第四章稳定性分析方法的拓展——李雅普诺夫方法
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
平衡状态的定义：若对所有t，状态x满足
x0 ，
则称该状态x为平衡状态，记为：x e ，满足下式：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x f ( xe , t ) ，平衡状态的各分量相对时间不再发生
变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平 衡点。 平衡状态的求法： 线性定常系统 x Ax 的平衡状态 a.线性系统
x e 应满足 Ax 0 。
x Ax
xR
n
0 xe 0 A奇异：Axe 0 有无穷多个 xe
A非奇异：Axe
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
eg.
x1 x1
3 x2 x1 x2 x2
yi (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输 出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量 值的模的有界性来表征，即若：
u(t ) u1 (t ), u2 (t ),, un (t )
y(t ) y1 (t ), y2 (t ),, yn (t )
则有界的涵义为
T
T
ui (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
yi (t ) m j , j 1,2,, n,0 m j , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
，若任意给定实数
0, ,都存在
( , t ) 0 ，使得： x0 xe ，从初始状态 x 0 出发的解
x(t , x0 , t0 )
x0 ，
则称该状态x为平衡状态，记为：x e ，满足下式：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x f ( xe , t ) ，平衡状态的各分量相对时间不再发生
变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平 衡点。 平衡状态的求法： 线性定常系统 x Ax 的平衡状态 a.线性系统
x e 应满足 Ax 0 。
x Ax
xR
n
0 xe 0 A奇异：Axe 0 有无穷多个 xe
A非奇异：Axe
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
eg.
x1 x1
3 x2 x1 x2 x2
yi (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输 出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量 值的模的有界性来表征，即若：
u(t ) u1 (t ), u2 (t ),, un (t )
y(t ) y1 (t ), y2 (t ),, yn (t )
则有界的涵义为
T
T
ui (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
yi (t ) m j , j 1,2,, n,0 m j , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
，若任意给定实数
0, ,都存在
( , t ) 0 ，使得： x0 xe ，从初始状态 x 0 出发的解
x(t , x0 , t0 )
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫 意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， 至少有一个轨线越过 ，s(则)称平衡状态xe不 稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
26
李雅普诺夫第一法又称间接法。 它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。
16.06.2020
27
一、线性系统的稳定判据(特征值判据)
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。
而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
16.06.2020
16
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
x 1 x1 x2 x1 x2 x23
0
0
0
xe1 0 ,xe2 1 ,xe1 1
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
16.06.2020
1
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性：
通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性
对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。
对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
16个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。
第4章稳定性与李雅普诺夫方法
21
4.3 李雅普诺夫第二法
3、希尔维斯特判据
设实对称阵
p11 p12
P
p21
p22
pn1
p1n
,
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 , p22
,n P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
22
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2, , n)， 则 P 正定；
要条件是整个状态空间只有一个平衡点。
线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定 非线性系统：一般小范围渐近稳定
6
4. 不稳定
4.1.2 稳定性的几个定义
对于某个实数 和任意
，在超球域
内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。
7
4.1.2 稳定性的几个定义
此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
28
4.3 李雅普诺夫第二法
说明： （1）V (x) 0 ，则此时 V (x) C，系统轨迹将在某个曲面上，
而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2）V (x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) 相C 交，
但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
x0
x0
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
于是知系统在原点处不稳定。
33
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定 或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的；
4.3 李雅普诺夫第二法
3、希尔维斯特判据
设实对称阵
p11 p12
P
p21
p22
pn1
p1n
,
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 , p22
,n P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
22
