(完整word版)多元线性回归模型案例分析
多元线性回归分析范例
多元线性回归分析范例多元线性回归是一种用于预测因变量和多个自变量之间关系的统计分析方法。
它假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来估计因变量的值。
在本文中，我们将使用一个实际的数据集来进行多元线性回归分析的范例。
数据集介绍：我们选取的数据集是一份汽车销售数据，包括了汽车的价格（因变量）和多个与汽车相关的特征（自变量），如车龄、行驶里程、汽车品牌等。
我们的目标是通过这些特征来预测汽车的价格。
数据集包括了100个样本。
数据集的构成如下：车龄（年），行驶里程（万公里），品牌，价格（万元）----------------------------------------5，10，A，153，5，B，207，12，C，10...，...，...，...建立多元线性回归模型：我们首先需要将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。
其中，自变量矩阵X包括了车龄、行驶里程和品牌等特征，因变量向量y包括了价格。
在Python中，我们可以使用NumPy和Pandas库来处理和分析数据。
我们可以使用Pandas的DataFrame来存储数据集，并使用NumPy的polyfit函数来拟合多元线性模型。
首先，我们导入所需的库并读取数据集：```pythonimport pandas as pdimport numpy as np#读取数据集data = pd.read_csv('car_sales.csv')```然后，我们将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y：```python#划分自变量矩阵X和因变量向量yX = data[['车龄', '行驶里程', '品牌']]y = data['价格']```接下来，我们使用polyfit函数来拟合多元线性模型。
我们将自变量矩阵X和因变量向量y作为输入，并指定多项式的次数（线性模型的次数为1）：```python#拟合多元线性模型coefficients = np.polyfit(X, y, deg=1)```最后，我们可以使用拟合得到的模型参数来预测新的样本。
建模实例(多元线性回归模型)
以上图为例，按当年价格计算，我国1992年的GDP 是1980年的5.9倍，而按固定价格计算，我国1992 年的GDP是80年的2.8倍。
2、依照经济理论以及对具体经济问题的深入
分析初步确定解释变量。例：关于某市的食 用油消费量，文革前常驻人口肯定是重要解 释变量。现在则不同，消费水平是重要解释 变量，因为食用油供应方式已改变。 3、当引用现成数据时，要注意数据的定义是 否与所选定的变量定义相符。例：“农业人 口”要区别是“从事农业劳动的人口”还是 相对于城市人口的“农业人口”。
t
案例2：《全国味精需求量的计量经济模型》
1．依据经济理论选择影响味精需求量变化的因素 依据经济理论初设为： 商品需求量 = f (商品价格，代用品价格，收入水 平，消费者偏好) 根据分析，针对味精需求量只考虑两个重要解释变 量，商品价格和消费者收入水平。 味精需求量 = f (商品价格，收入水平)
一建模过程中应注意的问题?1研究经济变量之间的关系要剔除物价变动因素?以上图为例按当年价格计算我国1992年的gdp是1980年的59倍而按固定价格计算我国1992年的gdp是1980年的28倍
一、建模过程中应注意的问题
1、研究经济变量之间的关系要剔除物价变动因素
30000 25000 20000 15000 10000 5000 GD P GD P(f) 0 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
4、通过散点图，相关系数，确定解释变量与
被解释变量的具体函数关系。（线性、非线 性、无关系）
5、谨慎对待离群值（outlier）。离群值可能是正常
值也可能是异常值。不能把建立模型简单化为一个纯 数学过程，目的是寻找经济规律。（欧盟对华投资和 中国从欧盟进口）
多元线性回归模型(6)
样本，可表示为
Y1 1 2 X 21 3 X31 ... k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X32 ... k X k2 u2
Yn 1 2 X 2n 3 X3n ... k X kn un
11
用矩阵表示
Y1 1
即 X可X逆
假定6：正态性假定 ui ~ N(0,σ2)
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第二节 多元线性回归模型的估计
本节基本内容:
● 普通最小二乘法（OLS） ● OLS估计式的性质 ● OLS估计的分布性质
● 随机扰动项方差 的估2 计
● 回归系数的区间估计
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一、普通最小二乘法（OLS）
最小二乘原则
剩余平方和最小： min ei2 (Yi -Yˆi)2
1 X 22
X kiei
X
k1
Xk2
1 e1
0
X
2n
e2
=
XБайду номын сангаас
e
=
0
X
kn
en
0
X
e
因为样本回归函数为 Y = Xβˆ + e
两边乘 X有 ：
X Y = X Xβˆ + X e
因为 Xe，= 0则正规方程为：
X Xβˆ = X Y
19
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
或取固定值的矩阵
2.无偏特性:
E(βˆk ) βk
21
3. 最小方差特性
在 βk所有的线性无偏估计中，OLS估计 β具ˆk 有
