数列中不定方程问题的几种解题策略

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不定方程的四种基本解法

不定方程的四种基本解法哎，说起不定方程啊，可能不少小伙伴儿一听这个词儿，脑瓜子就开始嗡嗡的。

但其实呢，不定方程这东西，虽然看上去复杂了点儿，但咱们只要掌握了四种基本解法，就能跟它说拜拜，从此不再头疼啦！第一种解法，咱们叫它“试探法”，也叫“瞎猫碰上死耗子法”。

为啥这么说呢？因为这种方法就是靠咱们的感觉和运气，去猜一个可能的解。

听起来有点儿不靠谱是吧？但其实，有时候咱们还真能歪打正着，找到答案呢！比如说，给定一个不定方程，咱们可以先试着代入几个数，看看符不符合条件。

如果不行，就再换几个试试。

这种方法虽然有点笨，但有时候还真能解决问题。

毕竟，谁说运气不是实力的一部分呢？第二种解法，咱们得叫它“枚举法”，听着就挺高大上的吧？其实说白了，就是“一一列举法”。

这种方法适用于那些可能的解不太多的情况。

咱们可以把所有可能的解都列出来，然后一个个地检查，看哪个是符合条件的。

这种方法虽然有点儿费时费力，但胜在稳妥。

毕竟，咱们只要耐心点儿，总能找到正确答案的。

这就跟咱们平时找东西一样，虽然过程可能有点儿曲折，但总能找到的，对吧？第三种解法，咱们叫它“公式法”。

这种方法比较厉害，它是根据不定方程的特点，推导出一种公式，然后用这个公式去求解。

这种方法的好处是，只要咱们掌握了公式，就能很快地找到答案。

不过呢，这种方法也有个缺点，就是公式有时候挺难记的。

不过，这难不倒咱们，咱们可以多练习几次，就能把公式牢牢地记在脑子里了。

毕竟，熟能生巧嘛！第四种解法，咱们叫它“图像法”。

这种方法比较直观，它是用图形来表示不定方程的解。

咱们可以在坐标轴上画出不定方程的图像，然后通过观察图像，来找到符合条件的解。

这种方法的好处是，能让咱们更直观地理解不定方程的解，而且有时候还能发现一些隐藏的规律呢！不过呢，这种方法也有个缺点，就是得有点儿想象力。

毕竟，咱们得把抽象的不定方程想象成具体的图形，这可得费点儿劲儿。

不过，只要咱们肯动脑筋，就一定能做到的！其实啊，不定方程的解法还有很多，但上面这四种是最常用的。

解不定方程的常用技法

v2 ∈Z ,且 u2 > v2 > 0) . 于是 ,有 u2 + v2 = 82.
2 2
再令 u2 + v2 = 2 u3 , u2 - v2 = 2 v3 ,得
u3 + v3 = 41.
2 2
此时 , u3 、 v3 必为一奇一偶 , 且 0 < v3 <
u3 ≤ [
41 ] = 6.
2
取 v3 = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,得相应的 u3 = 40 ,37 ,
28 m = 27 m + q .
2 2 由 28 m - 27 m = q ≥ 0 ,知 m = 1. 2 2
利用不定方程未知数之间的关系 ( 如常见的倍数关系 ) , 通过代换消去未知数或倍数 ,使方程简化 ,从而达到求解目的 . 例3 试求方程 x - 23 xy + 1 989 y = 0 的整数解 . 讲解 : 显然 , x = y = 0 是方程的一个解 , 且若一个未知数取值为 0 , 则另一个未知数的取值也为 0. 设 x≠ 0 ,且 y ≠ 0. 显然 , y | x , 故可令
2 2 2 故 3 y = 4 n - (2 x + y) = (2 n + 2 x + y ) ( 2 n - 2 x - y ) . 又 y 是质数 ,且 2 n - 2 x - y < 2 n + 2 x + y ,因此 ,有以下三种情形 . (1) 2 n - 2 x - y = y ,2 n + 2 x + y = 3 y , 得 x = 0 ,舍去 . ( 2) 2 n - 2 x - y = 3 ,2 n + 2 x + y = y2 ,则 2 y - 3 =4x +2y 2 2 = 4 ( m + y) + 2 y = 4 m + 6 y , 2 2 即 ( y - 3) - 4 m = 12.

