第四章 直梁的弯曲
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直梁的弯曲
MC,MA的坐标相连，画出 抛物线；再以直线MA,MD左 和MD右，MB的坐标，可得 全梁的弯矩图图c所示。 由图可见，在D稍右处横
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
化工设备基础4 直梁的弯曲
z
推论： 推论：
y
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形； 纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形； 2、横截面上只有正应力，而无剪应力； 横截面上只有正应力，而无剪应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层 梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层， 与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区， 与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，中性 层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。 层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。 中性轴旋转的
σ =E
y
ρ
M = ρ EIZ
1
正应力公式
变形几何关系
ε=
y
ρ
σ =E
物理关系
σ = Eε
M = ρ EIZ
1
y
ρ
静力学关系
1
My σ= IZ
ρ
为曲率半径
ρ
为梁弯曲变形后的曲率
第四章 直梁的弯曲
起重机大梁
火车轮轴
P
P
弯曲特点
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力） 力偶的作用 变形特点： 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
平面弯曲 •具有纵向对称面 具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
二、弯曲正应力公式的推导 1、几何关系 、
dx
2、物理关系 、 z
胡克定理
σ = Eε
σ =E
y
ρ
y
第四章梁的弯曲
第四章梁的弯曲一、判断题1. 作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。
（√）2. 在等截面梁中，正应力绝对值的最大值必然出现在弯矩值最大的截面上。
（√）3. 梁的合理截面应该使面积的分布尽可能离中性轴远。
（√）4. 弯曲应力有正应力和剪应力之分。
一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。
（√）5. 弯曲变形的实质是剪切。
（×）6. 梁弯曲时，中性层上的正应力为零。
（√）二、选择题1．梁的合理截面形状依次是（D、A、C、B ）。
A．矩形；B．圆形；C．圆环形；D．工字形。
2. 梁在集中力作用的截面处，其内力图（ B ）A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续B 剪力图有突变，弯矩图有转折C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续D 弯矩图有突变，剪力图有转折3. 梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（ C ）A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续B 剪力图有突变，弯矩图有转折C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续D 弯矩图有突变，剪力图有转折4．在梁的弯曲过程中，梁的中性层（ B ）A 不变形B 长度不变C 长度伸长D 长度缩短5．当横向外力作用在梁的纵向对称平面时，梁将发生（ C ）A 拉压变形 B.扭转变形 C 平面弯曲 D 剪切变形6. 梁弯曲变形时，横截面上存在（ D ）两种内力。