最小方差
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估计 式是最佳线性无偏估计式（BLUE）
多元线性回归模型案例(DOC)
多元线性回归模型案例分析——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。
此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。
影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。
(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。
二·模型设定为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。
暂不考虑文化程度及人口分布的影响。
从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：表1 中国人口增长率及相关数据设定的线性回归模型为：1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++三、估计参数利用EViews 估计模型的参数，方法是：1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对话框“Workfile Range ”。
在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。
其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。
(完整word版)多重共线性问题的几种解决方法
多重共线性问题的几种解决方法在多元线性回归模型经典假设中,其重要假定之一是回归模型的解释变量之间不存在线性关系,也就是说，解释变量X1,X2，……,X k中的任何一个都不能是其他解释变量的线性组合。
如果违背这一假定，即线性回归模型中某一个解释变量与其他解释变量间存在线性关系，就称线性回归模型中存在多重共线性。
多重共线性违背了解释变量间不相关的古典假设,将给普通最小二乘法带来严重后果。
这里，我们总结了8个处理多重共线性问题的可用方法，大家在遇到多重共线性问题时可作参考：1、保留重要解释变量，去掉次要或可替代解释变量2、用相对数变量替代绝对数变量3、差分法4、逐步回归分析5、主成份分析6、偏最小二乘回归7、岭回归8、增加样本容量这次我们主要研究逐步回归分析方法是如何处理多重共线性问题的。
逐步回归分析方法的基本思想是通过相关系数r、拟合优度R2和标准误差三个方面综合判断一系列回归方程的优劣，从而得到最优回归方程。
具体方法分为两步：第一步，先将被解释变量y对每个解释变量作简单回归:对每一个回归方程进行统计检验分析（相关系数r、拟合优度R2和标准误差),并结合经济理论分析选出最优回归方程，也称为基本回归方程。
第二步，将其他解释变量逐一引入到基本回归方程中，建立一系列回归方程,根据每个新加的解释变量的标准差和复相关系数来考察其对每个回归系数的影响，一般根据如下标准进行分类判别：１.如果新引进的解释变量使R2得到提高,而其他参数回归系数在统计上和经济理论上仍然合理,则认为这个新引入的变量对回归模型是有利的，可以作为解释变量予以保留。
２。
如果新引进的解释变量对R2改进不明显，对其他回归系数也没有多大影响,则不必保留在回归模型中。
３.如果新引进的解释变量不仅改变了R2,而且对其他回归系数的数值或符号具有明显影响，则认为该解释变量为不利变量，引进后会使回归模型出现多重共线性问题。
不利变量未必是多余的,如果它可能对被解释变量是不可缺少的，则不能简单舍弃，而是应研究改善模型的形式，寻找更符合实际的模型，重新进行估计.如果通过检验证明回归模型存在明显线性相关的两个解释变量中的其中一个可以被另一个很好地解释，则可略去其中对被解释变量影响较小的那个变量，模型中保留影响较大的那个变量。
(整理)第四章 多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。
但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。
当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。
本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。
为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。
将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。
定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
实验(二)多变量线性回归模型Microsoft Word 文档
实验（二）多变量回归模型及面板数据初步处理【实验目的】掌握多变量线性回归模型的参数估计及相关内容【实验内容】建立多变量线性回归模型，回归参数估计，散点图，残差图等。
建立面板数据库并处理数据。
【实验步骤】实验步骤一：如何在数据表删除某一列数据，或在两列数据中插入一列数据，在数据表删除某一列数据的操作：双击数据组标示→打开数据组表→编辑一组数据→点击鼠标右键→拉出一菜单→点击Remove Series。
在两列数据中插入一列数据：双击数据组标示→打开数据组表→编辑一组数据→点击鼠标右键→拉出一菜单→点击Insert Series。
实验步骤二：建立面板数据库并处理数据。
向EViews6.0中输入截面数据名称的时候，应先建立一个合并数据（Pool）对象。
