第二章--行波,波动方程剖析
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波动详解
机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物 理量的波动。
虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有叠加性，都能 发生干涉和衍射现象，也就是说它们所具有波动的普遍性质。
除了机械波和电磁波都能发生干 涉和衍射现象外，实验中发现，电 子、质子和中子这些微观粒子也能 发生干涉和衍射。因此，微观粒子 也具有波动性。
波面——同相点组成的曲面。波阵面 波前 波线——表示传播方向的曲线。波射线
球面波（同心球形波面）
波线
平面波（平行平面波面）
可以证明： 球面波
A1 r
平面波
A 常量
§2-1 机械波 行波
§2-2 平面简谐波
Plane Simple Harmonic Wave
1. 简谐波 波速和波长
简谐波——各媒质质元作简谐运动的波。
固体：铁轨 长绳 弹簧；流体：水 空气
m1 m2 m3
F2 ,
F1 不平衡，使m时左时右
F1
F2
m
波源 m1 m2 m3
挤压/拉伸 §2-1 机械波 行波
横波与纵波
横波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波。
横向抖动绳端
光波
纵波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向在一条直 线上的波。 疏密波：空气中的声波
t
x u
Hale Waihona Puke （ tdt）
x
d u
x
于是得到
u d x 相速度（相速） dt
即，简谐波的波速就是相速。
说明： 波函数中的0 为原点处质元振动的初相。
设如果波沿x轴负向传播，“上游”在右“下游” 在左，t时刻x点的相位应是O点 t x u 时刻的相
位，即为 (t x u) 0 ，此时的波函数应为
虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有叠加性，都能 发生干涉和衍射现象，也就是说它们所具有波动的普遍性质。
除了机械波和电磁波都能发生干 涉和衍射现象外，实验中发现，电 子、质子和中子这些微观粒子也能 发生干涉和衍射。因此，微观粒子 也具有波动性。
波面——同相点组成的曲面。波阵面 波前 波线——表示传播方向的曲线。波射线
球面波（同心球形波面）
波线
平面波（平行平面波面）
可以证明： 球面波
A1 r
平面波
A 常量
§2-1 机械波 行波
§2-2 平面简谐波
Plane Simple Harmonic Wave
1. 简谐波 波速和波长
简谐波——各媒质质元作简谐运动的波。
固体：铁轨 长绳 弹簧；流体：水 空气
m1 m2 m3
F2 ,
F1 不平衡，使m时左时右
F1
F2
m
波源 m1 m2 m3
挤压/拉伸 §2-1 机械波 行波
横波与纵波
横波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波。
横向抖动绳端
光波
纵波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向在一条直 线上的波。 疏密波：空气中的声波
t
x u
Hale Waihona Puke （ tdt）
x
d u
x
于是得到
u d x 相速度（相速） dt
即，简谐波的波速就是相速。
说明： 波函数中的0 为原点处质元振动的初相。
设如果波沿x轴负向传播，“上游”在右“下游” 在左，t时刻x点的相位应是O点 t x u 时刻的相
位，即为 (t x u) 0 ，此时的波函数应为
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
第二章波动方程资料
注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
波动方程PPT课件
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
l
x
o
· A P
x
j P
=-
2π
l
x
+j
x
j P
=-
2π uT
x +j
=-ω
x u
+j
l =uT
ω =2Tπ
y =A cos(ω t +j )
P
P
=A cos (ω t －ω
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
波动方程初值问题与行波法
利用复合函数求导法则得 u u u u u x x x
为什么？
u u u u u 2 x x x 2 2 2 u u u 2 2 2
x at
1 sin x cos at cos x sin at . a
例3：求解波动方程柯西问题
utt a 2 uxx 0 - < x , t 0 1 , -< x u( x,0) 0 , ut ( x,0) 2 1 x
解：由达朗贝尔公式：
u |t 0 F x G x x 两端对 x 积分， ut |t 0 aF ' x aG ' x x 可得：
1 F x G x d C a x0
2
2 2 2 u2 u u u 2 a ( 2 2 2) 同理可得： 2 t
将两式代入原方程, 可得：
u 0
2
连续积分两次得
u , F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F x at G x at
行波法 —— d’Alembert公式
法国著名的物理学家、 数学家和天文学家，最著 名的有8卷巨著《数学手 册》、力学专著《动力 学》、23卷的《文集》、 《百科全书》的序言等。 他的很多研究成果记载于 《宇宙体系的几个要点研 究》中。
d’Alembert
(1717.11.17~1783.10.29)
2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt u ( x ), u ( x ), x t 0 t t 0
