数理方程第讲教学教材
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
华科数理方程课件完整版
H
2
H
2
t 2
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
——电场的三维波动方程
1.1.2 能量守恒与热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不 n S 均匀时，有热量从高温处流向低温处。 M V 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 S 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 热场 说明温度分布与位臵有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 G，设其上的点 ( x, y, z ) 在时刻t 的温 度为 u( x, y, z , t ) ,研究温度 u( x, y, z , t ) 的运动规律。
C C D 2 t x
2
E
对方程进行化简：
2
E /
2 E (u) u u /
u / 泊松方程
2 u 0 拉普拉斯方程
1.1.4 质量守恒与连续性方程
所要研究的物理量：时刻t流体在位臵M(x,y,z)处的密度 ( x, y, z, t ) 假设流体在无源的区域内流动，流速为
k a 为热扩散系数。 c
2
u k u a 2u t c
S
V
n
(1)
M
S
热场
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。
u a 2u f ( x, y, z ) t
(2)
质量守恒与扩散方程
2
H
2
t 2
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
——电场的三维波动方程
1.1.2 能量守恒与热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不 n S 均匀时，有热量从高温处流向低温处。 M V 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 S 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 热场 说明温度分布与位臵有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 G，设其上的点 ( x, y, z ) 在时刻t 的温 度为 u( x, y, z , t ) ,研究温度 u( x, y, z , t ) 的运动规律。
C C D 2 t x
2
E
对方程进行化简：
2
E /
2 E (u) u u /
u / 泊松方程
2 u 0 拉普拉斯方程
1.1.4 质量守恒与连续性方程
所要研究的物理量：时刻t流体在位臵M(x,y,z)处的密度 ( x, y, z, t ) 假设流体在无源的区域内流动，流速为
k a 为热扩散系数。 c
2
u k u a 2u t c
S
V
n
(1)
M
S
热场
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。
u a 2u f ( x, y, z ) t
(2)
质量守恒与扩散方程
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
《数理方程》第一讲
1 2
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
数理方程课件33数理方程数理方程视频数理方程与特殊函数数理方程课后习题答案数理方程试卷北航数理方程数理方程常用公式数理方程pdf数理方程复习
§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程第讲教学教材
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
数理方程课件一
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
初中数学方程第一课教案
初中数学方程第一课教案教学目标：1. 了解一元一次方程的概念及其在实际生活中的应用。
2. 学会解一元一次方程的基本步骤。
3. 能够运用一元一次方程解决实际问题。
教学内容：1. 一元一次方程的概念及其定义。
2. 一元一次方程的解法。
3. 一元一次方程在实际生活中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的加减乘除运算。
2. 提问：同学们在生活中有没有遇到过需要解决的问题，可以用加减乘除来解决呢？3. 总结：加减乘除可以帮助我们解决一些简单的问题，但是当问题变得更加复杂时，我们就需要用到更强大的工具——方程。
二、新课导入（15分钟）1. 介绍一元一次方程的概念：一个方程中只有一个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
2. 举例说明一元一次方程的形式：ax + b = 0，其中a和b是常数，x是未知数。
3. 讲解一元一次方程的解法：a) 移项：将方程中的未知数移到等号的一边，常数移到等号的另一边。
b) 合并同类项：将移项后等号两边的同类项合并。
c) 化简：将合并同类项后的方程化简，求出未知数的值。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些一元一次方程的练习题，加深对一元一次方程解法的理解。
2. 引导学生总结解题规律，遇到类似问题时可以快速解决。
四、实际应用（10分钟）1. 讲解一元一次方程在实际生活中的应用，如购物、做饭等。
2. 让学生尝试解决一些实际问题，巩固所学知识。
五、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容：一元一次方程的概念、解法及其在实际生活中的应用。
2. 强调一元一次方程在实际生活中的重要性，鼓励学生多观察、多思考，运用所学知识解决实际问题。
六、作业布置（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固一元一次方程的解法。
2. 布置一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
教学反思：本节课通过讲解一元一次方程的概念、解法及实际应用，使学生掌握了解决此类问题的基本方法。
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
第七章数理方程教材
一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初 始条件，因此本征解并不是定解问题的解。