不定方程常用六大解法

不定方程常用六大解法不定方程，听起来是不是有点高深？其实嘛，这就像找一把钥匙，钥匙能打开无数扇门。

今天咱们就聊聊不定方程的常用六大解法，轻松又幽默地走一遭，保证你听了后，能够眉开眼笑。

我们得说说“枚举法”。

这法子就像是逛超市，看见什么就试什么。

对于简单的不定方程，咱可以一个个地把可能的解都试一遍，最后总能找到那个合适的，简直就是开盲盒的乐趣！比如，假如有个方程让你找两个数，能不能说得通呢？你就一个个试着往里代，嘿，看看有没有合适的答案，简直像是在和数学玩捉迷藏。

接下来是“辗转相除法”。

这法子就像是把问题拆开，从大到小，一步步走。

这就像是做减法，遇到难题，咱就把它分解成更小的部分，慢慢来。

比如说你有个复杂的方程，先算出个简单的结果，然后再逐步递推，真是稳扎稳打，像是爬山一样，一步一个脚印，最后能看到山顶的美景。

然后，我们不能忘记“数形结合法”。

这玩意儿就像把方程画成图，形象化的东西总是让人觉得好理解。

想象一下，把数轴上点一点，给每个可能的解都标上一个小旗子，嘿！一眼就能看出哪些地方有解，哪些地方是死胡同，简直就像开了一场小小的数学派对，大家欢聚一堂，热热闹闹。

再往下说“求解特解法”。

这个方法有点像找特定的那种解，比如你想找一个特定的答案，可以试着先求出特解，然后再加上一些通解，哇，简直就是在做数学的“DIY”。

把各种材料拼凑在一起，最终呈现出一个完整的方程，就像做蛋糕，先有底再加上奶油，最后切开一看，哇，真香！接着咱们说说“同余法”。

这玩意儿有点像打麻将，讲究的是配合和策略。

你得找到一些数字之间的关系，像是把牌搭配起来，才能找到那种刚刚好的解。

用同余法解决不定方程，就像是在解谜，你得灵活应对，变换策略，嘿，最后能把谜底揭开，真是让人倍感成就感。

最后得提一下“二次方程法”，听上去很专业对吧？但其实不然。

这个方法就像是利用已知的解来推导未知的解。

比如说，你已经知道了一个方程的解，接着就可以运用二次方程的方法，推导出更多的解，简直就像是在编故事，从一个角色引出另外的角色，最后形成一个完整的故事链。

公务员行测数量关系答题技巧：不定方程的几种解法

公事员行测数目关系答题技巧：不定方程的几种解法不定方程或不定方程组的定义：未知数的个数大于独立方程的个数。

独立方程：所给出的方程不能够由其他所给的方程经过线性组合获取。

不定方程得解法主要有以下几种：1、整除法：一般当某个未知数得系数与等式右边得常数项存在共同的整数因素时使用。

Egg：3x+7y=24(x 、y 均为正整数 )解析： x 的系数 3 与右边的常数 24 均为 3 的倍数，所以 7y 为 3 的倍数，所以 y 为 3 的倍数，推出 y 只能为 3，把 y=3 带入，获取 x为 1。

例1：小明去商场买文具，一支钢笔9 元，一个文具盒11 元，最后小明总合开销了 108 元，则钢笔与文具盒共买了多少 ?( 每种最少买一个 )A.12B.11C.10D.9【答案】 C。

解析：设钢笔买了 X 支，文具盒买了 Y 个，则有9X+11Y=108，X的系数 9 与常数 108 均为 9 的倍数，所以 11Y为 9 的倍数，即 Y 为 9 的倍数， Y只能为 9，Y=9代入，获取 X=1，X+Y=10，所以总合购买的数目为 10，答案选 C。

2、尾数法：一般当某个未知数的系数为 5 也许 5 的倍数时使用。

Egg:5X+7Y=43(X、Y均为正整数 )解： X为正整数，所以5X 的尾数只能为 0 也许 5，当 5X 的尾数为 0 时，7Y 的尾数为 3，Y 最小为 9，此时 X 为-4 ，不满足题干要求，当 5X 的尾数为 5，此时 7Y 的尾数为 8，Y 最少为 4，当 Y=4，此时X=3，满足条件。

3、奇偶性：结合奇偶性的基本性质，且当等式中间的某个未知数也许所求的式子的奇偶性能够确准时使用，一般需要结合代入消除法。

Egg:7X+8Y=43，1 求 X=?(X、Y 均为正整数 )A.5B.4C.3D.2解析： 8Y 为偶数， 43 为奇数，所以 7X 为奇数，所以 X 为奇数，消除 B、C，代入 A 选项若 X=5,则 Y=1，所以选择 A。