为什么？
u u u u u 2 x x x 2 2 2 u u u 2 2 2
x at
1 sin x cos at cos x sin at . a
例3：求解波动方程柯西问题
utt a 2 uxx 0 - < x , t 0 1 , -< x u( x,0) 0 , ut ( x,0) 2 1 x
解：由达朗贝尔公式：
u |t 0 F x G x x 两端对 x 积分， ut |t 0 aF ' x aG ' x x 可得：
1 F x G x d C a x0
2
2 2 2 u2 u u u 2 a ( 2 2 2) 同理可得： 2 t
将两式代入原方程, 可得：
u 0
2
连续积分两次得
u , F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F x at G x at
行波法 —— d’Alembert公式
法国著名的物理学家、 数学家和天文学家，最著 名的有8卷巨著《数学手 册》、力学专著《动力 学》、23卷的《文集》、 《百科全书》的序言等。 他的很多研究成果记载于 《宇宙体系的几个要点研 究》中。
d’Alembert
(1717.11.17~1783.10.29)
2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt u ( x ), u ( x ), x t 0 t t 0
大学物理第二章行波波动方程.ppt
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
(3) 弹性绳上的横波 (4) 流体中的声波
u T
T— 绳的初始张力, — 绳的线密度
0
a
波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式
y Acos( t 2 x )
a
2) 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。
y Acos( t 2 x )
0
a
波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 3) 当x、t 变化时，
波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻
二．描述波的物理量
1. 周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
▪ 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。
y Acos( t 2 x )
a
y
u→
A
t
o -A
λ
x
t＋Δt
▪ 不同时刻对应有不同的波形曲线
§2.4 波动方程
y Acos( t 2 x )
a
1. 波动方程的运动学推导
将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数
第2章波动方程
22xatxat?wxtxatxatda?????下面选择函数和1x?1x使得0wtt即11122atatatatdta????????由此可见和1x?1x的选取有很多种为简单起见取11022xxxxxxaad??????????????7于是把限制在的范围内即得到所求的解
第二章波动方程
本章讨论与波动方程
= F ( x − at ) , u
a>0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
= F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x , u )平 应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如 面上的曲线是曲线 u
u ( A ) + u ( C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at 3 ) + G ( x3 + at 3 ) , u ( B ) + u ( D ) = F ( x2 − at 2 ) + G ( x2 + at 2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at 4 ) ,
u ( x , t ) ∈ C 2 ( \ × \ + ) , 它由 D’Alembert 公式给出，且 u ( x , t ) 连续依赖于初始函数 ϕ 和
ψ.
由 D’Alembert 公式可直接得到解在有限时间 [ 0, T ] 内的估计式为
sup u ( x , t ) ≤ sup ϕ ( x ) + T sup ψ ( x ) ,
第二章波动方程
本章讨论与波动方程
= F ( x − at ) , u
a>0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
= F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x , u )平 应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如 面上的曲线是曲线 u
u ( A ) + u ( C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at 3 ) + G ( x3 + at 3 ) , u ( B ) + u ( D ) = F ( x2 − at 2 ) + G ( x2 + at 2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at 4 ) ,
u ( x , t ) ∈ C 2 ( \ × \ + ) , 它由 D’Alembert 公式给出，且 u ( x , t ) 连续依赖于初始函数 ϕ 和
ψ.