为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解 进行线性叠加，从而形成如下的通解式:
可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边 值条件。若要使其满足初始条件，那么
(x)和(x)的傅氏展开
根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中 待定常数
再假设初始条件为 那么完整的定解问题为:
小结:
1. 定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件; 2. 微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有
关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然 后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高 阶小量,就可得到所需的偏微分方程; 3. 定解条件: 边界条件+初始条件(+附加条件);
则w(x)必须满足条件：
求解以上定解问题很容易求出：
根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以 确定待定系数
§7.5 有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题
f (x,t)x
弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。 ( , 为常数)
类似于本章例1的推导可以得到：
（阻尼因子）
解：采用分离变量法，设
代入边界条件后得: ，若要使 ，那么
相应的本征函数为： 因此该问题的本征解为:
管乐器中空气的本征振动角频率为： 当n=0时，对应于最低频率ν 0（基频）。 当n>1时，相应的本征振动频率是n次谐频。
管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频。
分离变量法解题的四步:
1. 设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条 件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征 值问题)和相应的边界条件;
数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
小学数学苏教版五年级下册第一单元《方程》第一课时公开课方程说课稿
小学数学苏教版五年级下册第一单元《方程》第一课时公然课方程讲课稿我讲课的内容是苏教版五年级下册第一单元《方程》第一课时的内容。
下边从教材剖析、学情剖析、教课目的剖析、教课重难点剖析、教法与学法剖析、教课方案等几个方面进行讲课。
一、教材剖析《方程》是在学生已经学过用字母表示数的基础上睁开的，为下边等式的性质和解方程的教课作铺垫，有着承上启下的重要作用。
同时，方程作为一种重要的数学思想方法，对丰富学生解决问题的策略，提升解决问题的能力，发展数学素养有着特别重要的意义。
二、学情剖析1.小学生的心理特色小学生年幼好动，有激烈的好奇心，注意力分别，所以，我采纳形象生动、形式多样的教课方法，激发学生的学习兴趣，培育学生的能力。
2.学生的知识构造学生已经达成了整数、小数的认识及其四则运算的学习，积累了许多的数目关系的知识，是在学会用字母表示数的基础上学习方程知识的。
第1页/共6页依据新课程标准的要求、教材编写企图、五年级学生的认知规律和已有的知识构造，制定以下教课目的：知识目标：理解方程的含义，初步领会等式与方程的关系。
能力目标：经过将现实问题抽象成等式与方程的过程，培育学生“从详细到抽象”“从特别到一般”的归纳归纳能力。
感情目标：创建问题情境，激发学生察看、剖析、研究的学习激情，加强学生的参加意识及主体作用。
四、重、难点剖析方程作为一种重要的数学思想方法，是学生进一步学习数学和其余学科的重要基础。
所以，本节课的要点确立为：理解方程的含义。
小学生的认知水平还处在感性认识的阶段，要透过现象看实质，并上涨到理论的高度还存在着很大困难，所以将理解等式与方程的关系确立为本节课的教课难点。
五、教法与学法剖析1.学法叶圣陶先生说过：“教是为了不教。
”我们不单要教给学生知识，更要教会学生怎样去学。
所以，在学法中，让学生经过“感知沟通→ 察看比较→ 得出观点→剖析观点”的研究过程去发现新知，进而达到发展思想，提升能力的目的。
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1
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
或
X(x) X(x)
T(t) a2T(t)
此式左端仅是x的函数, 右端仅是t的函数, 一 般情况不可能相等, 除非它们均为常数, 令此
常数为-l, 则有
X(x) T(t) -l
X(x) a2T(t)
这样可以得到两个常微分方程:
T(t)la2T(t)0, (2.4)
X(x)lX(x)0. (2.5) 6
问题
X(x)lX(x)0
X(0)X(l)0
(2.5) (2.6)
X(x)lX(x)0
(2.5)
X(0)X(l)0
(2.6)
要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非
零解, 又要求出这个非零解X(x). 这样的问题
称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值
问题, 使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问
当l=0时, 特征根为0.
方程的通解为 X(x)=Ax+B
当l>0时, 特征根为
i l
方程的通解为
l l X (x ) A c o s x B s inx
10
1º设l<0, 此时方程(2.5)的通解为
X (x )A e- lx B e -- lx 由条件(2.6)得
AB0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
Tn(t)a2nl222Tn(t)0
14
其通解为:
Tn(t)C n cosnlatD n sinnlat(n1,2,3,L)
(2.9) 因此可分离变量的方程的特解为
un(x,t) C ncosnlatD nsinnlat sinnlx
(n1,2,3,L), (2.10) 其中 C n B n C n ,D n B n D n 是任意常数.
f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x +b2cos2x+
其中的无穷多个函数1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, 也构成了级数展开的一个函数系.
