使物体发生形变D.排球运动员扣球使球的运动方向发生了改变，表明力可以改变物体的运动状态2、教室内9盏日光灯突然熄灭,检查发现保险丝未断,用试电笔检查室内各处电路,氖管都发光,则故障原因可能是A.日光灯全部烧坏B.进户零线断路C.室内线路某处短路D.进户火线断路3、有一架歼10战斗机正在空中某一高度匀速飞行，另一架伊尔76空中加油机给其加油，加油后战斗机仍以原来的高度和速度做匀速飞行，则战斗机的A.动能增加，势能减少，机械能不变B.动能不变，势能不变，机械能不变C.动能减少，势能不变，机械能减少D.动能增加，势能增加，机械能增加4、在图示的电路中,R1、R2、R3和R4都为定值电阻.电源的电动势为E,内阻不计,设电流表的读数为I,电压表的读数为U.当滑动触头向图示的a端移动时,正确的说法是变大,U变小变大,U不变变小,U变小变小,U变小5、如图所示，甲和乙分别是边长为10cm的正方体的铁块和铝块，甲放在水平地面上，乙悬挂在绳子的自由端。
若动滑轮重10N，则铁块对地面的压强为(ρ铁=×103kg/m3、ρ铝=×103kg/m3，g取10N/kg)6、眼睛、照相机、幻灯机这三种凸透镜在调节成像清晰度时,分别采用下述哪种方式(甲)焦距固定,物距基本固定,主要调节像距;(乙)焦距固定,像距基本固定,主要调节物距;(丙)物距固定,像距固定,调节焦距。
A.眼睛甲、照相机乙、幻灯机丙B.眼睛丙、照相机甲、幻灯机乙C.眼睛乙、照相机丙、幻灯机甲D.眼睛甲、照相机丙、幻灯机乙7、中华民族有着悠久的文明历史，我国古代就有人对自然现象进行观察和研究，留下了许多史料记载，下列是有关记载和相应物理本质的解释正确的是A.“山顶有泉.煮米不成饭”――山顶气压较低，泉水的沸点较高，水不容易沸腾B.“司南之杓，投之于地，其抵指南”——地球周围存在磁场C.“湖光映彩霞”——光的反射现象D.“潭清疑水浅”——光的折射现象8、关于在大气中水平匀速飞行的民航飞机与沿圆形轨道绕地球运行的人造卫星，下列叙述中正确的是A.民航飞机上乘客受地球的重力是零B.人造卫星内的设备受地球重力为零，因此处于失重状态C.飞机在空中水平匀速航行时不需要耗用燃料提供的动力D.人造卫星做匀速圆周运动时不需要耗用燃料提供的动力二、填空题(本大题6小题,每小题3分,共18分)9、用弹簧测力计拉着重200N的物体在水平桌面上做匀速直线运动，当速度为4m/s时，弹簧测力计的示数为20N，若速度为1m/s时，弹簧测力计的示数为_______N。
2018年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学一模试卷(J)
2018年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学一模试卷(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.的倒数是A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：，的倒数是．故选：D．根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2.如图是某个几何体的展开图，该几何体是A. 三棱柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱【答案】A【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．3.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有 000 04m，将 000 04用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.若正多边形的一个内角是，则该正多边形的边数是A. 6B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】解：设多边形为n边形，由题意，得，解得，故选：B．根据多边形的内角和，可得答案．本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．5.下列运算不正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：A、，正确，不符合题意；B、，错误，符合题意；C、，正确，不符合题意；D、，正确，不符合题意．故选：B．根据合并同类项的法则，负整数指数幂和同底数幂的运算法则，积的乘方法则，整式的除法法则进行计算即可．本题考查积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．6.一次函数的图象不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：一次函数中，，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过一、二、四象限．7.则这组数据的中位数与众数分别是A. 27，28B. ，28C. 28，27D. ，27【答案】A【解析】解：处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27．众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．故选：A．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8.下列判断错误的是A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．9.三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为A. 11B. 12C. 11或 13D. 13【答案】D【解析】解：，即，或，解得：或，若，则三角形的三边，构不成三角形，舍去；当时，这个三角形的周长为，故选：D．解方程求得x的值，再根据三角形三边之间的关系得出符合条件的x的值，最后求出周长即可．本题考查了一元二次方程的解法及三角形三边之间的关系解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果，，那么弦AB的长是A. 4B.C. 8D.【答案】C【解析】解：，PB为的切线，，，为等边三角形，．故选：C．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了切线长定理．11.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角为，则树OA的高度为A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：在中，米，为，米．故选：C．