谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案一、选择题1. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示“或”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：B2. 谓词逻辑中的量词“∀”代表什么含义？A. 存在B. 全部C. 任意D. 否定答案：B3. 下列哪个表达式表示“所有的x都满足P(x)”？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∃x ¬P(x)D. ¬∀x ¬P(x)答案：B4. 谓词逻辑中的否定连接词是哪一个？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C5. 如果P(x)表示“x是学生”，Q(x)表示“x是老师”，以下哪个表达式表示“x既是学生又是老师”？A. P(x) ∧ Q(x)B. P(x) ∨ Q(x)C. P(x) → Q(x)D. ¬P(x) ∧ ¬Q(x)答案：A二、填空题6. 谓词逻辑中，表达式“∀x (P(x) ∨ Q(x))”可以解释为“对于任意的x，x满足P或Q”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：对于任意的x，x是P或者x是Q。
7. 如果P(x)表示“x是大的”，Q(x)表示“x是圆的”，那么表达式“∃x (P(x) ∧ Q(x))”可以解释为“存在某个x，x既大又圆”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：存在某个x，x既大又圆。
8. 表达式“¬∀x P(x)”可以解释为“不是所有的x都满足P(x)”。
请将该表达式转换为自然语言：______________________。
答案：不是所有的x都满足P。
三、简答题9. 解释谓词逻辑中量词“∃”和“∀”的区别。
答案：量词“∃”表示存在，即至少有一个元素满足某个性质或条件；而量词“∀”表示全部，即所有元素都满足某个性质或条件。
10. 给出一个例子，说明谓词逻辑中的“蕴含”如何使用。
谓词逻辑-习题与答案
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。
答： 析取范式：)()()()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ B ）。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
4．下列各式中哪个不成立（ A ）。
A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。
5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案
1. 谓词逻辑中的谓词是用来表示什么？
答案：谓词逻辑中的谓词是用来表示一个或多个对象之间关系的符号。
2. 什么是量词？
答案：量词是用来表示某个属性或关系在一定范围内的普遍性或存在
性的逻辑符号。
3. 存在量词和全称量词的区别是什么？
答案：存在量词表示在某个范围内至少存在一个对象满足某种属性或
关系，而全称量词表示在某个范围内的所有对象都满足某种属性或关系。
4. 谓词逻辑中的等价关系有哪些？
答案：谓词逻辑中的等价关系包括逻辑等价、逻辑蕴含和逻辑逆否。
5. 如何使用谓词逻辑表达“所有学生都爱学习”？
答案：可以使用全称量词表达为：∀x(S(x) → L(x))，其中S(x)表示
x是学生，L(x)表示x爱学习。
6. 如何使用谓词逻辑表达“存在一个学生不爱学习”？
答案：可以使用存在量词表达为：∃x(S(x) ∧ ¬L(x))，其中S(x)表示x是学生，L(x)表示x爱学习，¬L(x)表示x不爱学习。
7. 谓词逻辑中的合取、析取和否定如何表示？
答案：合取用符号∧表示，析取用符号∨表示，否定用符号¬表示。
8. 谓词逻辑中的蕴含和等价如何表示？
答案：蕴含用符号→表示，等价用符号↔表示。
9. 谓词逻辑中的量词可以嵌套使用吗？
答案：可以，量词可以嵌套使用，但需要注意量词的作用域。
10. 如何使用谓词逻辑表达“每个学生都有一个朋友”？
答案：可以使用全称量词和存在量词嵌套表达为：∀x(S(x) →
∃y(F(x, y) ∧ P(y)))，其中S(x)表示x是学生，F(x, y)表示x和y是朋友，P(y)表示y是人。
谓词逻辑试题讲解及答案
谓词逻辑试题讲解及答案1. 定义谓词逻辑中的量词。
谓词逻辑中的量词用来表示对某个集合中所有元素或某些元素的断言。
主要有两种量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有对象都成立的断言，而存在量词表示至少有一个对象满足断言。
2. 解释谓词逻辑中的谓词。
谓词逻辑中的谓词是对一个或多个对象的属性或关系的描述。
例如，谓词“P(x)”可以表示“x是偶数”。
谓词可以是一元的（一个参数），二元的（两个参数），或者多元的（多个参数）。
3. 给出一个谓词逻辑表达式，并解释其含义。
表达式：∀x∈N, ∃y∈N, x=2y含义：对于所有自然数x，都存在一个自然数y，使得x等于2y的倍数。
