历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案

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数学竞赛高数试题及答案

数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。

试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。

对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。

大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ，有，即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η

大学数学比赛试题及答案

大学数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = x^2 + 2x + 1 \)C. \( y = \ln(x) \)D. \( y = \sin(x) \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极大值点是：A. \( x = -1 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)答案：B3. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. 4C. -2D. -4答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 圆的方程 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 中，半径 \( r \) 为 5，则圆的面积是 ________。

答案：78.546. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是 ________。

答案：27. 矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。

答案：\( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)8. 给定函数 \( g(x) = 2x^2 - 5x + 3 \)，其在 \( x = 2 \) 处的导数值是 ________。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler )方程. 8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答一、(15分)求出过原点且和椭球面2224561x y z ++=的交线为一个圆周的所有平面.【解】所述圆周过原点，则一定以原点为圆心，且在球面2222x y z R ++= ①上.因此，该球面与椭球面2224561x y z ++= ②的交线即为圆周.由①、②确定的平面也必包含此圆周.联立此二式，得2222221114560x y z R R R ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−+−+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 显然，当215R =时，有220x z −=，这是两相交平面x z =，0x z +=，即为所求.二、(15分)设()01f x <<，无穷积分()0d f x x +∞∫和()0d xf x x +∞∫都收敛.求证：()()()21d d 2xf x x f x x +∞+∞>∫∫.【证】令()0d f x x a +∞=∫，则()0,a ∈+∞.据题设条件()01f x <<，得()()()0d d d aaxf x x xf x x xf x x +∞+∞=+∫∫∫()()0d d a axf x x a f x x +∞>+∫∫()()()d d aaxf x x a a f x x =+−∫∫()()()0d 1d a axf x x a f x x =+−∫∫()()()0d 1d a axf x x x f x x >+−∫∫201d 2a x x a ==∫，因此，得()()()21d d 2xf x x f x x +∞+∞>∫∫.三、(15分)设1nn na+∞=∑收敛，122n n n n k t a a ka +++=++++"".证明：lim 0n n t →∞=.【证】首先，注意到1n n k k t ka +∞+==∑()1n k k kn k a n k+∞+==++∑,据题设条件1n n na +∞=∑收敛，可知()1n kk n k a +∞+=+∑收敛，而k n k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭关于k 单调，且01k n k <<+即有界，故由Abel 判别法知()1n k k kn k a n k+∞+=++∑收敛，即n t 有意义. 因为1nn na+∞=∑收敛，所以0ε∀>，存在N +∈]，使得当n N >时，+n kk nR ka ∞==∑(),εε∈−.此时，对任何n N >以及1m >，有()111mmn kk n k n k k k kaR R n k ++++===−+∑∑11211m m k n k n k k k k R R n k n k +++==−=−++−∑∑ 1121111m n m n k n k m k k R R R n n m n k n k ++++=−⎛⎞=−+−⎜⎟++++−⎝⎠∑，于是，有1mn kk ka+=∑21111mk m kk n n m n kn k εε=−⎛⎞⎛⎞≤++−⎜⎟⎜⎟++++−⎝⎠⎝⎠∑22m n m εε=<+. 