A. 轴力和扭矩；B. 剪力和扭矩；C. 轴力和弯矩；D. 剪力和弯矩。
7. 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁，称为（ A ）。
A. 双支梁；B.外伸梁；C. 悬臂梁。
8. 一端为固定端，另一端为自由的梁，称为（ C ）。
A. 双支梁；B. 外伸梁；C. 悬臂梁。
三、填空题1. 在没有分布载荷作用（q＝0）的一段梁内，剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。
2．在有均布载荷作用（q＝常数）的一段梁内，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为0处，弯矩取极值。
3．在集中力作用处，剪力图发生突变；弯矩图发生转折。
第四章弯曲中心(默认版)
弯曲中心的确定
切应力的合力作用位置 1.上、下翼缘切应力合力
FS hb2 FH 1dx 4I z l
2.腹板切应力合力 FS
1
切应力的合力作用位置
1.上、下翼缘切应力合力
FS hb 2 FH 1dx 4I z l
2.腹板切应力合力 FS 故： FS e FH h 0
剪力是 切应力 合成的 结果
图示切应力的合力位置是 否经过截面的形心？
剪力必须经过形心，剪力是切应力合成的结果。 图示切应力的合力位置是否经过截面的形心？
切应力的合力位置并不经过截面的形 心！因此，“外力经过截面形心时只 引起弯曲变形”的假设不成立。
如果只有弯曲，没有扭转， 切应力的合力位置如图（弯 矩未画出）。
回顾
问题一（平面弯曲）
前提：梁有纵向对称面，外力偶 作用在纵向对称面内 假设：横截面保持为平面，仅绕 某轴作微小转动；纵线变 形后与截面垂直。 结论：1.正应力计算公式 2.轴线弯曲成纵向对称面内的平面曲线 3.各截面上的中性轴与弯矩方向平行 4.挠度方向与中性轴和弯矩方向垂直 推广：外力作用在纵向对称面内，上述结论仍正确，挠 度方向与荷载方向一致
故外荷载作用在图示位置时， 梁只有弯曲变形。
荷载通过此点时， 只有弯曲变形， 没有扭转。
弯曲中心的定义
弯曲中心意指这样的点， 当外力作用线经过此点时， 开口薄壁梁只产生弯曲变 形，而没有扭转变形。 说明：对于闭口梁，经计算知，弯曲中心就 在截面形心附近；且其抗扭刚度远大于相同 尺度的开口薄壁截面梁。当外力经过截面形 心时，所产生的扭转效应可忽略。
开口薄壁截面 的弯曲中心
问题的提出
外力作用在“平行于形心主惯性平面”的平 面内，就只引起弯曲变形（没有扭转）？
【VIP专享】第四章 直梁的弯曲
BD段，在BD段任取一截面 M
x
RBy
M R x 2 Px
BD
By
3
0≤x＜a
③画弯矩图
2Pa 3
P 3
a
(+)
(+)
A
C
D ( -)
B
Pa 3
例二、有一悬臂梁 长l， 其上分布载荷q和集
C
q
m=
ql2 2
A
中力偶矩m.
B
试画出弯矩图。
l/2
l/2
解：悬臂梁可不必求约束反力
直接分段 AB与BC段
m≠0
w=0
各支座反力 可根据平衡条件求出。
如果未知力数与所列出的独立方程数 相同，则可求出未知力——称为静定 问题，属于静定梁；
反之为静不定，称为不静定梁。
作用于梁上载荷有三种形式：
①集中力：作用力作用在很小
P
面积上，可近似一点。如图：
②集中力偶：力偶两力分布在
m
很短一段梁上，可简化为作
用在梁的某一截面上。如图：
矩。
(2) 在有集中力或集中力偶处分段，求出每一 段弯矩方程。
(3) 选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯 矩M为纵坐标作弯矩图。
例一，如图： 受集中载荷简支梁。
A
Pm
C
D
B
试画出弯矩图。
a aa
解：①解除约束，求约束反力
RAy·3a – P·2a + m = 0 RAx
P
RAy + RBy – P = 0
变形特点——任两个截面绕垂直于梁轴线的 轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。
受力后
截面轴线
平面弯曲——所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
第四章梁的弯曲详解