4. 判断下列命题是否为真，并给出理由。
命题：∀x∈R, x^2 ≥ 0答案：真。
理由：对于所有实数x，x的平方都是非负的。
5. 将下列自然语言命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：所有人都是聪明的。
表达式：∀x(P(x) → C(x))解释：对于所有个体x，如果x是人（P(x)），那么x是聪明的（C(x)）。
6. 证明：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
证明：设x为任意整数，如果x是偶数，即存在一个整数k使得x=2k。
那么x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)，由于2k^2是整数，所以x^2是偶数。
7. 判断下列命题是否为假，并给出理由。
命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0。
答案：假。
理由：实数的平方不可能是负数，因为任何实数的平方都是非负的。
8. 将下列命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：没有比2大的偶数。
表达式：∀x∈N, (x > 2 ∧ x是偶数) → 假解释：对于所有自然数x，如果x大于2并且是偶数，则该命题为假。
9. 证明：如果一个数是奇数，那么它的平方也是奇数。
证明：设x为任意整数，如果x是奇数，即存在一个整数k使得x=2k+1。
那么x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，由于2k^2 + 2k是整数，所以x^2是奇数。
谓词公式考试题目及答案
谓词公式考试题目及答案一、选择题1. 谓词公式中，谓词的参数可以是：A. 常量B. 变量C. 函数D. 所有以上选项答案：D2. 下列哪个不是谓词逻辑表达式？A. ∀x P(x)B. ∃y Q(y)C. ¬R(x, y)D. x + y = z答案：D二、填空题3. 谓词逻辑中，全称量词的符号是______。
答案：∀4. 谓词逻辑中，存在量词的符号是______。
答案：∃三、简答题5. 简述谓词公式的一般形式。
答案：谓词公式的一般形式是P(x1, x2, ..., xn)，其中P是一个谓词，x1, x2, ..., xn是参数，参数可以是常量、变量或函数。
6. 解释谓词逻辑中的量词。
答案：谓词逻辑中的量词用来表示对变量的量化，包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有可能的值都成立，而存在量词表示至少存在一个值使得命题成立。
四、计算题7. 给定谓词公式：∀x ∃y R(x, y)，解释其含义。
答案：该谓词公式的含义是对于所有的x，都存在一个y，使得R(x, y)成立。
8. 如果有谓词公式：∃x (P(x) ∧ Q(x))，它表示什么？答案：该谓词公式表示存在至少一个x，使得P(x)和Q(x)同时成立。
五、论述题9. 论述谓词逻辑与命题逻辑的区别。
答案：谓词逻辑与命题逻辑的主要区别在于谓词逻辑引入了量词和谓词，能够表达更复杂的关系和属性。
命题逻辑主要处理简单的命题和它们的逻辑关系，而谓词逻辑则可以表达涉及个体和属性的更复杂的逻辑结构。
10. 描述谓词逻辑在数学证明中的应用。
答案：谓词逻辑在数学证明中应用广泛，它可以用来形式化地表达数学概念和定理，以及它们的证明过程。
通过谓词逻辑，数学家可以更精确地定义数学对象和它们的性质，以及使用逻辑推理来证明数学命题的正确性。
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑测试题及答案
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目1、若P, Q,为二命题，P Q真值为0当且仅当 ____________________________ 。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x) : x为实数，L(x,y):x y则命题的逻辑谓词公式为_________ 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束式为。
4、将量词辖域中出现的_______________和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规贝叽5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D, A(x)关于y是自由的，则 ____________________________________被称为存在量词消去规则，记为ESo6 •设P, Q的真值为0，R, S的真值为1, 则(P (Q (R P))) (R S) 的真值________________________________________ O7 •公式(P R)(S R) P的主合取式为&若解释I的论域D仅包含一个元素，则xP(x) xP(x) 在I下真值为9. P :你努力，Q:你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为______________________ ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式x yP(y,x)真值为__________________________ 。
