案例2多元线性回归模型的计算过程及

多元线性回归模型的计算过程及案例分析

计算过程

（1） 根据

n

组观察样本的原始数据，12(,,,)t t t kt y x x x

(1,2,,)t n = 写出如下矩阵：

111211221222

1211,1

k k n n

n

kn y x x x y x x x Y X y x x x ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪== ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

（2） 计算1)X X X X -'''、(、X Y 。

（3） 计算参数向量B 的最小二乘法估计1ˆˆ:()B

B X X X Y -''=。 （4） 计算应变量观测值向量Y 的拟合值向量ˆˆˆ:Y

Y XB =。 （5） 计算残差平方和2

t e ∑及残差的标准差ˆ:

σˆσ

=

（6） 计算多重决定系数2R 和修正的多重系数2R ，作拟合检验。

22

2

1;()

t

t e R y y =-

-∑∑

22

2

/(1)1;()/(1)

t

t

e n k R

y y n --=-

--∑∑

（7）计算参数估计ˆ(0,1,2,,)j b j k =

的标准差：ˆ();j

s b σ=其中jj c 是矩阵

1

)X X -'(中第j 行第j 列位置上的元素。

（8）计算检验统计量t 和F 的值，作回归参数及回归方程的显著性检验。 在原假设0:0(0,1,2,,)j H b j k == 下的t 统计量为

ˆˆ/j

t b σ= 在原假设001:0k H b b b === 下的F 统计量为

2

2()1

t

t

y y n k F k

e

---=

⋅

∑∑。

（9）若模型未通过检验，则重新建立模型并重复上述步骤；若模型通过检验，且满足模型的古典假设，则可利用此模型进行结构分析或经济预测等实际应用

案例分析

某种商品的需求量（y

，吨）、价格（

1

x ，元/千克）、和消费者收入（2x ，

元）观测值如表所示：

商品的需求量（

y

，吨）、价格（

1

x ，元/千克）、和消费者收入（2x ，元）观测值

（1） 建立需求函数：01122t t t t y b b x b x u =+++； （2） 估计12b b 、的置信区间（置信度为95%）； （3） 在5%显著水平上检验模型的有效性。 具体步骤：

（1）建立工作文件。启动EViews;单击 “File ” ，出现下拉菜单，单击“New ”→“Workfile ” ，出现“Workfile Range ” 对话框；单击“Workfile frequency ”中的 “Undated or irregular ”，在对话框“Start date ”和“End date ”中分别键入1和10，单击 “OK ”，出现工作文件窗口。若要将工作文件存盘，则单击工作文件窗口上方的“Save ”，在跳出的 “Save As ”对话框中给定路径和文件名，然后单击“OK ”，工作文件中的内容将被保存。

（2）输入数据。单击 “Quick ” ，出现下拉菜单，单击 “Empty Goup ”出现 “Group ” 窗口。在数据的第一列中键入y 的数据，并将该序列取为y;在第二、三列中分别键入1x 和2x 的数据，并分别取为1x 和2x 。

（3）回归分析。单击 “Procs ”，出现下拉菜单，单击 “Make Equation ”，出现回归方程设定对话框，在“Equation Specification ”栏中键入y,c, 1x ,2x ；在Estimation Settings 栏中选择Least Squares(最小二乘法)；单击“OK ”，显示结果：

（ⅰ）估计模型结果如下：

12ˆ111.69187.1882450.014297y

x x =-+

(23.53081)(2.555331)(0.011135)(4.746619)( 2.813039)(1.284007)

s t ==-

2

2

0.894430

0.864267

29.65325

.7.213258

R R F S E ====

（ⅱ）12b b 、的置信区间（置信度为95%）；1b 的置信度为95%置信区间：

1/211/21

ˆˆˆˆ((1)(),(1)()(13.23, 1.145)b t n k s b b t n k s b αα---⋅+--⋅=-- 2b 的置信度为

95%置信区间：

2/222/22

ˆˆˆˆ((1)(),(1)()(0.012,0.041)b t n k s b b t n k s b αα---⋅+--⋅=- （4）检验模型。

模型的经济意义检验：回归系数估计值1

ˆ7.1882450b =-<，表明商品需求量与价格反方向变动，当其他条件不变时，商品价格每千克上升1元时，对该商品的需求量将平均减少7.188245吨；回归系数估计值2

ˆ0.0142970,b =>表明商品需求量与消费者收入水平同方向变动，当其他条件不变时，消费者收入水平每提高1元时，对该商品的需求量将平均增加0.014297吨。

回归方程的标准误差的评价：.7.213258S E =表明回归方程与各观测点的平均误差为7.213258吨。

拟合优度检验：20.864267R =表明回归方程即上述需求函数的解释能力为86.4%，即商品价格和消费者收入水平能对该种商品需求变动的86.4%做出解释。回归方程的拟合优度较好。

回归模型的总体显著性检验：从全部因素的总体影响看，在5%显著水平上，

0.0529.65325(,1)(2,1021) 4.74,F F k n k F α=>--=--=说明即商品价格和消费者收

入水平对该种商品需求的共同影响是显著的。

单个回归系数的显著性检验：从单个因素的总体影响看，在5%显著水平上，

10.025ˆ|()| 2.813(7) 2.365,t b t =>= 20.025

ˆ|()| 1.284(7) 2.365,t b t =<=表明价格对该种商品的影响是是显著的；消费者收入对该种商品需求的影响是不显著的。