第四章 货币的时间价值

1983年1月至2008年12月
练习
如果一项投资能获得每年8%的复 利，那么本金为1000元的投资者 至少需要等多少年（取近似值）才 能增长2倍？ A) 9 B) 14 C) 22 D) 25
4.3 贴现
贴现（discounting）：将终值换算成现值的 过程 贴现系数（discount factor):在将来某特定时点 获取的1美元的现值。 1 t 贴现系数= （1 r） 其中r是贴现率，是指计算未来现金流量现 值时使用的利率，也叫利率下限（hurdle rate） 或者资本机会成本（opportunity cost of capital）。 这所以叫机会成本，是因为它是一种丧失的收 益，因为对此项目进行了投资，就不可能再对 证券进行投资，就丧失了证券投资的收益。
练习：一次付清与分期付款
• 假设汽车商给您两种选择：一次性支付 15500美元购买一辆新车，或者是分期付款， 首付8000美元，然后在接下来的两年内每 年支付4000美元。假设现在进行无风险投 资可赚取的利息是8%，你会选择哪种方案 购车呢？
2. 多期现金流终值的计算
FVn Ct (1 r )
4.4 多期现金流的PV和FV的计算
• 案例：仍沿用上章的案例，只不过你得到一些不利消息。 建筑商告诉你，办公大楼1年建不成，需要2年。另外随 着时间的推移，还要发生如下支出： 1）当前投资100000美元（另外，价值50000美元的土地也 必须现在就支付现金）； 2）1年后100000美元的建设费用； 3）第2年末，楼房交付使用时要交100000美元的最终付款。 不过你的房地产顾问认为完工后楼盘的价值仍然可以达到 400000美元。
按照现金流量发生的不同情况，年金 可分为普通年金、预付年金、增长年 金和永续年金等形式。
1. 普通年金
普通年金又称后付年金，是指一定时期每期 期末等额的现金流量。 普通年金现值的计算公式为：
1 1 PV C[ ] t r r (1 r )
式中中括号部分为年金系数，即从第1年开始 连续t年内每年年末支付1美元的年金现值。
t 0 n n t
例：假设你现在拥有一个本金为1000元 的账户，你在第一年末会收到1500元， 在第二年末会收到2000元。假设你这 个账户每年能获得5%的收益率，那么 从现在开始三年后你的账户的本利和 一共是多少？
4.5 多期现金流的一些简便计 算—年金的计算
定义：年金（annuity）是指未来一系 列的、持续一段时间的、等间隔（一 般指一年）发生的现金流量。
每年等额现金流的计算
• 在年金现值公式中，如果给定现金流量的现
值和贴现率，就可以计算每年等额的现金流 量C，即：
PV C 1 1 [ ] t r r (1 r )
• 例：假设你刚刚从银行获得了250000美元 的房屋抵押贷款。银行要求你在未来30年内 按年等额偿还，假设年利率为12%，则抵押 贷款每年偿还额是多少？ • PV=抵押贷款每年偿还额×30年期年金现值 系数=250000美元 • 抵押贷款每年偿还额=250000/8.055=31037 美元
4.6 债券与普通股的价值
4.6.1 债券的价值
4.6.1.1 相关概念
债券:是依照法定程序发行，约定在一定期 限内还本付息的有价证券。 面值：在债券到期日向债券持有者支付的金 额。 息票利率：年利息收入与债券面值之比率
72/25 72/30 72/35
多少时间增值一倍 14.4年 7.2年 4.8年 3.6年
2.88年 2.4年 2.04年
下图是香港恒生指数从1975-2005年的历史数据
长线投资回报稳定
• 投资15年的表现：
• 1975 – 1989 年平均回报 16% • 增长 9 倍 • 1980 – 1994 年平均回报 21% • 增长 17 倍 • 1985 – 1999 年平均回报 18% • 增长 12 倍 • 1990 – 2005 年平均回报 12% • 增长 6 倍
复利计算的终值
7000 6000
FV of $100
利率
0% 5% 10% 15%
5000 4000 3000 2000 1000 0
0 2 4 6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Number of Years
30
股神巴菲特为什么这样富有？
【投资】
• 他以100美金起家 • 2006年6月，他拥有440亿美元的资产 • 41年，年复息回报率达21.4%
注意：此处公式的推导运用到等比 数列的求和公式
a1 (1 q n ) • 当q≠1时， S n 1 q
1 1 • 此处首项是 1 r ，公比是 1 r
练习：分期付款计划