所以，2n t ε≤，()n N >，即lim 0n n t →∞=.四、(15分)设()n A M ∈^，定义线性变换:()()A n n M M σ→^^，()A X AX XA σ=−.证明：当A 可对角化时，A σ也可对角化.这里()n M ^是复数域^上n 阶方阵组成的线性空间.【证】取()n M ^的自然基{}:,1,2,ij E i j n ="，其中ij E 是(,)i j 元等于1，其它元均为0的n 阶矩阵.因为A 可对角化，所以存在可逆矩阵()n P M ∈^，使得112diag(,,,)n P AP λλλ−=Λ=".显然，{}1:,1,2,ij PE P i j n −="也是()n M ^的一组基，并且有11111()()()()()A ij ij ij ij ij i j ij PE P A PE P PE P A P E E P PE P σλλ−−−−−=−=Λ−Λ=−，所以A σ在基11111111,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P −−−−"""下的矩阵为对角矩阵12111diag(0,,,,,,,,0)n n n n λλλλλλλλ−−−−−"""，这就是说，A σ可对角化.五、(20分)设连续函数:f →\\，满足()()(),sup x y f x y f x f y ∈+−−<+∞\.证明：存在实常数a 满足()sup x f x ax ∈−<+∞\.【证】令()()(),sup x y M f x y f x f y ∈=+−−\，则+,,x m n ∀∈∈\`，有()()()f x y f x f y M +−−≤， ①()((1))()f nx f n x f x M −−−≤.于是，有()()()2()((1))()1nk f nx nf x f kx f k x f x n M nM =−≤−−−≤−≤∑. ②因此()()()()()()()nf mx mf nx nf mx f mnx f mnx mf nx n m M −≤−+−≤+，()()11f mx f nx M m n n m ⎛⎞−≤+⎜⎟⎝⎠. 这表明函数列()f nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在(,)−∞+∞上一致收敛，设其极限为()g x ，则()g x 是连续函数. 进一步，由不等式①，有()()()()f n x y f nx f ny M nn n n+−−≤，,;x y n +∀∈∈\`. 取极限，得()()()g x y g x g y +=+，,x y ∀∈\.由此可解得()()1g x g x ax ==.另一方面，再由②式，得()()f nx f x M n−≤. 令n →∞，得()()g x f x M −≤，x ∀∈\.从而()()sup x g x f x M ∈−≤<+∞\.故存在实常数a ，使得()sup x f x ax M ∈−≤<+∞\.六、(20分) 设:()n M ϕ→\\是非零线性映射，满足()()XY YX ϕϕ=，,()n X Y M ∀∈\，这里()n M \是实数域\上n 阶方阵组成的线性空间.在()n M \上定义双线性型(-，-)：()()n n M M ×→\\\为(,)()X Y XY ϕ=.(1)证明(-，-)是非退化的，即若(,)0X Y =，()n Y M ∀∈\，则X O =； (2)设212,,,n A A A "是()n M \的一组基，212,,,n B B B "是相应的对偶基，即0,(,)1,.i j ij i j A B i j δ≠⎧==⎨=⎩当,当证明21n i ii A B =∑是数量矩阵.【证】(1)先确定ϕ的结构.取()n M \的自然基{}:,1,2,ij E i j n ="，其中ij E 是(,)i j 元等于1，其它元均为0的n 阶矩阵.令()ji ij c E ϕ=，则()()ij n C c M =∈\.()n A M ∀∈\，有1111()()tr()n n n nij ij ij ji i j i j A a E a c AC ϕϕ=======∑∑∑∑.根据题设，()()XY YX ϕϕ=，,()n X Y M ∀∈\，所以tr()tr()tr()YCX XYC YXC ==.因此XC CX =.由于X 的任意性，知C E λ=为数量矩阵.于是有()tr()A A ϕλ=，()n A M ∀∈\.因为0ϕ≠，所以0λ≠.现在，如果(,)tr()0X Y XY λ==，()n Y M ∀∈\，取TY X =，那么X O =. (2)令()ii pqA a =，()i i stB b =.设21n pq pq ii i E B ε==∑，利用{}i A 与{}j B 的对偶性，有()()21,,n pq pq jpqijij i A E A B εε===∑.另一方面，由(1)的结果，有(),tr()j j pq j pq qpA E A E a λλ==，所以21n i pq qpi i E aB λ==∑.比较等式两边的(,)s t 元，得211n i i qp st ps qt i a b δδλ==∑.注意到，pq st qs pt E E E δ=，因此，有22211,1, 1,1, 11,1,11n n n n n n n n n i i i ii i pq pq st st pq st qs pt pt qs pti i p q s t p q s t i s t p q n A B a E b E a b E E E δδδλλ=========⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑∑.。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

