20.数据的集中趋势与波动程度

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数据的集中趋势和离散程度(名师总结)

数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就到达90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,那么第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,假设把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。

那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个〔或几个〕数据就可以了．当一组数据中有数据屡次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，那么他们得分的中位数是【】A 、100 B 、90 C 、80 D 、70 例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么5个整数可能的最大的和是【】A 、21 B 、22 C 、23 D 、24例14：10名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么这一组数据的众数是【】A 、15 B 、17 15 C 、14 D 、17 15 14 例15：〔1〕计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.〔2〕哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数〔或处在最中间的两个数的平均数〕．一组数据中的中位数是唯一的．注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第21+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第2n 、12+n 个数据的平均数为中位数．例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【】A ．200千克，3000元B ．1900千克，28500元C ． 2000千克，30000元D ．1850千克，27750元〔1〕该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？〔2〕这组数据的中位数、众数分别是多少?〔3〕请你根据〔1〕、〔2〕的结果，用一句话谈谈自己的感受．【知识点2】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大方差越小数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，那么该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，那么这组数据的极差和标准差分别是【】A 4，2B 4，2C 2，10D 4，10三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差. 例19：数据90，91，92，93的标准差是【】〔A 〕 2 〔B 〕54 〔C 〕54 〔D 〕52✪注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比拟两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例20：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：〔单位：cm 〕甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例21：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8次选拔比赛.他们的成绩〔单位：m 〕如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m 才能得冠军呢？。

《20.2数据的波动程度》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12八年级下册

《数据的波动程度》教学设计方案（第一课时）一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数据的波动程度的基本概念，包括平均数、方差和标准差等统计量。

通过学习，学生能够理解这些统计量在描述数据分布和变化规律中的作用，并能够运用这些概念解决实际问题。

同时，培养学生分析数据、处理数据的能力，提高学生的数学素养。

二、教学重难点本课的教学重点是让学生理解方差和标准差的概念及其计算方法，并能够正确运用这些概念描述数据的波动程度。

教学难点在于如何引导学生理解方差和标准差的实际意义，以及如何将理论知识与实际问题相结合。

三、教学准备为确保本课教学的顺利进行，教师需要准备相关的教材、教案、多媒体课件等教学资料。

同时，为帮助学生更好地理解概念，准备一些实际数据案例或模拟数据，以便学生进行实践操作和练习。

此外，还需准备一些评估工具，如小测验、作业等，以检验学生的学习效果。

在接下来的实践操作和练习中，应鼓励学生将理论知识与实际操作相结合，以加深对知识的理解和掌握。

对于不同学科的学习，可以根据学科特点设计具体的实践操作和练习活动。

例如，在科学实验中，学生可以进行实验操作以验证理论知识；在数学学习中，可以通过解决实际问题来锻炼学生的计算能力和逻辑思维能力。

同时，准备评估工具是检验学生学习效果的重要环节。

小测验和作业的目的是检查学生在课堂学习中的理解程度和应用能力。

设计小测验时，应注意其针对性和实效性，使其能准确地反映出学生对知识的掌握程度。

而作业的设计则要注重实际性和创新性，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。

通过实践操作和练习，以及有效的评估工具，学生不仅可以巩固所学知识，还能提高自己的实际操作能力和解决问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

四、教学过程：一、导入与热身本节课我们将开启一段有关“数据的波动程度”的数学之旅。

首先，我们会从大家熟悉的生活场景入手，让大家初步感受到“波动”这个概念的重要性。

比如，老师可以先引用一段股票走势图的分析，展示不同日期的股票价格波动情况，并询问学生：“你们觉得这些价格波动大还是小？为什么会有这样的波动？”通过这样的情境引入，激发学生的好奇心和探究欲望。

八下第二十章《数据的分析》知识点教案、习题讲解分析教案与复习教案【人教版初中数学】

第二十章《数据的分析》《知识点教案》课标要求：本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想.单元\章节内容分析：全章共分三节：20.1数据的集中趋势.本节是研究代表数据集中趋势的统计量：平均数、中位数和众数。

本节中，教科书首先给出一个实际问题，通过分析解决这个实际问题，引进加权平均数的概念。

为了突出“权”的作用和意义，教科书通过两个例题，从不同方面体现“权”的作用.接下去，教科书对加权平均数进行扩展，包括如何将算数平均数与加权平均数统一起来，如何求区间分组的数据的加权平均数，如何利用计算器的统计功能求平均数，如何利用样本平均数估计总体平均数的问题等.对于中位数和众数，教科书通过几个具体实例，研究了它们的统计意义.在本节最后，教科书通过一个具体实例，研究了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，并对这三种统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征.20.2数据的波动本节是研究刻画数据波动程度的统计量：极差和方差.教科书首先利用温差的例子研究了极差的统计意义.方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究.首先通过一个实际问题提出对两组数据的波动情况的研究，并画出散点图直观地反映数据的波动情况，在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的.随后，又介绍了利用计算器的统计功能求方差的方法.本节最后，教科书利用所学知识解决本章前言中提出的问题，并研究了用样本方差估计总体方差的问题.20.3课题学习体质健康测试中的数据分析.教科书在最后一节安排了一个具有一定综合性和实践性的“课题学习”.这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题.由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。

人教版数学八年级下册20.2数据的波动程度(教案)

