3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力详解
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的纯弯曲正应力实验报告
梁的纯弯曲正应力实验报告梁的纯弯曲正应力实验报告一、实验目的本实验旨在通过对实验材料进行纯弯曲加载，测量其正应力和弯曲角度，从而掌握材料在纯弯曲状态下的应力特性，并探究材料性能的影响因素。
二、实验原理当梁在纯弯曲时，受到的载荷可以分解为一个弯矩和一个剪力。
由于实验中去除了外部作用力，剪力为零，因此我们只需要考虑弯矩作用下的应力情况。
在梁的截面上，由于受到弯曲，不同位置的应变不同，因此会形成不同大小的应力。
在正常情况下，当梁未发生破坏时，梁的内部应力呈线性分布，即受到的弯矩越大，所受到的应力也会相应增大。
三、实验设备本实验所使用的设备包括：1.纯弯曲实验台2.测力仪3.梁材料（一定长度的圆形钢管或方管）四、实验步骤1. 选择一段合适材质的梁进行实验。
2. 将梁固定在纯弯曲实验台上。
3. 在梁的一端加上一定荷载。
4. 通过测力仪测量在梁部位不同位置受到的正应力。
5. 在梁的另一端加上一定数量的荷载，并重复步骤4，记录正应力。
6. 重复以上操作，直到梁发生破坏。
五、实验结果在实验过程中，我们记录了梁不同位置受到的正应力，并根据实验数据分析了不同弯矩下的应力分布曲线。
实验结果表明，在纯弯曲状态下，梁的内部应力呈线性分布，随着弯矩的增大，所受应力也会逐渐增大，直到梁发生破坏。
六、实验分析根据实验结果，我们可以发现梁的性能会受到材料的影响。
不同的材料具有不同的弯曲特性，不同的性能和抗断性能。
而在实验中，我们也可以通过调整材料的材质和长度来控制弯曲的程度，从而控制梁的应力分布和破坏点位置。
七、实验结论本实验通过纯弯曲实验台对梁进行弯曲测试，得到了不同弯矩下的应力分布曲线。
实验结论表明，梁在纯弯曲状态下，其内部应力呈线性分布，随着弯矩的增大，所受应力也会逐渐增大，直到梁发生破坏。
同时，不同材质和长度的材料在弯曲状态下具有不同的弯曲特性和抗断性能。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
259
mm
所以a点的正应力为
a
M max ya Iz
375103 259103 65600108
148.1 MPa
例3 图示梁由工字钢制成。许用弯曲正应力[]
＝152 MPa, F＝75 kN，试选择工字钢的型号 。
解: 求约束反力, 作弯矩图 F F F
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 E E y
M z
y dA M
A
E y2dA EIz M
A
Iz
y2dA 为横截面对中性轴z轴的惯性矩。
A
1M
EIz
是梁中性层的曲率表达式。
EIz称为梁的抗弯刚度。
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
My
最大正应力的分析*********
1 当中性轴为对称轴时
以 ymax表示最大应力点到中性 轴的距离, 则横截面上的最大
正应力为：
max
M max ymax Iz
矩形截面梁横截面上正应
力分布如图所示
cmax t max max
C
ymax
z
ymax
y
c max
M
t max
最大正应力的分析
max
MC y2 Iz
( F 2) 0.086 4 5493108
90 106
120
180 40 134 86
C
形心
z
20 y
20
F
q＝F/b
A
CB
D
b
梁的纯弯曲正应力实验
梁的纯弯曲正应力实验
梁的纯弯曲正应力实验是为了确定梁在弯曲的情况下的受力机制以及测定梁的弯曲刚
度和受力性能的试验。
在这项实验中，主要是测试梁的弯曲刚度性能，这样可以更清楚地
了解梁的特性，并且可以判断梁受到外力时应如何反应。
这项实验是建筑结构设计中的重
要内容，当结构受外力时，梁的刚度将决定结构的中止和模态。
梁的纯弯曲正应力实验，通常需要两个或三个支撑点。
它们可以是球形、凸形或圆形
的轴承。
其中，球形轴承最常用，其支撑的特性是最佳的，最不容易产生不必要的侧向力，影响试验的准确性。
在一个纯弯曲正应力实验中，支撑一端的梁头会受到一个外载荷，即弯矩，使其变形。
强度和刚度试验系统通常由模拟电源、试验控制台、力传感器等设备组成，力导致模拟器
输出同时加载在梁上，并通过力数据计算出受力的曲率系数和强度系数。
该实验的基本步骤是：（1）在梁上安装支持设备，并将梁放在试验台上；（2）给各
支撑点安装传感器，并通过模拟器输出同时加载在梁上；（3）测量梁承受的外载荷以及
梁的变形量；（4）分析测量结果，并计算出梁在弯曲时的曲率系数和受力
总之，梁的纯弯曲正应力实验是非常重要的，它可以查明梁的强度系数，曲率和强度
系数，以及梁受外力时的变形性能和应力变化规律。
实验结果对于确定结构抗震性能等具
有重大意义，在建筑结构分析和设计中扮演着巨大的作用。
纯弯曲梁横截面上的正应力