★选择EViews6.0主菜单Object→New Object→Pool★在Pool中输入_BJ_TJ_HB_LN_SHH_JS_ZHJ_FJ_SHD_GD_HN★在Pool窗口点击name，保存。
★在Pool窗口点击sheet，打开一个窗口，输入GDP?，RENKOU?，GSH?，GZH?。
就得到一个东部地区GDP，RENKOU，GSH，GZH的Poolsheet（面板数据表）。
★在Pool窗口点击define，回到Pool的标示窗口；点击Pool的标示窗口sheet，打开一个窗口，输入GDP?，RENKOU?，GSH?，GZH?。
得到GDP，RENKOU，GSH，GZH的Poolsheet （面板数据表）。
★Pool序列的序列名使用的是基本名和“?”占位符。
例如，GDP?代表：GDP_BJ——北京GDPGDP_TJ——天津GDPGDP_HB——河北GDPGDP_LN——辽宁GDPGDP_SHH——上海GDPGDP_JS——江苏GDPGDP_ZHJ——浙江GDPGDP_FJ——福建GDPGDP_SHD——山东GDPGDP_GD——广东GDPGDP_HN——海南GDP★还可以通过Pool窗口中的PoolGenerate，通过公式可以生成以面板数据为基础的新数据。
《2024年多元线性回归分析的实例研究》范文
《多元线性回归分析的实例研究》篇一一、引言多元线性回归分析是一种统计方法，用于研究多个变量之间的关系。
在社会科学、经济分析、医学等多个领域，这种分析方法的应用都十分重要。
本实例研究以一个具体的商业案例为例，展示了如何应用多元线性回归分析方法进行研究，以便深入理解和探索各个变量之间的潜在关系。
二、背景介绍以某电子商务公司的销售额预测为例。
电子商务公司销售量的影响因素很多，包括市场宣传、商品价格、消费者喜好等。
因此，本文通过收集多个因素的数据，使用多元线性回归分析，以期达到更准确的销售预测和因素分析。
三、数据收集与处理为了进行多元线性回归分析，我们首先需要收集相关数据。
在本例中，我们收集了以下几个关键变量的数据：销售额（因变量）、广告投入、商品价格、消费者年龄分布、消费者性别比例等。
这些数据来自电子商务公司的历史销售记录和调查问卷。
在收集到数据后，我们需要对数据进行清洗和处理。
这包括去除无效数据、处理缺失值、标准化处理等步骤。
经过处理后，我们可以得到一个干净且结构化的数据集，为后续的多元线性回归分析提供基础。
四、多元线性回归分析1. 模型建立根据所收集的数据和实际情况，我们建立了如下的多元线性回归模型：销售额= β0 + β1广告投入+ β2商品价格+ β3消费者年龄分布+ β4消费者性别比例+ ε其中，β0为常数项，β1、β2、β3和β4为回归系数，ε为误差项。
2. 模型参数估计通过使用统计软件进行多元线性回归分析，我们可以得到每个变量的回归系数和显著性水平等参数。
这些参数反映了各个变量对销售额的影响程度和方向。
3. 模型检验与优化为了检验模型的可靠性和准确性，我们需要对模型进行假设检验、R方检验和残差分析等步骤。
同时，我们还可以通过引入交互项、调整自变量等方式优化模型，提高预测精度。
五、结果分析与讨论1. 结果解读根据多元线性回归分析的结果，我们可以得到以下结论：广告投入、商品价格、消费者年龄分布和消费者性别比例均对销售额有显著影响。
多元线性回归模型的案例分析
多元线性回归模型的案例分析年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/千克)P 2/(元/千克)P 3/(元/千克)年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/千克)P 2/(元/千克)P 3/(元/千克)1980 397 1992 911 1981 413 1993 931 1982 439 1994 1021 1983 459 1995 1165 1984 492 1996 1349 1985 528 1997 1449 1986 560 1998 1575 1987 624 1999 1759 1988 666 2000 1994 1989 717 2001 2258 1990 768 2002 24781991843（1）求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型：01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2）请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。
先做回归分析，过程如下：输出结果如下：所以，回归方程为：123ln 0.73150.3463ln 0.5021ln 0.1469ln 0.0872ln Y X P P P =-+-++由上述回归结果可以知道，鸡肉消费需求受家庭收入水平和鸡肉价格的影响，而牛肉价格和猪肉价格对鸡肉消费需求的影响并不显著。
验证猪肉价格和鸡肉价格是否有影响，可以通过赤池准则（AIC ）和施瓦茨准则（SC ）。
若AIC 值或SC 值增加了，就应该去掉该解释变量。
去掉猪肉价格P 2与牛肉价格P 3重新进行回归分析，结果如下：VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C LOG(X) LOG(P1)R-squaredMean dependentvarAdjusted R-squared . dependent var . of regression Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic )通过比较可以看出，AIC 值和SC 值都变小了，所以应该去掉猪肉价格P 2与牛肉价格P 3这两个解释变量。
