高等数学-洛必达法则
高等数学：洛必达法则
洛必达法则一、基本内容洛必达法则：设函数)(x f 和)(x g（1）在0x 的某去心邻域（或M x >||，0>M ）内可导且0)(≠'x g ； （2）当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 和)(x g 都趋于零（或都是无穷大）； （3）)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→存在（或为无穷大），则)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→存在（或为无穷大），且)()(lim)()(lim)()(00x g x f x g x f x x x x x x ''=∞→→∞→→ 洛必达法则以导数为工具，给出了计算未定式极限的一般方法。
二、学习要求熟练掌握用洛必达法则求未定型极限的方法。
三、基本题型及解题方法 题型1 利用洛必达法则求“00”与“∞∞”型极限 解题方法：在验证了是这两种类型极限后，首先应该想到第一章中提到的各种方法，如约掉零因子，等价无穷小替换等等，然后再结合洛必达法则一起解题。
在应用该法则时要注意，分子分母同时取导数，当取导之后仍为“00”或“∞∞”，可以再次利用洛必达法则，而且当洛必达法则失败时，也不代表极限不存在，要重新研究。
【例1】 求下列极限： （1）22)2(sin ln limx x x -→ππ； （2）xx xx x tan tan lim20-→ （3）ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→ 解：（1）所给极限为型，由洛必达法则，有22)2(sin ln limx x x -→ππ)2(4cot lim 2/x xx --=→ππ仍为型，再利用洛必达法则，得 原式81sin 1lim 818csc lim 22/22/-=-=-=→→xx x x ππ （2）所给极限为型，且因为当 0→x 时，x x ~tan ，则 x x x x x tan tan lim 20-→30tan lim xxx x -=→)()(tan lim 30''-=→x x x x 22031sec lim x x x -=→ 31sec lim 316tan sec 2lim 202000==→→x x x x x x 洛必达法则型（3）e e x x x x -+-→ln 1lim 31 )()ln 1(lim 31'-'+-=→e e x x x x xx e x x 13lim 21+=→e4=(4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→[])arctan (1)1ln(lim 0'-'--+=→x x x e x x2011111lim x x e x x +--+=→111)1(lim 220-+⋅+-=→x x xe x x x 201)1(lim x e x x x +--=→x e x e xx x 2)1(lim 0-+-=→ 212lim 0-=-=→x xe x x题型2 利用洛必达法则求其他未定型极限解题方法：其它未定型极限主要包括∞-∞，∞⋅0，∞1，00 ，0∞，首先要把它们转化为00型或∞∞型，再用洛必达法则求之。
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学PPT教学课件2_7洛必达法则
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
13
例7.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
f (x)
0型
0
F
1 2 ( x)
F
(
x)
lim
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
xa
f (x) 2
F (x)
F ( x) f (x)
lim xa
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F ( x) f (x)
1 lim f (x) lim F(x) xa F (x) xa f (x)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
14
说明:
1) 例6 , 例7 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
例6.
lim
ln x xn
从而
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
12
例6. 求
型
高等数学4.1 第一节 洛必达法则
二、
型
定理３ 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) , lim g(x) ,
x a
xa
(2) 在x a的某邻域内(x a可以除外)，f (x)
与g(x)存在,且g(x) 0, (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
xa g(x)
(3) lim f (x) 存在(或无穷大)， xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
例5 求 lim ln cot x. x0 ln x
解
为 型，由洛必达法则有
lim
ln cot x
lim
1 ( csc2 x) cot x
那么
lim f (x) lim f (x). xa g(x) xa g(x)
定理4 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) ，lim g(x) ,
x
x
(2) 在 | x | 足够大时, f (x)与g(x)存在，且g(x) 0,
未定型极限的有效方法——洛必达 (LHospital) 法则.
一、 0 型 0
定理 １ 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0, lim g(x) 0，
x a
xa
(2) 在点a的某邻域内(x a可以除外), f (x)与g(x)
存在, 且g(x) 0， (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
x0 ln x x0
1
x
lim x x0 sin x cos x
x
1
lim lim
高等数学洛必达法则
x ( 1)
lim x
x
x
1
1 x2
1 x2
x2
lim x 1
x2
lim x
1 1 x2 1
1.
4
例3 求 lxim 1 x3x3x23xx21 . 解 lxi m 1 x3x3x23xx21 00 lxim 1(x(3x3x23xx2)1)
lnsinax xl im0 lnsinbx,(
)
1
定理 设 limf(x)0，limg(x)0，
xa
xa
在 U(aˆ,) 内，f(x)，g(x)都存在，且 g(x)0，
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
lim
xa
g( x)
存在（或无穷大），
则 limf(x)limf(x) xa g(x) xa g(x)
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
10
例9
求
tanxx lx i m 0 x2 tanx
.
解
0
原式 lx i0 m taxx n3x 0 lxim0 s
e
c2 x 1 3x2
0
lim
x0
tan2 x 3x2
0 l i m2sec2 xtanx
x0
6x
1
1x
lim( 3x0 c
2.每次使用前都应检查是否为
0 0
，其它两个条件在计算
中可得到检验（是否可导，lim xa
f F
( (
x) x)
是否存在）.
3.当x a，x a，x， x ， x 时，
该法则仍然成立.
