高等数学-洛必达法则
高等数学：洛必达法则
洛必达法则一、基本内容洛必达法则：设函数)(x f 和)(x g（1）在0x 的某去心邻域（或M x >||，0>M ）内可导且0)(≠'x g ； （2）当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 和)(x g 都趋于零（或都是无穷大）； （3）)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→存在（或为无穷大），则)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→存在（或为无穷大），且)()(lim)()(lim)()(00x g x f x g x f x x x x x x ''=∞→→∞→→ 洛必达法则以导数为工具，给出了计算未定式极限的一般方法。
二、学习要求熟练掌握用洛必达法则求未定型极限的方法。
三、基本题型及解题方法 题型1 利用洛必达法则求“00”与“∞∞”型极限 解题方法：在验证了是这两种类型极限后，首先应该想到第一章中提到的各种方法，如约掉零因子，等价无穷小替换等等，然后再结合洛必达法则一起解题。
在应用该法则时要注意，分子分母同时取导数，当取导之后仍为“00”或“∞∞”，可以再次利用洛必达法则，而且当洛必达法则失败时，也不代表极限不存在，要重新研究。
【例1】 求下列极限： （1）22)2(sin ln limx x x -→ππ； （2）xx xx x tan tan lim20-→ （3）ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→ 解：（1）所给极限为型，由洛必达法则，有22)2(sin ln limx x x -→ππ)2(4cot lim 2/x xx --=→ππ仍为型，再利用洛必达法则，得 原式81sin 1lim 818csc lim 22/22/-=-=-=→→xx x x ππ （2）所给极限为型，且因为当 0→x 时，x x ~tan ，则 x x x x x tan tan lim 20-→30tan lim xxx x -=→)()(tan lim 30''-=→x x x x 22031sec lim x x x -=→ 31sec lim 316tan sec 2lim 202000==→→x x x x x x 洛必达法则型（3）e e x x x x -+-→ln 1lim 31 )()ln 1(lim 31'-'+-=→e e x x x x xx e x x 13lim 21+=→e4=(4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→[])arctan (1)1ln(lim 0'-'--+=→x x x e x x2011111lim x x e x x +--+=→111)1(lim 220-+⋅+-=→x x xe x x x 201)1(lim x e x x x +--=→x e x e xx x 2)1(lim 0-+-=→ 212lim 0-=-=→x xe x x题型2 利用洛必达法则求其他未定型极限解题方法：其它未定型极限主要包括∞-∞，∞⋅0，∞1，00 ，0∞，首先要把它们转化为00型或∞∞型，再用洛必达法则求之。
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
高等数学PPT教学课件2_7洛必达法则
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
13
例7.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
f (x)
0型
0
F
1 2 ( x)
F
(
x)
lim
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
xa
f (x) 2
F (x)
F ( x) f (x)
lim xa
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F ( x) f (x)
1 lim f (x) lim F(x) xa F (x) xa f (x)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
14
说明:
1) 例6 , 例7 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
例6.
lim
ln x xn
从而
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
12
例6. 求
型
高等数学4.1 第一节 洛必达法则
二、
型
定理３ 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) , lim g(x) ,
x a
xa
(2) 在x a的某邻域内(x a可以除外)，f (x)
与g(x)存在,且g(x) 0, (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
xa g(x)
(3) lim f (x) 存在(或无穷大)， xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
例5 求 lim ln cot x. x0 ln x
解
为 型，由洛必达法则有
lim
ln cot x
lim
1 ( csc2 x) cot x
那么
lim f (x) lim f (x). xa g(x) xa g(x)
定理4 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) ，lim g(x) ,
x
x
(2) 在 | x | 足够大时, f (x)与g(x)存在，且g(x) 0,
未定型极限的有效方法——洛必达 (LHospital) 法则.
一、 0 型 0
定理 １ 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0, lim g(x) 0，
x a
xa
(2) 在点a的某邻域内(x a可以除外), f (x)与g(x)
存在, 且g(x) 0， (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
x0 ln x x0
1
x
lim x x0 sin x cos x
x
1
lim lim
高等数学洛必达法则
x ( 1)
lim x
x
x
1
1 x2
1 x2
x2
lim x 1
x2
lim x
1 1 x2 1
1.
