微积分洛必达法则

2t
)
3 2
1 2
(1
t ) 23
1
t 0
2
4
5. 求 lim [ x2 ln(1 1 ) x];
x
x
解: 令t 1 x
原式
lim
t 0
1 t2
ln(1
t)
1 t
lim
t 0
ln(1
t t2
)
t
lim
1 1t
1
t0 2t
lim t 1 t0 2 t (1 t) 2
x0 1 cos x
0
lim e x ex x0 sin x
(0) 0
ex ex lim
2
x0 cos x
注 在反复使用洛必达法则时，要时刻注意检查
是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x 1
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例6
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
原式
lim
x0
tan
x x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
1 tan2 x lim
1.
3 x x0
2
3
二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的
类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
例7 求 lim x2ex . x
( 0 )
解
原式
lim
x
ex x2
lim
x
ex 2x
ex lim
2 x
.
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
第八节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式
0
定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末
极限 lim f ( x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F ( x)
( x)
常把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
例如,
lim tan x , ( 0 )
2
()
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2cos x sin x 2
x sin 2 x 2
lim 6cos6x wenku.baidu.com3. x 2cos 2x
2
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
x2
1.
例4 求 lim ln sin ax . x0 ln sin bx
()
解 原式 lim a cos ax sin bx lim a tan bx x0 bcos bx sin ax x0 b tan ax
lim abx 1. x0 bax
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
e x1 1
e1.
1
例11 求 lim (cot x) ln x .
( 0 )
x0
解
1
1 ln(cot x)
(cot x) ln x e ln x
,
lim 1 ln(cot x) x0 ln x
11
lim
x0
cot
x 1
sin2
x
lim x
1,
x0 cos x sin x
x 原式 e1.
是未定式极限 , 如果
f (x) g ( x)
极限
不存在 , 是否
f (x) g(x) 的极限也不存在 ?
举例说明 .
3
2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
2 x0
x
1 (3 0) 2
1
3.
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
例1. 求
0型
0
解: 原式 lim 3x2 3 x1 3x2 2x 1
6x 3
lim
x1 6x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x
lim x1 6x 2
6 lim 1 x1 6
例2
ex ex 2x lim
(0)
x0 x sin x
0
解: 原式 lim e x ex 2 ( 0 )
定理2 设
2) f ( x)与F( x) 在 (a)内可导,
3) lim f ( x) 存在 (或为 ) xa F ( x)
则 lim f ( x) lim f ( x) xa F ( x) xa F ( x)
注意: 定理 中 x a 换为
x a ,
x ,
之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定理 仍然成立.
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x
2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
4. 求
解: 令 t 1 , 则 x
原式 lim
t0
1 2t 2 t2
1t 1
lim
(1 2t)12
(1
t
)
1 2
t 0
2t
lim
(1
1
解
x ln x
原式 lim e e e e x0
lim x ln x
x0
lim ln x x0 1
x
lim x
x0
1 x2
lim ( x)
e x0
e0 1.
1
例10 求lim x 1 x .
( 1 )
x1
解
原 式
lim e
1 1 x
ln x
lim
e x1
ln x 1 x
x1
1 lim x
()
解 原式 lim x sin x lim x sin x
x0 x sin x
x0
x2
1 cos x
sin x
lim
lim
0.
x0
2x
x0
2
3. 00 ,1 ,0 型
步骤: 00
0 ln 0
1
取对数
ln1
0 .
0
0 ln
例9 求 lim x x . ( 00 )
x0
注意：洛必达法则的使用条件．
例12 求 lim x cos x .
x
x
错 解 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效。
极限不存在
正确解法:
原式 lim(1 1 cos x) 1 0 1.
x
x
思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
x0 x
0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
定理1 设
2) f ( x)与F( x) 在 (a)内可导,
3) lim f ( x) 存在 (或为 ) xa F ( x)
则 lim f ( x) lim f ( x) xa F ( x) xa F ( x)
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.