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2, , n)， 则 P 正定；
要条件是整个状态空间只有一个平衡点。
线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定 非线性系统：一般小范围渐近稳定
6
4. 不稳定
4.1.2 稳定性的几个定义
对于某个实数 和任意
，在超球域
内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。
7
4.1.2 稳定性的几个定义
此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
28
4.3 李雅普诺夫第二法
说明： （1）V (x) 0 ，则此时 V (x) C，系统轨迹将在某个曲面上，
而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。 （2）V (x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) 相C 交，
但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
x0
x0
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
于是知系统在原点处不稳定。
33
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定 或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的；
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
第4章稳定性与李雅普诺夫方法
第4章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性是评估一个系统的重要性能指标，它描述了系统在一定初始条件下是否能够保持其平衡状态。
稳定性分为两种类型，即渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性指的是系统随着时间的推移趋向于其中一平衡状态，而有界稳定性指的是系统在任意时刻的状态都保持在其中一有界范围内。
为了评估系统的稳定性，我们可以利用李雅普诺夫方法。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个满足特定条件的函数，它的导数反映了系统状态变化的趋势。
通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析，我们可以判断系统在任意时刻的状态是否会向着平衡状态演进。
在利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析时，通常需要满足以下条件：1.李雅普诺夫函数必须是正定函数，并且在系统的平衡点上取得最小值。
2.李雅普诺夫函数的导数必须是负定函数，即在系统的平衡点附近的任意一点，李雅普诺夫函数的导数都小于等于零。
如果满足以上条件，那么系统就是渐近稳定的。
反之，如果李雅普诺夫函数的导数是正定函数，那么系统就是不稳定的。
除了判断系统的稳定性外，李雅普诺夫方法还可以用于定量的稳定性分析。
通过分析李雅普诺夫函数的导数的大小，我们可以得到系统状态变化的速度。
如果李雅普诺夫函数的导数越小，那么系统的稳定性就越好。
反之，如果李雅普诺夫函数的导数越大，那么系统的稳定性就越差。
在实际应用中，李雅普诺夫方法广泛应用于控制系统、电路系统和机械系统等领域。
通过利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析，我们可以评估系统的稳定性，并对系统进行控制，以保持系统的稳定状态。
总之，稳定性是一个评估系统性能的重要指标，通过利用李雅普诺夫方法可以判断系统的稳定性，并定量地分析系统的稳定性。
李雅普诺夫方法在控制系统、电路系统和机械系统等领域有广泛的应用前景。
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
i ( 1 ) Δ 0 , i 1 , 2 , , n i
(4-19)
即
0 , i 为偶数 Δ ( i 1 , 2 , , n ) i 0 , i 为奇数
V(x) 0，即 V( x)为半正定的,则称V(x)为半负定的。 （4）
V ( x ) 既可为正值也可为负值,则称 V ( x ) 为不定的。 （5 ）
在式（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正 定的,且记为 P 0 。以此类推,可定义二次型权矩 阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 P0 、 P0 、P0 。
二次型函数 V(x) x Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V(x) xTPx 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。
T
3．塞尔维斯特(Sylvester)准则
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
Δ a 0 1 11
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 引言 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x (t; x0 , t0 )
(4-2)
中
x0 (t0 ; x0 , t0 ) ---表示x在初始时刻t0时的状态； t---是从开始观察的时间变量。
式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件 t0 , x0
出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。
xe 的邻域。因此，若有x ∈s（ε）， 0
x xe ( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne )
2 2 2
1 2
同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（ε）内，便有
(t; x0 , t0 ) xe
t t0
（4-7）
xe
称 xe 稳定。如果x（t）不仅有界而且有 lim x(t ) 0，收敛于原点，则称 xe 渐进
稳定。如果x（t）为无界，则称
xe 不稳定。在经典控制理论中，只有渐进稳
t
定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐进稳定的系 统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
（2）由系统的传递函数
s 1 0 1 s 1 1 1 W s c sI A B 1 0 0 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具 有正实部的特征值 2 ＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、 极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此 时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。
第四章李氏稳定性
0 1 x x 1 1
A=[0 1;-1 -1]; Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A’,Q) end 运行结果为： P=
1.5000 0.5000
3/ 2 1/ 2 P 1/ 2 1
0.5000
1.0000
二.线性定常离散系统李雅普诺夫稳定性分析
由 T P P Q 得：
p12 1 0 0 1 p22
p12 0 0.5 p11 0.5 1 p p22 12
52 40 由此解出 p11 p12 27 27 P 40 100 p11 0, p22 0 p12 p22 27 27 从而系统在原点的平衡状态是渐近稳定的.