4
例3 求 lxim 1 x3x3x23xx21 . 解 lxi m 1 x3x3x23xx21 00 lxim 1(x(3x3x23xx2)1)
lnsinax xl im0 lnsinbx,(
)
1
定理 设 limf(x)0，limg(x)0，
xa
xa
在 U(aˆ,) 内，f(x)，g(x)都存在，且 g(x)0，
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
lim
xa
g( x)
存在（或无穷大），
则 limf(x)limf(x) xa g(x) xa g(x)
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
10
例9
求
tanxx lx i m 0 x2 tanx
.
解
0
原式 lx i0 m taxx n3x 0 lxim0 s
e
c2 x 1 3x2
0
lim
x0
tan2 x 3x2
0 l i m2sec2 xtanx
x0
6x
1
1x
lim( 3x0 c
2.每次使用前都应检查是否为
0 0
，其它两个条件在计算
中可得到检验（是否可导，lim xa
f F
( (
x) x)
是否存在）.
3.当x a，x a，x， x ， x 时，
该法则仍然成立.
4.xa，x时的未定式
高等数学3.2 洛必达法则
2 22 2 2 22 2
2
首页
上页
返回
下页
结束
应注意的问题： 1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最 好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽 可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时， 应尽可能应用，这样可以使运算简捷。
tan x x 例 10．求 lim 2 。 x 0 x sin x sec 2 x 1 tan x x tan x x lim lim 解： lim 2 3 x 0 x 0 x sin x x 0 3x 2 x 2 sec 2 x tan x 1 tan x 1 2 lim limsec x 。 x 0 6x 3 x 0 x 3
sin x x sin x lim 1 lim 1 。 x x x x
首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束
“无穷比无穷”型未定式的定值法： ln x 例 5．求 lim n (n>0)。 x x 1 ln x x lim 1 0 解： lim n lim n 1 。 n x nx x x x nx
x 例 6． lim x (n 为正整数，>0)。 x e n(n 1) x n 2 xn nx n 1 lim 解： lim x lim x 2 x x e x e x e n! lim n x 0 。 x e
xn lim 0。 x 0 n
lim x x 。 例 8．求
x 0 x
解： lim x lim e
x 0 x 0
x ln x
e 01(根据例 7)。
高等数学-第3章 3.1 洛必达法则
第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
高等数学(第二章第八节洛必达法则)
1 x + . 1 − x ln x
解
1 ln (1 + x ) − x 1 = lim lim − x →0 x x → 0 ln (1 + x ) x ln (1 + x )
解
1 −1 1 + x = lim = lim x →0 x →0 x2 2x −x 1 = lim =− . x →0 2 x (1 + x ) 2 ln (1 + x ) − x
0 ∞ 类型为 和 . 以及这两种形式的变形. 0 ∞
lim
x →0
sin x = 1, x
lim
x →0
x − sin x sin x = lim 1 − = 1 − 1 = 0, x →0 x x
而
x2 1 − cos x 1 lim = lim 23 = lim = ∞. x →0 x →0 x x →0 2 x x3
问题的提出： 问题的提出：考虑下列极限
第八节 洛必达法则 本节要点 本节要点
本节用求导的方法， 本节用求导的方法，来求出某些未定型的极限. 基本
lim
x →0
sin x x − sin x 1 − cos x , lim , lim x → 0 x → 0 x x x3
0 型极限. 0
当 x → 0 时分子、 时分子、分母极限都是0，因此都是 但是
x →0
+
xx .