2.教学难点
-难点理解方差公式中的平方项对数据差异的放大作用，以及标准差作为方差的平方根在数据解读中的意义。
-理解方差和标准差在描述数据集中趋势外的离散程度的差异和互补性。
-对于计算过程中的数据处理的细节，如平均数的计算、平方项的累加等。
-例如，学生可能会对方差计算中出现的平方项感到困惑，需要通过具体例子解释其作用，如为什么需要平方来强调数据点与平均值的偏差。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方差和标准差的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对数据的波动程度的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
其次，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中表现出很高的积极性，但我也注意到有些小组在讨论时偏离了主题。针对这个问题，我将在下次课中加强引导，确保学生们能够围绕主题展开讨论，提高课堂效率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生发言不够积极，可能是由于对讨论主题不够熟悉。为了提高学生的参与度，我计划在下次课中提前给出一些讨论话题，让学生们有更多时间准备，从而更加自信地参与到讨论中来。
人教版数学八年级下册20.2数据的波动程度（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册第20章第2节“数据的波动程度”主要包括以下内容：
1.方差的定义与计算公式；
2.标准差的概念及其与方差的关系；
3.利用方差和标准差描述数据波动程度；
4.案例分析：实际数据中方差和标准差的计算与应用；
5.习题：针对方差和标准差的计算与应用进行巩固练习。

数据的集中趋势波动

数据的集中趋势波动
数据的集中趋势可以根据数据的分布情况来描述，主要有均值、中位数和众数这三种常见的描述方式。

1. 均值（mean）是一组数据的平均值，可以用来表示数据的集中趋势。

均值可以通过将所有数据相加然后除以数据的个数来计算得到。

2. 中位数（median）是数据中间的值，即将数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的值。

如果数据的个数为奇数，中位数就是中间的那个值；如果数据的个数为偶数，中位数就是中间两个值的均值。

3. 众数（mode）是一组数据中出现次数最多的值。

一个数据集可以有一个或多个众数。

数据的波动可以通过计算数据的离均差、方差、标准差等统计量来描述。

离均差是每个数据与均值之间的差值，方差是离均差的平方的均值，标准差是方差的平方根。

这些统计量可以用来衡量数据的离散程度和波动情况。

数据的集中趋势和离散程度内容解读

数据的集中趋势和离散程度内容解读作者：何春华来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期数据的集中趋势和离散程度包括两方面内容，一是表示一组数据集中趋势的统计量，有平均数、中位数和众数；二是表示一组数据离散程度（刻画数据的波动大小）的统计量，有极差和方差，今天何老师就带领大家一起走进数据的世界，正确认识“三数”和“两差”.一、平均数1. 算术平均数：数据x1，x2，x3，…，xn的算术平均数为=（x1+x2+…+xn），这是最简单的平均数，平均数反映的是一组数据中各个数据的平均水平，它与这组数据中的每个数据都有关系.例1 （2014·江苏盐城）数据-1，0，1，2，3的平均数是（）.A. -1B. 0C. 1D. 5【解析】直接利用算术平均数公式求解，得=1，故选C.2. 加权平均数：一般地，如果一组数据中共有n个不同的值，记它们分别为x1，x2，…，xn，并且x1有w1个，x2有w2个，……，xn有wn个，则w1，w2，…，wn分别叫作x1，x2，…，xn的权，数值=叫作这n个数值的加权平均数.例2 （2015·浙江湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：则这10位评委评分的平均数是_______分.【解析】由于本题中这10位评委给某校的评分情况的“权重”不同，因此本题需用加权平均数公式计算.这10位评委评分的平均数是=89（分）.【点评】算术平均数是加权平均数的特例，加权平均数实质上就是考虑不同权重问题的平均数，当加权平均数中各项的权相等时，就变成了算术平均数.二、中位数把n个数据从小到大排列，相同的数重复进行排列.当n是奇数时，处于正中间位置的数叫作这n个数的中位数；当n是偶数时，处于中间位置的两个数的平均数叫作这n个数的中位数.中位数体现了一组数据中间位置的数据水平，它反映了具有不确定性的研究对象在中等状态下的水平.例3 （2015·山东东营）在一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83. 则这组数据的中位数为_______.【解析】将这组数据从小到大排列为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，处于中间位置的第5、6个数据的平均数就是这组数据的中位数，即×（81+81）=81.【点评】由于一组数据的中位数与最大和最小的数据无关，因此，确定一组数据的中位数只需将这组数据从小到大排列（即使相等的数也要全部参加排序），然后根据数据个数的奇偶性确定中位数的值.三、众数一组数据中出现的次数最多的数，叫作这组数据的众数. 众数表现了一组数据的热点，当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.例4 （2015·江苏扬州）小亮上周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，10，7，10，9，9.这组数据的众数是_______.【解析】∵数据中9出现的次数最多，∴这组数据的众数是9.【点评】众数是一组数据“多数水平”的重要数据代表，一组数据的众数有时不止一个，若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，则这几个数据都是这组数据的众数.四、极差与方差1. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫作极差，它反映了一组数据的变化范围.例5 （2014·四川凉山）某班数学学习小组某次测验成绩（单位：分）如下：63，72，70，49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（）.A. 47B. 43C. 34D. 29【解析】这班数学学习小组某次检测成绩数据中，最大值是92，最小值是49，所以这组数据的极差是92-49=43.故选B.【点评】极差只跟一组数据中的两个极端数据（最大值、最小值）有关，跟其他数据无关，因此极差只能粗略地反映数据的离散程度.2. 方差为了精确地反映一组数据的离散程度，我们把一组数据中的全部n个数据x1，x2，…，xn的平均数作为基准，计算各数据与的差的平方，这些平方的平均数s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]就叫作这组数据的方差. 方差可以从整体上反映数据偏离平均数的程度，所以它成了反映研究对象离散程度的数值.例6 （2015·山东莱芜）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是_______.【解析】数据2，3，a，5，6的平均数是4，所以2+3+a+5+6=20，解得a=4，因此这组数据的方差s2=[（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2]=2.【点评】计算方差的步骤是先计算该组数据的平均数，然后代入方差公式进行计算.例7 （2015·江苏连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【解析】从表格中可知乙、丙的平均成绩要比甲、丁高，而乙的方差比丙小，说明乙的成绩比较稳定，所以应选择学生乙，故选B.【点评】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.最后，同学们在学习这部分知识时应注意结合一些具体事例去理解它们，要逐步体会这些知识在实际生活中的应用，而不是仅仅关注一些具体的计算.（作者单位：江苏省海门市实验学校初中部）。