多元线性回归模型案例
我国农民收入影响因素的回归分析本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。
?农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。
影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。
但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。
二是农业剩余劳动力转移水平。
三是城市化、工业化水平。
四是农业产业结构状况。
五是农业投入水平。
考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。
因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。
一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。
即：2x -财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x —农村用电量。
资料来源《中国统计年鉴2006》。
(二)、计量经济学模型建立 我们设定模型为下面所示的形式：利用Eviews 软件进行最小二乘估计，估计结果如下表所示：DependentVariable:Y Method:LeastSquares Sample:Includedobservations:19VariableCoefficientt-StatisticProb.C X1 X3 X4 X5 X6 X7 X8R-squaredMeandependentvarAdjustedR-squared 表1最小二乘估计结果回归分析报告为：()()()()()()()()()()()()()()()()23456782ˆ -1102.373-6.6354X +18.2294X +2.4300X -16.2374X -2.1552X +0.0100X +0.0634X 375.83 3.7813 2.066618.37034 5.8941 2.77080.002330.02128 -2.933 1.7558.820900.20316 2.7550.778 4.27881 2.97930.99582i Y SE t R ===---=230.99316519 1.99327374.66R Df DW F ====二、计量经济学检验(一)、多重共线性的检验及修正①、检验多重共线性 (a)、直观法从“表1最小二乘估计结果”中可以看出，虽然模型的整体拟合的很好，但是x4x6的t统计量并不显着，所以可能存在多重共线性。
(完整word版)多元线性回归模型案例分析
多元线性回归模型案例分析——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。
此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。
影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。
(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。
二·模型设定为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。
暂不考虑文化程度及人口分布的影响。
从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：表1 中国人口增长率及相关数据设定的线性回归模型为：1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++三、估计参数利用EViews 估计模型的参数，方法是：1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对话框“Workfile Range ”。
在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。
其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。
(完整word版)利用Excel进行线性回归分析汇总
文档内容1. 利用Excel进行一元线性回归分析2. 利用Excel进行多元线性回归分析1. 利用Excel进行一元线性回归分析第一步，录入数据以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。
录入结果见下图（图1）。
图1第二步，作散点图如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在“插入”菜单中打开“图表（H）”。
图表向导的图标为。
选中数据后，数据变为蓝色（图2）。
图2点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3）：图3在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出现散点图的原始形式（图4）：灌溉面积y(千亩)01020304050600102030灌溉面积y(千亩)图4第三步，回归观察散点图，判断点列分布是否具有线性趋势。
只有当数据具有线性分布特征时，才能采用线性回归分析方法。
从图中可以看出，本例数据具有线性分布趋势，可以进行线性回归。