11. P，Q真值为0 ; R，S真值为1。
则wff (P (R S)) ((P Q) (R S)) 的真值为___________________________________ 。
12. w ff ((p Q) R) R的主合取式为____________________________________ _ 。
13. 设P (x): x是素数，E(x) : x是偶数，O(x) : x是奇数N (x,y) : x可以整数y。
谓词逻辑习题及答案
1. 将下列命题用谓词符号化。
4) 2 或 3 是质数。
5)除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令 P( x) ：x 学过英语， Q(x) ：x 学过法语， c ：小王，命题符号化为 P(c) Q(c) (2) 令P(x,y)：x 大于 y, 命题符号化为 P(2,4) P(2,3) (3) 令 P(x)：x 是偶数，命题符号化为 P(3)(4) 令 P(x)：x 是质数，命题符号化为 P(2) P(3)(5) 令 P(x)：x 是北方人； Q(x)：x 怕冷； c ：李键；命题符号化为 Q(c) P(x) 2. 设个体域 D {a ，b ，c} ，消去下列各式的量词。
(1)x y(P(x) Q(y)) (2) x y(P(x) Q(y))(3) xP(x)yQ(y)(4)x(P(x ，y) yQ(y))解：(1) 中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，显然 A(x)对y 是自由的，故可使用 UE 规则，得到 A(y) y(P(y) Q(y)) ，因此 x y(P(x) Q(y)) y(P(y) Q( y)) ，再用 ES 规则， y( P( y) Q(y)) P(z) Q(z)，z D ，所以 x y(P(x)Q(y)) P(z) Q(z) (2)中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，它对 y 不是自由的，故不能用 UI 规则，然而，对 A( x)中约束变元 y 改名z ，得到 z(P(x) Q( z)) ，这时用 UI 规则，可得：x y(P(x) Q(y))x z(P(x) Q(z)) z(P(x) Q(z))3) 略 4) 略3. 设谓词 P(x ，y)表示“x 等于 y ”，个体变元 x 和y 的个体域都是 D {1，2，3} 。
求下列各式的真值。
(1) xP( x ，3) (2) yP(1，y) (3) x yP(x ，y) (4)x yP( x ，y)(5)x yP(x ，y)(6) y xP(x ，y)解：(2) 当 x 3时可使式子成立，所以为 Ture 。
谓词逻辑习题课答案
3.讨论在给定解释下谓词(wèi cí)公式的真值 （1） x(P→Q(x))∨R(a)
D={-2,3,6} , P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5 x(P→Q(x))∨R(a) (P→ xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨F F∨F F
D= {1,2} P(1) P(2) Q(1) Q(2)
FTFT 在该解释(jiěshì)下 xP(x) 为T， xQ(x)为F，所以
xP(x) → xQ(x)为F；而(P(1) →Q(1))为T， (P(2) →Q(2))为T，所以 x(P(x) →Q(x))为T；综上该公式不 是永真式 （2） x y(P(x) →Q(y)) →( xP(x) → y Q(y)) 解：是永真式。 证明：法1，形式证明
（2） x y(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}， P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) FT T T F F 真值为F
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4.判断下列公式是不是永真式，并加以说明 （1）( xP(x) → xQ(x)) ↔ x(P(x) →Q(x)) 解：不是永真式，取解释(jiěshì)如下
设 A(x):x是人, B(x):x是喜欢(xǐ huan)步行, C(x):x喜欢(xǐ huan)乘汽车，D(x):x喜欢(xǐ huan)骑 自行车 x(A(x)→(B(x)→ C(x))), x(A(x)→(C(x)∨D(x))), x(A(x)∧ D(x)) x(A(x)∧ B(x))
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⑴ x(A(x)∧D(x)) ⑵ A(a)∧D(a))
⑶ A(a)
谓词逻辑复习题答案
证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．
离散数学第三章谓词逻辑习题答案
A
C
习题三
14.