由 D’Alembert 公式可直接得到解在有限时间 [ 0, T ] 内的估计式为
sup u ( x , t ) ≤ sup ϕ ( x ) + T sup ψ ( x ) ,
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)
密度。
•液体和气体中 纵波 u B / B 容变弹性模量。
六、注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
9
4.振动与波动的区别 •振动是表示一个质点的运动。 •波动是表示一系列质点所作的运动。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 , 代入
T
y
A cos 2 Tt
x Tu
Tu 代入
y
A
cos 2 Tt
x
1 代入
T
y
A
cos2
t
x
t
显然质点振动速度与波速 u = 20m/s 不同。
上例中条件是已知 t = 0 时刻的波动方程。
如果t = 0时,波源 x = 0 点的振动方程为：
y 4102 cos(100t 2)m
波速不变。波动方程应该如何写？
y 4102 cos(100t 5x 2)m x>0
o
t
y x /4
o
t
y x /2
o
t
y x 3 / 4
o
t
15
3.当 t c
（常数）时 ，y f (x)
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
y t 0
o
x
y t T /4
o
x
y t T /2
•液体和气体中 纵波 u B / B 容变弹性模量。
六、注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
9
4.振动与波动的区别 •振动是表示一个质点的运动。 •波动是表示一系列质点所作的运动。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 , 代入
T
y
A cos 2 Tt
x Tu
Tu 代入
y
A
cos 2 Tt
x
1 代入
T
y
A
cos2
t
x
t
显然质点振动速度与波速 u = 20m/s 不同。
上例中条件是已知 t = 0 时刻的波动方程。
如果t = 0时,波源 x = 0 点的振动方程为：
y 4102 cos(100t 2)m
波速不变。波动方程应该如何写？
y 4102 cos(100t 5x 2)m x>0
o
t
y x /4
o
t
y x /2
o
t
y x 3 / 4
o
t
15
3.当 t c
（常数）时 ，y f (x)
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
y t 0
o
x
y t T /4
o
x
y t T /2
波动方程
轴正向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0, t ) A cos(t 0 ) 求波线上任意位置x处质点的振动方程 y ( x, t ) 。
解: X处的振 动规律y(x,t) 与原点的振动 规律的关系：
i)时间法 点O 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
x y( x, t ) y[0,(t t )] A cos[ (t ) 0 ] u
(1.0m) sin( π m ) x
1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . t x π y (1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2 x 0.5m 处质点的振动方程
3）பைடு நூலகம்
y (1.0m) cos[(π s )t π] y/m y
2、从无穷远处来到无穷远处去
y( x0 , t ) A cos(t 0 ) 已知 x x0 的振 动 求波线上任意位置x处质点的振动方程: y( x, t )
（2）后退波
y( x, t ) y( x0 , t t )
· · · · · · o· · · · · · · · x x ·· · x
xB xC
平面简谐波后退波的波函数（表达式、波函数、波动 方程、运动学方程）：
点 P 振动方程：
x 2π
A
x
t x x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] T ux A cos(t 2 0 ) A cos(t kx 0 )
y(0, t ) A cos(t 0 )
数学物理方程第二章(波动)
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
数学物理方程
第二章 波动方程
代回原变量：
利用初始条件：
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
u( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
数学物理方程
第二章 波动方程
几个相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
当gi (t ) 0时，表示该端点处弦是固定的
第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，
即T sin
u 具体为： x
x a
当g(t ) 0时，表示弦在该端点处可自由滑动
x a
u T x
u x
x a
g (t )(a 0或a l )
0或
x a
g (t )(a 0或a l )
------齐次方程
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
数学物理方程
第二章 波动方程
代回原变量：
利用初始条件：
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
u( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
数学物理方程
第二章 波动方程
几个相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
当gi (t ) 0时，表示该端点处弦是固定的
第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，
即T sin
u 具体为： x
x a
当g(t ) 0时，表示弦在该端点处可自由滑动
x a
u T x
u x
x a
g (t )(a 0或a l )
0或
x a
g (t )(a 0或a l )
------齐次方程
数学物理方程
(张三慧教材)波动与光学Y第2章
2
式中 2 2 2 x y z
2 2
u t
2
2
0
称为 拉普拉斯算子
建立弦微小振动的波动微分方程
15
F2 cos 2 F1 cos1 0 2 d y F2 sin 2 F1 sin 1 dx 2
2和1很小
COS 2 COS1 1
看出t或x每增加T或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。
例： 已知：图示为波源（x=0处）振动曲线 且波速u=4m/s, 方向沿x轴正向. 求：t=3s时波形曲线（大致画出） 解：
y(cm)
11
0.5
0 y(cm)
1 2 3 4
t(s
u=4m/s
0.5
-0.5
0
4
8 12
x(m)
-0.5
T 2） t0 4
T 3） t0 2
2 y A cos x T 2 y A cos 4
T 2 y A cos 2
9 ------ t=0 时各质点的位移