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
第4章 弯曲
机械设计基础 第四章 弯曲
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学实验四 直梁弯曲实验
实验四 直梁弯曲实验预习要求：1、复习电测法的组桥方法；2、复习梁的弯曲理论；3、设计本实验的组桥方案；4、拟定本实验的加载方案；5、设计本实验所需数据记录表格。
一、 实验目的：1. 电测法测定纯弯梁横截面上的正应变分布，并与理论值进行比较，验证理论公式；2. 电测法测量三点弯梁横截面上的正应变分布及最大切应变，并 与理论值进行比较，验证理论公式； 3．学习电测法的多点测量方法及组桥练习。
二、实验设备：1. 微机控制电子万能试验机；2. 电阻应变仪；三、实验试件：本实验所用试件为中碳钢矩形截面梁，其横截面设计尺寸为h ×b =(50×30)mm 2，a=50mm , 材料的屈服极限MPa s 360=σ, 弹性模量 E=210GPa ，泊松比μ=0.28。
四.实验原理及方法：处于纯弯曲状态的梁，在比例极限内，根据平面假设和单向受力假设，其横截面上的正应变为线性分布，距中性层为 y 处的纵向正应变和横向正应变为：()()ZZM y y E I M yy E I εεμ⋅=⋅⋅'=-⋅ （1）距中性层为 y 处的纵向正应力为：()()zM yy E y I σε⋅=⋅=（2） 本实验采用重复加载法，多次测量在一级载荷增量∆M 作用下，产生的应变增量∆ε和∆ε’。
于是式（1）和式（2）分别变为：()()()ZZZM y y E I M yy E I M y y I εεμσ∆⋅∆=⋅∆⋅'∆=-⋅∆⋅∆=（3） （4）在本实验中，/2M P a ∆=∆⋅ （5） 最后，取多次测量的平均值作为实验结果：111()()()()()()Nnn Nnn Nnn y y Ny y Ny y Nεεεεσσ===∆∆='∆'∆=∆∆=∑∑∑ （6）三点弯曲时，最大切应力理论值为：As2F 3max =理论τ （7） 其实验值测量方法为在最大切应力所在中性层处沿与轴线成±45°布置单向应变片，测量出其应变值，则最大切应力的实验值为：()()︒+︒===4545-max 2-G 2G G εεγτ实验 （8）本实验采用电测法,测量采用1/4桥，如下图五所示。
第四章 弯曲
A By B Ay y
F=3kN C
q=2kN/m
M0 6kN m
A
D
B
1m
FAy
4m
1m
FBy
2、由微分关系判断各段的Q、M形状。
CA AD DB
载荷
q0
qC 0
q0
Q 图
M 图
斜直线
FAy 7.2kN FBy 3.8kN
斜直线
F=3kN
q=2kN/m
M0 6kN m
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
三、剪力和弯矩
求弯曲内力（剪力和弯矩）的基
本方法——截面法
设有一简支梁AB，受集中力F 作用。现分 析距A端为x 处的横截面m-m上的内力。
解：1、根据平衡条件求支座反力
a m A x
m
F
b B
FAy
Fb Fa , FBy L L
控制截面的概念：外力规律发生变化的截面— 集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终 点处的横截面。
M0 8kN m
P=2kN q=2kN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程， 各段的分界点为各段梁的控制截面。
剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示 剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
F=qa C a
q
A
FAy
3 qa 2
xE
3 a 2
B x
FBy
2a
(+) E
Q 图
1 2 qa 8
F=3kN C
q=2kN/m
M0 6kN m
A
D
B
1m
FAy
4m
1m
FBy
2、由微分关系判断各段的Q、M形状。
CA AD DB
载荷
q0
qC 0
q0
Q 图
M 图
斜直线
FAy 7.2kN FBy 3.8kN
斜直线
F=3kN
q=2kN/m
M0 6kN m
