3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力详解

剪切弯曲：横截面上既有剪力 又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而 无剪力。
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《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象 ① 两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互 倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 ② 两条纵向线aa、 bb 变成 曲线 梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。

E

ydA
A

E

Sz 0
Sz 0
重要结论 中性轴必定过形心。
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《化工设备设计基础》
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
3.力学关系
② 正应力对 y 轴的合力矩即截面上的弯矩 My
My
A
E

yzdA
E

I yz 0
I yz 0
结论 中性轴必为形心惯性主轴。
③ 正应力对 z 轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩 Mz
2、梁纯弯曲问题的假设
③纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距 离有关
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3.3.2 弯曲变形与应力的关系
ρ dθ
1.几何关系( 平截面假设 )
bb dx
d
Baidu Nhomakorabea
bb ( y)d
z z dx x d x x
bb bb bb

ρ
( y )d d y d
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3.3.2 弯曲变形与应力的关系
5.惯性矩和抗弯截面模量
IZ —整个横截面对中性轴z的惯性矩，单位：m4
I z y 2 dA
A
最大正应力：

ma x
My I
z
ma x
M M (I / y ) W
z ma x
即：

ma x
z
M W
z
• 其中：WZ —横截面对中性轴z的抗弯截面 模量，
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明，当跨 度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。 危险点应力：
max
M max ymax Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面 ymax： 在指定的横截面上，选择离中性轴最远的点
W I /y
Z z
max
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《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象
中性层既不伸长也不缩短。
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《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
2、梁纯弯曲问题的假设
①平截面假定
②纤维互不挤压假设
中性面 ( neutral surface )
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《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
①纯弯曲 ( pure bending )
2
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
②横力弯曲
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《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
第三章 直梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 直梁弯曲时的内力分析 3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3.5 梁的弯曲强度计算 3.7 提高梁弯曲强度的主要途径 3.8 梁的弯曲变形与刚度校核
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3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
dθ Ρ+y b’

y
dx
y y dx

x
2.物理关系( Hooke 定律 )
E
E
b dx
b’
b
y

y
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3.3.2 弯曲变形与应力的关系
3.力学关系
( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 )
① 正应力的合力即截面上的 轴力
N dA 0
A


A
E

ydA
M z y dA
A

A
E

y dA
2
E
y dA
2 A

E

Iz
I z y 2 dA
A
M z EI z
1
E
E

y
重要公式

Mz y Iz
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3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
重要公式

Mz y Iz
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