(00 型）
幂指型的未定式有 幂指型的未定式有 0 ,1 , ∞ 三种类型， 三种类型， 对幂指函数类的极限， 对幂指函数类的极限，常用的方法就是取对数将其转 化成前面的类型. 解
x →0 +
高等数学重要法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则求导
洛必达法则求导是高等数学中一种常见的求导方法，其可以解决一些特殊函数的导数计算问题。
在本文中，我们将向读者详细介绍洛必达法则的概念及其应用。
一、洛必达法则的含义洛必达法则又称为洛必达-夹逼定理，它是对不定型（即在求极限时出现 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式）极限的一种求法。
当 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式出现时，我们可以利用洛必达法则将其转化为可求得的极限。
二、洛必达法则的公式在理解洛必达法则的基本思想后，我们可以了解其公式：假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且当$x→a$ 时，$f(x)$ 和$g(x)$ 同时趋于 $0$ 或$±∞$，则：$$\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别表示 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数。
三、洛必达法则的应用下面，我们就来看一下几个应用洛必达法则的例子。
例1：计算 $\lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^2}$由于 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式，我们可以利用洛必达法则将其转化为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2x}$$继续利用洛必达法则，得到其极限为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2}=∞$$例2：计算 $\lim_{x→0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}$在这个例子中，当$x→0$ 时，$\frac{0}{0}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。
将其分子分母求导，得：$$\lim_{x→0}\frac{1-\cos{x}}{3x^2}=\frac{1}{6}$$例3：计算 $\lim_{x→∞}\frac{\ln{x}}{x}$当$x→∞$ 时，$\frac{\infty}{\infty}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。
§3.2 洛必达法则
x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 解 解 lim 3 2 x 3x
x 0
6x
6
下页
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 2x 1 ( 型) 例3.2.1 求 lim . 0 x 0 x
解
2x 1 lx 1 6 x 2 62 2
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
注意
每次运用洛必达法则之前应检查极限是否为
0 型或 型，如果不是就不能使用. 0
ln x ( n 0) . ( 型) 例3.2.3 求 xlim x n
第3章 中值定理 与导数的应用
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 一． 型和 型未定式 0
定理（洛必达法则）设
§3.2 洛必达法则
(1) 当 x a 时,函数 f ( x ) 和 F (x )都趋于零;
(2) 在
a 点的某去心邻域内, f ( x ) 和 F ( x)
解
1 ln x lim n lim x x x x nx n 1
1 lim 0. n x nx
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
例3.2.4
求
3 x sin 3 x lim . x 0 (1 cos x )ln(1 2 x)
），但当法则条件不满足时，
f ( x ) 的极限不存在时（等于 F ( x )
无穷大的情况除外），
f ( x) F ( x ) 的极限仍可能存在.
高数
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x -x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
高等数学《洛必达法则》课件
2. 若 lim f ( x) , lim g( x) ,
x x0
x x0
则称 lim f ( x) 为 型未定式 . xx0 g( x)
例如, lim tan x , x tan3 x
2
3. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) ,
x x0
x x0
例如, lim x ln x, x0
1 lim ( x0 x
1
e
x
), 1
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 1 型未定式.
x x0
1
6. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) 例0,如, lim(cos x)x ,
x x0
x x0
x0
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 00 型未定式.
x x0
7. 若 lim f ( x) , lim g( x) 例0, 如, lim xsin x ,
x , x 该法则仍然成立.
(2) 若 lim f ( x)仍为0型未定式 ,且 f ( x) ,
xx0 g( x)
0
g( x)满足定理中f ( x), g( x)所满足的条件,则可
继续使用洛必达法则 , 即
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xx0 g( x) xx0 g( x) xx0 g( x)
0
例9 求 lim xm ln x. （m>0） ( 0 ) x0+
解
原式
lim
x0
ln x xm
lim
x0
x1 m xm1
xm
lim x0
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
高等数学-洛必达法则
ln cot x (3) lim
x0 ln x
型
1 (csc2 x)
解 原式 limcotx
lim
x
x0