人教版数学八年级下册20.2《数据的波动程度》说课稿3

人教版数学八年级下册20.2《数据的波动程度》说课稿3一. 教材分析人教版数学八年级下册20.2《数据的波动程度》是本册的一个重要内容，它主要介绍了方差和标准差的概念，以及它们在描述数据波动程度方面的应用。

通过本节内容的学习，使学生能理解方差和标准差的概念，掌握它们的计算方法，并能够运用它们来判断数据的波动程度，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平均数、中位数、众数等描述数据集中趋势的统计量，对于数据的整理和分析已经有了一定的基础。

但是，学生对于数据的波动程度的认识还比较模糊，对于方差和标准差的概念以及计算方法还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握方差和标准差的概念和计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解方差和标准差的概念，掌握它们的计算方法，能够运用它们来判断数据的波动程度。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学思维能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：方差和标准差的概念，它们的计算方法，以及如何运用它们来判断数据的波动程度。

2.教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何根据它们来判断数据的波动程度。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中发现问题、解决问题。

2.教学手段：利用多媒体课件，直观地展示数据的波动情况，帮助学生理解和掌握方差和标准差的概念和计算方法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一组数据的波动情况，引导学生思考如何描述这种波动程度，从而引出方差和标准差的概念。

2.自主学习：让学生自主阅读教材，理解方差和标准差的概念，掌握它们的计算方法。

3.合作交流：学生分组讨论，交流对方差和标准差的理解和计算方法，互相学习，共同进步。

4.教师讲解：教师针对学生的讨论情况，进行讲解，解答学生的疑问，重点讲解方差和标准差的计算方法。

数据的集中趋势与离散程度

（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。

一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b同步练习：1为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。