回归的步骤如下：1. 首先，打开“工具”下拉菜单，可见数据分析选项（见图5）：图5用鼠标双击“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框（图6）：图62.然后，选择“回归”，确定，弹出如下选项表（图7）：图7进行如下选择：X、Y值的输入区域（B1:B11，C1:C11），标志，置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-1）。
或者：X、Y值的输入区域（B2:B11，C2:C11），置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-2）。
注意：选中数据“标志”和不选“标志”，X、Y值的输入区域是不一样的：前者包括数据标志：最大积雪深度x(米) 灌溉面积y(千亩)后者不包括。
这一点务请注意（图8）。
图8-1包括数据“标志”图8-2不包括数据“标志”3.再后，确定，取得回归结果（图9）。
图9线性回归结果4. 最后，读取回归结果如下：截距：356.2=a ；斜率：813.1=b ；相关系数：989.0=R ；测定系数：979.02=R ；F 值：945.371=F ；t 值：286.19=t ；标准离差（标准误差）：419.1=s ；回归平方和：854.748SSr =；剩余平方和：107.16SSe =；y 的误差平方和即总平方和：961.764SSt =。
(完整版)五多元线性回归模型
实验五 多元线性回归模型实验目的：1．掌握用excel 一次性算出回归模型参数的方法和步骤； 2．正确分析输出结果并得出正确的回归模型。
实验内容：某省1978～1989年消费基金、国民收入使用额和平均人口资料如表5.1所示。
试配合适当的回归模型并进行各种检验；若1990年该省国民收入使用额为67十亿元，平均人口为58百万人，当显著性水平 ＝0.05时，试估计1990年消费基金的预测区间。
表5.1 某省1978～1989年消费基金、国民收入使用额和平均人口资料操作步骤：1.在excel 的工作表中输入如表5.1所示的消费基金（十亿元）y 、国民收入使用额（十亿元）2x 和平均人口数（百万人）3x 的样本数据。
2.点击“工具—数据分析—回归”，在Y 值输入区域，拖动鼠标选择Y 样本值A3:A14，在X 值输入区域，拖动鼠标选择X 样本值B3:C14，如图5.1所示。
图5.1 应用excel“数据分析”功能求多元线性回归的有关参数4.点击图5.1所示中的确定，弹出多元回归分析有关参数的窗口，如图5.2所示。
图5.2 应用excel“数据分析”功能求多元线性回归的有关参数结果分析：“回归统计”中Multiple R为复相关系数；R Square为可决系数R2；Adjusted为修正的可决系数；“标准误差”为σ的点估计值，该值在求Y的预测区间和控制范围时要用到。
方差分析表中Singnificance F为对回归方程检验所达到的临界显著性水平，即P值；SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平。
图5.2 中最后部分给出的是各回归系数及对回归系数的显著性检验结果。
Intercept为截距，即常数项；Coefficients为回归系数；“标准误差”为对各个回归系数标准差的估计；t Stat为对回归系数进行t检验时t统计量的值。
下限95%和上限95%分别给出了各回归系数的95%置信区间。
多元线性回归
多元线性回归方程
Y=a+b1X1+b2X2+…+bkXk
自变量
自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此 自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。如果实 验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实验。如实验者操纵的自变 量是类别变量，则实验是因素型的。 在心理实验中，自变量是由实验者操纵、掌握的变量。自变量一词来自数 学。在数学中，y=f（x）。在这一方程中自变量是x，因变量是y。将这个方 程运用到心理学的研究中，自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生 变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量 和类别变量之分。如果实验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实 验。如实验者操纵的自变量是类别变量，则实验是因素型的。在心理学实验 中，一个明显的问题是要有一个有机体作为被试（符号O）对刺激（符号S） 作反应（符号R），即S－O—R。显然，这里刺激变量就是自变量。
多元回归分析数据格式
例号 X1 1 X11 2 X21 ┇ ┇ n Xn1 X2 … X m X12 X22 ┇ Xn2 … … … … X1m X2m ┇ Xnm Y Y1 Y2 ┇ Yn
条件
(1)Y 与X1 , X2 ,…, Xm 之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi (i = 1,2,,n)相互独立。 (3)残差 e服从均数为 0﹑方差为σ2 的正态分布，它等价于对任意 一组自变量X1 , X 2,…, Xm 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态 分布。
10个50mL的容量瓶中分别加人不 同体积的Ca2+、Mg2+标准溶液 (所加入的体积数由计算机随机函数计算得到 )，2.00 mLHg(Ⅱ)一 EDTA溶液，5.0rnL的三乙醇溶液和1mLNa2S溶液，用水稀释至刻度。 溶液转入电解池后插入电极，用EDTA标准溶液滴定并记录滴定曲线。
多元线性回归实例分析