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．12.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为，反比例函数的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将沿DE翻折至处，点恰好落在正比例函数图象上，则k的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：矩形OABC，轴，轴，点B坐标为，的横坐标为6，E的纵坐标为4，，E在反比例函数的图象上，，，，，，连接，交ED于F，过作于G，，关于ED对称，，，，即，，，设，则，，，，，，，，．故选：B．根据矩形的性质得到，轴，轴，于是得到，，根据勾股定理得到，连接，交ED于F，过作于G，根据轴对称的性质得到，求得，设，则根据勾股定理即可得到结论．本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共6.0分）13.若有意义，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：要是有意义，则，解得．故答案为：．根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14.因式分解：______．【答案】【解析】解：．故答案为：．首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．15.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于______．【答案】【解析】解：它的侧面展开图的面积故答案为．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.在一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在那么估计a大约有______个【答案】12【解析】解：由题意可得，，解得，个．估计a大约有12个．故答案为：12．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．17.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______．【答案】【解析】解：根据题意得：，故答案为：．根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．18.如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．【答案】【解析】解：由图象得：对称轴是，其中一个点的坐标为图象与x轴的另一个交点坐标为利用图象可知：的解集即是的解集，故填：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．三、计算题（本大题共1小题，共1.0分）19.先化简：，再从、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】解：，当时，原式．【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在、2、3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．四、解答题（本大题共7小题，共7.0分）20.计算：【答案】解：原式．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质、负指数幂的性质分别化简进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．接受问卷调查的学生共有______名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______；请补全条形统计图；若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解””和“基本了解”程度的总人数；“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．【答案】60；【解析】解：根据题意得：名，“了解”人数为名，“基本了解”占的百分比为，占的角度为，补全条形统计图如图所示：故答案为：60、；根据题意得：人，则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为400人；所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，则两人打平的概率为．由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360得到结果，补全条形统计图即可；求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以1200即可得到结果；列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率．本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．22.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．求证：四边形BCDE为菱形；连接AC，若，，求AC的长．【答案】解：证明：，E为AD的中点，，，四边形BCDE是平行四边形，，，，四边形BCDE是菱形．解：连接AC．，，，，，，，，，，，，在中，．【解析】由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；只要证明是直角三角形，，即可解决问题；本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：若只在国内销售，销售价格元件与月销量件的函数关系式为，成本为20元件，月利润为内元；若只在国外销售，销售价格为150元件，受各种不确定因素影响，成本为a元件为常数，，当月销量为件时，每月还需缴纳元的附加费，月利润为外元．若只在国内销售，当件时，______元件；分别求出内、外与x间的函数关系式不必写x的取值范围；若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．【答案】140【解析】解：当时，，故答案为：140．．内．外由题意得．解得或．经检验，不合题意，舍去，．将代入函数关系式求得y即可；根据等量关系“利润销售额成本广告费”“利润销售额成本附加费”列出两个函数关系式；对内函数的函数关系式求得最大值，再求出外的最大值并令二者相等求得a值．