第二章--行波,波动方程

⑴ 线变
l
F
S
l
F
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。 以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，
则叫F∕S 叫做应力，以 l 表示棒的长度，
以 Δl 表示在外力 F 作用下的长度变化。
则 Δl∕l 叫相对长度变化，又叫应变
如无线电波、光波、等
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
P
x
x0
y0 A cos( t a )
P 点振动的位相要比 o 点落后 x2π ∕ λ
t 时刻o 点质元的振动位相：
t 时刻 P 点质元的振动位相：
t a
t a
2

x
y
x
o
● ●
u
P
x
x0
y0 A cos( t a )
t
a
y A cos( t
2

x a )
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t ) y( x , t )
x ut
y
● ●
t
u
ut
o
x
x x
●
x
y A cos( t
2

x a )
3. 沿负向传播的平面简谐波的表达式
(3) 弹性绳上的横波
(4) 流体中的声波
u
T

u
k
0
T— 绳的初始张力, — 绳的线密度
k—体积模量, 0 —无声波时的流体密度
理想气体:
u
RT
= Cp/Cv , — 摩尔质量
§2.2 简谐波
如果媒质中所传播的是简谐振动，
则媒质中各质元均作简谐振动， 则相应的波称作简谐波，又叫正弦波。 平面简谐波：波面是平面的简谐波。 球面简谐波：波面是球面的简谐波。

T
u


表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4.
波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质， (1) 固体中的横波 (2) 固体棒中的纵波
u
G

u
E

G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变 当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。 在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“ － ”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，
媒质的质元的振动状态在各时刻都相同
----质元的振动同相 表明波具有空间上的周期性。 引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。
λ
2.
波长 λ
λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间
的距离叫做波长。记作 λ 从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
2.
机械波的传播
按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为 3. 纵波和横波 横波 振动方向与波传播方向垂直的波。 如细绳中传播的波 纵波 振动方向与波传播方向在一条直线上的波。 如弹簧中传播的波以及声波
波传播是由于质元的形变，
对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？
2



u
y A cos( t kx a )
波数
y A cos( t
2

x a )
讨论
1. 平面简谐波波函数的物理意义
1) 当 x 一定时，
即对于某一确定位置（ x＝x0 ）的质元。
y A cos( t
2

x0 a )
波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式
波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。 如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度， 则这一联系可用公式表示为
u

T

这是表示波的基本特征的重要公式
u
将上式改写
u u
●
y
o
x
已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，
x 轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示 设 t 时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：
x0
y0 A cos( t a )
y
● ●
u
P
o
x
x0
y0 A cos( t a )
由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。 则当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时 P 点质元将以相同的振幅和频率， 重复 o 点质元的振动，
y A o -A → u
2

x a )
t
λ λ
x
波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值 等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。
球面波
二．描述波的物理量
1.
周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元----质元的振动状态相同
5.
波的几何描述 波的传播是振动的传播而非质元的迁移， 由于振动状态常用位相来表示， 所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。
为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系 以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。
T
T
波函数还有其它形式
2 y A cos( t x a ) ，u T T
2
x y A cos( ( t ) a ) u y A cos(2 ( t x

) a )
令 k
t x y A cos(2 ( ) a ) T
波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。 波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。 波前： 波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的 各点构成的面,显然是一个同位相面， 由于这一波面在波传播方向的最前方， 所以又叫做波前或波阵面。
根据波前的形状不同，
波可分为平面波，球面波，柱面波。
波面
波 线
平面波
第二章
§2.1 行波
波动学基础
一．机械波的产生 二．描述波的物理量
§2 .2 平面简谐波
一．波函数 二．波动曲线
§2 .3 波动方程
作业：2.3、 2.6、2.7
第二章
波动学基础
振动在空间的传播过程叫做波动
机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等 变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。
施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ф， 叫切变的应变。 d
D
F
⑵ 切变
S
F
S
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

D
F
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F d G G S D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
⑶ 体变
P
V
V P K V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图， 以 ΔV∕ V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
o
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
●
x
u
o
●
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同）， 它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。 因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的 振动状态就可以了。 即:平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元 的振动表达式
y
x