4.xa，x时的未定式
高等数学3.2 洛必达法则
2 22 2 2 22 2
2
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应注意的问题： 1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最 好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽 可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时， 应尽可能应用，这样可以使运算简捷。
tan x x 例 10．求 lim 2 。 x 0 x sin x sec 2 x 1 tan x x tan x x lim lim 解： lim 2 3 x 0 x 0 x sin x x 0 3x 2 x 2 sec 2 x tan x 1 tan x 1 2 lim limsec x 。 x 0 6x 3 x 0 x 3
sin x x sin x lim 1 lim 1 。 x x x x
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“无穷比无穷”型未定式的定值法： ln x 例 5．求 lim n (n>0)。 x x 1 ln x x lim 1 0 解： lim n lim n 1 。 n x nx x x x nx
x 例 6． lim x (n 为正整数，>0)。 x e n(n 1) x n 2 xn nx n 1 lim 解： lim x lim x 2 x x e x e x e n! lim n x 0 。 x e
xn lim 0。 x 0 n
lim x x 。 例 8．求
x 0 x
解： lim x lim e
x 0 x 0
x ln x
e 01(根据例 7)。
高等数学-第3章 3.1 洛必达法则
第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
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解： 令y(2arctxa)xn
则lnyx.ln2(arctxa)n
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
x
2
. 1
1 x
2
2 arctan x
lim
x
1 x2
lx im(1x2).xa2rctaxn
2
2
e
◆其它形式的未定式的定值
0 , ,00,1, 0
（1）形如 0 的未定式
解题方法：将未定式变形
0
0
1 0
0 0
1
例 求极限 limxcot3x x0
0
其他形式的未 定时应通过恒 等变形转化为
0 型 0
解：原 li式 mx x0ta3nx
lx im0 3se1c2 3x
1limco2s3x1
x0
x
所以 lim(1)tanx e0 1
则
1 lnytaxnlntaxnlnx
x x0
x
所以 lilm n yli m taxlnn x
x 0
x 0
limlnxlim
1 x
x0 coxt x0 cs2cx
求下列极限
(1) lim ( 1 )sin x x x 0
(2) lim ( 2 arctan x) x
解： 原 lim e式 xex2 lim ex ex limex ex 2 x 0 1coxs x0 sin x x0 cosx
例：
lim sin x
x0 x
0型 0
解：原 lim c式 ox s1 x 0
练习：求下列函数极限（方法不限）
lnx1 (1) lim
xe xe
xn an (2) lx im a xm am
( 2 ) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 f ( x ) 及 g ( x ) 都 存 在 , 且 g ( x ) 0 ；
(3)limf(x)存在(或为) xag(x)
f (x)
f (x)
则
lim xa g(x)
lim xa g(x)
或同为
说明： （1）当 x时的情形，洛必达法则也成立；
limco3sx1 x 2 2
ln cot x (3) lim
x0 ln x
型
1 (csc2 x)
解 原式 limcotx
lim
x
x0
1
x0 sinxcosx
1
x
罗比达法则可以连续多次应用,直到可求导为止
求待定式极限的方法很多，依据函数极限的形式选 择恰当的方法，有时也要几种方法综合使用
例： exex2x lim x0 xsinx
◆其它形式的未定式的定值 （3）形如 00,1, 0 的未定式
解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形 （1）处理
00 取对 数0ln0
1
取对 数 ln1
0
0 取对 数0ln
0
1 0
0 0
1
例 求极限
lim xsin x
x 0
00
解 令 y xsin x
则 lnysinxlnx
2.4 导数应用一
学习重点 洛必达法则计算极限
前面讲到
0 0
,
型这类函数极限情况不确定，称为待定式
本节介绍一种求此类极限最常用最方便的一种方法，
它是以函数导数作为基本工具的
2.4.1洛必达法则
要求lim
xa
( 1 ) 当 x a 时 ， f( x ) 及 g ( x ) 都 趋 于 零 ；
f (x) g(x)
3x0
3
例： lim x.lnx 0.型 x 0 1
解：原式=
lim
x 0
ln x 1 x
lim x
x0
1 x2
lim (x) 0 x0
注：这一类待定式变型时要把取倒后好求导的放在分母上
练习： limxco2t x 1
x0
2
解：原式= lx i0m tax2nxlx i0m 2se12c2x
limco2s2x 1
lim
x0
sin2 x x cos x
而 limlnylimsinxlnx
x 0
x 0
ln x lim
x0 csc x
0
所以 limxsinx e0 1 x0
1
lim
x
x0 csc x cot x
例 求极限
lim ( 1 )tanx 0
x x0
lim sin2 x 0
解令
y ( 1 )tanx x
x0 2
2
◆其它形式的未定式的定值
（2）形如 的未定式
解题方法：将未定式变形 11 通 分 合 并 0
00
0
例 求极限
1 lim( x0 x
ex11)
解：原 lx 式 i0mexx(ex11x)
lx im0 ex
ex 1 1xex
lx i0mexeexxxex 12
练习 lim(secxtanx) x 2
解：原式 lim1 xe x
(lnx) xe
1 e
sinxsi n
(3)
lim
x
x
lxi m a m nxnxm11 m naanm11
xn
(4)
lim
x
ex
分 lim n x n 1 lim n (n 1 ) x n L 2 lim n ! 0
析 e x x e x x
e x x
（2）若 lim f(x)lim g (x) 即 类的极限，
也满足洛必达法则；
例1 求下列极限
ex 1 (1) lim
0型
x0 x
0
解 原式 l i m e x 1
x 0 1
1cosx
(2)lim x
tan2x
0型 0
解
原式
(1co x)s
six n
lx im (t2 ax)n lx im 2tax.n se2x c