（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。

人教版八年级数学同步学案：第20章数据的分析

20.1数据的集中趋势20.1.1平均数「概念课」加权平均数学习目标☐掌握加权平均数的概念☐理解加权平均数中权的含义，会计算一组数据的加权平均数视频助学请．先．思考．．．．【加权平均数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是加权平均数？（00:00-04:17）1.体现每个数据所占________的数叫做权．2.加权平均数是改良版的平均数，能够反映出每个数据的________，想提高哪个数据的________，增加它的________就可以了．3.计算加权平均数时要注意：最后要除以________．引导问题2如何给每个数据“加权”？（04:17-07:13）4.数据的权经常以________的形式出现，把5、10、15按照2:3:4来算加权平均数，列出的式子是________________________．5.数据的权还经常以________的形式出现，因为这里的权的总和是________，也就是________，所以我们直接把每一项与自己的权________，再________就可以了．6.把5、10、15按照20%:30%:50%来算加权平均数，列出的式子是________________________．7.给数加权，能够改变数据所占的________，改变它在平均数中的________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」频数与加权平均数学习目标☐理解加权平均数☐能根据频数分布表求加权平均数，从而解决实际问题视频助学请．先．思考．．．．【频数与加权平均数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1频数和权有什么关系？（00:00-03:06）1.数据出现的________能体现出它所占的________，因此可以把它当做________．2.________表可以记录每个数出现的次数，也就是________．我们把________当做权，计算加权平均数时，要注意除以________．引导问题2在没有具体数据时，如何计算加权平均数？（03:06-05:40）3.题目中并没有给出具体数据，只给出一定范围的情况下，我们需要进行________估算．第一步：找到每组的________，也就是一组范围两端的________，把这个范围内的数都按照________处理．第二步：根据每组数据的________，再估算加权平均数．4.篮球小组里50个人的身高被整理成一个频数分布表，求这50个人的平均身高．第二步：引导问题3如何用符号语言定义“加权平均数”？（05:40-07:44），，n x表示，把权用1w，2w，3w ，，n w表示，加权5.我们把数据用1x，2x，3x式子就是“加权平均数”的定义式．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」根据样本估计总体学习目标会用样本平均数估计总体平均数视频助学请．先．思考．．．．【样本平均数估计总体平均数】，然后完成引导问题下方的摘．．引导问题．．．．，再看视频要填空．引导问题1为什么要用样本平均数估计总体平均数？（00:00-02:28）1.把所有数据一个不落的全部收集起来，称为________，也叫普查．但是，当考察对象________，或者对考察对象带有________时，不适合全面调查．这时我们可以抽取一部分个体，用这部分个体的情况去估计总体情况，这种方法称为________．2.统计学中常常通过用________估计________的方法来获得对总体的认识，实际生活中经常用________平均数估计________平均数．引导问题2用样本平均数估计总体平均数有什么应用？（02:28-06:07）3.有一家工厂生产了10000支笔，需要了解书写长度的平均数，抽取其中100支，书写长度如下表，请利用这张表估算这10000支笔的总体书写长度．Array第一步：求出组中值．第二步：用频数做权，求出平均数．第三步：用样本平均数估计出总体平均数．4.已知数据个数和平均数，求数据之和．例如：如何估算两千只狗的总重量？第一步：抽取20只狗，________．第二步：将算出的________乘以_______，得到总重量．5.已知数据之和与平均数，求数据个数．例如：有一大筐鸡蛋，如何估计鸡蛋的个数？第一步：抽取几个鸡蛋作为________，求出它们的________．第二步：称出全部重量，除以________，得到鸡蛋个数．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________20.1.2中位数和众数「概念课」中位数学习目标☐认识中位数，会求一组数据的中位数☐理解中位数的意义和作用☐会根据中位数分析数据信息作出决策视频助学请．先．思考．．．．【中位数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是中位数？（00:00-05:08）1.将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是________，则称位于________位置上的数叫中位数．如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的________为这组数据的中位数．2.找2，4，5，6，3，7的中位数．第一步：把数据按顺序排列．________________________．第二步：判断数据个数是奇数还是偶数．________．第三步：确定中位数．________________．3.按上面的方法找15，14，14，13，14，14，13，14，104的中位数．引导问题2中位数有什么特点和意义？（05:08-06:41）4.中位数能够反映出数据的________，不容易受________值的影响，计算量小．5.中位数在统计学中的意义是：衡量一个数在________中偏大还是偏小．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」众数学习目标☐认识众数，会求一组数据的众数☐理解众数的意义和作用☐会根据众数分析数据信息作出决策视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．【众数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频引导问题1什么是众数？（00:00-02:34）1.一组数据中________最多的数叫做众数．2.1，5，0，1，3，5，5，1，1．这组数的众数是________．3.如果有出现次数相同的几个数，它们都________（填写“是”或“不是”）众数．如果所有数字出现的频率都相同，它们都________（填写“是”或“不是”）众数，这组数没有众数．4.1，1，2，2，3，3，4，4，5，5．这组数________（填写“有”或“无”）众数．引导问题2众数有什么特点和意义？（02:34-06:25）5.众数能够反映出数据的________，不易受________值的影响，不需要排序和计算，且一定出现在原数据中．6.商场进货最多的鞋号应该是这组数据的平均数、中位数还是众数？平均数：中位数：众数：7.总结以下三个统计指标的区别：8.2，4，8，x的平均数是4，则众数、中位数分别是多少？线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」集中趋势的变化规律学习目标进一步认识度量集中趋势的平均数、中位数、众数三个特征数视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【集中趋势的变化规律】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 数据整体加减同一个数，平均数、中位数和众数如何变化？（00:00-04:21） 1. 一组数据1x ，2x ，，n x ，假设平均数为x ，中位数为'x ，众数为"x ，把这组数整体加一个数a 后，平均数、中位数、众数的变化为： ○1平均数()()()1212n n x a x a x a x x x na n n ++++++++++===________． ○2一组数据整体加上一个数a ，________（填“会”或者“不会”）影响到数据大小的排列，因此中间位置上的数只随数据整体_______，所以整体加上a 后的中位数变为：______． ○3一组数据整体加上一个数a ，________（填“会”或者“不会”）影响到数据中众数的位置，因此众数位置上的数只随数据整体________，整体加上a 后的众数变为：________．引导问题2 数据整体乘除同一个数，平均数、中位数和众数如何变化？（04:21-06:45） 2. 一组数据1x ，2x ，，n x ，平均数为x ，中位数为'x ，众数为"x ，把它们整体乘一个数()0b b ≠后，平均数、中位数、众数的变化为： ○1平均数()1212n n b x x x bx bx bx n n ++++++===________． ○2一组数据整体乘一个数()0b b ≠，________（填“会”或者“不会”）影响到数据排列，因此中间位置上的数只随数据整体________，所以整体乘以b 后的中位数变为：______． 3. 一组数据整体乘一个数()0b b ≠，________（填“会”或者“不会”）影响到数据中众数的位置，因此众数位置上的数只随数据整体_______，整体加上b 后的众数变为：________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________20.2数据的波动程度20.2.1数据的波动程度「概念课」数据的波动程度学习目标理解数据的波动程度、极差的概念视频助学请．先．思考．．．．【数据的波动程度】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是数据的波动程度？（00:00-01:48）1.变化剧烈的数据的波动程度________，变化缓和的数据的波动程度________．引导问题2什么是极差？如何比较数据的波动程度？（01:48-04:56）2.一组数据中，________减去________叫做极差．它能表明数据的________范围，但对最大值、最小值以外的数据利用不够，容易受________值影响．3.计算以下数据的极差：○151，78，55，18，22，28，47的极差为________．○2132，124，120，41，33，58，56的极差为________．4.一组数据中，每个数据与________的差距能够反映出波动程度．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」方差学习目标☐ 理解方差的定义并掌握方差的计算公式☐ 会用方差比较两组数据波动的大小视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【方差】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是方差？如何比较两组数据波动程度的大小？（00:00-05:49） 1. 我们用差距的平方和除以____________来代表这组数据的平均差距；这个可用来衡量数据的波动程度的指标叫做数据的________．引导问题2 如何计算方差？方差有什么应用？（05:49-07:51） 2. 计算方差的步骤：第一步：求出这组数据的________．12n x x x n +++=________．第二步：每个数据与平均数________．1x x -，2x x -，，n x x -．第三步：求________．()()()22212n x x x x x x -+-++-．第四步：除以________________．()()()22212n x x x x x x n -+-++-． 3. 按上面的步骤计算7，7，8，9，9的方差．求平均数：x =________________________；数据与平均数做差：____________________________________________；求平方和：____________________________________________________；除以数据个数：____________________________________________________． 4. 小李和小锤数次考试的成绩是：小李：59，61，57，58，65；小锤：64，58，62，缺考，56．谁的成绩比较稳定？线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」波动程度的变化规律学习目标进一步认识度量波动程度的方差视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【波动程度的变化规律】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 数据整体加减同一个数，方差如何变化？（00:00-01:56） 1. 3，4，5的方差是________，每个数据都加上3后，方差是________． 2. 一组数据1x ，2x ，…，n x ，平均数为x ，把它们整体加一个数a ，平均数变为x a +，每个数据与平均数的差为________，与加上a 之前没有变化，因此方差也________（填写“会”或“不会”）有变化．引导问题2 数据整体乘除同一个数，方差如何变化？（01:56-04:28） 3. 4，5，6的方差是________，每个数据都乘以3后，方差是________． 4. 一组数据1x ，2x ，，n x ，平均数为x ，把它们整体乘一个数()0b b ≠，平均数变为________，每个数据与平均数的差变为原来的________倍，每个数据与平均数的差平方后变成之前的________倍，方差也变为原来的________倍． 5. 请总结一下数据整体变化时平均数、中位数、众数、方差的变化：线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」统计量的应用（上）能力目标利用统计量作分析与决策拔高练习1不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【统计量的应用（上）】讲题．1.等腰屯技术公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表．问：（1）该公司的高级技工有多少人？（2）该公司的工资极差是多少？（3）三角君向公司咨询月工资情况，请你计算出公司的整体平均工资和一般员工的平均工资？（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，然后再算一算余下40人的平均工资，并说说你的看法．攻略根据实际需要选择合适的统计量2.某皮鞋销售部对应聘者小锤、三角君、狗蛋进行面试，从商品知识、工作经验、仪表形象三方面进行了打分，每项满分20分，最后的得分形成条形图（如图）．问：（1）利用图中的信息填空：在商品知识方面3人得分的最大差距是________；在仪表形象方面最有优势的是________；（2）如果商品知识、工作经验、仪表形象三个方面的权重比为10:7:3，那么作为人事主管，你认为应该录用哪一位应聘者，为什么？3.三角君销售皮鞋时，发现各种尺码的皮鞋销量并不均衡，于是他把这个发现记录下来交给了老板，你认为这个销售记录对老板有用吗？如果有用请说明理由，并策划一下如何利用这些信息？检查梳理看视频【统计量的应用（上）】，核对拔高练习标准．．．，最后完整梳理一遍解题过．．．．．．．．答案．．并订正程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」统计量的应用（下）能力目标综合运用统计量，做数据分析以及决策拔高练习2 不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【统计量的应用（下）】讲题． 1. 实验中学运动队要从小锤和雷姐两名优秀选手中选一名参加全球射击比赛，运动队预先对这两名选手进行了8次测试．请你运用统计知识来判断，派谁参加比赛比较好呢？2. 实验中学要从琳达、田豆花两名跳远运动员中挑选一人参加全省比赛，在最近的10次选拔赛中，她们的成绩（单位：cm ）如图．（1）她们的平均成绩分别是多少？（2）琳达、田豆花这10次比赛成绩的方差分别是多少？（3）请说明琳达和田豆花各自的成绩特点．（4）历届比赛表明，成绩达到5.96m 就可能夺冠，为了夺冠，你觉得要选谁参加比赛呢？如果历届比赛表明，成绩超过6.10m 就会打破记录，那应该选谁呢？检查梳理看视频【统计量的应用（下）】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略数据中平均数越大的，综合实力越强．方差反映了数据的波动程度，方差越小说明发挥越稳定．攻略根据目标选择合适的统计量。