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
4.1 李氏稳定性理论的简介
4.2 预备知识
4.3 李雅普诺夫稳定性定义
4.4 李雅普诺夫第一方法
4.5 李雅普诺夫第二方法
4.6 线性定常系统的李雅普诺夫分析
小节：
李雅普诺夫第二法主要定理
设系统状态方程为
X f ( X , t ) Xe = 0为平衡状态 若存在 V ( X , t ) 当 X X e 时满足
现代控制理论
[扩展题]
（上海交大 2003 25分）
单级倒立摆系统如图所示，控制目标为通过外力u(t)使摆直立向上（即 θ(t)=0）。假设小车质量 M ＝0.5 Kg,匀质摆杆质量m = 0.2 Kg, 摆杆转动轴 心到杆质心的长度2l= 0.6m, x(t)为小车水平位移，θ为摆杆的角位移，忽略摆 及小车的 摩擦系数，g=9.8m/s2.该系统非线性模型为
设
V ( x ) X T PX 0
第4章 稳定性和李雅普诺夫方法PPT学习课件
–定常系统 –时变系统 –非线性系统
，由V(x) 的符号判断
本章完
42
作业：P186 4-7 4-8 4-11
43
17
离散控制系统稳定的充分必要条件
s平面与z平面的映射关系
S平面
z平面
18
4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据
定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为：
（8）
则平衡状态
渐近稳定的充要条件为：G 的特征
根均在单位开圆盘内。
命题2：G Rnn 的所有特征根均在单位开圆盘内（模小于
1），等价于存在实对称矩阵P，使得 GT PG P 0 。
V(x) f T (x)[ J T (x) J (x)] f (x)
推论： 对于线性定常系统 x Ax ，若矩阵A非奇
异，且矩阵 AT A 0 为负定，则系统的平衡状态
xe 0 是大范围渐近稳定的，因为
V (x) f T (x) f (x) xT AT Ax Ax 2
0 0.5 p11
0.5
1
p12
p12 0
p22
0.5
0.5 1
p11 p12
p12 p22
1
0
0 1
由此解出
21
P
p11 p12
52
p12 p22
27 40
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
，由V(x) 的符号判断
本章完
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作业：P186 4-7 4-8 4-11
43
17
离散控制系统稳定的充分必要条件
s平面与z平面的映射关系
S平面
z平面
18
4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据
定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为：
（8）
则平衡状态
渐近稳定的充要条件为：G 的特征
根均在单位开圆盘内。
命题2：G Rnn 的所有特征根均在单位开圆盘内（模小于
1），等价于存在实对称矩阵P，使得 GT PG P 0 。
V(x) f T (x)[ J T (x) J (x)] f (x)
推论： 对于线性定常系统 x Ax ，若矩阵A非奇
异，且矩阵 AT A 0 为负定，则系统的平衡状态
xe 0 是大范围渐近稳定的，因为
V (x) f T (x) f (x) xT AT Ax Ax 2
0 0.5 p11
0.5
1
p12
p12 0
p22
0.5
0.5 1
p11 p12
p12 p22
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0 1
由此解出
21
P
p11 p12
52
p12 p22
27 40
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
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1 系统参数稳定范围的确定
例4.1 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517S + 1670 (1 + K ) = 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表 S 3
S2 S
1
1 41.5
517 1670 (1 + K )
0 0
S0
41.5 517 1670 (1 + K ) 0 41.5 1670 (1 + K )
北京科技大学 自动化系 11
结 论
2006-3-26
劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小 相等符号相反的实根或共轭虚根。
解 决 办 法
利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为 全0的行。从而完成劳斯表的排列。 关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而 且其根的数目总是偶数的。
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北京科技大学 自动化系
4
5.1 关于稳定性的基本概念
推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该线性定常系统稳定。 推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面， 则系统稳定。 推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。
一、稳定性基本概念
如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受 到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消 后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。 反之，系统为不稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参 数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征， 因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉 冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则 该线性定常系统稳定。”
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数 必须全为正值：517 40.2(1 + K ) > 0
d3
北京科技大学 自动化系
9
表中
b1 =
a1 a2 a0 a3 a a a0 a5 a a a0 a7 , b2 = 1 4 , b3 = 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 a1 b2 b1 a5 a1 b3 b1 a7 a1 b4 = = = c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 ┇ e1 d2 d1 e2 = f1 e1
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4
将闭环特征方程 的各项系数，按 右面的格式排成 Routh表。
a1a2 a0 a3 b1 = a1 a1a4 a0 a5 b2 = a1
2006-3-26
d1 e1 f1
d2 e2
第四章 稳定性分析方法的 拓展——李雅普诺夫方法
第四章稳定性分析方法的拓展—— 李雅普诺夫方法
5.1 稳定性的传统判别方法 5.2 关于稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第一方法
5.4 李亚普诺夫第二方法
5.5 李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用
5.6 本章小结
2006-3-26 北京科技大学 自动化系 2
工 程 分 布 区 域 S平面
2006-3-26
北京科技大学 自动化系
8
四、Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
n 1 n 2 + + ++a s +a = 0 a > 0 a0 s a1 s a2 s 0 n 1 n n
系统闭环特征方程
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0
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北京科技大学 自动化系
5
二、SISO系统脉冲响应的稳定问题
实根情况：
2006-3-26
北京科技大学 自动化系
6
虚根情况：
2006-3-26
北京科技大学 自动化系
7
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根 不简单 其它简单的判定方法?
