正交试验设计方差分析

偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。
显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该
组数据越集中。
2.平均偏差平方和与自由度
为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或
集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平
均偏差平方和的计算n方法是：将n个数(y1, y2, y3, ……yn)
i1
i1
i1
3. F比与F分布表
(1) F比
F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误
差的平均偏差平方和的比值。即：
S因素
F = f因素
(2) F分布表及其查阅方法
比 S误差 f误差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的
改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。
方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
1
1
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
3
3
1
空白列
2 1 3 1 3 2 3 2 1
10min内H2的 产率
32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53
例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。
在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
n
则
S
( yi y)2
i 1
为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：
若令： 则
n
n
n
n
S yi2 2 yi y y2 yi2 ny2
i 1
i 1
i 1
i 1
n
G yi i 1
CT

G2 n
n
S yi2 CT i 1
三.正交试验设计的方差分析
现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平
如表1和表2所示。
水平 一
二
三
表1. 因素水平
因素
A wH2SO4 (%) 20
B mCuSO4·5H2O(g) 0.4
25
0.5
30
0.6
C mZn (g) 4
5
6
表2.实验方案及实验结果的直观分析
列号 A
实验号
wH2SO4 (%)
K1
104.21
K2
116.12
K3
131.35
k1
34.78
k2
38.70
k3
43.78
R
9.05
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
的偏差平方和 S ( yi y)2 除以平方项的个数减1， i1
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
平均偏差平方和

S n1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n个
数(y1, y2, yHale Waihona Puke Baidu, ……yn)之间并非彼此毫无关系，它们满
足的关系是：
y

1 n
n i 1
yi
差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。
二.方差分析中的一些基本概念
1.偏差平方和
方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，
充分理解这一概念是至关重要的。
所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y1, y2,
y3……yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号
S来表示。即：
1
1n
y n ( y1 y2 ......yn ) n i1 yi
4.因素的显著性判断 设因素A的F比为FA：
当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作**。
当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作*。
当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O。
和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。
上述推论可通过以下简单换算予以证明。
若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n)
则
X

1 n
n i1
xi

1 n
n i1
yi
C
X yC
n
n
n
于是 S (xi x)2 [(yi C) (y C)]2 (yi y)2
即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中
只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平
方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由
度。
当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C，这并不影响偏差平方