第四章 振动与波动2

波速与波长、周期(或频率）的关系为 uT
波面和波线 波线 沿波的传播方向作的有方向的线。
（波面）
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波前 在某一时刻，传播到最前面的波面。
波面
u
z
(波线)
波面
波线
x
球面波
y
波线
柱面波
说明: （1）球面波 平面波。 （2）在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。
设纵波 y A cos(t kx) 沿 x 方向传播，取微元 Δm SΔx
2 Δy F YS kΔy 由杨氏模量的定义和胡克定律 Δx 微元的势能为 Wp 1 k (y) 2 1 YS (y) 2 1 YSΔx( y ) 2 Δx0 1 YSΔx( y ) 2 2 2 Δx 2 Δx 2 x 1 1 y 1 则微元的动能为 Wk mv 2 m( ) 2 SxA2 2 sin 2 (t kx) 2 2 t
13.5.2 惠更斯原理 惠更斯原理：行进中的波面上任意一 点都可看作是新的子波源；所有子波 源各自向外发出许多子波；各个子波 所形成的包络面，就是原波面在一定 时间内所传播到的新波面。 应用 (1)已知某一时刻的波前， 可用几何方法决定下 一时刻波面；
S1
S2
S1
S2
r ut
O
R1
R2
平面简谐波的特征：
①波函数描述了波线上各点的振动规律，波线上各 点均以和振源相同的振幅和频率作简谐振动。
x y A cos t u
周期T 2

1 频率 T 2
②波函数不仅描述了波线上各点的振动规律，而且 描述了任意时刻，不同点的振动规律，即给出了各 点的相位关系，反映了振动着的各个点在时间和空 间上的联系。 相位为：
例 一警笛发射频率为1500 Hz 的声波，并以22 m/s 的速度向某 一方向运动，一人以6 m/s 的速度跟踪其后.
求 该人听到的警笛发出的声音的频率以及在警笛后方空气中声 波的波长？
解 观察者接收到的频率( 波源和观察者同时运动 ) ：
相干条件 频率相同、振动方向相同、相位差恒定。 相干波 满足相干条件的波
相干波源 产生相干波的波源

干涉规律 波源的振动方程 y01 A10 cos(t 1 ) S1
S1
S2
y02 A20 cos(t 2 )
r1
r2
P
波在 P 点一起的振动方程 r y1 A1 cos(t 2π 1 1 ) P r2 y2 A2 cos(t 2π 2 )
1 T 平均能量密度 w wdt 1 A2 2 T 0 2 讨论 (1) 在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同 步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化 规律是不同的.
(2) 质元机械能随时空周期性变化，仍是一波动过程，表明
质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动 过程也是能量的传播过程。
vs
S
观察者

vs 0
3. 波源和观察者同时运动

S
v sT

u vo ν '
u vo ν0 u - vS
(符号正负的选择与上述相同)
u
uT
S 运动的前方波长变短
讨论
v s u 时，多普勒效应失去意义，此时形成冲击波。

S S S S
S vs
ut
v st
u 马赫角 sin vs
第四节 平面简谐波与波动方程
在理想的无穷大弹性介质中，当振源作简 谐振动，且波阵面为平面，则在介质中传播的 波为—平面简谐波。本节讨论平面简谐波的规 律和特征，给出其满足的偏微分方程—波动方 程。 Main Goals


Primary:平面简谐波的描述和特征 Secondary:波动方程
§ 1.平面简谐波的描述和特征
2 能流密度
能流：单位时间内通过某一截面的波动能量. wutS P wuS t 在一个周期中的平均能流为
u
s
1 T P Pdt wuS T 0
u△t
能流密度： 通过垂直于波线截面单位面积上的能流。
dP wu 大小： J dS
方向：波的传播方向
u
S
矢量表示式： J wu
例 S1、S2为两相干波源，它们的振幅皆为10 cm,频率为75 Hz. 已知两波源的相位差为 2 ，波速为 15 m·-1, 试确定两列波 s 到达 P 点(见图)时相干的结果。
S1
12cm
S2
解
15 m 0.2m 75
u
r1 5cm
r2
r2 12 2 52 m 13m