SPSS--回归—多元线性回归模型案例解析！（一）多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差，其中随机误差分为:可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设，即指:期望值为03:同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释.今天跟大家一起讨论一下，SPSS—-—多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型.数据如下图所示：点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：将“销售量”作为“因变量"拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的,如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）“选择变量(E）" 框内,我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量,移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：点击“统计量"弹出如下所示的框，如下所示：在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3",（设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。
多元线性回归实例分析报告
多元线性回归实例分析报告多元线性回归是一种用于预测目标变量和多个自变量之间关系的统计分析方法。
它可以帮助我们理解多个自变量对目标变量的影响，并通过建立回归模型进行预测。
本文将以一个实例为例，详细介绍多元线性回归的分析步骤和结果。
假设我们研究了一个电子产品公司的销售数据，并想通过多元线性回归来预测销售额。
我们收集了以下数据：目标变量（销售额）和三个自变量（广告费用、产品种类和市场规模）。
首先，我们需要对数据进行探索性分析，了解数据的分布、缺失值等情况。
我们可以使用散点图和相关系数矩阵来查看变量之间的关系。
通过绘制广告费用与销售额的散点图，我们可以观察到一定的正相关关系。
相关系数矩阵可以用来度量变量之间的线性关系的强度和方向。
接下来，我们需要构建多元线性回归模型。
假设目标变量（销售额）与三个自变量（广告费用、产品种类和市场规模）之间存在线性关系，模型可以表示为：销售额=β0+β1*广告费用+β2*产品种类+β3*市场规模+ε其中，β0是截距，β1、β2和β3是回归系数，ε是误差项。
我们可以使用最小二乘法估计回归系数。
最小二乘法可以最小化目标变量的预测值和实际值之间的差异的平方和。
通过计算最小二乘估计得到的回归系数，我们可以建立多元线性回归模型。
在实际应用中，我们通常使用统计软件来进行多元线性回归分析。
通过输入相应的数据和设置模型参数，软件会自动计算回归系数和其他统计指标。
例如，我们可以使用Python的statsmodels库或R语言的lm函数来进行多元线性回归分析。
最后，我们需要评估回归模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括R方值和调整R方值。
R方值可以描述自变量对因变量的解释程度，值越接近1表示拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数，避免了过度拟合的问题。
在我们的实例中，假设我们得到了一个R方值为0.8的多元线性回归模型，说明模型可以解释目标变量80%的方差。
这个模型还可以用来进行销售额的预测。
(完整word版)北航数理统计大作业1-线性回归分析
应用数理统计作业一学号:姓名：电话：二〇一四年十二月国内生产总值的多元线性回归模型摘要：本文首先选取了选取我国自1978至2012年间的国内生产总值为因变量,并选取了7个主要影响因素，进一步利用统计软件SPSS对以上数据进行了多元逐步线性回归。
从而找到了能反映国内生产总值与各因素之间关系的“最优”回归方程.然后利用多重线性的诊断找出存在共线性的自变量，剔除缺失值较多的因子.再次进行主成份线性回归分析,找出最优回归方程。
所得结论与我国当前形势相印证。
关键词:多元线性回归，逐步回归法，多重共线性诊断，主成份分析目录0符号说明 (1)1 介绍 (2)2 统计分析步骤 (3)2。
1 数据的采集和整理 (3)2。
2采用多重逐步回归分析 (7)2.3进行共线性诊断 (17)2。
4进行主成分分析确定所需主成份 (24)2。
5进行主成分逐步回归分析 (27)3 结论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)0符号说明1 介绍文中主要应用逐步回归的主成份分析方法,对数据进行分析处理，最终得出能够反映各个因素对国内生产总值影响的最“优”模型及线性回归方程.国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值,常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力与财富。
2012年1月，国家统计局公布2011年重要经济数据，其中GDP增长9.2％，基本符合预期。
2012年10月18日,统计显示,2012年前三季度国内生产总值353480亿元，同比增长7.7%；其中，一季度增长8.1%，二季度增长7。
6％，三季度增长7.4％，三季度增幅创下2009年二季度以来14个季度新低。
中国的GDP核算历史不长，上世纪90年代之前通常用“社会总产值”来衡量经济发展情况。
上世纪80年代初中国开始研究联合国国民经济核算体系的国内生产总值（GDP）指标。