初中数学学案全集之数据的集中趋势与离散程度第5课时学案

20.2 数据的集中趋势与离散程度（第5课时）-学案界首四中杜心恒一、学习目标1.会用科学计算器求一组数据的方差。

2.养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。

二、学习重点、难点重点：会用科学计算器求一组数据的平均数，方差。

难点：准确操作计算器。

三、预习方法指导让学生阅读课本P131页，并在教师指导下计算教材例中数据的方差。

同时，通过应用计算器，了解用计算器解题的三个步骤：（1）建立统计运算状态。

方法：在打开计算器后，先按键2ndF、STAT，便使计算器进入SD计算状态。

（2）输入数据，其过程一定要用表格显示输入时，每次按数据后再按键DATA。

表示已将这个数据输入计算器。

（3）按一下有关的键，即可直接得出计算结果。

四、学习过程1.预习导学：要求必须熟悉计算器操作程序，完成下列填空。

（1）按键______，打开计算器。

（2）按键______，______，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。

（3）按键______，______，______，清除计算器中原有寄存的数据。

（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据为x1；第二数据为x2，……最后一个数据xn。

如果有重复出现的数据，如有7个数据是3，那么输入时可按3×7（前面是输入的数据，后面是输人数据的个数）（5）按键______，______，______，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。

（6）按键______计算器显示出输入的所有统计数据的方差。

（7）若又准备保留数据，可按键_____，______，结束求方差运算。

2.课堂探究：（1）小组合作完成例5（2）已知：甲、乙两组数据分别为：甲：1，2，3，4，5，6，乙：2，3，4，5，6，7，计算这两组数据的方差3.归纳小结（1）熟悉计算器上各键的功能（2）学会算(用计算器)平均数、方差五、达标检测：（1）通过使用计算器比较两组数据的波动大小，只需通过比较它们的____即可（）。

【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记

数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。

②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。

特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ．当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。