x
x
t0 = T 波形恢复原样 而在一个 T 内波形向右移动了 T 这个物理量从时间 上反映了波的周期性
相位差 20 10 2
r2 r1
2n
( n = 0 1 2……)
A A1 A2
A A1 A2
加强
2n 1
减弱
24
二、驻波
两列相干波，振幅相同， 传播方向相反（初位相为 0） 叠加而成驻波
25
2 y1 A cos t x 2 y2 A cos t x
式中 2 2 2 x y z
2 2
u t
2
2
0
称为 拉普拉斯算子
建立弦微小振动的波动微分方程
15
F2 cos 2 F1 cos1 0 2 d y F2 sin 2 F1 sin 1 dx 2
2和1很小
COS 2 COS1 1
看出t或x每增加T或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。
例： 已知：图示为波源（x=0处）振动曲线 且波速u=4m/s, 方向沿x轴正向. 求：t=3s时波形曲线（大致画出） 解：
y(cm)
11
0.5
0 y(cm)
1 2 3 4
t(s
u=4m/s
0.5
-0.5
0
4
8 12
x(m)
-0.5
T 2） t0 4
T 3） t0 2
2 y A cos x T 2 y A cos 4
T 2 y A cos 2
9 ------ t=0 时各质点的位移
x
x
t0 = T 波形恢复原样 而在一个 T 内波形向右移动了 T 这个物理量从时间 上反映了波的周期性
相位差 20 10 2
r2 r1
2n
( n = 0 1 2……)
A A1 A2
A A1 A2
加强
2n 1
减弱
24
二、驻波
两列相干波，振幅相同， 传播方向相反（初位相为 0） 叠加而成驻波
25
2 y1 A cos t x 2 y2 A cos t x
波动方程ppt课件
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播， 画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各 点的运动方向和四分之
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：
第二讲行波法刘
a = B 2A,b =
4 AC − B
2
2 A.
用这个变换立即能把方程化为标准形式
uαα + uββ = D3uα + E3uβ + F3u + G3 (α , β ),
见P40-42例题2.3.1-2.3.1
例如：
∂ 2u ∂ 2u 2 2 2 2 2 2 2 −a = 0 (dy ) − a (dx) = 0 ∆=0 −4×1×(−a ) =4a > 2 2 ∂x ∂y
前面方程对应的特征方程为
dy = (B + dx dy = (B − dx B B
2
− 4 AC ) 2 A , − 4 AC ) 2 A ,
2
特征线族为
B + y = B − y = B 2 − 4 AC 2 A B 2 − 4 AC 2 A x + C , 1 x + C 2
x − at = c2
ξ = x + at , η = x − at
利用复合函数求导法则得
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
∂ 2u ∂ ∂u ∂u ∂ξ ∂ ∂u ∂u ∂η = ( + ) + ( + ) 2 ∂x ∂ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂η ∂ξ ∂η ∂x
]+Βιβλιοθήκη 1 2a==
1 [ e − ( x + at ) 2
1 2
+e
− ( x − at ) 2
]+
2
1 2
∫
波动方程ppt课件
波动方程
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波 SH波
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 源 性 旋转力 质
旋转点震源——球面横波
位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a 0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t )
0
t0 0 t t t t
二、沿X轴方向传播的平面波（即
k x
）
U
A
exp
2i
k1x
k2 y
k3 z
Vt
d
Aei Acos i sin
k1 1, k2 0 , k3 0
U
A
exp
2i
x
Vt
d
u
A1
exp
2i
x Vt
v
A2
exp
2i
x Vt
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波 SH波
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 源 性 旋转力 质
旋转点震源——球面横波
位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a 0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t )
0
t0 0 t t t t
二、沿X轴方向传播的平面波（即
k x
）
U
A
exp
2i
k1x
k2 y
k3 z
Vt
d
Aei Acos i sin
k1 1, k2 0 , k3 0
U
A
exp
2i
x
Vt
d
u
A1
exp
2i
x Vt
v
A2
exp
2i
x Vt
第二章 波 动 方 程
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。 为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a
x at
x at
( )d
0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a
x at
x at
( )d
限制在 0
1 2a
t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。 为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a
x at
x at
( )d
0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a
x at
x at
( )d
限制在 0
1 2a
t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,
波动方程
11
四 . 波的几何描述:
波线—— 表示波的传播方向的射线
波面—— 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）
波前—— 传到最前面的波面，又叫波振面
波面
波
线
平面波
球面波
在各向同性媒质中波线和波阵面垂直
12
§2 平面简谐波的波函数
一、一维平面简谐波的波函数: 简谐波（余弦波，单色波）. 波函数y ( x, t ) ：描述任意时刻，任意位置处 质点的运动方程。
2）画出t = 0.2s时的波形
y
u
5cm
t=0.2s
2m
x
2m
把t = 0.2s代入波动方程：
y
5 cos(
- 0.01x)cm
2
21
例2、平面简谐波 ，波速 u=20m/s，自左向右 传播。 波线上某点 A的振动表达式为 ∶
y 0.03cos(4t - )(SI)
(1) 以A为坐标原点，写出波函数。(2) 以距A点 左方 5m处的B点为原点 ，写出波函数 。 (3) 求C点的运动方程