多元线性回归模型的案例分析
多元线性回归模型的案例分析在实际生活中，多元线性回归模型可以广泛应用于各个领域。
以下是一个案例分析，以说明多元线性回归模型的应用。
案例：房价预测背景：城市的房地产公司想要推出一款房屋估价服务，帮助人们预测房屋的销售价格。
他们收集了一些相关数据，如房屋的面积、房间的数量、地理位置等因素，并希望通过建立一个多元线性回归模型来实现房价的预测。
步骤：1.数据收集：收集相关数据。
在本案例中，我们收集到了50个样本数据，每个样本包含了房屋的面积、房间的数量和房屋的销售价格。
2.数据预处理：对数据进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理等。
在本案例中，我们假设数据已经经过清洗，没有缺失值和异常值。
3.特征选择：选择合适的特征变量。
在本案例中，我们选择房屋的面积和房间的数量作为特征变量，房屋的销售价格作为目标变量。
4.模型建立：建立多元线性回归模型。
根据特征变量和目标变量的关系，建立多元线性回归方程。
在本案例中，假设多元线性回归方程为：房价=β0+β1×面积+β2×房间数量+ε，其中β0、β1和β2分别为回归系数，ε为误差项。
5.模型训练：使用样本数据对模型进行训练。
通过最小二乘法等方法，估计出回归系数的取值。
6.模型评估：评估模型的性能。
通过计算模型的均方误差（MSE）、决定系数（R²）等指标，评估模型的拟合效果和预测能力。
7.模型应用：将模型用于房价的预测。
当有新的房屋数据输入时，通过模型的预测方程，可以得到该房屋的预测销售价格。
通过上述步骤，我们可以建立一个多元线性回归模型，并通过该模型对房价进行预测。
这个模型可以帮助房地产公司提供房价估价服务，也可以帮助购房者了解合理的房价范围。
多元线性回归案例分析
多元线性回归案例分析案例背景:我们假设有一家制造业公司，想要研究员工的工作效率与其工作经验、教育水平和工作时间之间的关系。
公司收集了100名员工的数据，并希望通过多元线性回归模型来分析这些变量之间的关系。
数据收集:公司收集了每个员工的工作效率(因变量)、工作经验、教育水平和工作时间(自变量)的数据。
假设工作效率由工作经验、教育水平和工作时间这三个因素决定。
根据所收集的数据，我们可以建立如下的多元线性回归模型:工作效率=β0+β1*工作经验+β2*教育水平+β3*工作时间+ε在这个模型中，β0、β1、β2和β3分别是待估参数，代表截距和自变量的系数；ε是误差项，代表模型中未被解释的因素。
模型参数的估计:通过最小二乘法可以对模型中的参数进行估计。
最小二乘法的目标是让模型的预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
模型诊断:在对模型进行参数估计后，我们需要对模型进行诊断，以评估模型的质量和稳定性。
常见的模型诊断方法包括：检查残差的正态分布、残差与自变量的无关性、残差的同方差性等。
模型解释和预测:根据参数估计结果，可以对模型进行解释和预测。
例如，我们可以解释每个自变量与因变量之间的关系，并分析它们的显著性。
我们还可以通过模型进行预测，比如预测一位具有一定工作经验、教育水平和工作时间的员工的工作效率。
结果分析:根据对模型的诊断和解释，我们可以对结果进行分析。
我们可以得出结论，一些自变量对因变量的影响显著，而其他自变量对因变量的影响不显著。
这些结论可以帮助公司更好地理解员工工作效率与工作经验、教育水平和工作时间之间的关系，并采取相应的管理措施来提高工作效率。
总结:通过以上的案例分析，我们可以看到多元线性回归在实际中的应用。
它可以帮助我们理解多个自变量与一个因变量之间的关系，并对因变量进行预测和解释。
通过多元线性回归分析，我们可以更好地了解因素对于结果的作用，并根据分析结果进行决策和管理。
然而，需要注意的是，多元线性回归的结果可能受到多种因素的影响，我们需要综合考虑所有的因素来做出准确的分析和决策。
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多元线性回归模型案例分析
——中国人口自然增长分析一·研究目的要求
中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。
此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。
影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。
(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。
二·模型设定
为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。
暂不考虑文化程度及人口分布的影响。
从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：
表1 中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为：
1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++
三、估计参数
利用EViews 估计模型的参数，方法是：
1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对
话框“Workfile Range ”。
在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。
其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。