简单不定方程的四种基本解法

简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法
简介
不定方程是指含有未知数的整数方程，其解为整数或分数。

不定方程
是数论中的一个重要分支，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，往
往需要求解不定方程来得到问题的解答。

本文将介绍四种基本的解决
不定方程的方法。

一、贪心算法
贪心算法是一种常见且有效的算法，它通常用于求解最优化问题。

在
求解不定方程时，贪心算法可以通过枚举未知数的值来逐步逼近最优解。

二、辗转相除法
辗转相除法也称为欧几里得算法，它是一种求最大公约数的有效方法。

在求解不定方程时，我们可以使用辗转相除法来判断是否存在整数解。

三、裴蜀定理
裴蜀定理是指对于任意给定的整数a和b，它们的最大公约数d可以
表示成ax+by的形式，其中x和y为整数。

在求解不定方程时，我们可以使用裴蜀定理来判断是否存在整数解，并且可以通过扩展欧几里
得算法来求得x和y。

四、同余模运算
同余模运算是指在模n的情况下，两个整数a和b满足a≡b(mod n)。

在求解不定方程时，我们可以使用同余模运算来判断是否存在整数解，并且可以通过中国剩余定理来求得解的具体值。

结论
以上四种方法是求解不定方程的基本方法，在实际问题中，我们可以
根据具体情况选择合适的方法来求解问题。

同时，需要注意的是，在
使用这些方法时需要注意算法复杂度和精度问题，以保证算法的正确
性和效率。

不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳

不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳含有未知数的等式称之为方程。

小学阶段最开始接触的是一个方程只有一个未知数的情况。

比如3x+2=8，解得x=2，这样解出来的答案是唯一性的。

但是有时候我们会遇到一个方程，有两个甚至三个未知数。

这样未知数个数大于方程个数的方程（组）叫不定方程（组）。

不定方程，一般情况下解是不唯一的。

方程比如说x+y=10，问这个方程有多少组解？如果不给其他条件限制，那么这个方程会有无数组解。

所以大多数的不定方程都会有较多的限制条件。

比如说限制这些未知数均为自然数，或在某个范围内。

还是以x+y=10为例，如果x、y都是自然数，那么x、y的解会有11组。

在小升初或各大小学杯赛题目中，会出现解不定方程。

不定方程，有四种比较常用的解法。

第一种：枚举法。

枚举法在很多地方都会用得上。

比如说计数，找规律等，虽然效率不是很高但适用范围比较广。

这种方法适用于一些系数比较大的不定方程。

因为系数比较大，出现的可能性就比较少，所以可以利用枚举的方法来解答。

比如说求这个不定方程的解，7x+2y=24（x、y均为自然数）。

因为x前面的它的系数比较大，所以说x的取值范围相对来说会比较小。

因为x、y都属于自然数，x最大是3，最小是0。

也就是说，x 有可能等于0、1、2、3，最多就这4种情况，我们可以把这些x的值分别代入这个方程中解出y的值。

我们会发现x=1和x=3这两种情况是不成立的。

第二种方法，奇偶性分析。

照样以上面的例题为例，我们用奇偶分析来帮助我们缩小x的取值范围。

两个数的和等于24，是一个偶数。

2y也一定是个偶数，所以说7x 的值一定是个偶数。

7是奇数，所以说x只能是偶数。

那么x又是从0~3，那么所以说x只能是0或者2这两种可能。

最后算出有两组答案：x=0,y=12；x=2,y=5。

第三种：余数分析。

也是用的比较多的方法，通常从系数较小的未知数入手。

它的原理其实就是利用了：和的余数等于余数的和，进行判断分析。

与数列有关的不定方程的整数解问题初探

与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。

在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。

二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。

数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。

而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。

不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。

三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。

我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。

但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。

对于这种问题，我们可以采用分析的方法。

对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。

不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。

将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。

例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。

2014年重庆公务员考试行测备考：不定方程的多种解法

2014年重庆公务员考试行测备考：不定方程的多种解法2014年重庆公务员考试已经拉开帷幕，大家都已经进入到紧张的复习当中，其中大家一会要注意到常见考点-----不定方程，下面中公教育专家为大家详细介绍不定方程常用的四种解题方法，以便大家在以后遇到的时候能够得心应手。