已知： A点振动方程，求波函数。
u
B A(O) (1)
u
5m
x
B(O)
A x (2)
22
(1) 以 A为坐标原点写波函数。
y
Acos[(t
-
x) u
0]
u
已知：A点(坐标原点O) 的振动方程
x
B A(O) (1)
yA 0.03cos(4t - )
y 0.03cos[4 (t - x ) - ]
20
23
(2) 以B点为原点O ，求波函数 。
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以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“ － ”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
球面波
二．描述波的物理量
1.
周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
x /m 6 3
o
x1
2 4
6
t
/s
1、写出上图简谐振动的函数表达式
2、画出振动在t=0 s时的旋转矢量图
第二章
§2.1 行波
波动学基础
一．机械波的产生 二．描述波的物理量
§2 .2 平面简谐波
一．波函数 二．波动曲线
§2 .3 波动方程
作业：21.3，21.6，21.7，
第二章
波动学基础
振动在空间的传播过程叫做波动
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变 当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。 在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。 波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。 波前： 波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的 各点构成的面,显然是一个同位相面， 由于这一波面在波传播方向的最前方， 所以又叫做波前或波阵面。
根据波前的形状不同，
波可分为平面波，球面波，柱面波。
波面
波 线
平面波
施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ф， 叫切变的应变。 d D
F
⑵ 切变
S
F
S
d
D
F
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F d G G S D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
⑶ 体变
P
V
V P K V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图， 以 ΔV∕ V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有
在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，
媒质的质元的振动状态在各时刻都相同
----质元的振动同相 表明波具有空间上的周期性。 引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。
λ
2.
波长 λ
λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间
的距离叫做波长。记作 λ 从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长
实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。
⑴ 线变
l
l
F
F
S
胡克定律
在弹性限度内，应力和应变成正比。
F l E S l
E 为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，
叫杨氏模量。
⑵ 切变
F
S
F
S
d
D
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图， 这种形式的形变叫切变。 外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力
机械振动是如何靠质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为 3. 纵波和横波 横波 振动方向与波传播方向垂直的波。 如细绳中传播的波 纵波 振动方向与波传播方向在一条直线上的波。 如弹簧中传播的波以及声波
波传播是由于质元的形变，
对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？
机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等 变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。
如无线电波、光波、等
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
§2.1 行波
于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元----质元的振动状态相同
5.
波的几何描述 波的传播是振动的传播而非质元的迁移， 由于振动状态常用位相来表示， 所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。
为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系 以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。
⑴ 线变
l
l
F
F
S
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。 以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，
则叫F∕S 叫做应力，以 l 表示棒的长度，
以 Δl 表示在外力 F 作用下的长度变化。
则 Δl∕l 叫相对长度变化，又叫应变
2.
波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质 元之间的距离叫做波长。记作 λ
λ
λ
纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长
横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”——包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。
3.
周期 T、频率 ν 与波长 λ 的关系
横波
从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分
横波只能在弹性固体中传播
纵波
在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。
纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播
4.
波的特征
(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流” 。 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