在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。
年份 人口自然增长率
（%。
） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长
率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006
5.38 213132 1.5 16024
2、输入数据：点击“Quik ”下拉菜单中的“Empty Group ”，出现“Group”窗口数据编辑框，点第一列与“obs ”对应的格，在命令栏输入“Y ”，点下行键“↓”，即将该序列命名为Y ，并依此输入Y 的数据。
用同样方法在对应的列命名X 2、X
3、X 4，并输入相应的数据。
或者在EViews 命令框直接键入“data Y 2X X 3 X 4 … ”，回车出现“Group”窗口数据编辑框，在对应的Y 、X 2、X 3、X 4下输入响应的数据。
3、估计参数：点击“Procs “下拉菜单中的“Make Equation ”，在出现的对话框的“Equation Specification ”栏中键入“Y C X 2 X 3 X 4”，在“Estimation Settings ”栏中选择“Least Sqares ”(最小二乘法)，点“ok ”，即出现回归结果： 表3.4
根据表3.4中数据，模型估计的结果为：
432005109.0047918.0000332.060851.15X X X Y t -++=Λ
(0.913842) (0.000134) (0.033919) (0.001771)
t= (17.08010) (2.482857) (1.412721) (-2.884953) 930526.02
=R 915638.02
=R F=62.50441 四、模型检验
1、经济意义检验
模型估计结果说明，在假定其它变量不变的情况下，当年国民总收入每增长1亿元，人口增长率增长0.000332%；在假定其它变量不变的情况下，当年居民消费价格指数增长率每增长 1%，人口增长率增长0.047918%；在假定其它变量不变的情况下，当年人均GDP 没增加一元，人口增长率就会降低0.005109%。
这与理论分析和经验判断相一致。
2、统计检验
（1）拟合优度：由表3.4中数据可以得到：930526.02
=R ，修正
的可决系数为915638
.02
=R
，这说明模型对样本的拟合很好。
（2）F 检验：针对0234:0H βββ===，给定显著性水平0.05α=，在F 分布表中查出自由度为k-1=3和n-k=14的临界值34.3)14,3(=αF 。
由表3.4中得到F=62.50441 ，由于F=62.50441 >(3,21) 3.075F α=，应拒绝原假设0234:0H βββ===，说明回归方程显著，即“国民总收入”、“居民消费价格指数增长率”、“人均GDP ”等变量联合起来确实对“人口自然增长率”有显著影响。
（3）t 检验：分别针对0H ：0(1,2,3,4)j j β==，给定显著性水平0.05α=，
查t 分布表得自由度为n-k=14临界值145.2)(2/=-k n t α。
由表3.4中数据可得，与^
1β、^
2β、^
3β、^
4β对应的t 统计量分别为17.08010、2.482857 、1.412721、-2.884953
除^
3β，其绝对值均大于145.2)(2/=-k n t α，这说明分别都应当拒
绝0H ：)4,2,1(0==j j β，也就是说，当在其它解释变量不变的情况下，
解释变量“国民总收入”、“人均GDP ”分别对被解释变量“人口自
然增长率”Y 都有显著的影响。
^
3β的绝对值小于145.2)(2/=-k n t α，：这说明接受0H ：03=β，X3系数对t 检验不显著，这表明很可能存在多重共线性。
所以计算各解释变量的相关系数，选择X2、X3、X4数据，
点”view/correlations ”得相关系数矩阵（如表4.4）：
表4.4
由相关系数矩阵可以看出：各解释变量相互之间的相关系数较高，证实确实存在严重多重共线性。
五、消除多重共线性
采用逐步回归的办法，去检验和解决多重共线性问题。
分别作Y 对X2、X3、X4的一元回归，结果如表4.5所示：
表4.5
变量 X2
X3 X4 参数估计值 0.000134 0.033919 0.001771 t 统计量
2.482857
1.412721 -
2.88495
0.873915
0.388495
0.886412
按2R 的大小排序为：X4、X2、X3
以X2为基础，顺次加入其他变量逐步回归。
首先加入X2回归结果为：
40005397.02000350.035540.16ˆX X Y
-+= t=(2.542529) (-2.970874) 920622.02
=R
当取05.0=α时，131
.2)318(025
.0)(2
/=-=-t
t k n α，X2参数的t 检验显
著，加入X3回归得
432005109.0047918.0000332.060851.15X X X Y t -++=Λ
t= (17.08010) (2.482857) (1.412721) (-2.884953)
930526.02
=R 915638.02
=R F=62.50441
当取05.0=α时， 145.2)418(2/=-αt ，X3参数的t 检验不显著，予以剔除
即40005397.02000350.035540.16ˆX X Y
-+=，这是最后消除多重共线性的结果。
在假定其它变量不变的情况下，当年国民总收入每增长1亿元，人口增长率增长0.000332%；在假定其它变量不变的情况下，在假定其它变量不变的情况下，当年人均GDP 没增加一元，人口增长率就会降低0.005109%。
金服131 王亚平
13019122。