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
三、剪力和弯矩
求弯曲内力（剪力和弯矩）的基
本方法——截面法
设有一简支梁AB，受集中力F 作用。现分 析距A端为x 处的横截面m-m上的内力。
解：1、根据平衡条件求支座反力
a m A x
m
F
b B
FAy
Fb Fa , FBy L L
控制截面的概念：外力规律发生变化的截面— 集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终 点处的横截面。
M0 8kN m
P=2kN q=2kN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程， 各段的分界点为各段梁的控制截面。
剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示 剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
F=qa C a
q
A
FAy
3 qa 2
xE
3 a 2
B x
FBy
2a
(+) E
Q 图
1 2 qa 8
土木工程力学基础(多学时)四单元2直梁弯曲(弯曲强度)
传递至
传
递至
传递至
。
布置作业
阅读： 习题： 预习：
（2）选择合理的截面形状
采用惯性矩I较大的截面形状，如工字形、圆环形、框形等
（3）改善荷载的作用情况
将较大的集中荷载移到靠近支座处，或把一些中力尽量分散。
六．直梁弯曲在工程中的应用
提高梁弯曲强度的措施
减小梁的工作应力的途径—— ①降低最大弯矩值Mmax ②增加截面的抗弯截面系数WZ
六．直梁弯曲在工程中的应用
解： （1）绘制弯矩图 确定梁内最大弯矩：
M max 3kN m
（2）确定截面的抗弯截面系数
Wz
d 3
32
(3)根据弯曲正应力强度条件
Wz
d 3 32
M max
d 3 32M max 3 32 3106 145mm
答：选取梁的直径为150mm。 [ ]
3.14 10
例4-7 原起重量为50kN 的单梁吊车，其跨度=10.5m， 由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到P=70kN， 试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可以承受的起重 量。梁的材料为Q235钢，容许应力［σ］=140Mpa；电 葫芦自重G=15kN，暂不考虑梁的自重。
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
挑梁的受力特征及破坏形态
1.受力特征：挑梁悬臂部分为负弯矩，梁的上侧受拉， 在设计时，纵向受力钢筋应布置在梁的上侧。 2.破坏形式：挑梁倾覆破坏；挑梁下砌体局部受压破坏。
四．梁的正应力及其强度条件
1.纯弯曲梁横截面上的正应力计算公式 纯弯曲——只有弯矩而无剪力作用的弯曲变形。
高速公路上常见的钢筋混凝土T梁桥
高速公路上常见的钢筋混凝土箱梁桥
简易的矩形竹结构桥
《直梁的弯曲》课件
《直梁的弯曲》PPT课件
本课程将帮助您理解直梁的弯曲，包括定义、应用案例，以及实际应用中的 受力分析等方面。
直梁的定义
1 形态多样
2 材料广泛
直梁可以是长方形、圆形、 梯形、等腰三角形，还可 以是不规则截面，具有很 强的适应性。
直梁可以是钢、木材、混 凝土等多种材料，根据实 际情况选用不同材料可以 使得设计更加符合实际。
3 用途广泛
直梁用于桥梁工程、建筑 工程、机械制造等领域， 是一项非常重要的工程基 础。
采用欧拉-伯努利梁理论
基本假设
梁的截面上任意点的平面仍保 持平面状态，不发生大变形。
导出方程
欧拉-伯努利梁理论是从平衡方 程、应变-位移关系和恒定体积 原理出发导出的。
适用范围
该理论假设梁的变形很小，仅 适用于杆件长度较大、截面尺 寸较小的杆件。
2
跨河大桥建设
建设跨河大桥需要使用钢梁，而钢梁又需要经过精准的计算和设计，方能达到给定的跨度和 承重能力。
3
机械制造中的应用
在机械制造行业，还会使用直梁的弯曲原理来进行设计和计算，准确的计算对机械的使用寿 命和安全性大有裨益。
结论与展望
弯曲问题解决
通过本课程，您已经了解了直梁的弯曲和相关 应用，能够对各种弯曲问题做出准确的分析。
梁受力分析
弯矩分析
计算梁的弯曲应变，通过弯矩分 析得到相关参数。