加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。

恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。

相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。

ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。

若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。

第二十章数据的分析-最新人教版八年级

身边的数学
解: 甲的平均成绩为 85+78+85+73 =80.25 ， 4
乙的平均成绩为 73+80+82+83 =79.5 ． 4
显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲．
我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”．
应试者听说读写甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83
应试者
A B C
测试成绩
创新能力计算机能力公关能力
72
50
88
85
74
45
67
72
67
（1）如果公司招聘的职员分别是网络维护员、客户经理或创作总监，给三项成绩赋予相同的权合理吗？
拓展应用
某广告公司欲招聘职员一名，A，B，C 三名候选人的测试成绩（百分制）如下表所示：
应试者
A B C
测试成绩
3+73

4
=79.5
能把这种加权平均数的计算方法推广到一般
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别
是w1，w2，…，wn，则
x=
x1w1+x2w2 + w1+w2 +
+xnwn +wn
叫做这n个数的加权平均数．
理解新知
问题3 如果公司想招一名口语能力较强的翻译，则应该录取谁？
听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．
• 学习重点：用样本平均数估计总体平均数．
想一想
问题1 果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量．你认为该怎样估计呢？
梨的个数？每个梨的质量？
做一做

人教版八年级下册数学 20.1 数据的集中趋势教案

20.1数据的集中趋势教案一、学习目标1. 掌握平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数、众数。

2. 在加权平均数中，知道权的差异对平均数的影响，并能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象。

3. 了解平均数、中位数、众数的差别，初步体会它们在不同情境中的应用。

二、重点、难点：重点：体会平均数、中位数、众数在具体情境中的意义和应用。

难点：平均数、中位数、众数在不同情境中的应用。

三、考点分析：“数据的分析”主要研究如何收集、整理、计算、分析数据，既定性又定量地获取总体信息，并在这个基础上进行科学的推断．本单元主要内容分为两大部分：一部分是反映数据集中趋势的平均数、中位数、众数；另一部分是反映数据离散程度的极差、方差。

基本要求是体会统计对决策的作用及其在社会生活及科学领域中的应用．这部分知识在近几年的中考命题中多次出现，用统计的思想解决一些应用问题，已成为命题的焦点。

一、平均数用一组数据的和除以这组数据的个数，所得的结果叫这组数据的平均数，也叫算术平均数。

要点诠释：计算平均数的方法有三种：（1）定义法：如果有n 个数据x 1，x 2，x 3……x n ，那么)(121n x x x nx +++=ΛΛ叫做这n 个数据x 1，x 2，x 3……x n 的平均数，x 读作“拔”。

（2）新数法：当给出的一组数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化平均数公式a x x +'=，其中a 取接近于这组数据平均数的较“整”的数。

（3）加权法：即当x 1出现f 1次，当x 2出现f 2次……当x n 出现f n 次，则可根据公式：nnn f f f x f x f x f x ++++++=K K 212211求出x 。

注意：平均数的大小与一组数据中的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．二、中位数将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。

年级下册第二十章《数据的分析》简介

年级下册第二十章《数据的分析》简介课程教材研究所王嵘从《标准》看，本章属于“统计与概率”领域。

对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和“图形与几何”领域编写，共三章。

这三章内容采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率。

统计部分的两章内容按照数据处理的基本过程来安排。

七年级下册第10章为“数据的收集、整理与描述”，本章“数据的分析”主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。

全章教学约需12课时（不包括选学内容的课时数），具体内容和课时分配如下：20．1 数据的集中趋势约5课时20．2 数据的波动程度约3课时20．3 课题学习约2课时数学活动小结约2课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。

本章知识展开的结构框图如下：（二）教科书内容第20.1节，教科书分两小节研究了加权平均数，中位数和众数。

20.1.1小节，教科书研究了加权平均数，包括权的意义、作用和不同的形式。

首先，教科书设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题，根据不同的招聘要求，各项成绩的“重要程度”不同，从而平均成绩不同，由此引入加权平均数的概念。

“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更好地说明这一点，教科书设置“思考”栏目和例1，从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数，体会“权”的意义和作用。

求加权平均数的问题形式多样，教科书在问题1和例1之后，又介绍了两种：一是在求n个数的算术平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算术平均数的公式进行简化，比如可以写成，此时可以看成是的权，只是这里“权”的意义并不是很突出；二是通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。

人教版八年级数学下册《数据的分析小结与复习》教学设计

人教版八年级数学下册第20章《数据的分析小结》教学设计难点分析数据的集中趋势和波动程度，体会样本估计总体的思想．教学资源教材，教参，备课组意见教法设计自主学习、启发引导本课重点解决问题构建知识体系本课学生所得课前准备学生预习准备预习课本，完成自主学习任务单教师教学准备研读教材、教参，分析学生学情教学过程1复习平均数、中位数、众数基本概念2举例说明平均数、中位数、众数的意义.3算术平均数与加权平均数有什么联系和区别？举例说明加权平均数“权”的意义.举例说明怎样用方差刻画数据的波动程度.5举例说明刻画数据特征的量在决策中的作用.6搜集关于“统计学”方面的资料（如学科发展史、思想方法、人物等），从某个角度谈谈你对统计的认识.分组展示第一组：1复习平均数、中位数、众数相关概念；平均数: 一组数据的总和与这组数据的个数之比叫做这组数据的平均数.计算公式:平均数:是反映一组数据的平均水平情况的量.中位数定义：把一组数据从小到大的顺序排列，位于中间的数称为这组数据的中位数.众数的定义：在一组数据中，把出现次数最多的数叫做这组数据的众数.（允许一组数据有多个众数出现）2举例说明平均数、中位数、众数的意义；本周是学校合理化建议周，为此我们小组对于参加体育锻炼的情况进行了调查，从三个年级随机抽取了50名学生，对他们在一周内平均每天参加体育锻炼的时间进行了统计，请你根据统计表所提供的信息回答以下问题：（1）样本中每天参加体育锻炼的时间为60分钟的学生有名；（2）样本的平均数约为分钟，中位数是分钟，众数是分钟；（3）若全校共有1200名学生，请你估计每天参加体育锻炼时间超过1小时的有人（4）请指出用（2）中的哪个数据反映该学校的学生参加体育锻炼的实际水平更合理些．请说出你的理由；（5）为保证学生每天有1小时的体育锻炼时间，我们应向校长提出哪些合理化建议？3拓展延伸；小明同学所在班级有36个人，这次他考了80分，全班同学的平均分是78分。