本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出内，与x间的函数关系式是解题的关键外24.如图，圆O是的外接圆，AE平分交圆O于点E，交BC于点D，过点E作直线．判断直线l与圆O的关系，并说明理由；若的平分线BF交AD于点F，求证：；在的条件下，若，，求AF的长．【答案】解：直线l与相切．理由：如图1所示：连接OE．平分，．，．，．直线l与相切．平分，．又，．又，．．由得．，，∽ ．，即，解得；．．【解析】连接由题意可证明，于是得到，由等腰三角形三线合一的性质可证明，于是可证明，故此可证明直线l与相切；先由角平分线的定义可知，然后再证明，于是可得到，最后依据等角对等边证明即可；先求得BE的长，然后证明 ∽ ，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得是解题的关键．25.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零例如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．分别判断函数，，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；函数若其不变长度为零，求b的值；若，求其不变长度q的取值范围；记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，函数G的图象由和两部分组成，若其不变长度q满足，则m 的取值范围为多少？【答案】解：函数，令，则，无解；函数没有不变值；函数，令，则，解得：，函数的不变值为，，函数，令，则，解得：，，函数的不变值为：2或，；函数，令，则，整理得：，，且，解得：；由知：，或，解得：，，，，，；记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数G的图象关于对称，：，当时，，；当时，，当，即时，；当，即时，，，当时，，，，不符合题意，舍去；当时，，当时，；当时，舍去，，此时，，舍去；当时，舍去，，此时，，；当时，舍去，舍去，此时，，舍去；综上所述：m的取值范围为或．【解析】根据定义分别求解即可求得答案；首先由函数，求得，然后由其不变长度为零，求得答案；由，利用，可求得其不变长度q的取值范围；由记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，可得函数G的图象关于对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．26.如图，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作轴于点C，交抛物线于点E．求抛物线的解析式；若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．连接BE，是否存在点D，使得和相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：当时，有，解得：，，点A的坐标为．当时，，点B的坐标为．，，解得：，抛物线的解析式为．点A的坐标为，点B的坐标为，直线AB的解析式为．点D的横坐标为x，则点D的坐标为，点E的坐标为，如图．点F的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，．，当时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为，与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．，，若要和相似，只需或如图．设点D的坐标为，则点E的坐标为，，当时，，，，为等腰直角三角形．，即，解得：舍去，，点D的坐标为；当时，点E的纵坐标为4，，解得：，舍去，点D的坐标为．综上所述：存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式待定系数法，由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；由、，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需或，设点D的坐标为，则点E 的坐标为，进而可得出DE、BD的长度当时，利用等腰直角三角形的性质可得出，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；当时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；利用三角形的面积找出S关于x的函数关系式；分及两种情况求出点D的坐标．。
2018届高一新生入学考试数学试题
B． (mn)3=mn3
C． C． m6÷a3=a2
D． D． (m2)3=m6
3.某学校在进行防溺水安全教育下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容
分别是： ①互相关心； ② 互相提醒； ③不要相互嬉水； ④相互比潜水深度； ⑤ 选择水
流湍急的水域； ⑥选择有人看护的游泳池，其中有两项是不正确的行为。小颖从这 6
频数频率分布表 成绩 x （分） 频数（人）
50≤ x ＜ 60
10
60≤ x ＜ 70
30
70≤ x ＜ 80
40
80≤ x ＜ 90
m
90≤ x 100
50
频率
频数 (人)
0.05 0.15
n
.035 0.25
第 16 题图
频数分布直方图
成绩（分）
根据所给信息，解答下列问题：
(1) m =
，n=
张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（
）
A．
B． C． D．
4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好 停下来修车，修好车后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶， 下面是行驶路程 S(米)关于时间 t(分 )的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象 大致是 ( )
利用上述公式求解下列问题： （ 1）求 tan 75 的值；
（ 2）若 A, B 为锐角且 A B 45 时，求 (1 tan A)(1 tan B) 的值；
（ 3）求 (1 tan 1 )(1 tan 2 )(1 tan 3 ) (1 tan 43 )(1 tan 44 ) 的值 .
18.（14 分）如图，在平面直角坐标系 A(4,0),顶点为 B，连接 AB、BO.
