2020考研数学高等数学洛必达法则
2020年考研数学(高数、线代、概率论)最全公式手册
且 lim (x) lim (x) A, 则 lim f (x) A
xx0
x x0
x x0
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
极限存在 的两个准 则：单调 有界准则 和夹逼准 则，两个 重要极 限：
sin x (1) lim 1
x0 x
1
(2) lim(1 x) x e x0
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx
(7) y tan x
y
1 cos2
x
sec2
x
d(tan x) sec2 xdx
(8) y cot x
(9) y sec x (10) y csc x
y
1 sin2
x
csc2
x
d(cot x) csc2 xdx
y sec x tan x
d(sec x) sec x tan xdx
y csc x cot x
d(csc x) csc x cot xdx
(11) y arcsin x (12) y arccos x
y 1 1 x2
重要公式： lim a0 xn a1xn1 an1x an x b0 xm b1xm1 bm1x bm
0ab,00n,
n
m m
, n m
4 几个常用极限特例
lim n n 1,
n
lim arctan x
连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.
Th3: f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 )
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
高考培优点 洛必达法则
跟踪训练 1 若∀x∈[1，＋∞)，不等式 ln x≤mx－1x恒成立，求实数 m 的 取值范围.
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
当 x>1 时，m≥xx2l－n x1恒成立，
令 h(x)＝xx2l－n x1，x>1，
则
h′(x)＝ln
x＋1x2－1－2x·xln x2－12
x＝x2－x2lxn2－x－1ln2
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
lim
x→a
gfxx＝lxi→ma
gf′′xx＝lxi→ma
gf″″xx，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
0 题型一 用洛必达法则处理 型函数
0
例 1 设函数 f(x)＝2＋sincoxs x.如果对任何 x≥0，都有 f(x)≤ax，求 a 的取值 范围.
思维升华
∞
∞
用洛必达法则处理∞型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现∞型式子；(3)运
用洛必达法则求值.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a， 求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
12
且 h(x)>h(0)＝0，所以 g′(x)＝hxx2>0，
从而 g(x)＝ex－x 1在(0，＋∞)上单调递增，
所以 a≤lim x→0
ex－1 x.
由洛必达法则得lim x→0
g(x)＝lim x→0
ex－x 1＝lxi→m0
e1x＝1，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.
高等数学-洛必达法则
解： 令y(2arctxa)xn
则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim
x
1 x2
lx im(1x2).xa2rctaxn
2
2
e
◆其它形式的未定式的定值
0 , ,00,1, 0
（1）形如 0 的未定式
解题方法：将未定式变形
0
0
1 0
0 0
1
例 求极限 limxcot3x x0
0
其他形式的未 定时应通过恒 等变形转化为
0 型 0
解：原 li式 mx x0ta3nx
lx im0 3se1c2 3x
1limco2s3x1
x0
x
所以 lim(1)tanx e0 1
则
1 lnytaxnlntaxnlnx
x x0
x
所以 lilm n yli m taxlnn x
x 0
x 0
limlnxlim
1 x
x0 coxt x0 cs2cx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
解： 原 lim e式 xex2 lim ex ex limex ex 2 x 0 1coxs x0 sin x x0 cosx
例：
lim sin x
x0 x
0型 0
解：原 lim c式 ox s1 x 0
练习：求下列函数极限（方法不限）
lnx1 (1) lim
xe xe
浅析洛必达法则在考研数学中的运用
浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。
这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。
掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。
本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。
洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。
这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。
简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。
在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。
在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。
例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。
在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。
在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。
例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。
为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。
考生要学会选择合适的解题方法。
对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。
考生要学会如何快速锁定答案。
在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。
例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。
洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。
高等数学(第二章第八节洛必达法则)
1 x + . 1 − x ln x
解
1 ln (1 + x ) − x 1 = lim lim − x →0 x x → 0 ln (1 + x ) x ln (1 + x )
解
1 −1 1 + x = lim = lim x →0 x →0 x2 2x −x 1 = lim =− . x →0 2 x (1 + x ) 2 ln (1 + x ) − x
0 ∞ 类型为 和 . 以及这两种形式的变形. 0 ∞
lim
x →0
sin x = 1, x
lim
x →0
x − sin x sin x = lim 1 − = 1 − 1 = 0, x →0 x x
而
x2 1 − cos x 1 lim = lim 23 = lim = ∞. x →0 x →0 x x →0 2 x x3
问题的提出： 问题的提出：考虑下列极限
第八节 洛必达法则 本节要点 本节要点
本节用求导的方法， 本节用求导的方法，来求出某些未定型的极限. 基本
lim
x →0
sin x x − sin x 1 − cos x , lim , lim x → 0 x → 0 x x x3
0 型极限. 0
当 x → 0 时分子、 时分子、分母极限都是0，因此都是 但是
x →0
+
xx .