数据的集中趋势和离散程度

数据的集中趋势和离散程度作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第06期客觀事物带有各种信息，这些信息的表现形式和载体叫作数据.例如，测量温度、湿度、气压、风力、风向等所产生的各种记录，都是研究气象问题离不开的数据，统计过程主要分为三步：第一步是收集数据;第二步是整理数据，即对收集的原始数据进行整理、加工，从中提取出数据的代表;第三步是分析数据，即通过数据的代表研究数据中蕴涵的规律，从而研究已发生的事或预测将发生的事.一、数据的集中趋势分析数据时，通常关注“一组数据围绕哪个中心数值分布”.这个问题关系到一组数据的平均水平或一般情况，对发现事物的内在规律有重要参考价值，在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势，为描述数据的集中趋势，可以选择不同的数据代表.如果从数据取值大小的角度描述，可用平均数作为数据代表：如果从数据排列位置的角度描述，可用中位数作为数据代表;如果从不同数据出现次数的角度描述，可用众数作为数据代表.这三个数据代表从不同角度反映数据的集中趋势，它们各有各的作用，分别适合于不同情况的数据分析.例1 为比较A，B两个玉米品种，将它们分别种植在面积相等的多块试验田中，每块试验田只种一种玉米，下表记录了两种玉米收获后的产量分布情况.表中第一行为单块试验田产量，下面两行分别为A，B两个品种中与第一行产量对应的试验田的块数.根据表中的数据解答下列问题：（1）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的平均数，并说明其意义;（2）分别求A.B两种玉米单块试验田产量的中位数，并说明其意义：（3）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的众数，并说明其意义.解：（1）从表中可知.A种玉米单块试验田产量（单位：kg）为700，750，800，850，900，950的试验田块数分别为4，20，26，20，18 ，12.通过计算加权平均数，得A种玉米单块试验田产量的平均数为XA=832 kg.同理，B种玉米单块试验田产量的平均数为xB≈ 827 kg.从计算结果可知，在单块试验田平均产量上A比B高5 kg.加权平均数与通常的算术平均数本质相同，即n个数之和除以n的结果，只是加权平均数计算起来更简捷.（2）将A的全部单块试验田产量（共100个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这100个数据中处于正中间位置的是第50个数据800和第51个数据850，这两数的平均数（800+850）÷2=825为A种玉米单块试验田产量的中位数，将B的全部单块试验田产量（共99个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这99个数据中处于正中间位置的是第50个数据850，它为B种玉米单块试验田产量的中位数.从计算结果可知，A的数据中小于825的和大于825的各占50个;B的数据中第50个数据850之前和之后的数据各占49个.这说明825 kg和850 kg可以分别作为A，B两种玉米单块试验田产量的中等水平的代表.中位数可以不是原始数据.排序时既可以从小到大，也可以从大到小，两种排法找出的中位数相同.（3）A的全部数据（共100个）中，出现次数最多的是800 kg（26次），800 kg即这组数据的众数.B的全部数据（共99个）中，出现次数最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是这组数据的众数.从计算结果可知，虽然各块试验田中产量不尽相同，但也可能有规律存在，即在一般情形下，A的单块试验田产量是800 kg的可能性较大，B的单块试验田产量是800 kg或850 kg的可能性较大.可以看出，一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个.众数是原始数据中的数据.平均数是最常用的一个数据代表，它通常能反映一组数据的平均水平.平均数的计算，要用到原始数据中的每一个数据.因此，一组数据中如有极端值（与多数数据相比过大或过小的个别数据）时，极端值可能对平均数影响较大.这种情形下如仍用平均数作为数据代表，往往与多数数据的大小产生较大偏差，不能恰如其分地反映一组数据的中心数值，这时，选择中位数或众数作为数据代表，或更能客观地反映一组数据的中心数值，例2 下表为某地9月份每天空气中细颗粒物（即PM 2.5）的测定值及相应的天数.（1）分别求表中数据的平均数、中位数和众数.（2）所得的平均数能客观反映该地9月份空气中细颗粒物的含量吗？解：（l）平均数约为34.9 yg/m3，中位数为24μg/m3，众数为24 μg/m3.（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的测定值都不超过25 μg/m3，它们与平均数差距较大;30天中只有1天的测定值360μLg/m3远高过平均数，这可能是由于一次突发事故造成了空气严重污染.显然，因为有360这个极端值，才使得平均数的值很大.如果以平均数34.9 μg/m3作为数据代表，则不能客观反映该地9月份空气中细颗粒物含量的一般状况.而以中位数或众数24μg/m3作为数据代表，则能较好地反映客观实际.二、数据的离散程度“一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度有多大？”这是数据分析所关注的另一个主要问题，由它能从整体上描述这组数据的聚散状态.在统计学中，把一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度，称为这组数据的离散程度或离中程度.它反映一组数据大小的波动状态，从而描述了这组数据的稳定性.方差是表示离散程度的常用数据代表，它的计算方法是，先计算一组数据的平均数，再计算各数据与所得平均数之差的平方和，最后用所得平方和除以这组数据的个数，这个结果被用于反映一组数据与平均数的偏离程度，对数据的变化幅度给予了定量的刻画.例3 分别计算例1中A.B两组数据的方差，由所得方差你能看出哪种可能性？解：s2=4 876，s2≈5 061.从两个方差看，B的略大于A的，即B的数据比A的数据的离散程度略高，也即B的数据起伏略大，而A的数据相对来说略为稳定.同学们可能会想：为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和？如果直接把各数据与平均数之差相加岂不更简单？一般情况下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小.如果直接用它们减平均数，则这些差会有正有负，如果再把这些差相加，就会出现正负相抵，例如，一组数据为2，2，3，3，4，4，其平均数为3，各数据与平均数之差分别为一1，-1，0，0，1，1.这些差之和为0.但这并不意味着这组数据都是紧靠平均数的.使用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止做加法时出现正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离.方差名称中的“方”正是“平方”的简称.你也许会问：为什么不用差的绝对值，而要用差的平方来分析离散程度呢？直接用绝对值不是也可以避免出现负数吗？不使用绝对值，是因为取绝对值在运算上要考虑差的正负，取差的平方则不需要考虑差的符号，而且只要四则运算即可获得避免正负相抵的效果.所以人们选择用差的平方来计算方差.观察下图，图1中数据的方差应大于图2中数据的方差，这一结论可通过测量距离或运用方差公式计算来证明.。