11.74 MPa
内max
Mmax Iz
h 2
1.44130Nm81 02m
731 6 08m4
2
78.3 MPa
例7-2 一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图7-7(a)所示。已知 梁的跨度 l=2 m，F=5 kN。求此梁的最大拉应力和最大压应力。 解：1、作弯矩图
h
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时 应分别进行计算。
思考题1：
梁发生平面弯曲时，其横截面绕______旋转。 A.梁的轴线 B.中性轴 C.截面的对称轴 D.截面的上（或下）边缘
答案 B.
扭转时横截面才绕轴线旋转，A不对。弯曲时横截面是绕中性轴旋转。 中性轴不一定是对称轴，中性轴过形心，不会在上、下边缘，所以C、D不 对。
抗弯截面模量
max
M Wz
四、截面惯性矩与抗弯截面模量
1、矩形截面
Iz
1b3h, 12
Wz 1 6b2h
c
z
h
y b
2、圆形截面
Iz
d4,
64
Wz 32d3
d
c
3、圆环形截面
d
d
z
D
Iz
D4(14),
64
Wz 32D3(14)
y
D
思考： Wz ?
Z
各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到若梁的横截面对中性轴不对称其最大拉压应力并不相等这时应分别进行计算
一、纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“FQ” 切应力“τ”； 弯矩“M” 正应力“σ”
１、纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
纯弯曲梁的正应力实验报告
实验报告
纯弯曲梁的正应力实验
一、实验目的：
1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律
2.验证纯弯曲梁的正应力公式
二、实验设备及工具：
1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置
2.数字测力仪、电阻应变仪
三、实验原理及方法：
在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：
P
500
100
0
3000
△P
5
500
各测点应变仪读数/10-6
1
εP
△εP
平均值
2
εP
△εP
平均值
3
εP
△εP
平均值
4
εP
△εP
平均值
5
εP
△εP
平均值
1.各点实验应力值计算
根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：
σ实i=E△εPi×10-6
2.各点理论应力值计算
载荷增量△P=500N
将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：
应变片至中性层的距离/mm
梁的尺寸和有关参数
Y1
-20
宽度（b）
20mm
Y2
-10
高度（h）
40mm
Y3
0
跨度（距离（a）
350mm
Y5
20
加力点到支座距离（LP）
125mm
弹性模量（E）
206GPa
泊松比（μ）
弯矩增量△M=△P/2×LP
应力理论值计算（验证的就是它）
3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图
梁在纯弯曲时,其横截面的正应力变化规律
梁在纯弯曲时,其横截面的正应力变化规律
1梁的弯曲
梁是在结构中常见的构件，用于支撑和阻挡重力，是结构物的基本构件。
当梁处于纯弯曲应力下时，在其截面上会产生正应力，及其变化规律。
2弯曲结构横截面正应力
弯曲结构横截面正应力是梁在纯弯曲应力下产生的力。
它可以按照弧形分布推算出来，根据梁的截面面积、弯矩和弯曲系数来分析梁的弯曲情况，从而来求出正应力的分布规律。
3纯弯曲梁的正应力变化规律
纯弯曲梁的正应力变化主要受船的截面积、弯矩和弯曲系数的影响。
当梁在纯弯曲状态下时，由于重心线和向心线之间的差异，梁上从内至外应力依次递减，而到达弯曲中心处，正应力偏移量最大，此外弯曲中心处应力绝对值最小，这也是为什么钢梁一般实施抗拔上的原因。
此外，梁的弯曲情况也受到梁的弹性系数的影响，当梁弯曲靠近支点时，正应力偏移量逐渐减小，同时应力绝对值也随之增大，以致当到达支点时，偏移量为零而应力绝对值最大。
4结论
总而言之，纯弯曲梁的正应力变化是受梁截面积、弯矩和弯曲系数等因素影响的，其变化遵循弧形分布，弯曲中心处应力绝对值最小，而靠近支点处应力绝对值最大。
因此，在进行梁的设计分析和布置时，必须考虑梁的弯曲正应力的变化及其影响，以确保梁的正常工作和使用。
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剪切弯曲：横截面上既有剪力 又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而 无剪力。