(00 型）
幂指型的未定式有 幂指型的未定式有 0 ,1 , ∞ 三种类型， 三种类型， 对幂指函数类的极限， 对幂指函数类的极限，常用的方法就是取对数将其转 化成前面的类型. 解
x →0 +
高等数学第一节 微分中值定理 洛必达法则
2 1. 2
2020/4/30
例 14 计算l i m 1x2 . x x
解 所求极限为 “ ” 型若. 不断运用法则，则有
1x2
( 1x2)
lim
lim
lim
x
x x
x (x)
x 1 x2
l i m (x)
1x2
lim
.
( x 1x2 ) x x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
”型未定型，我们连续 n
x l ie x m x n x l in m e x n 1 x x l in ( m n e 1 x ) x n 2 x l ie n x m ! 0 .
2020/4/30
三、其他类型未定型极限的计算
未定型的类型虽然很多， 但是
“0
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、其他类型未定型极限的计算
2020/4/30
一、微分中值定理
罗尔定理 如果函数 y = f (x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b)内可导， 且在区间端点处 的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，那么至少存在一点
exco xs exsixn
考研高数--洛必达法则及函数的连续性
洛必达法则及函数的连续性一、洛必达法则Ａ、洛必达法则使用条件1、下列各题计算过程中正确无误的是（ ）（A ）数列极限()01lim ln lim ln lim ==''=∞→∞→∞→nn n n n n n n （B ）06sin lim 26cos lim 123sin lim 21121=ππ-=-ππ=--π→→→x x x x x x x x x （C ）xx xx x x x x x cos 1cos 1sin 2lim sin 1sin lim 020-=→→不存在 （D ）∞=-+=-+→→xx x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim 002、求x x x x x cos 23sin 3lim -+∞→3、求230)(arctan 1sinlim x x x x →用洛必达法则应注意的事项：（1）只有00或∞∞型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只要是00或∞∞，则可一直用下去 （2）每用完一次法则，要将式子整理化简（3）为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用（4）)()(lim x g x f ax ''→不存在（非∞型） )()(lim x g x f a x →不存在 （5）当∞→x 时，极限式中含有x x cos ,sin 不能用法则（6）当0→x 时，极限式中含有xx 1cos ,1sin 不能用法则B 、未定式的极限运算的原则：一步比一步简单 a. 00型 4、30)(arcsin arcsin limx x x x -→5、)1ln(1sin 21lim0x x x x x +--+→6、11lim32cos 0-+-→x e e x xb. ∞∞型 7、求2202limx x t x xe dt e t ⎰+∞→提示：若∞→x 的极限中含有)1,0(≠>a a a x ，或x a r c t a n ，x arc cot ，一定要分别求出+∞→x 与-∞→x 的极限，两者相等，则∞→x 时的极限存在，否则不存在8、求xe x x e x x x +-∞→arctan limc.∞-∞型⇒00或∞∞型，再用法则或“抓大头”方法处理，求解方法有三种 （1）通分 （2）根式有理化 （3）变量替换9、求)cot 1(lim 220x xx -→10、求)(lim x x x x x -+++∞→11、求)]11ln([lim 2xx x x +-∞→d.∞⋅0型⇒00或∞∞型，再用法则或“抓大头”方法处理 12、22)2arctan 2(lim x x x -∞→π13、]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x14、xx x x sin ln 1lim20→e.∞∞1000，，型用对数恒等式 ∞⋅0型⇒00或∞∞型 15、x x x ln 120lim +→+16、x x x sin 0)(cot lim +→17、x x x )arctan 2(lim π+∞→18、210)arcsin (lim x x x x →19、21)1(sin lim n n n ∞→(提示：数列的极限转化为函数的极限求解)二、间断点的判定（关键是会求极限） 20、求下列函数的间断点并判别类型（1）1212)(11+-=x x x f（2）x x x x f n nn ⋅+-=∞→2211lim )(（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+=011sin 0cos 2)2()(2x x x x x x x f π先判断第二类：左右极限)0(0+x f ，)0(0-x f 至少有一个不存在 再判断第一类：)0(0+x f )0(0-=x f 可去间断点)0(0+x f )0(0-≠x f 跳跃间断点三、极限式中常数的确定常用方法：（1）抓大头；（2）洛必达法则21、设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x n ，则a 的值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）58 （D ）以上均不对22、设0)23()5)(4)(3)(2)(1(lim ≠=------∞→βαx x x x x x x ，则βα,的数值为【 】 （A ）31,1==βα （B ）31,5==βα （C ） 531,5==βα （D ）以上均不对23、设)]sin (sin sin 1[sin 1)(22x x x xx f βα+-++=，且0=x 是)(x f 的可去间断点，求βα,24、确定正数a 和b ，使得2sin 1lim 0220=+-⎰→dt ta t x bx x x。
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奋战2016年考研的帷幕已经拉开，又一个不平凡的四季来临，新一轮考研历程也开始叙写它的篇章。
考研的各门科目中，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，应及早复习为佳。
与考研英语相比，考研数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。
高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要。
2016年考研复习已经开始了，希望考生能够好好利用，做好规划。
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