2018年湖南长沙南雅中学理实班招考数学卷含答案(Word版)
2017-2018-2南雅高中部理实班招生初三数学试卷本试卷共有20道小题，满分100分，时间90分钟 2018-3-11填空题（共20小题，每题 5分，共100 分）X - 2m <1恰有3个整数解，则m 的范围为1 一 2x < 52 已知丄. 吁血二出= 'a b 2 2a+2ab-2b --------3.若白|=1-丄，此=1-丄，□ =1-— f … m Qy4.如图， ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC = 120mm ，高AD = 80mm ，要把它加工 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上，这个正方形1.若不等式组』 成正方形零件，使正方形的一边在零件的边长是 mm。
5.已知a 、b 为有理数,n 分别表示5 - 7的整数部分和小数部分，且 amn bn 2 二 1， 则 2a b =6.已知关于x 的一元二次方程 x 2 - 4x m 二0。
若方程两实数根分别为 x ， 1 x ，且满足 2 5x 1 - 2x 2二2，则实数m 的值为7.如图，等边三角形ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点，且BP 二1,点D 为AC 边上一点若.APD 二60，则CD 的长为 ____________ B p C8.九年级（3）班的50名同学进行物理、化学两中实验测试，经最后统计知，物理实验做对的有40人，化学实验做对的有 31人，两种实验都做错的有 4人，则这两种实验都做对的 有一人。
k9.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y = _（k > 0）经过A，E两点,x10.分式方程O若平行四边形11.已知不等式ax b .0的解集为x 3,则不等式bx -a :：: 0的解集是1 1 12.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，且AE二[AB, AF =1 AD，3 4 连结EF交对角线AC于G ,则竺o13.在平面直角坐标系中，已知直线是y轴上一点，把坐标平面沿直线3y x - 3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C 0, n 4 AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则n =14.二次函数y =ax2 a -b x -b的图象如图所示，那么化简Ja2— 2ab +b2 -|b| 的结果是115•已知抛物线y二-x2 bx经过点A 4, 0。
湖南省2018-2019学年长沙市南雅中学高一上第三次月考数学试
湖南省长沙市南雅中学2018-2019学年高一上第三次月考数学试（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为U={n|n∈N∗且n<9}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，则∁U(S∪T)等于()A. ⌀B. {2,4，7，8}C. {1,3，5，6}D. {2,4，6，8}【答案】B【解析】解：全集为U={n|n∈N∗且n<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，∴S∪T={1,3，5，6}，∴∁U(S∪T)={2,4，7，8}．故选：B．用列举法写出全集U，根据并集与补集的定义运算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=√xB. y=x3C. y=−x2D. y=log2|x|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=√x，其定义域为[0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，y=x3，为奇函数，不符合题意；对于C，y=−x2，是二次函数，是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y=log2|x|={log2(−x),x<0log2x,x>0，是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.设矩形边长分别为a、b(a>b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面)，其体积分别为V a和V b，则V a与V b的大小关系是()A. V a>V bB. V a=V bC. V a<V bD. 不确定【答案】C【解析】解：当高为a时，底面周长为b，则底面半径为：b2π故V a=π⋅(b2π)2⋅a=ab4π⋅b，同理可得当高为b时，V b=ab4π⋅a，∵a>b∴V a<V b故选：C．根据圆柱的几何特征，分别计算V a和V b，根据不等式的基本性质，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的几何特征，是解答的关键．4.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为()A. log3π<0.993.3<log20.8B. log20.8<log3π<0.993.3C. log20.8<0.993.3<log3πD. 0.993.3<log20.8l<log3π【答案】C【解析】解：∵0<0.993.3<0.990=1，log3π>log33=1，log20.8<log21=0．∴log20.8<0.993.3<log3π．故选：C．利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．5.