稳定性分析

UY
Fapp
UY UY
Fapp 可通过位移控制得 到。 (Fapp 现在是施加 位移UY 的反作用力。) 的反作用力。
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-11
位移控制( 位移控制(续)
• 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷， 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷，则不可能 使用位移控制。 使用位移控制。
A LengthR rc adius = ∆ n +λ u2 2
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-15
弧长法( 弧长法(续)
• 强制 强制Newton-Raphson 迭代沿 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 可得到承受零或负刚度的结构的解。 可得到承受零或负刚度的结构的解。
前屈曲
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-19
特征值屈曲( 特征值屈曲(续)
• 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解，但进行线性失稳分析有 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解， 两个优点： 两个优点： – 相对经济（快速）的分析 相对经济（快速） – 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。
F
• 尽管弧长法可求解复杂的力位移响 应问题， 应问题，但它最适合求解不带突然 歧点的平滑响应问题。 歧点的平滑响应问题。
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-13
弧长法( 弧长法(续)
• 通过在求解时引入未知数－载荷因子λ (-1 < λ < 1)后，弧长法 通过在求解时引入未知数－载荷因子λ 后 方法中对载荷与位移同时求解。 可在 Newton-Raphson 方法中对载荷与位移同时求解。 Newton-Raphson 方程可重写为 方程可重写为, [KT]{∆u} = λ {Fa} - {Fnr} ∆ • 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长l 。弧 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长l 长与载荷因子λ以及Newton-Raphson 方程中的位移增量 ∆u} 方程中的位移增量{∆ 长与载荷因子λ以及 有关。 有关。
F
稳定 不稳定
F
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-2
结构稳定性( 结构稳定性(续)
• 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的轴向载荷 作用下，将显 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的轴向载荷(F)作用下， 作用下 示出如下特性。 示出如下特性。 F F F
歧点 不稳定平衡
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-14
弧长法( 弧长法(续)
弧长法是借助一条圆 弧将载荷因子增量∆λ 弧将载荷因子增量∆λ 和位移增量∆ 关联起 和位移增量∆u关联起 来。图中所示的是用 于全Newton于全 Raphson法中的载荷 法中的载荷 因子增量∆λ ∆λ和 因子增量∆λ和位移增 量∆u。 。
October 17, 2000
结构稳定性 – A极限载荷 • 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。由于几何误 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。 差和非线性特性， 差和非线性特性，结构在低于临界载荷的力的作用下就 会变得不稳定。 会变得不稳定。 F
Fapp Fcr KT = 0 KT < 0 u
制得到。 制得到。
Fcr 只能用载荷控
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-10
位移控制
• 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，求解是使用 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷， 位移控制 完成的。位移控制的优点在于它在 cr 点外产生一个稳定 完成的。位移控制的优点在于它在F 求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。） 。（施加的位移可在不稳定点添加约束 求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。）
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-22
特征值屈曲分析的基础( 特征值屈曲分析的基础(续)
的线性函数， 假设前屈曲特性是载荷 {P0}的线性函数， 的线性函数 {P} = λ{P0} 我们可得到 [Kσ(σ)] = λ[ σ(σ0)] λ[K σ σ 因此， 因此，对整个前屈曲范围 表达的增量平衡方程可写为 {∆P} = [[Ke] + λ[Kσ(σ0)]]{∆u} ∆ σ ∆ {u} = λ{u0} {σ} = λ{σ0} σ σ
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-21
特征值屈曲分析的基础( 特征值屈曲分析的基础(续)
可给出任意状态({P}, {u}, {σ})的增量平衡 假设前屈曲位移很小，可给出任意状态 σ 的增量平衡 方程 {∆P} = [[Ke] + [Kσ(σ)]]{∆u} ∆ σ ∆ 这里 = 弹性刚度矩阵 [Ke] [Kσ(σ)] = 在应力状态 σ}下计算的初始应力矩阵 在应力状态{σ 下计算的初始应力矩阵 σ
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-9
载荷控制( 载荷控制(续)
• 在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难在于求解无法越过不 稳定点。在不稳定点(F 刚度矩阵K 使用载荷控制， 稳定点。在不稳定点 cr) ，刚度矩阵 T 奇异 。使用载荷控制， Newton-Raphson 法将不收敛。但是，此种分析对描述结构的前屈 法将不收敛。但是， 曲特性有益。 曲特性有益。
F
歧点 极限点
理想的加载路径 非理想结构的加载路径
理想的静力 特性
实际动态响应
前屈曲
后屈曲
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-7
载荷控制， 载荷控制，位移控制与弧长法
• 为计算结构的静态力位移响应，有不同的分析技巧。这些技巧包 为计算结构的静态力位移响应，有不同的分析技巧。 括： – 载荷控制 – 位移控制 – 弧长法
前屈曲
u
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-17
October 17, 2000
特征值屈曲
• 特征值屈曲分析 可预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度（ 结构的理论屈曲强度（ 歧点） 歧点）。
• 特征值公式决定了结构的歧点。此种方法相当于教科书上的线弹 特征值公式决定了结构的歧点。 性屈曲分析方法。一个Euler 立柱的特征值屈曲解与经典的 立柱的特征值屈曲解与经典的Euler 性屈曲分析方法。一个 解相匹配。 解相匹配。
[[Ke] + λ[Kσ(σ0)]]{∆u} = {0} σ ∆
以上的关系式代表了经典的特征值问题。
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-18
特征值屈曲( 特征值屈曲(续)
• 但是非理想性与非线性使大多数实际结构无法达到它们的理论弹性 屈曲强度。 结果，在使用时要小心。 屈曲强度。特征值屈曲通常得到非保守 结果，在使用时要小心。
F
极限载荷 歧点 理想加载路径 非理想结构的加载路径
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-20
特征值屈曲分析的基础
线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题， 线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首 先求解线弹性前屈曲加载状态{P 的载荷－位移关系；既给定{P 先求解线弹性前屈曲加载状态 0} 的载荷－位移关系；既给定 0} ，解 {P0} = [Ke]{u0} 以得到 加载 的位移结果， {u0} = 加载{P0}的位移结果，及 的位移结果 {σ} = σ {u0}引起的应力结果 引起的应力结果
歧点 实际结构的响应， 实际结构的响应， 低于临界载荷就会 出现不稳定。 出现不稳定。
Fcr
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-6
结构稳定性( 结构稳定性(续)
• 非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载路径， 非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载路径， 非理想结构的加载路径及结构的动态响应。 非理想结构的加载路径及结构的动态响应。
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-23
特征值屈曲分析的基础( 特征值屈曲分析的基础(续)
在不稳定状态开始（失稳载荷 在不稳定状态开始（失稳载荷{Pcr} ）时，结构在以下情况时变形 {∆u} 有所变化 ∆ {∆P} ≈ 0 ∆ 将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中， 将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中， 可得到
u
October 17, 2000
结构稳定性 – ANSYS5.7
4-4
结构稳定性( 结构稳定性(续)
临界载荷 • 当 F < Fcr时， 立柱处于稳定平衡状态。 如果先施加一个 立柱处于稳定平衡状态。 然后再删除掉， 小的扰动力 (P ≠ 0) 然后再删除掉，立柱将会恢复到原始 位置。 立柱处于非稳定平衡状态， 位置。当 F > Fcr 时，立柱处于非稳定平衡状态，任何扰 动力都将会引起失稳。 动力都将会引起失稳。当 F = Fcr时 ，立柱处于中性平衡 状态，这就是临界载荷。 状态，这就是临界载荷。