下面证明有效吗？ (x)[x A B] (x)[x A x B] (x)[x A x B] (x)[x A B] (x)[x A B] 答: 原证明无效. 因为(x)[x A x B] (x)[x A B]. 实际上 (x)[x A x B] (x)[~(x A x B)] (x)[x A B] (x)[x A B]
X 2 AB
等号成立的条件: A B或B A (因为若A和B没有子集关系, 必有a A– B和 b B– A， 使{a, b} 2 A B ，但{a, b} 2A B = 2 A B. 证明：X 2A 2B X 2A X 2B XAXB XAB X2A
习题三 4. 仔细区别集合中的关系符和，并 判断下列各蕴含关系的真假：
(1)Y, (2)~(5)N, (6)Y
习题三
9.证明下列各式：
(3) (A-B)-C = A –(B C) = (A –C)-B 证明: (A-B)-C = (A B) C = A B C = A –(B C) =(A C )B)= (A –C)-B (5) A (B C) = (A B ) (A C) 证明: A (B C) = A ((B-C) (C-B)) = (A B C) (A C B) = (A B C) (A B A) (A C B) (A C A) = (A B A C) (A C A B ) = (A B -A C) (A C - A B ) = (A B ) (A C)
习题三 集
16. 求A={, a, {b}}的幂
解: A={, a, {b}} 2A = {, {} , {a} , {{b}} , {,a} , {,b} , {a, {b}} , {, a, {b}}}
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
谓词逻辑表示法例题
选择题：在谓词逻辑中，如果P表示“x是人”，Q表示“x会走路”，那么“所有人都会走路”可以表示为：A. ∀x(P(x) → Q(x))（正确答案）B. ∀x(P(x) → Q(x))C. ∀x(P(x) ∀ Q(x))D. ∀x(P(x) ∀ Q(x))如果R表示“x是红色的”，S表示“x是苹果”，那么“存在一些红色的苹果”可以表示为：A. ∀x(R(x) ∀ S(x))B. ∀x(R(x) → S(x))C. ∀x(R(x) ∀ S(x))（正确答案）D. ∀x(R(x) → S(x))在谓词逻辑中，“没有学生会飞”可以表示为，其中F表示“x会飞”，S表示“x是学生”：A. ∀x(S(x) → ¬F(x))（正确答案）B. ∀x(S(x) → F(x))C. ∀x(S(x) ∀ ¬F(x))D. ∀x(S(x) ∀ F(x))如果T表示“x是老师”，U表示“x是大学教授”，那么“所有老师都是大学教授”可以表示为：A. ∀x(T(x) → U(x))（正确答案）B. ∀x(T(x) → U(x))C. ∀x(T(x) ∀ U(x))D. ∀x(T(x) ∀ U(x))在谓词逻辑中，“有些猫不是黑色的”可以表示为，其中C表示“x是猫”，B表示“x是黑色的”：A. ∀x(C(x) → B(x))B. ∀x(C(x) ∀ ¬B(x))（正确答案）C. ∀x(C(x) ∀ ¬B(x))D. ∀x(C(x) → ¬B(x))如果V表示“x是蔬菜”，W表示“x是绿色的”，那么“所有绿色的都是蔬菜”可以表示为：A. ∀x(W(x) → V(x))（正确答案）B. ∀x(W(x) → V(x))C. ∀x(W(x) ∀ V(x))D. ∀x(W(x) ∀ V(x))在谓词逻辑中，“没有一个数是负的且大于10”可以表示为，其中N表示“x是数”，M表示“x 是负的”，L表示“x大于10”：A. ∀x(N(x) → ¬(M(x) ∀ L(x)))（正确答案）B. ∀x(N(x) ∀ M(x) ∀ L(x))C. ∀x(N(x) ∀ ¬M(x) ∀ ¬L(x))D. ∀x(N(x) → ¬(M(x) ∀ L(x)))如果H表示“x是人类”，I表示“x是智能的”，那么“存在一些人类不是智能的”可以表示为：A. ∀x(H(x) → I(x))B. ∀x(H(x) ∀ ¬I(x))（正确答案）C. ∀x(H(x) ∀ ¬I(x))D. ∀x(H(x) → ¬I(x))。
谓词逻辑练习及答案
第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)（3）x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(y x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词，辖域 P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词，辖域x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(y x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）x(E(x)→┐x=1)（2）x(E(x)∧┐x=1)（3）x(E(x)∧x=1)（4）x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）x(E(x)→┐x=1) 真x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
（2）x(E(x)∧┐x=1) 假x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。
以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。
2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。
答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。
2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。
题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。
2. 每个学生都是老师的学生。
答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。
2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。
题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。
2. 没有学生是他自己的学生。
答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。
