大一(上)高数课件—2.8 洛必达法则
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
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20XX.XX.XX
高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
课件洛必达法则
洛必达法则
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
高数 洛必达法则 知识点与例题精讲课件
1 x2
型
lim
x
1
x2 x2
lim
x
1
1 x2
1
1
思考:
如何求 lim
n
2
arctan
1
n
(
n
为正整数)
?
n
例3. 求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式
tan x x
lim
x0
x3
lim
x0
f
( x)
lim
xa
f ( x) 2 F(x)
F ( x) f ( x)
lim xa
f ( x) 2 F(x)
lim
xa
F ( x) f ( x)
1 lim f ( x) lim F ( x) xa F ( x) xa f ( x)
Note: 定理中 x a 换为
x a, x a,
x ,
x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
例4. 求
型
解:
Байду номын сангаас
1
原式
lim
x
x
n x n1
lim
x
1 nxn
0
例5.
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
lim f () 3)
xa F ()
( 在 x , a 之间)
《微积分一》洛必达法则PPT文档25页
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
《微积分一》洛必达法则
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
经典洛必达法则ppt
例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
洛必达法则(课堂PPT)
limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
高等数学-洛必达法则
−1
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
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五、
P38
1
1 t
f
(0
0)
(1 lim t0
t)t e
lim
e
1 t
1 t
ln(1
t
)1
t0
et
lim
0
ln(1 t t2
)t
1 1 lim 1t
et0 2t
lim 1
et 0 2(1t )
1
e2
1
1
f (0 0) lim e 2 e 2 ,
t0
1
f (0) e 2
lim f (t ) f (0), f (t ) 在 t 0 处 连 续.
1)L
(n k k e x
1) x
nk
0
三、选择题. 1. D; 2. A;
P38
电气学院学习部资料库
lim ( 2 arctan x)x
x
1
lim e lim e e x
ln( 2 arctan x )x
x
x ln( 2 arctan x )
lim x ln( 2 arctan x )
§2.8 洛必达法则
P37
一、填空题. 1. 1; 2. ; 3. 1/ 2; 4. 1;
二、用洛必达法则求下列极限.
1. 2 ;
2. 0;
3. 1;
2
4. e ;
5. 1 ;
3
2
6. 对n R取正整数适合 : k n k 1
连续 k 次使用洛必达法则 得 :
lim
x
xn ex
lim
x
n(n
t0
电气学院学习部资料库
x
2
Q lim x ln( arctan x)
x
0
ln( 2 arctan x)
lim
x
1
0 0
[ln( 2 arctan x)]
lim
x
( 1 )
x
x
[ln 2
lim
x
ln(arctan x)]
( 1 )
lim x
x 电气学院学习部资料库
1
1 x2
1 x2
arctan
x
2
四、验证下列极限存在但不能用洛必达法则得出 P38
1. lim y sin y lim (1 1 sin y) 1
y y
y
y
但 若 应 用 洛 必 达 法 则 lim y sin y lim 1 cos y
y y
y 1
非 无 穷 不 存 在, 矛 盾. 所 以 不 能 用 洛 必 达 法 则求 出.
2.
lim
x2 sin 1 x
lim
x2 sin 1 x
lim
x sin 1
0
x0 sin x x0 x
x0
x
但若应用洛必达法则
x2 sin 1
2x sin 1 cos 1
lim
x lim
x
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0 sin x x0
cos x
非 无 穷 不 存 在, 矛 盾. 所 以 不 能 用 洛 必 达 法 则求 出. 电气学院学习部资料库