大三数学竞赛试题及答案

大三数学竞赛试题及答案题目一：极限问题题目描述：求下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。

由于分子和分母都趋向于0，我们可以对分子和分母同时求导数，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]题目二：微分方程问题题目描述：解下列微分方程：\[ y'' - y' - 6y = 0 \]答案：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。

设其特征方程为：\[ r^2 - r - 6 = 0 \]解得特征根为 \( r_1 = 3 \) 和 \( r_2 = -2 \)。

因此，微分方程的通解为：\[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \]题目三：级数问题题目描述：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性，并求其和。

答案：这个级数可以通过部分分式分解来化简：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]利用级数的可加性，我们发现这是一个可裂项求和的级数，其和为：\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1 \]题目四：多元函数微分问题题目描述：设函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 3x \)，求 \( f \) 在点\( P(1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ，及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明：在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ，使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ，而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。

大学数学竞赛题库及答案

大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。

以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。

# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。

答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。

令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。

在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。

在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。

因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。

# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。

首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2021年历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，适当看某些辅导书及有关题目，核心是某些各大高校试题。

）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 和两坐标轴所围成三角形区域.解：令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是持续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ____________.解：令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是__________. 解：因平面022=-+z y x 法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 和)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是0122=--+z y x 。

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(总34页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

数学竞赛近年试题及答案

数学竞赛近年试题及答案【试题一】题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最大值和最小值。

【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。

函数 \( f(x) \) 的导数为 \( f'(x) = 6x - 5 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 得到 \( x = \frac{5}{6} \)。

接下来，我们需要检查区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 以及极值点 \( x = \frac{5}{6} \) 处的函数值：- \( f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0 \)- \( f(3) = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 23 \)- \( f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 \)计算得到 \( f\left(\frac{5}{6}\right) =3\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + 2 = -\frac{1}{6} \)。

因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最小值为 \( -\frac{1}{6} \)，最大值为 \( 23 \)。

【试题二】题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) 的和等于 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

【答案】我们可以利用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边的和为 \( 1^2 = 1 \)，右边的表达式为 \( \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1 \)，等式成立。

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第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所
围成三角形区域.
解令，则，，
（*）令，则，，，，
2．设
是连续函数，且满足, 则____________.
解令，则，
,
解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由
=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+
,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(⎰⎰⎰⎰--=
--++⎰⎰⎰⎰----=---=10
2
1
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u
v u u u u u ⎰
-=1
2
d 1u u
u u t
-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=01
42d )21(2(*)t t t ⎰
+-=10
4
2
d )21(2t t t 1516513
2
21
053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=2
2
2d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2
d )(x x f A
23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2
2-=+-=--=⎰3
4=
A 3103)(2
-=x x f 22
22
-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22
22
-+=y x z ),(00y x )1),,(),,
((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-
，知，
即，又，于是曲面在处
的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。

4．设函数
由方程确定，其中具有二阶导数，且
，则
________________. 解方程的两边对求导，得
因，故
，即，因此
不会：二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
解法1 因
故
因此
解法2 因
x z x =y z y 2=0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====1,200
==y x 5)1,2(),(00==z y x z 022=-+z y x )),(,,(0000y x z y x 0)5()1(2)2(2=---+-z y x 2222
-+=y x z 022=-+z y x 0122=--+z y x )(x y y =29ln )(y y f e xe =f
1≠'f =2
2d d x y
29ln )
(y y f e xe
=x 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+)(29ln y f y
xe e
=y y y f x
'=''+)(1
))(1(1y f x y '-=
'2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+
'--=''=3
22
232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''=x
e nx
x
x x n
e
e
e )
(
lim 20
+++→ n x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim
lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1212lim 20+=+++=+++=→ e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++ x
n e e e e n e e e nx x x x x e
nx x x x ln )ln(lim )ln(lim 2020-+++=+++→→
故
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
解由和函数连续知，因，故，
因此，当时，，故
当时，
，这表明在处连续.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）
；
（2）
. 证因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）
e n n n e e e e ne e e e nx x x nx x x x 2
1212lim 220+=+++=++++++=→ e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++ )(x f ⎰=1
d )()
(t xt f x g A x
x f x =→)
(lim
A )(x g ')(x g '0=x A x
x f x =→)
(lim 0
)(x f 0)(lim
lim )(lim )0(000===→→→x x f x x f f x x x ⎰=1
d )()
(t xt f x g 0)0(d )0()0(1
0===⎰f t f g 0≠x ⎰=x
u u f x x g 0
d )(1)(0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→⎰f x f x
u u f x g x x x x 0≠x x
x f u u f x x g x )
(d )(1)(0
2
+
-
='⎰
2
00
00d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x
t t f x x g x g g x x x
x x ⎰
⎰→→→==-='22)(lim
0A
x x f x ==→2
2d )(1
lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 0
2
000
2
A
A A u u f x x
x f x x f u u f x x g x x x x x x =-
=-=+-
='⎰
⎰
→→→→)(x g '0=x }0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L D ⎰⎰-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin 2sin sin 25d d π⎰≥--L
y
y x ye y xe D y x ye y xe x x ye y xe D x y L x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂-∂∂=---。