一、奇偶性：当未知数的系数有2的倍数或者题目中有质数限定的时候采用此方法，是解不定方程中采用最多的方法。

例如：不定方程5X+4Y=59，59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等。

例1：某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?A.36B.37C.39D.41【中公解析】D。

此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。

设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。

对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。

很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，x为偶数。

然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。

现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。

因此选择D。

二、尾数法：当未知数的系数有5的倍数时，即尾数比较容易确定时采用尾数法。

例如：不定方程5X+4Y=59的自然数解。

和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数;4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6结尾。

例2：现有149个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。

3.2 不定方程的常用解法

3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法．一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）．分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）．例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾．所以，不存在符合要求的整数．说明熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤，所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）．当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解．上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）．例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋，从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立．因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是（x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）．例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝，－＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论．若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的．综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜，于是 3d ≤．分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）．例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤，故 3yz ≤，于是（y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋．若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤，等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋，即 ()()114a b －－＝，得（a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得（a ，b ）＝（3，2）．当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ）＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1），（3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1），（7，1，1，3，3，1）．说明此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石．例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾．例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得（x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－，故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝，于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝．当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）；当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝，这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋，同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得（x ，y ，z ）＝（4，2，5）．所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－．如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡，但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立．如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋，由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝，不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理．例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数．此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。

不定方程三种解法

不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。

解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。

## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。

它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。

首先，我们需要确定未知数的取值范围。

然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。

例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。

我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。

然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。

## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。

这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。

例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。

我们可以使用辗转相除法来求解。

首先，我们需要计算a和b的最大公约数。

然后，检查c是否可以被最大公约数整除。

如果是，则方程有解，否则方程无解。

如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。

扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。

辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。

## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。

行测数学运算不定方程的三种常用解法

行测数学运算不定方程的三种常用解法行测数量关系答题技巧你掌握了多少？为大家提供行测数学运算不定方程的三种常用解法，一起来看看吧！祝大家备考顺利！行测数学运算不定方程的三种常用解法在行测运算题当中，设方程是常用的技巧，含有未知数的等式叫做方程。

不定方程中未知数的个数多于独立方程的个数。

比如:x+y=5。

在行测里也经常列出不定方程，但是很多人都不会解。

其实只要掌握好三种常用的方法，问题自然迎刃而解。

1、整除法：利用不定方程中各数能被同一个数整除的关系来求解。

例1:小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900。

问孩子出生在哪一个季度?A.第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度【答案】D【解析】关键词:等于，所以找到等量关系。

设出生月份为x，出生的日期为y。

29x+24y=900，24与900的最大公约数为12，意味着24y能被12整除，900能被12整除，29为质数，所以x能被12整除，由于12表示的是月份，所以是第四季度。

2、奇偶性：未知数的系数奇偶性不同例2:办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。

每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。

要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为()个。

A.1、6B.2、4C.4、1D.3、2【答案】D【解析】由题可知袋子的个数肯定是为整数，设红色袋子数量为x，蓝色袋子数量为y，由题意可得7x+4y=29，此时未知数的系数为7和4，奇偶性不同。

4y为偶数，29为奇数，则 7x为奇数，得出x为奇数，排除B、C。

接下来代入A选项，x=1，y不是整数，排除A，选择D。

验证：x=3，y=2满足题意。

3、尾数法:未知数的系数是5的倍数超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个?A.3B.4C.7D.13【答案】D【解析】由题可知，大包装盒的个数和小包装盒的个数为整数，设大包装盒的个数为x，小包装盒为y，可得到12x+5y=99，x+y>10。

数列中的不定方程整数解问题

p r 2q
无理数≠有理数
处理方法：找矛盾（有理数与无理数）
若p+r-2q=0，则 q2 pr 0 数学思想：分类讨论
……
热身训练
an 7 bm n2 7 4m2
2m n2m n 7 2m n 2m n 15 ?
存在有（正整数）解处理方法：解方程（因式分解、分解质因数、范围）数学思想：分类讨论
2aq
ap
ar
2 2q
2p
2r
2q1 pห้องสมุดไป่ตู้ 1 2r p
偶数 ≠ 奇数
……
不存在无（正整数）解
处理方法：找矛盾（奇数与偶数）数学思想：化归（消元）分类讨论
热身训练
aq2 ap ar q
2
2
p
2 r
2
q2 pr 2 p r 2q
若p+r-2q≠0，则 2 q2 pr
典例剖析
典例剖析
总结反思
解题之道
转化策略数列中的一类存在性问题 → 不定方程的整数解问题
常用处理方法
存在有（正整数）解不存在无（正整数）解
因式分解分解质因数
奇数与偶数
解方程范围
找矛盾有理数与无理数
分离常数整除
利用单调性（有界）
数学思想分类讨论特殊与一般转化与化归
核心素养
心中有数
存在性问题在数列解答题中的考查
在历年江苏高考卷中
2008年第19题
2009年第17题
2014年第20题
2015年第20题
2018年 2019年
第20题
？
江苏省13大市高三期末考试中
无锡
第20题