• ABC公司以分期付款方式向XYZ公司出售一 台大型设备。合同规定XYZ公司在10年内每 半年支付5000元欠款。ABC公司为马上取得 现金，将合同向银行折现。假设银行愿意 以14%的名义利率、每半年计息一次的方式 对合同金额进行折现。问ABC公司将获得多 少现金？
第四章 货币的时间价值
案例：你会选择哪个薪酬方案？
• 假设你去见工 • 老板对你说：有两个发工资的方案供你挑选 第一个是 “你帮我做30个月我每个月给你5万元” 第二个是 “你帮我做30个月我第一个月给你1毛钱，第2 个月给2毛钱,第三个月4毛钱，第四个月8毛 钱„„如此每个月倍增”
请问你会选那个方案？
请问你是否还应该进行这项投资？
1. 多期现金流的现值计算
• 注意：资产现值的一个优点是它们都是以 当前的货币单位计量的，因此可以累加。
C3 C1 C2 PV 2 3 1 r1 (1 r2 ) (1 r3 ) Ct n ( 1 r ) t 1 t
n
• PV是现值，Ct是t时期的现金流，rt是t时期 的贴现率。
多期现金流的净现值计算
NPV C0 PV Ct C0 n t 1 (1 r t)
• NPV是净现值，C0是初始现金流（通常是负 的）， PV是现值，Ct是t时期的现金流， rt是t时期的贴现率。
n
前面例子的现金流计算
期间 t=0 t=1 t=2
土地
建设费
-50000
-100000 -100000 -100000
4.2 单利与复利
• 将现值转换成终值可以采用两种方法：
1. 单利
每期的利息不计入下一期的本金，即
• 例：某政府按面值发行5年面值为100 元国债，票面利率为5%，按单利计息， 每年付息一次，A投资者购买了这种债 券，计算其本利和。
2.复利
• 每期的利息都计入下一期的本金，即“利 滚利”
• 例：某政府按面值发行5年面值为 100元国债，票面利率为5%，按复 利计息，每年付息一次，A投资者 购买了这种债券，计算其本利和。
C0 (1 g ) C1 PV rg rg
• 这就是增长型永续年金的现值公式。
• 例：假设某位富翁想在一所大学建立一项 永久性的基金。如果利率是10%，假设他 第一年计划发放10万美元的奖学金，然后 每年按5%的速度增加奖学金的发放，则现 在需存入多少钱？
• 思考：上述年金的终值如何计算呢？
• 案例：假设你看到一块可以50000美元买进 的空地，你的房地产顾问认为1年后将会出 现办公用房短缺，一幢办公大楼可以以 400000美元的价格出售。假设买地和建房 的总成本为350000美元，美国政府短期债 券的年利率为7%，请问你是否应该进行这 项投资？
那么，如何计算前面例子中办公大 楼的现值呢？
例：你打算每年存4000，在退休前一直 存够20年，假设利率为10%，那么你的 退休账户上将会有多少钱？ 两种计算方法：一种是最简单的方法， 一期一期算终值，计算繁琐；另外一种 方法是先计算出每年存4000，一共存20 年的现值，然后再算将这笔钱投资20年 的价值。
练习
• 假设你为了买一辆车而在每年年底存 3000美元，如果利率是每年8%，那在 4年后的年末这笔钱值多少？如果你是 在每年年初存3000，那么在4年后的年 末这笔钱又值多少呢？
例：使您的财富翻一番
• 假设你的投资顾问承诺在8年后使你的 财富增长一倍，那么他实际上承诺了多 少的投资回报率呢？
FV PV (1 r ) 2 1 (1 r ) r 9.05%
8
t
财富翻一番 72法则
每年投资回报增幅 5% 10% 15% 20%
25% 30% 35%
计算方式 72/5 72/10 72/15 72/20
4. 增长型年金（Growing annuities)
增长年金是指按固定比率增长，在相等 间隔期连续支付的现金流量。 增长年金的现值计算：
(1 g ) t 1 (1 r ) t PV C (1 g ) rg
式中g表示增长率。
• 当t趋向于无穷大时，且g<r时，上式变为：
120 100 5%
利率
PV of $100
80 60 40 20 0
10% 15%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Number of Years
练习
假设你今年读大学的总费用为20000元， 为了支付这个费用，请问你父母在21 年前至少需要投入多少本金到一个每 年支付8%的复利率的账户中？ A) 952 B) 1,600 C) 1,728 D) 3,973
• 现值（PV）=贴现系数×C1
• •
Байду номын сангаас
1 400000 C1 374000 1 7% = 1 r
• 也就是你现在如果就将这座办公大楼卖 出去，这座房产的市场价值，也就是投 资者愿意支付的价格。 思考：你有没有可能以高于374000的价 格或低于374000的价格卖掉这座房产？