第四章稳定性分析方法的拓展——李雅普诺夫方法

结 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等 论 于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。 ③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有 共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。
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六、Routh判据的推广
实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴 有一定的距离。这种系统在系统参数发生 一定变化时仍能保持稳定。 Routh判据的推广
工 程 分 布 区 域 S平面
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四、Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
n 1 n 2 + + ++a s +a = 0 a > 0 a0 s a1 s a2 s 0 n 1 n n
系统闭环特征方程
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0
Leabharlann Baidu
这样可求得 n+1行系数
劳 斯 稳 定 判 据
系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式
的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 ③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变 化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数， 相应的系统为不稳定。
s1

a 0
令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是 否有根位于垂线s1=-a右侧。 此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠 近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
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七、Routh判据的应用
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4

将闭环特征方程 的各项系数，按 右面的格式排成 Routh表。
a1a2 a0 a3 b1 = a1 a1a4 a0 a5 b2 = a1
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d1 e1 f1
d2 e2
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五、Routh判据的两种特殊情况
劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不 等于0或没有其余项。 解决的办法 以一个很小的正数 来代替为0的这项，据此算出其 余的各项，完成劳斯表的排列。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为 不稳定。 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同， 则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 临界稳定。
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数 必须全为正值：517 40.2(1 + K ) > 0
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二、SISO系统脉冲响应的稳定问题
实根情况：
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虚根情况：
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三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根 不简单 其它简单的判定方法?
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5.1 关于稳定性的基本概念
推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该线性定常系统稳定。 推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面， 则系统稳定。 推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。
一、稳定性基本概念
如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受 到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消 后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。 反之，系统为不稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参 数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征， 因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉 冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则 该线性定常系统稳定。”
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结 论
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劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小 相等符号相反的实根或共轭虚根。
解 决 办 法
利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为 全0的行。从而完成劳斯表的排列。 关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而 且其根的数目总是偶数的。
第四章 稳定性分析方法的 拓展——李雅普诺夫方法
第四章稳定性分析方法的拓展—— 李雅普诺夫方法
5.1 稳定性的传统判别方法 5.2 关于稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第一方法
5.4 李亚普诺夫第二方法
5.5 李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用
5.6 本章小结
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d3
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表中
b1 =
a1 a2 a0 a3 a a a0 a5 a a a0 a7 , b2 = 1 4 , b3 = 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 a1 b2 b1 a5 a1 b3 b1 a7 a1 b4 = = = c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 ┇ e1 d2 d1 e2 = f1 e1
1 系统参数稳定范围的确定
例4.1 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517S + 1670 (1 + K ) = 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表 S 3
S2 S
1
1 41.5
517 1670 (1 + K )
0 0
S0
41.5 517 1670 (1 + K ) 0 41.5 1670 (1 + K )
线性系统稳定性分析的理论框架
稳定性分析
解析 方法
SISO的代数 分析方法
Routh判据 Houwitz判据
1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
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根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
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5.1 稳定性的传统判别方法