不定方程的解法

基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。

今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。

他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。

丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。

6数列方程与不定方程示例有答案

数列中不定方程问题示例解一元方程函数图像观察；赋值解不定方程观察：有时利用函数图像观察有无解，有限解，无穷多解（1）分解、分离：因数分解、多项式因式分解、整除（分离后，观察分子分母的因数、因式关系）；（2）分析结构：整与分（有理与无理）、奇与偶、正零负等数式结构（3）放缩：利用“蕴含”范围，构造不等式缩范围；利用单调性，构造不等式缩范围原理体验：以下方程中的变量均为正整数（4）赋值与穷举：带入找规律；第一部分、用函数单调性解方程1.解方程*,01321N n n n n ∈=-+--2.已知数列2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++ 成立的所有正整数m 的值；解：当m 为奇数时，由题意得1122(2)222m m m m m m +++⋅=+++，即122(21)22(1)m m m m ++-⋅=+．当m =1时，上式成立；当3m ≥时，1222(21)22121m m m m m m ++-⋅>+->+．所以，m =1．当m 为偶数时，12m m m a a a ++⋅⋅为偶数，12m m m a a a ++++为奇数，所以满足条件的偶数m 不存在．综上所述，满足1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++的正整数m 的值为1．3.已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ，⎪⎩⎪⎨⎧---+=+为偶数）为奇数）n n a n n a a n n n (2(1211若2n n c a =，且{}n c 为等比数列，问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由.121()2n n n a c -==-，21214()2n n n n a b a n -+-=---121214()2n n nn a b a n -+=-=--- 21...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥)212(10)1n n S c +-=，244164n n n ∴++=，当n =1,2,左边<右边，当n =3,左边=右边，下证n =3是方程惟一的解. 设2()44416xf x x x =---(3)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480xg x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立.第二部分解不定方程一、分解因式、因数（一）化为整式方程分解1.66222=++m k mk ，m ，k ∈N *，求m,k解：65)1)(12(=+-+k k m ，1112>+≥-+k k m65151365⨯=⨯=，因为分解方式是唯一的，故⎩⎨⎧=+=-+511312k k m 所以⎩⎨⎧==45k m2. ∈2015{11(22)1,i j A i j μ--=+≤<}*,i j ∈N ，求μ1112015(22)2(12)51331i j i j i μμ----=+=⋅+=⨯⨯（二）化为分式整除（分离后，观察分子分母的因数、因式关系），整与分1. ),(,12121136Z m t tm m t t ∈+--++=+ ，求m t , 解：431m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =．2.(27)(25)2723m m n m --=--，求n m ,令23t m =-，则12m m m a a a ++=(4)(2)8627t t t n t t --=+-=-, 即：821n t t=++ 所以t 为8的约数．因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，即2m =时，5n =；当1t =-，即1m =时，4n =-（舍去）．3.正整数t s r <<,若12,12,12---t s r 成等比数列，用r 表示t s ,的一组解。

2024年国考行测指导：不定方程的速解方法

2024年国考行测指导：不定方程的速解方法行测考试时间争分夺秒，留给数量关系的时间更是少之又少。

我们应该选择什么样的题目在短时间内进行解答，其中不定方程就是“不二选择”。

一、不定方程特征未知数的个数大于独立方程的个数，一般具有无数个解。

二、不定方程解题技巧1、整除法：某一未知数的系数，与常数项存在非1的公约数。

例题：2x+3y=30，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、4B、5C、6D、7【答案】C。

参考解析：要想求x，我们可以把x移到等式左边，其他移到等式右边，会得到2x=30-3y；再整理一下2x=3（10-y）；到这我们可以观察到，“2x”整体是3的倍数，但是在这里“2”不是3的倍数，所以只能是“x”是3的倍数。

观察选项可知C选项符合性质。

2、奇偶性：未知数前面的系数奇偶不同时。

例题：7x+4y=29，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、1B、2C、4D、3【答案】D。