3
因此, 一般而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系v0(x), v1(x), v2(x), …下展开成级数的形式为 f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+ 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x的函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, … 下展开成级数的形式
15
为满足初始条件(2.3), 求出原问题的解, 将 (2.10)中所有函数un(x,t)叠加起来:
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
r1,r2
两个相等的实根 r1=r2 y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根
r1,2=i
y ex (C1 cos x C2 sin x)
9
而方程X''(x)+lX(x)=0的特征方程为 r2+l=0
当l<0时, 特征根为 - l
方程的通解为 X (x )A e- lx B e -- lx
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有
f (x)n1bnsinnl x
其中系数bn为:
b n 2 l0 lf(x )s in n lx d x(n 1 ,2 ,3 ,L ).
u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+ 其中的每一项都是两个一元函数的乘积 ai(t)vi(x), 这样构成的二元函数我们称之为可 分离变量的. 而如果级数中的每一项都是线性 偏微分方程的解, 则此级数也就是线性偏微分 方程的解.
4
5
代入方程(2.1)得 X(x)T''(t)=a2X''(x)T(t)
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
题的特征值, 相应的非零解X(x)称为它的特征
函数.
下面分l<0, l=0和l>0三种情况来讨论, 将得
出结论l<0和l=0不能成立.
8
对高等数学中二阶齐次线性微分方程求解的
复习:
特征方程 r2+pr+q=0 微分方程 y py qy 0的通
的两个根 r1,r2
解
两 个 不 相 等 的 实 根 y C1er1x C2er2x
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所 以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
形式的解, 就先要求解下列常微分方程的边值
18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
或
X(x) X(x)
T(t) a2T(t)
此式左端仅是x的函数, 右端仅是t的函数, 一 般情况不可能相等, 除非它们均为常数, 令此
常数为-l, 则有
X(x) T(t) -l
X(x) a2T(t)
这样可以得到两个常微分方程:
T(t)la2T(t)0, (2.4)
X(x)lX(x)0. (2.5) 6
问题
X(x)lX(x)0
X(0)X(l)0
(2.5) (2.6)
X(x)lX(x)0
(2.5)
X(0)X(l)0
(2.6)
要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非
零解, 又要求出这个非零解X(x). 这样的问题
称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值
问题, 使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问
当l=0时, 特征根为0.
方程的通解为 X(x)=Ax+B
当l>0时, 特征根为
i l
方程的通解为
l l X (x ) A c o s x B s inx
10
1º设l<0, 此时方程(2.5)的通解为
X (x )A e- lx B e -- lx 由条件(2.6)得
AB0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
Tn(t)a2nl222Tn(t)0
14
其通解为:
Tn(t)C n cosnlatD n sinnlat(n1,2,3,L)
(2.9) 因此可分离变量的方程的特解为
un(x,t) C ncosnlatD nsinnlat sinnlx
(n1,2,3,L), (2.10) 其中 C n B n C n ,D n B n D n 是任意常数.
f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x +b2cos2x+
其中的无穷多个函数1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, 也构成了级数展开的一个函数系.
3
因此, 一般而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系v0(x), v1(x), v2(x), …下展开成级数的形式为 f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+ 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x的函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, … 下展开成级数的形式
15
为满足初始条件(2.3), 求出原问题的解, 将 (2.10)中所有函数un(x,t)叠加起来:
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
r1,r2
两个相等的实根 r1=r2 y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根
r1,2=i
y ex (C1 cos x C2 sin x)
9
而方程X''(x)+lX(x)=0的特征方程为 r2+l=0
当l<0时, 特征根为 - l
方程的通解为 X (x )A e- lx B e -- lx
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有
f (x)n1bnsinnl x
其中系数bn为:
b n 2 l0 lf(x )s in n lx d x(n 1 ,2 ,3 ,L ).
u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+ 其中的每一项都是两个一元函数的乘积 ai(t)vi(x), 这样构成的二元函数我们称之为可 分离变量的. 而如果级数中的每一项都是线性 偏微分方程的解, 则此级数也就是线性偏微分 方程的解.
4
5
代入方程(2.1)得 X(x)T''(t)=a2X''(x)T(t)
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
题的特征值, 相应的非零解X(x)称为它的特征
函数.
下面分l<0, l=0和l>0三种情况来讨论, 将得
出结论l<0和l=0不能成立.
8
对高等数学中二阶齐次线性微分方程求解的
复习:
特征方程 r2+pr+q=0 微分方程 y py qy 0的通
的两个根 r1,r2
解
两 个 不 相 等 的 实 根 y C1er1x C2er2x
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所 以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
形式的解, 就先要求解下列常微分方程的边值
18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,