轴力分析
梁受到压力和张力作用，分析力 的产生和传递。
剪力分析
梁受到剪力的作用，分析梁受剪 切变形带来的影响。
应用案例分析
1
地铁路基工程
地铁是当今城市中交通工具使用最频繁的，而交通干道、大楼和其他设施往往会影响到地铁， 需要使用直梁解决问题。
本课程将帮助您理解直梁的弯曲，包括定义、应用案例，以及实际应用中的 受力分析等方面。
直梁的定义
1 形态多样
2 材料广泛
直梁可以是长方形、圆形、 梯形、等腰三角形，还可 以是不规则截面，具有很 强的适应性。
直梁可以是钢、木材、混 凝土等多种材料，根据实 际情况选用不同材料可以 使得设计更加符合实际。
3 用途广泛
直梁用于桥梁工程、建筑 工程、机械制造等领域， 是一项非常重要的工程基 础。
采用欧拉-伯努利梁理论
基本假设
梁的截面上任意点的平面仍保 持平面状态，不发生大变形。
导出方程
欧拉-伯努利梁理论是从平衡方 程、应变-位移关系和恒定体积 原理出发导出的。
适用范围
该理论假设梁的变形很小，仅 适用于杆件长度较大、截面尺 寸较小的杆件。
2
跨河大桥建设
建设跨河大桥需要使用钢梁，而钢梁又需要经过精准的计算和设计，方能达到给定的跨度和 承重能力。
3
机械制造中的应用
在机械制造行业，还会使用直梁的弯曲原理来进行设计和计算，准确的计算对机械的使用寿 命和安全性大有裨益。
结论与展望
弯曲问题解决
通过本课程，您已经了解了直梁的弯曲和相关 应用，能够对各种弯曲问题做出准确的分析。
梁受力分析
弯矩分析
计算梁的弯曲应变，通过弯矩分 析得到相关参数。
轴力分析
梁受到压力和张力作用，分析力 的产生和传递。
剪力分析
梁受到剪力的作用，分析梁受剪 切变形带来的影响。
应用案例分析
1
地铁路基工程
地铁是当今城市中交通工具使用最频繁的，而交通干道、大楼和其他设施往往会影响到地铁， 需要使用直梁解决问题。
机械基础 第四章 梁的弯曲
三、等强度梁
工程中为了减轻自重和节省材料，常常根据弯矩 沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所
有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
汽车的板弹簧
阶梯轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
F
A
x1
c
B
FA
x2
2l
l
FB
Q图
F
3
M图
2F
3 2 Fl 3
例 作梁的剪力图和弯矩图
解：①求支座反力
FA
FB
m 3l
②分段列剪力方程和弯矩方程
m
Q( x1 )
FA
3l
0, l
m
M ( x1) 3l x1 0, l
Q( x1 )
m 3l
l, 3l
M
(x2 )
m 3l
(3l
x2 )
)
FA x2
F
( x2
2l )
2Fl
2 3
F x2
2l,3l
③画剪力图和弯矩图
上题中列CB段Q、M方程也可取右段为研究对象
Q(x2 )
FB
2 3
F
M ( x2 ) FB (3l x2 )
2Fl
2 3
Fx2
注意：
(2l,3l )
[2l,3l ]
集中外力作用处剪力 图有突变，幅度等于力大 小；类似地，集中力偶作 用处弯矩图有突变，幅度 等于力偶矩大小。
梁纯弯曲变形的本质：各截面都产生了绕中性轴的转动。
一、弯曲正应力及分布规律 4.梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律
横截面上各点的正应力分布规律
二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用
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第四章 直梁的弯曲
常见载荷梁的挠曲线方程可以查表得出。
多个载荷作用下的转角和挠度可以通过叠加法求 出。
叠加法基于两个前提：转角和挠度与载荷成线形关 系；梁的变形很小，跨长的改变可以略去不计
第四章 直梁的弯曲
3、梁的刚度效核
f f
max
f
和
的确定根据构件的不同工作条件确定
，
o1o2 d dx
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
梁的合理截面
具有相同截面面积,由于截面形状不同具有不同的 抗弯截面模量，具有较大抗弯截面模量的截面， 称为梁的合理截面
