用洛必达法则解决导数问题

如果当（或）时，两个函数与

都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，

也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。 洛必达（L’Hospital）法则： 设（1）当时，函数及都趋于零；

（2）在点的某去心邻域内，及都存在且； （3）存在（或为无穷大）； 那么

1 用洛必达法则求下列极限

(1)x x x )

1ln(lim

0+→ (2)x

e e x

x x sin lim

0-→-(3)a

x a x a x --→sin sin lim

(4)x

x

x 5tan 3sin lim

π

→

(5)2

2

)2(sin ln lim

x x x -→

ππ

(6)n

n m

m a

x a x a

x --→lim

(7)x

x x 2tan ln 7tan ln lim

0+→(8)x

x x 3tan tan lim

2

π

→

(9)x

arc x x cot )

11ln(lim

++∞→

(10)x

x x x cos sec )

1ln(lim

20-+→

(11)x

x x 2cot lim 0

→ (12)

2

1

20

lim x

x e x → (13)

⎪⎭

⎫ ⎝⎛---→1112

lim 21x x x

(14)x

x x

a

)1(lim +∞→(15)x

x x sin 0

lim +→

(16)x

x x

tan 0)1(lim +→

例题：设函数2

()1x f x e x ax =---.

（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即2

1x e x ax --≥.

①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2

1x

e x ax --≥等价于2

1x e x

a x --≤.

记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3

(2)2

'()x x e x g x x

-++=. 记()(2)2x

h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，

''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所

以()(2)2x

h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，

3()

'()0h x g x x

=>，从而2

1()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，

20000111

lim ()lim lim lim 222

x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12

a ≤. 综上所述，当1

2

a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.

练习

已知函数2

()(1)x

f x x e ax =--.

（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.