参考解析：这个题目，显然任意未知数前的系数都与常数项不存在整除关系，所以整除性质不能利用，可以来考虑其他性质，例如奇偶性。

观察题干可知“29”是奇数，“4y”是偶数(一个偶数乘任何数都是偶数)，只有奇数加偶数结果为奇数。

那么“7x”整体应为奇数，所以x为奇数。

观察选项B、C排除。

验证A、D项，代入A项得：7+4y=29，4y=22，y=5.5。

要求y为正整数，所以A不成立，选择D。

3、尾数法：某一未知数的系数存在5或者5的倍数时。

常和奇偶性联系着一起用。

例题：4x+5y=49，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、8B、9C、10D、11【答案】D。

参考解析：观察数据，等式中存在5y，因为5乘以任何一个数尾数是5或者0。

尾0的数值是偶数，尾5的数值是奇数。

所以在这一部分中，可以利用奇偶性判别尾0还是尾5。

其中49是奇数，“4x”是偶数，所以“5y”整体是奇数，可知“5y”整体为5，49尾9，所以可知“4x”整体尾4。

观察选项只有D满足。

不定方程三种解法

不定方程三种解法不定方程是一个未知数在给定条件下需要满足的方程。

解决不定方程的问题在数学中起着重要的作用，因为它们经常出现在实际问题中，例如计算和数学建模中。

下面将介绍三种常见的解决不定方程的方法：试位法、绝对值法和齐次方程法。

1. 试位法：试位法是一种通过试探不同的解来逐步逼近正确解的方法。

该方法常用于寻找近似解或数值解的情况下。

它的基本思想是将不定方程转化为函数或方程组的零点问题，通过迭代逼近的方法找到近似解。

试位法的具体步骤如下：a. 确定一个初始区间，例如[1, 2]。

b. 按照二分法的原理，取中间值x，计算函数或方程组的值f(x)。

c. 根据函数或方程组的值与0的关系，确定下一个区间，继续迭代。

d. 重复步骤b和c，直到找到近似解。

2. 绝对值法：绝对值法是一种通过将不定方程转化为绝对值方程来求解的方法。

该方法常用于涉及到绝对值的方程问题。

它的基本思想是将绝对值方程拆分为条件方程，然后求解条件方程，最后检查解是否满足原方程。

绝对值法的具体步骤如下：a. 将绝对值方程拆分为条件方程。

b. 分别求解条件方程，得到两组解。

c. 检查解是否满足原方程，找到满足条件的解。

3. 齐次方程法：齐次方程法是一种通过将不定方程转化为齐次方程来求解的方法。

该方法常用于线性方程组或关于两个未知数的方程问题。

它的基本思想是将原方程中的零次项消去，然后将方程转化为齐次方程，从而简化求解。

齐次方程法的具体步骤如下：a. 消去原方程中的零次项，得到齐次方程。

b. 令其中一个未知数为常数，求解另一个未知数的表达式。

c. 根据所得表达式，求解第一个未知数。

d. 检查求得的解是否满足原方程。

以上是三种常见的解决不定方程的方法：试位法、绝对值法和齐次方程法。

具体的解决方法根据不同的具体问题而定，这些方法在数学中具有广泛的应用，并且可以通过适当的转换和计算得到准确的解。

这些方法虽然没有直接给出解析解，但是它们为求解不定方程问题提供了有效的途径。

数列中不定方程问题的几种解题策略

数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜,本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。

题型一：二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活,下面介绍3种常用的方法。

方法 1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。

题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0。

设{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ,3632=⋅S S 。

(1）求d 及S n ； (2)求m ,k (m ，k ∈N ＊）的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a .解析(1)略（2)由（1）得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *）=+++++++k m m m m a a a a ...21()2122121-++-+k m m k ）（)1)(12(+-+=k k m 所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N ＊知1112>+≥-+k k m65151365⨯=⨯=，故⎩⎨⎧=+=-+511312k k m 所以⎩⎨⎧==45k m 点评本题中将不定方程变形为()()135112⨯=+⋅-+k k m ,因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k m ,的二元一次方程组求解。

方法 2.利用整除性质在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决．题2。

设数列{}n b 的通项公式为2121n n b n t-=-+，问：是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值;若不存在，请说明理由．解析：要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+即:312123121m t t m t -=+++-+ 即：431m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时,5m =；当5t =时，4m =．点评本题利用t 表示 m 从而由431m t =+-得到14-t 是整数，于是1-t 是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理。