北京科技大学 自动化系 10
2006-3-26
五、Routh判据的两种特殊情况
劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不 等于0或没有其余项。 解决的办法 以一个很小的正数 来代替为0的这项，据此算出其 余的各项，完成劳斯表的排列。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为 不稳定。 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同， 则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 临界稳定。
s1
a 0
令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是 否有根位于垂线s1=-a右侧。 此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠 近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
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七、Routh判据的应用
线性系统稳定性分析的理论框架
稳定性分析
解析 方法
SISO的代数 分析方法
Routh判据 Houwitz判据
1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
2006-3-26 北京科技大学 自动化系
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
3
5.1 稳定性的传统判别方法
结 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等 论 于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。 ③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有 共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。
2006-3-26 北京科技大学 自动化系 12
六、Routh判据的推广
实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴 有一定的距离。这种系统在系统参数发生 一定变化时仍能保持稳定。 Routh判据的推广
这样可求得 ห้องสมุดไป่ตู้+1行系数
劳 斯 稳 定 判 据
系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式
的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 ③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变 化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数， 相应的系统为不稳定。
例4.1 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517S + 1670 (1 + K ) = 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表 S 3
S2 S
1
1 41.5
517 1670 (1 + K )
0 0
S0
41.5 517 1670 (1 + K ) 0 41.5 1670 (1 + K )
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结 论
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劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小 相等符号相反的实根或共轭虚根。
解 决 办 法
利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为 全0的行。从而完成劳斯表的排列。 关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而 且其根的数目总是偶数的。
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5.1 关于稳定性的基本概念
推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该线性定常系统稳定。 推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面， 则系统稳定。 推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。
一、稳定性基本概念
如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受 到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消 后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。 反之，系统为不稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参 数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征， 因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉 冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则 该线性定常系统稳定。”
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数 必须全为正值：517 40.2(1 + K ) > 0
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表中
b1 =
a1 a2 a0 a3 a a a0 a5 a a a0 a7 , b2 = 1 4 , b3 = 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 a1 b2 b1 a5 a1 b3 b1 a7 a1 b4 = = = c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 ┇ e1 d2 d1 e2 = f1 e1
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4
将闭环特征方程 的各项系数，按 右面的格式排成 Routh表。
a1a2 a0 a3 b1 = a1 a1a4 a0 a5 b2 = a1
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d2 e2
第四章 稳定性分析方法的 拓展——李雅普诺夫方法
第四章稳定性分析方法的拓展—— 李雅普诺夫方法
5.1 稳定性的传统判别方法 5.2 关于稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第一方法
5.4 李亚普诺夫第二方法
5.5 李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用
5.6 本章小结
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工 程 分 布 区 域 S平面
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四、Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
n 1 n 2 + + ++a s +a = 0 a > 0 a0 s a1 s a2 s 0 n 1 n n
系统闭环特征方程
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0
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二、SISO系统脉冲响应的稳定问题
实根情况：
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虚根情况：
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三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根 不简单 其它简单的判定方法?
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五、Routh判据的两种特殊情况
劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不 等于0或没有其余项。 解决的办法 以一个很小的正数 来代替为0的这项，据此算出其 余的各项，完成劳斯表的排列。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为 不稳定。 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同， 则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 临界稳定。
s1
a 0
令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是 否有根位于垂线s1=-a右侧。 此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠 近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
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七、Routh判据的应用
线性系统稳定性分析的理论框架
稳定性分析
解析 方法
SISO的代数 分析方法
Routh判据 Houwitz判据
1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
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根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
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5.1 稳定性的传统判别方法
结 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等 论 于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。 ③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有 共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。
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六、Routh判据的推广
实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴 有一定的距离。这种系统在系统参数发生 一定变化时仍能保持稳定。 Routh判据的推广
这样可求得 ห้องสมุดไป่ตู้+1行系数
劳 斯 稳 定 判 据
系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式
的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 ③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变 化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数， 相应的系统为不稳定。