2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。
题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。
2. 写出“存在”的逻辑表达式。
答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。
2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。
题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。
2. 写出“或者”的逻辑表达式。
3. 写出“非”的逻辑表达式。
答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。
2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。
3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。
题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。
谓词逻辑作业参考答案
谓词逻辑作业参考答案
(2) 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者 喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 解：设 R(x)：x 是人；B(x)：x 喜欢步行；Q(x)：x 喜欢坐汽车； P(x)：x 喜欢骑自行车，则符号化为： 前提：x(R(x)(B(x)¬Q(x))) 或x(R(x)∧B(x)¬Q(x)), x(R(x)(Q(x)∨P(x))), x(R(x)∧¬P(x)) 结论：x(R(x)∧¬B(x)) 证明：(1) x(R(x)∧¬P(x)) (2) R(a)∧¬P(a) (3) x(R(x)(B(x)¬Q(x))) (4) R(a)(B(a)¬Q(a)) (5) R(a) (6) B(a)¬Q(a) (7) x(R(x)(Q(x)∨P(x))) (8) R(a)(Q(a)∨P(a)) (9) Q(a)∨P(a) (10) ¬P(a) (11) Q(a) (12) ¬B(a) (13) R(a)∧¬B(a) (14) x(R(x)∧¬B(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 P 规则 US(7) (5)(8)假言推理 (2)化简 (9)(10)析取三段论 (6)(11)拒取式 (5)(12)合取引入 EG (13)
1、将下列公式符号化： (1) 每列火车都比某些汽车快； (2) 有的汽车比所有的火车慢。 解：设 Q(x)：x 是汽车；H(x)：x 是火车；P(x,y)：x 比 y 快，则 (1) x(H(x)y(Q(y)∧H(x,y))) (2) x(Q(x)∧y(H(y)H(y,x))) 2、用一阶逻辑构造下列推理的证明： (1) 每个学术会的成员都是工人并且是专家。有些成员是青年人。所 以有的成员是青年专家。 解：设 P(x)：x 是学术会成员；G(x)：x 是工人； J(x)：x 是专家；Q(x)：x：是青年人，则符号化为： 前提：x(P(x)G(x)∧J(x)), x(P(x)∧Q(x)) 结论：x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) 证明：(1) x(P(x)∧Q(x)) (2) P(a)∧Q(a) (3) x(P(x)G(x)∧J(x)) (4) P(a)G(a)∧J(a) (5) P(a) (6) G(a)∧J(a) (7) J(a) (8) P(a)∧Q(a)∧J(a) (9) x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 (6)化简 (2)(7)合取引入 EG (8)
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谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
求下列各式的真值。
（1）)3(，x xP ∃（2）)1(y yP ，∀ （3）)(y x yP x ，∀∀（4）)(y x yP x ，∃∃（5）)(y x yP x ，∀∃（6）)(y x xP y ，∃∀解：(2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。
(3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。
(4) 任意的x,y 使得y x =，显然有y x ≠的情况出现，所以为False 。
(4)存在x,y 使得y x =，显然当1,1==y x 时是一种情况，所以为Ture 。
(5)存在x ，任意的y 使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
(6)任意的y ，存在x ，使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
4. 令谓词)(x P 表示“x 说德语”，)(x Q 表示“x 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。
用)(x P 、)(x Q 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”。
用)(x P 、)(x Q 、)(x M 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：（1）))()((x Q x P x ∧∃ （2）))()((x Q x P x ⌝∧∃ （3）))()((x Q x P x ∨∀ （4）))()((x Q x P x ∨⌝∀（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”时：（1）))()()((x Q x P x M x ∧∧∃ （2）))()()((x Q x P x M x ⌝∧∧∃ （3）)))()(()((x Q x P x M x ∨∧∀ （4）)))()(()((x Q x P x M x ∨⌝∧∀5. 令谓词)(y x P ，表示“x 爱y ”，其中x 和y 的个体域都是全世界所有人的集合。
用)(y x P ，、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）每个人都爱王平。
（2）每个人都爱某个人。
（3）有个人人都爱的人。
（4）没有人爱所有的人。
（5）有个键不爱的人。