(2k 1) π
k 0,1,2,
Amin | A1 A2 |
I min I1 I 2 2 I1I 2 (干涉相消)
r2 r1
r1 r2 (波程差) 2π 若 1 2 2π 当 r1 r2 k , k 0,1,2, （干涉相长） r1 r2 (2k 1) , k 0,1,2, （干涉相消） 2
波源作一次完全振动，波前进的距离。
（波长反映了波的空间周期性）

角波数 k : 2π距离中完整波的数目。 k 2π /
周期（T） 波前进一个波长距离所需的时间。 :
(周期表征了波的时间周期性)
频率（） 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。 :
频率与周期的关系为 1 / T / 2π 波速（u） 振动状态在媒质中的传播速度。 :
x Φ t u
§2
主要内容：
波的能量
能流密度
1. 波的能量 能密度 2. 能流密度 3. 波的吸收
1 波的能量和能量密度(以匀质细杆中简谐纵波为例）：
x x+x x
x 截面 x+x 截面
截面S
o
自由状态
x
t 时刻
y ( x, t ) y ( x Δx, t )
主要内容：
1. 波的叠加原理 2. 波的干涉现象 3. 波的干涉条件
4. 波的干涉规律
13.7.1 波的叠加原理 (1) 波传播的独立性 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各 波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、 波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。 (2) 叠加原理 在波相遇区域内，任一质点 的振动，为各波单独存在时
两列波到达 P 点的相位差为
P
( 2 1 ) 2π
r2 r1

8 2π 2π 78π 0.2
相位差为的偶数倍，故P点两波干涉相长。
第七节 多普勒效应
主要内容：
1. 机械波的多普勒效应 2. 光波的多普勒效应 3. 多普勒效应的应用
13.8.1 机械波的多普勒效应 多普勒效应: 由于观察者（接收器）或波源、或二者同 时相对媒质运动，而使观察者接收到的频率与波源发出 的频率不同的现象。 1. 波源静止，观察者运动
t
t t
(2) 解释反射、折射、衍射现象； B u1
A
u2 u2△t
i
C

D
折射现象
F E
· a· ·
衍射现象
由几何关系知： sin i u1t u1 sin u2 t u2
(3) 亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质； (4) 不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。
第六节 波的干涉
2. 电磁波 变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波。 3. 物质波 物质波（也称概率波）是微观粒子的一种属性，具有完全 不同的性质，遵从量子力学理论。
§3.2
横波和纵波
主要内容：
1. 横波 2. 纵波 3. 产生横波和纵波的介质条件

横波： 介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。
v1
v2
所引起的振动的)波的叠加原理仅适用于线性波的问题. (2)波的叠加原理对电磁波也适用.
13.7.2 波的干涉 干涉现象: 当两列（或多列）波叠加时，其 合振动的振幅 A 和合强度 I 将在 空间形成一种稳定的分布，即某
些点上的振动始终加强，某些点 上的振动始终减弱的现象。
u
Y

, k

u
1 1 YSxA2 k 2 sin 2 (t kx) SxA2 2 sin 2 (t kx) Wk 2 2
微元的机械能为 能量密度
W Wk W p SxA2 2 sin 2 (t kx)
W w A2 2 sin 2 (t kx) Sx
t
t
T 4
T 2
t T
3 t T 4
t
t T
t
3 T 4
5 t T 4

5 T 4 3 t T 2

横
波
纵
波
结论 (1) 波动中各质点并不随波前进；
(2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播。
§3.3
主要内容：
基本概念和物理量
波长和频率等

波长 周期 频率和波速
波长（） 同一波线上相位差为 2 的质点之间的距离；即 :
讨论
空间点振动情况分析:
S1
r1
r2
P
S2
r r
( 2 1 ) 2π 2 1 2kπ k 0,1,2, 当 Amax A1 A2 I max I1 I 2 2 I1I 2 (干涉相长)