1
x0 sinxcosx
1
x
罗比达法则可以连续多次应用,直到可求导为止
求待定式极限的方法很多，依据函数极限的形式选 择恰当的方法，有时也要几种方法综合使用
例： exex2x lim x0 xsinx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
x
解： 令y(2arctxa)xn
则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim x
它是以函数导数作为基本工具的
2.4.1洛必达法则
要求lim f (x) xa g(x)
( 1 ) 当 x a 时 ， f( x ) 及 g ( x ) 都 趋 于 零 ；
( 2 ) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x ) 及 g ( x ) 都 存 在 , 且 g ( x ) 0 ；
sin2 x x cos x
而 limlnylimsinxlnx
x 0
x 0
ln x lim
x0 csc x
0
所以 limxsinx e0 1 x0
1
lim
x
x0 csc x cot x
例 求极限
lim ( 1 )tanx 0
高等数学 第二节 洛必达法则
x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x
lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x
n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e
当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )
lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx
y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解： 令y(2arctxa)xn
则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim
x
1 x2
lx im(1x2).xa2rctaxn
2
2
e
◆其它形式的未定式的定值
0 , ,00,1, 0
（1）形如 0 的未定式
解题方法：将未定式变形
0
0
1 0
0 0
1
例 求极限 limxcot3x x0
0
其他形式的未 定时应通过恒 等变形转化为
0 型 0
解：原 li式 mx x0ta3nx
lx im0 3se1c2 3x
1limco2s3x1
x0
x
所以 lim(1)tanx e0 1
则
1 lnytaxnlntaxnlnx
x x0
x
所以 lilm n yli m taxlnn x
x 0
x 0
limlnxlim
1 x
x0 coxt x0 cs2cx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
解： 原 lim e式 xex2 lim ex ex limex ex 2 x 0 1coxs x0 sin x x0 cosx
例：
lim sin x
x0 x
0型 0
解：原 lim c式 ox s1 x 0
练习：求下列函数极限（方法不限）
lnx1 (1) lim
xe xe
xn an (2) lx im a xm am
( 2 ) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x ) 及 g ( x ) 都 存 在 , 且 g ( x ) 0 ；
(3)limf(x)存在(或为) xag(x)
f (x)
f (x)
则
lim xa g(x)
lim xa g(x)
或同为
说明： （1）当 x时的情形，洛必达法则也成立；
limco3sx1 x 2 2
ln cot x (3) lim
x0 ln x
型
1 (csc2 x)
解 原式 limcotx
lim
x
x0
1
x0 sinxcosx
1
x
罗比达法则可以连续多次应用,直到可求导为止
求待定式极限的方法很多，依据函数极限的形式选 择恰当的方法，有时也要几种方法综合使用
例： exex2x lim x0 xsinx
◆其它形式的未定式的定值 （3）形如 00,1, 0 的未定式
解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形 （1）处理
00 取对 数0ln0
1
取对 数 ln1
0
0 取对 数0ln
0
1 0
0 0
1
例 求极限
lim xsin x
x 0
00
解 令 y xsin x
则 lnysinxlnx
2.4 导数应用一
学习重点 洛必达法则计算极限
前面讲到
0 0
,
型这类函数极限情况不确定，称为待定式
本节介绍一种求此类极限最常用最方便的一种方法，
它是以函数导数作为基本工具的
2.4.1洛必达法则
要求lim
xa
( 1 ) 当 x a 时 ， f( x ) 及 g ( x ) 都 趋 于 零 ；
f (x) g(x)
3x0
3
例： lim x.lnx 0.型 x 0 1
解：原式=
lim
x 0
ln x 1 x
lim x
x0
1 x2
lim (x) 0 x0
注：这一类待定式变型时要把取倒后好求导的放在分母上
练习： limxco2t x 1
x0
2
解：原式= lx i0m tax2nxlx i0m 2se12c2x
limco2s2x 1
lim
x0
sin2 x x cos x
而 limlnylimsinxlnx
x 0
x 0
ln x lim
x0 csc x
0
所以 limxsinx e0 1 x0
1
lim
x
x0 csc x cot x
例 求极限
lim ( 1 )tanx 0
x x0
lim sin2 x 0
解令
y ( 1 )tanx x
x0 2
2
◆其它形式的未定式的定值
（2）形如 的未定式
解题方法：将未定式变形 11 通 分 合 并 0
00
0
例 求极限
1 lim( x0 x
ex11)
解：原 lx 式 i0mexx(ex11x)
lx im0 ex
ex 1 1xex
lx i0mexeexxxex 12
练习 lim(secxtanx) x 2
解：原式 lim1 xe x
(lnx) xe
1 e
sinxsi n
(3)
lim
x
x
lxi m a m nxnxm11 m naanm11
xn
(4)
lim
x
ex
分 lim n x n 1 lim n (n 1 ) x n L 2 lim n ! 0
析 e x x e x x
e x x
（2）若 lim f(x)lim g (x) 即 类的极限，
也满足洛必达法则；
例1 求下列极限
ex 1 (1) lim
0型
x0 x
0
解 原式 l i m e x 1
x 0 1
1cosx
(2)lim x
tan2x
0型 0
解
原式
(1co x)s
six n
lx im (t2 ax)n lx im 2tax.n se2x c