第四章 直梁的弯曲
直梁弯曲时的剪应力
1、梁横截面内任意指定点的正应力
分析指定点的正应力，可以从分析点的线应变开始， 要分析线应变，可以从分析变形入手。
第四章 直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
1）变形分析
中性层的纵向纤维变成了弧线，曲率半径 从变到了 但长度1o2 没有变化 o
m1 m n1 不在中性层的纵向纤维有的伸长（ 2 ）和缩短（n2 ）
第四章 直梁的弯曲
3） 从弯曲变形看梁横截面上的弯矩
以矩形梁为例分析弯矩产生的原因
第四章 直梁的弯曲
弯曲变形中可以看出
梁的所有纵向纤维有直变弯，上部纤维缩短、下部纤维伸长， 中间的长度不变。变形后梁的横向线仍为直线 梁的横向线a1b1和a1b2有相互平行变为不再平行。各自绕截面的中 性轴发生了转动。所有的中性轴连接在一起成为梁的中性层。 截面正应力的产生 由于纵向纤维的伸长与缩短产生了正应力。 弯矩的产生 截面上正应力相对于中性轴的合力矩，就是截面的弯矩。
1、梁的挠度和转角
转角 挠度
f
： 横截面绕中性轴转过的角度 ：横截面的形心Y方向上的位移 梁的挠度和转角可以通过梁的弹性曲 线来表示
第四章 直梁的弯曲
2、梁的弹性曲线
AC1 B1
称为梁弹性曲线或挠曲线 这条曲线可以用方程来拟合，拟合的方程称为梁的 挠曲线方程，通过挠曲线方程可以求出梁的最大转 角和挠度。
梁在弯曲时，截面上有剪力，但剪应力不是均匀分 布的，根据截面的形状有所不同，但有共同点：中 性轴上的剪应力最大，截面的上下边缘为0。 1、矩形截面梁
第四章 直梁的弯曲
矩形截面梁剪应力的分布情况
第四章 直梁的弯曲
2、工字形截面梁
第四章 直梁的弯曲
3、环形截面梁
中性轴上剪应力最大，为平均 剪应力的二倍
平面弯曲
所有的外力均作用在梁的对称平面内时的弯曲变形称为平面弯曲
第四章 直梁的弯曲
3、梁的外力、梁的支座及分类
梁的外力 分为已知力和未知力
已知力类型：集中力 集中力偶 分布力 未知力：即支座反力 可以简化为三种类型 固定铰链支座 水平反力和垂直反力 活动铰链支座 只有垂直的约束反力 固定端 有水平约束反力和垂直约束反力和反力偶
max
Q 2 A
第四章 直梁的弯曲
4、实心圆截面梁
最大剪应力分布在中性轴上
max
4Q 3A
例题讲解
通过例题分析，梁弯曲 时的剪应力比正应力小， 所以在对梁进行强度效 核的时候，只需进行正 应力强度效核
第四章 直梁的弯曲
五、梁的变形-梁弯曲时横截面的位移
梁的刚度-即梁的变形可以用梁的挠度和转角来度量。
根据静力学方程求解
第四章 直梁的弯曲
4） 剪力图和弯矩图
梁截面上的剪力和弯矩，一般随着梁截面的位置而变化。 如以梁的轴线为X轴，截面上的剪力和弯矩就是坐标X的
函数。
Q f1 x
M f 2 x
第四章 直梁的弯曲
二、 纯弯曲时的正应力及正应力强度条件
梁弯曲时的弯矩是由截面的正应力所产生，如果能 找出截面上任意一点的正应力，在根据弯曲应力的计算式， 可以建立强度条件来解决梁的弯曲强度问题。
第四章 直梁的弯曲
梁的种类
根据支座情况不同分为三种类型：
简支梁、外伸梁、悬臂梁
第四章 直梁的弯曲
二、 梁的内力分析 1、 梁横截面内的两种内力
1） 内力的产生
载荷把力传递给支座的过程中，力对梁的横截面将产 生内力。可以从变形的角度和静力学平衡的角度进行分析
2） 从力的平衡看梁的内力
通过截面法分析 在梁的截面上可能内力Q（称为剪力） 和内力偶M（称为弯矩）
第四章 直梁的弯曲
一、弯曲概念与梁的分类 1、 弯曲变形的宏观表现与实例
外力与梁的轴线垂直，梁的宏观变形由直到弯
外力彼此相距较远，在梁的截面上虽然有剪力，
但是弯曲是主要的。
第四章 直梁的弯曲
2 、梁的几何形状和名称
梁的轴线
所有截面的形心的连线为梁的轴线，一般把X轴放在梁的轴线上
对称平面
梁的每一个截面在垂直方向的对称轴的连接起来构成梁的对称平面，一般把 Y轴放在对称平面上。
M . y.dA
A
第四章 直梁的弯曲
2、 剪力与弯矩的计算
1） 剪力与弯矩的计算通过截面法 2） 剪力的计算
正负的规定 截面左边向上的外力产生 的剪力为正，截面右 边 向上 的外力产生的剪力为负，反之亦然。
根据静力学方程Βιβλιοθήκη 解第四章 直梁的弯曲3） 弯矩的计算
正负的规定
上半部受压、下半部受拉 的变形产生的弯矩为正， 反之亦然。