20.1数据的集中趋势(精讲)

20.1数据的集中趋势平均数一般地，对于n 个数123n x x x x 、、、…，我们把()1231n x x x x n×××++++叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作x 。

计算公式为()1231n x x x x x n=×××++++。

题型1：平均数1.数据-1，0，3，4，4的平均数是（）A ．4B ．3C ．2.5D ．2【答案】D【解析】【解答】解：x =−103445=2,故答案为：D.添加的数.【变式1-2】八年级（1）班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数如图所示(分数为整数，满分100分)．请观察图形，回答下列问题：（1）该班有名学生：（2）请估算这次测验的平均成绩．【答案】（1）60（2）解：6×358×4510×5518×6516×752×8560=61（分）故这次测验的平均成绩为61分．【解析】【解答】（1）6+8+10+18+16+2=60（名）故该班有60名学生．【分析】（1）把各分数段的人数相加即可．（2）用总分数除以总人数即可求出平均分．加权平均数题型2：加权平均数2.某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照40%，25%，35%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（）A．86分B．85分C．84分D．83分【答案】A【解析】【解答】解：∵95×40%+80×25%+80×35%=86（分），∴该选手的成绩是86分．故答案为：A．【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可。

【变式2-2】学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3 ∶3 ∶4 ，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。

数据的集中趋势与离散程度——知识讲解

数据的集中趋势与离散程度——知识讲解撰稿：杜少波责编：张晓新【学习目标】1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用. 【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数 1.平均数一般地，如果有n 个数据123n x x x x 、、、…，那么，()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“x ”表示.即()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数若数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，3x 出现3f 次……k x 出现k f 次，这组数据的平均数为x ，则x =1122k k12kx f x f x f f f +f +++++……（其中1f +2f +…+k f =n ，k ≤n ）在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：（1）k f 越大，表示k x 的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数 1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受极端值的影响.中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.众数反映一组数据中出现次数最多的数据.一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景. 要点四、方差设一组数据是12,,n x x x …，，它们的平均数是x ，我们用()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定. 在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【典型例题】类型一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（） A ．99.60，99.70 B ．99.60，99.60 C ．99.60，98.80 D ．99.70，99.60 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．【答案】B ；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B ．【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．举一反三：【高清课堂数据的分析例8】【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．【答案】3.2；3.5；解：由题意3.43.5, 3.62x x +==，所以众数是3.2，平均数是3.5. 【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（） A ．6.2小时 B ．6.4小时 C ．6.5小时 D ．7小时【答案】B ；解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙丙教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴ 候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．举一反三：【高清课堂数据的分析例10】【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）．所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）．答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．【高清课堂数据的分析例11】3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值．【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系. 举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元） 5 10 15 20学生个数（个）a15 20 5请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．【答案】解：(1) a＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．类型三、方差4.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲 55 149 191 135乙 55 151 110 135（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三：【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定C ．甲、乙射击成绩稳定性相同D ．甲、乙射击成绩稳定性无法比较【答案】B.类型四、用样本估计总体5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体．【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有6.5 6.56.52+=． ∴ 这组数据的中位数是6.5．(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．6. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ）甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差.(2)哪种玉米的苗长得高些？ (3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键. 【答案与解析】解：（1）甲的平均值:）（）（甲cm x 3025404137221914394221101=+++++++++= 乙的平均值:甲的方差:)(2.10410)3025()3042()3021(22222cm S =-++-+-=甲, 乙的方差:)(8.12810)3144()3116()3127(22222cm S =-++-+-=乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高. （3）因为22S S 甲乙＜，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式. 举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．【答案】5.8 5.2x x ==乙甲∵，，∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．222.160.56S S ==乙甲∵，，∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．植株编号 1 2 3 4 5甲种苗高 7 5 4 5 8乙种苗高 6 4 5 6 5。