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n②若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//β③若m，n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β④如果m⊥α，n//α，那么m⊥n上面命题中，正确的序号为()A. ①②B. ①③C. ③④D. ②③④【答案】C【解析】解：对于①，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面，故错；对于②，若m，n⊂α，m//β，n//β且m、n相交，则α//β，故错；对于③，若m，n是两条异面直线，若m//α，n//α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α//β，故正确；对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确；故选：C．①，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面；②，若m，n⊂α，m//β，n//β且m、n相交，则α//β；③，若m，n是两条异面直线，若m//α，n//α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α//β；④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n；本题考查了空间线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．6.函数f(x)=x2√2−x+log2(x+3)的定义域是()A. (−3,2)B. [−3,2)C. (−3,2]D. [−3,2]【答案】A【解析】解：由{x+3>02−x>0，解得−3<x<2．∴函数f(x)=2√2−x+log2(x+3)的定义域是(−3,2)．故选：A．由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．7.在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】A【解析】解：连接AC，如图所示：因为PA⊥面ABCD，所以∠PAC是PC与面ABCD所成的角，即为所求角．因为在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，所以AC=√3，又因为PA=1，所以tan∠PAC=√3=√33，所以PC与面ABCD所成的角∠PAC是30∘．故选：A．连接AC，由PA⊥面ABCD，可得∠PAC是PC与面ABCD所成的角，即为所求角，再结合题中条件与三角形的有关知识即可得到答案．此题主要考查线面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．8.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中错误的是()A. AC⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A−BEF的体积为定值D. △AEF的面积与△BEF的面积相等【答案】D【解析】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD//B1D1，∴AC⊥BE，EF//平面ABCD，三棱锥A−BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD//B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.已知2lg(x−2y)=lgx+lgy，则xy的值为()A. 1B. 4C. 1或4D. 14或4【答案】B【解析】解：∵2lg(x−2y)=lg(x−2y)2=lg(xy)，∴x2+4y2−4xy=xy∴(x−y)(x−4y)=0∴x=y(舍)或x=4y∴xy=4故选：B．根据对数的运算法则，2lg(x−2y)=lg(x−2y)2=lg(xy)，可知：x2+4y2−4xy=xy，即可得答案．本题主要考查对数的运算性质．10. 已知定义域为R 的函数f(x)在区间(−∞,5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5+t)=f(5−t)，那么下列式子一定成立的是( )A. f(−1)<f(9)<f(13)B. f(13)<f(9)<f(−1)C. f(9)<f(−1)<f(13)D. f(13)<f(−1)<f(9)【答案】C【解析】解：∵f(5+t)=f(5−t)∴函数f(x)的图象关于x =5对称 ∴f(−1)=f(11)，∵函数f(x)在区间(−∞,5)上单调递减， ∴f(x)在(5,+∞)上为单调递增． ∴f(9)<f(11)<f(13)， 即f(9)<f(−1)<f(13)． 故选：C ．由f(5+t)=f(5−t)，知函数f(x)的图象关于x =5对称，然后利用在区间(−∞,5)上单调递减，可得函数在R 上的单调性，从而可得函数值的大小关系．本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．11. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB =90∘，∠BAC =30∘，BC =1，且三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为( )A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π【答案】A【解析】解：∵∠ACB =90∘，∠BAC =30∘，BC =1，∴AC =√3． ∵AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =12×1×√3⋅CC 1=3，得CC 1=2√3， ∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球半径r =12√1+(√3)2+(2√3)2=2，∴S 表=4π×22=16π． 故选：A ．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算．本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．12. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤√31−log 3x,x >√3，若f(a)=f(b)=f(c)且a <b <c ，则ab +bc +ac 的取值范围为( )A. (1,4)B. (1,5)C. (4,7)D. (5,7)【答案】D【解析】解：作出函数f(x)的图象如图， 不妨设a <b <c ，a ∈(√33,1)，b ∈(1,√3)，c ∈(√3,3)， 由图象可知，−log 3a =log 3b ，则log 3a +log 3b =log 3ab =0，解得ab =1，1−log 3c =log 3b ，则log 3b +log 3c =log 3bc =1，解得bc =3， ∴ac ∈(1,3)，∴ab +bc +ca 的取值范围为(5,7) 故选：D ．画出函数f(x)的图象，根据a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，我们令a <b <c ，我们易根据对数的运算性质，及a ，b ，c 的取值范围得到ab +bc +ca 的取值范围． 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数y =f(x)过点(12,2√2)，则f(9)=______． 【答案】127【解析】解：∵幂函数y =f(x)=x α过点(12,2√2)， ∴f(12)=(12)α=2√2，解得α=−32， ∴f(x)=x −32， f(9)=9−32=127． 故答案为：127．由幂函数y =f(x)=x α过点(12,2√2)，求出f(x)=x −32，由此能求出f(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14. 空间四边形ABCD 中，AB =CD 且AB 与CD 所成的角为50∘，E 、F 分别是BC 、AD的中点，则EF 与AB 所成角的大小为______． 【答案】25∘或65∘【解析】解：取BD 中点G ，连结EG ，FG ， 则由三角形中位线定理得EG//CD ，EG =12CD ， FG//AB ，FG =12AB ，∴EG =FG ， EF 与AB 所成角为∠EFG ， ∵AB 与CD 所成的角为50∘， ∴∠EGF =50∘或∠EGF =130∘， ∴EF 与AB 所成角的大小为25∘或65∘． 故答案为：25∘或65∘．取BD 中点G ，连结EG ，FG ，推导出EG =FG ，EF 与AB 所成角为∠EFG ，由AB 与CD 所成的角为50∘，得∠EGF =50∘或∠EGF =130∘，由此能求出EF 与AB 所成角的大小． 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15. 圆锥的轴截面是一个边长为(2+√6)的正三角形，则它的内接正方体的体积为______． 【答案】34√2−27√3【解析】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为(2+√6)的正三角形， ∴圆锥的底面半径r =2+√62，高为ℎ=√(2+√6)2−(2+√62)2=3√2+2√32，设它的内接正方体的棱长为a ，则√2a 2+√6=3√2+2√32−a 3√2+2√32，解得：a =2√2−√3它的内接正方体的体积a 3=34√2−27√3 故答案为：34√2−27√3．根据已知求出内接正方体的棱，代入正方体体积公式，可得答案．题考查圆柱的侧面积和内切球的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 已知在矩形ABCD 中，AB =2√2，BC =a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的最小值是______．【答案】4√2【解析】解：假设在BC 边长存在点Q ，使得PQ ⊥DQ ， 连结AQ ，∵在矩形ABCD 中，AB =2√2，BC =a ，PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥DQ ，∵PQ ⊥DQ ，∴DQ ⊥平面PAQ ，∴DQ ⊥AQ ，∴∠AQD =90∘， 由题意得△ABQ∽△QCD ，设BQ =x ，∴x(a −x)=8，即x 2−ax +8=0(∗)， 当△=a 2−32≥0时，(∗)方程有解，∴当a ≥4√2时，在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ， 故a 的最小值为4√2． 故答案为：4√2．连结AQ ，推导出PA ⊥DQ ，由PQ ⊥DQ ，得DQ ⊥平面PAQ ，从而DQ ⊥AQ ，由题意得△ABQ∽△QCD ，设BQ =x ，则x(a −x)=8，当a ≥4√2时，在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ，由此能求出a 的最小值．本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|3≤x ≤9},B ={y|y =4x ,x ≥1},C ={y|y =log 13x,x ∈A}，D ={x|x 2+ax +b ≤0}．(1)求(∁U A)∩B ； (2)若C =D ，求a +b 值． 【答案】解：(1)∵x ≥1； ∴4x ≥4； ∴B ={y|y ≥4}；∴∁U A ={x|x <3，或x >9}； ∴(∁U A)∩B ={x|x >9}； (2)∵x ∈A ={x|3≤x ≤9}； ∴log 139≤log 13x ≤log 133；∴−2≤log 13x ≤−1；∴C =[−2,−1]；∵D ={x|x 2+ax +b ≤0}，且C =D ； ∴−2，−1是方程x 2+ax +b =0的两实根； ∴根据韦达定理得{(−2)⋅(−1)=b −2−1=−a； ∴a =3，b =2； ∴a +b =5．【解析】(1)容易得出B={y|y≥4}，然后进行交集、补集的运算即可；(2)可以得出C=[−2,−1]，由C=D可知，−2，−1是方程x2+ax+b=0的两个实数根，根据韦达定理即可求出a，b，从而求出a+b值．考查指数函数、对数函数的单调性，函数单调性定义，以及交集、补集的运算，集合相等的概念，一元二次不等式的解法，韦达定理．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2√3，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=π3．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．