4
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象 ① 两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互 倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 ② 两条纵向线aa、 bb 变成 曲线 梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。
①纯弯曲 ( pure bending )
2
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
②横力弯曲
3
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
W I /y
Z z
max
14
《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 直梁弯曲时的内力分析 3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3.5 梁的弯曲强度计算 3.7 提高梁弯曲强度的主要途径 3.8 梁的弯曲变形与刚度校核
1
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明，当跨 度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。 危险点应力：
max
M max ymax Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面 ymax： 在指定的横截上，选择离中性轴最远的点
13
《化工设备设计基础》
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
5.惯性矩和抗弯截面模量
IZ —整个横截面对中性轴z的惯性矩，单位：m4
I z y 2 dA
A
最大正应力：
ma x
My I
z
ma x
M M (I / y ) W
z ma x
即：
ma x
z
M W
z
• 其中：WZ —横截面对中性轴z的抗弯截面 模量，
2、梁纯弯曲问题的假设
③纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距 离有关
8
《化工设备设计基础》
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
ρ dθ
1.几何关系( 平截面假设 )
bb dx
d
bb ( y)d
z z dx x d x x
bb bb bb
ρ
( y )d d y d
5
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象
中性层既不伸长也不缩短。
6
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
2、梁纯弯曲问题的假设
①平截面假定
②纤维互不挤压假设
中性面 ( neutral surface )
7
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
M z y dA
A
A
E
y dA
2
E
y dA
2 A
E
Iz
I z y 2 dA
A
M z EI z
1
E
E
y
重要公式
Mz y Iz
11
《化工设备设计基础》
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
重要公式
Mz y Iz
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《化工设备设计基础》
dθ Ρ+y b’
y
dx
y y dx
x
2.物理关系( Hooke 定律 )
E
E
b dx
b’
b
y
y
《化工设备设计基础》
9
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
3.力学关系
( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 )
① 正应力的合力即截面上的 轴力
N dA 0
A
A
E
ydA
E
ydA
A
E
Sz 0
Sz 0
重要结论 中性轴必定过形心。
10
《化工设备设计基础》
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
3.力学关系
② 正应力对 y 轴的合力矩即截面上的弯矩 My
My
A
E
yzdA
E
I yz 0
I yz 0
结论 中性轴必为形心惯性主轴。
③ 正应力对 z 轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩 Mz