线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数

山东 胡大波

线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法

统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当i x 不全为零,y i 也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是:

()()

n

n

i

i i i

x

x y y x y

nx y

r ---=

=

∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数(简称相关系数).

说明:(1)对于相关系数r ,首先值得注意的就是它的符号,当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示两个变量x ,y 负相关;

(2)另外注意r 的大小,如果[]0.751r ∈，,那么正相关很强;如果[]10.75r ∈--，,那么负相关很强;如果(]0.750.30r ∈--，

或[)0.300.75r ∈，,那么相关性一般;如果[]0.250.25r ∈-，,那么相关性较弱.

下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析

(1)对变量y 与x 进行相关性检验;

(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高.

解:(1)66.8x =,67y =,10

2

1

44794i i x ==∑,10

21

44929.22i i y ==∑,4475.6x y =,2

4462.24x =,

2

4489y =,10

1

44836.4i i i x y ==∑,

所以10

i i

x y

nx y

r -∑

44836.4104475.6

(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--

80.4

0.9882.04

≈

≈, 所以y 与x 之间具有线性相关关系. (2)设回归直线方程为y a bx =+,则10

1102

21

1010i i

i i i x y

xy

b x x

==-=

-∑∑44836.444756

0.46854479444622.4

-=

≈-,

670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=.

故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+. (3)当73x =英寸时,0.46857335.704269.9047y =⨯+=, 所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69、9英寸.

点评:回归直线就是对两个变量线性相关关系的定量描述,利用回归直线,可以对一些实际问题进行分析、预测,由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这就是此类问题常见题型.

例2 10

其中x 为高一数学成绩,y 为高二数学成绩. (1)y 与x 就是否具有相关关系;

(2)如果y 与x 就是相关关系,求回归直线方程. 解:(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得 10

1710i

i x

==∑

,10

1

723i i y ==∑,71x =,72.3y =,10

1

51467i i i x y ==∑.

1021

50520i

i x

==∑,10

21

52541i i y ==∑.

10

10i i

x y

x y

r -=

∑

0.78=

≈.

由于0.78r ≈,由0.780.75>知,有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系. (2)y 与x 具有线性相关关系,设回归直线方程为y a bx =+,则

10

1102

2

21

1051467107172.3

1.2250520107110i i

i i i x y

x y

b x x

==--⨯⨯=

=

≈-⨯-∑∑,

72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-.

所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-.

点评:通过以上两例可以瞧出,回归方程在生活中应用广泛,要明确这类问题的计算公式、解题步骤,并会通过计算确定两个变量就是否具有相关关系.