【答案】解：(Ⅰ)∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由∠ACB=∠ACD=π3，∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．(Ⅱ)∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F−BCD的高是三棱锥P−BCD的高的18．△BCD的面积S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=12×2×2×sin2π3=√3．∴三棱锥P−BDF的体积V=V P−BCD−V F−BCD=13⋅S△BCD⋅PA−13⋅S△BCD⋅ 18⋅PA=7 8×13⋅S△BCD⋅PA=724×√3×2√3=74．【解析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．(Ⅱ)由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F−BCD的高是三棱锥P−BCD的高的18.求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P−BDF的体积V=V P−BCD−V F−BCD=1 3⋅S△BCD⋅PA−13⋅S△BCD⋅ 18⋅PA，运算求得结果．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．19. 某商品每件成本为80元，当每件售价为100元时，每天可以售出100件.若售价降低10x%，售出商品的数量就增加16x%．(1)试建立该商品一天的营业额y(元)关于x 的函数关系式；(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，且又不能亏本，求x 的取值范围． 【答案】解：(1)所求函数关系式为y =100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)(x >0)…(3分) 又售价不能低于成本价，所以100(1−x10)−80≥0，解得0≤x ≤2． ∴y =100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)，定义域为[0,2]． (不写定义域不扣分) (2)依题意建立不等式组：{100(1−0.1x)≥80(2)100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)≥10260(1)…(6分)解(1)得：12≤x ≤134…(8分)解(2)得：x ≤2…(9分)综上所述，12≤x ≤2，即x 的取值范围是[12,2].…(10分) 说明：无不等式(2)共扣(2分)．【解析】(1)根据营业额=售价×售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x 的取值范围； (2)根据题意，列出不等式，求解即可．本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点． (1)求证：MN//平面PCD ； (2)求证：平面MNQ//平面PBC ．【答案】证明：(1)由题意：四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形， 点M ，N ，Q 分别是PA ，BD ，PD 的中点， ∴N 是AC 的中点， ∴MN//PC ，又∵PC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴MN//平面PCD ． (2)由(1)，知MN//PC ，∵M ，Q 分别是PA ，PD 的中点，∴MQ//AD//BC ，又∵BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC =C ，MQ ⊂平面MNQ ，MN ⊂平面MNQ ，MQ ∩MN =M ，∴平面MNQ//平面PBC ．【解析】(1)推导出四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，MN//PC ，由此能证明MN//平面PCD ．(2)推导出MN//PC ，MQ//AD//BC ，由此能证明平面MNQ//平面PBC ．本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. 已知函数g(x)=ax 2−2ax +1+b(a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x ．(1)求a 、b 的值；(2)若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−2,−1]上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：g(x)=ax 2−2ax +1+b(a >0)开口向上，对称轴x =1，∴在区间[2,3]上时增函数．则{g(3)=4g(2)=1，即{3a +1+b =4b+1=1解得{b =0a=1∴g(x)=x 2−2x +1．(2)由(1)可得g(x)=x 2−2x +1．那么：f(2x )=2x +12x −2．不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0，即2x +12x −2≥k ⋅2x ，设t =12x ，因x ∈[−2,−1]，故t ∈[2,4]，可得：t 2−2t +1≥k ．∴ℎ(t)min =1，故得k 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)根据二次函数的性质求解在在区间[2,3]上有最大值和最小值，即可得a 、b 的值；(2)求解f(2x )的解析式，利用换元思想，利用二次函数性质即可求解实数k 的取值范围． 本题考查了二次函数的性质和转化思想的运用，属于中档题．22. 