（6）有个人人都不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。
（8）成龙爱的人恰有两个。
（9）每个人都爱自己。
（10）有人除自己以外谁都不爱。
解：a ：王平 b ：键 c ：龙(1) ）a x xP ,(∀ (2)),(y x yP x ∃∀ (3)),(y x xP y ∀∃ (4)),(y x P y x ⌝∃∀ (5))(x b P x ，⌝∃ (6)),(y x P y x ⌝∀∃ (7))))),(((),((x z z P z x y yP x =→∀∀∧∀∃ωω(8))))()(()(),((y z x z z c P z c P x c P y x y x =∨=→∀∧∧∧≠∃∃， (9)),(x x xP ∀ (10))),((y x y x P y x =↔∀∃ §2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解： （1）x 是指导变元，x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，对于x ∀的辖域而言，x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x,y 都为指导变元，x ∀的辖域是)()(y x yQ y x P ，，∃→，y ∃的辖域是)(y x Q ，；对于x ∀的辖域而言，x,y 都为约束变元，对于y ∃的辖域而言，x 是自由变元，y 是约束变元。
（3）x,y 为指导变元，x ∀的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P y ，，，，∃∨∧∃，y ∃的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P ，，，，∃∨∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；对于x ∀的辖域而言，x,y 为约束变元，z 为自由变元，对于y ∃的辖域而言，z 为自由变元，y 为约束变元，x 即为约束变元也为自由变元，对于x ∃的辖域而言，x 为约束变元，y,z 是自由变元。
在整个公式中，x,y 即为约束变元又为自由变元，z 为自由变元。
2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀ （2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀ （3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝ （4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀ （5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀ （6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝， （7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→解：（1）易知公式是)()(q p q p ∧→∧的代换实例，而 1)()()()(=∧∨∧⌝=∧→∧q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（2）易知公式是)()(q p q p ∨→∨的代换实例，而 1)()()()(=∨∨∨⌝=∨→∨q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是q q p ∧→⌝)(的代换实例，而0)()(=∧⌝∧=∧∨⌝⌝=∧→⌝q q p q q p q q p 是永假式，所以公式是永假式。
（4）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是))((p q p →→⌝的代换实例，而0))(())((=⌝∧∧=∨⌝∨⌝⌝=→→⌝p q p p q p p q p 是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是p q p →→的代换实例，而p q p p q p p q p ∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→)()( 是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3 谓词公式的等价演算与式习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）没有小于负数的正数。
（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1）)(x P ：x 为负数，)(x Q ：x 是正数，),(y x R ：x 小于y ，命题可符号化为：)))(),(((y Q x P R y x ∀∀或)))(),(((y Q x P R y x ⌝⌝∃∃（2）略2.设)(x P 、)(x Q 和)(y x R ，都是谓词，证明下列各等价式 （1）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝→∀=∧⌝∃ （2）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝∧∃=→⌝∀（3）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝∧∧∃∃=→∧∀⌝∀ （4）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝→∧∀∀=∧∧∃⌝∃ 证明：（1）左边＝))()((x Q x P x ∧⌝∀＝))()((x Q x P x ⌝∨⌝∀ ＝))()((x Q x P x ⌝→∀＝右边（2）左边 ＝))()((x Q x P x →⌝∃＝))()((x Q x P x ∨⌝⌝∃＝))()((x Q x P x ⌝∧∃＝右边 （3）左边＝)),()()((y x R y Q x P y x →∧⌝∃∃ ＝)),())()(((y x R y Q x P y x ∨∧⌝⌝∃∃ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝∧∧∃∃＝右边 （4）左边＝),()()((y x R y Q x P y x ∧∧⌝∀∀ ＝),())()((y x R y Q x P y x ⌝∨∧⌝∀∀ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝→∧∀∀＝右边3. 求下列谓词公式的前束析取式和前束合取式。