已知函数f(x)为R 上的偶函数，g(x)为R 上的奇函数，且f(x)+g(x)=log 4(4x +1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12log 2(a ⋅2x +2√2a)(a >0)在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)因为，f(x)+g(x)=log 4(4x +1)…①，∴f(−x)+g(−x)=log 4(4−x +1)，∴f(x)−g(x)=log 4(4x +1)−x …② 由①②得，f(x)=log 4(4x +1)−x 2，g(x)=x 2．(2)由ℎ(x)=f(x)−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=log 4(4x +1)−x 2−12log 2(a ⋅2x +2√2a) =12log 2(22x +1)−x 2−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=0．得：log 222x +12x =log 2(a ⋅2x +2√2a)⇒(a −1)22x +2√2a ⋅2x −1=0，令t =2x ，则t >0，即方程(a −1)t 2+2√2at −1=0…(∗)只有一个大于0的根，①当a =1时，t =√24>0，满足条件； ②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a >1，③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则△=8a 2+4(a −1)=0，∴a =12，a =−1(舍)a =12时，t =2√2>0，综上：a =12或a ≥1．【解析】(1)利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．(2)利用函数只有一个零点，通过换元法，对a 讨论，结合二次函数的性质求解即可． 本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．。
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长沙市南雅中学2018年高一新生入学考试 数学试卷
考试时间：90分钟 总分：120分
一、填空题（共60分，其中每题5分）
1、若0b a >>，计算：
a b a b
-=. 2、实数m 取值范围是时，360m m -+<
3、卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范涛，主要是比较两个及两个以上样本率（构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
以下为一个典型的四格卡方检验，我们想知道是否吸烟与得肺癌之间有多大的关联，工作人员通过简单统计得到右边这个数据表：
通过卡方计算公式()
()()()()
2
2n ad bc K a c a b b d c d -=++++·计算出的卡方值2K ≈.
（精确到0.01）
4、如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b
y b x
=
≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（4，2-），那么两交点之间的距离为.
5、α为锐角，5
2
tan α=
,则22sin cos αα-=. 得肺癌人数 未得肺癌人数
合计 吸烟人数 a=44 b=96 不吸烟人数 c=26 d=84 合计
n=250
6、已知关于x 的不等式组0
420x a x ->->⎧⎨⎩的整数解共有4个，则实数a 的取值范围
是.
7、如右图，在平面直角坐标系中，每一个最小方格都是边长为1的正方形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则牌转中心的坐标为. 8、已知二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，有如下 结论：①240b ac ->，②0abc > ，③9310a b ++> 则上述结论中，正确的个数是.
9、当0x >时，函数32
42y x x x =-+的图像始终在函数y mx =（m 为整数）图
像的1方（无交点），则m 的最大值为.
10、在平面直角坐标系中，以点3,4（）为圆心，r 为半径的圆上至多有两点到x
轴所在直线的距离等于1，则圆的中径r 的取值范围是. 11、如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，
AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则MN
AF
=.
12、某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今
年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图（1）、图（2）所示（注：图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线）。
根据图像信息可以得出：出售这种蔬菜，收益最大的月份中，每吨蔬菜的收益是
元.
二、解答题（共60分，其中每题20分，分为4小问，每小问5分）
13、解下列方程或方程组：
（1）234x x x x +=-（）（）
（2）22
xy 1x y z +=-=⎧⎨⎩
（3）1x ax =+()1a ＜
（4
）223x x
⎫+=⎪⎭
14、已知二次函数2
y ax bx c =++ 的图像曲线C 经过（1，0）点.
（1）求证：0a b c ++=；
（2）将曲线C 向下平移4个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的图信C ’的顶点是（2-，0），求原二次函数的解析式； （3）若一次函数2y x t =-+的图像l 被（2）中的曲线C 截的线段长为10，求实数t 的值；
（4）平面上是否存在一次函数的图像，分别与（2）中的曲线C 、曲线C’有且仅有一个交点，如果存在，求出该一次函数的解析式；如果不存在，请说明理由。
15、如图，AB是半圆直径，点C是弧AB的中点，点D劣弧AC的中点，连接AC，BD交于点E，
（1）求∠CDB的大小；
（2）求∠CBD的正弦值；
（3）若△ABC的内心为点I，求证：2.
I=；
D D
E DB
（4）若AB=2，在劣弧BC上取动点F，求五边形ABFCD面积的取值范围。